不定积分及积分公式
不定积分公式总结
不定积分公式总结在微积分的学习中，不定积分是一个非常重要的概念，它是求导的逆运算。
掌握不定积分公式对于解决各种积分问题至关重要。
接下来，就让我们一起系统地总结一下常见的不定积分公式。
一、基本积分公式1、常数的积分：∫C dx ＝ Cx ＋ C₁（其中 C 为常数，C₁为任意常数）这意味着任何常数乘以自变量 x 的积分，结果是该常数乘以 x 再加上一个任意常数。
2、幂函数的积分：∫xⁿ dx ＝（1/（n ＋ 1)）xⁿ⁺¹＋ C （n ≠ －1）∫x⁻¹ dx ＝ ln|x| ＋ C3、指数函数的积分：∫eˣ dx ＝eˣ ＋ C∫aˣ dx ＝（1 ／ln a) aˣ ＋ C （a ＞ 0 且a ≠ 1）4、对数函数的积分：∫ln x dx ＝ x ln x x ＋ C5、三角函数的积分：∫sin x dx ＝ cos x ＋ C∫cos x dx ＝ sin x ＋ C∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C6、反三角函数的积分：∫arcsin x dx ＝ x arcsin x ＋√（1 x²) ＋ C∫arccos x dx ＝x arccos x √（1 x²) ＋ C∫arctan x dx ＝ x arctan x （1/2) ln(1 ＋ x²) ＋ C二、凑微分法相关公式凑微分法是一种非常重要的积分方法，通过将被积表达式凑成某个函数的微分形式，然后进行积分。
例如：∫f(ax ＋ b) dx ＝（1/a) ∫f(u) du （其中 u ＝ ax ＋ b）常见的凑微分形式有：1、∫cos(ax ＋ b) dx ＝（1/a) sin(ax ＋ b) ＋ C2、∫sin(ax ＋ b) dx ＝（1/a) cos(ax ＋ b) ＋ C三、换元积分法相关公式换元积分法分为第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法。
不定积分公式大全 含求积分通用方法及例题
不定积分小结一、不定积分基本公式(1)∫x a dx=x a+1a+1+C(a≠−1) (2)∫1xdx=ln|x|+C(3)∫a x dx=a xln a+C(4)∫sin x dx=−cos x+C(5)∫cos x dx=sin x+C(6)∫tan x dx=−ln|cos x|+C (7)∫cot x dx=ln|sin x|+C(8)∫sec x dx=ln|sec x+tan x|+C (9)∫csc x dx=ln|csc x−cot x|+C(10)∫sec2x dx=tan x+C (11)∫csc2x dx=−cot x+C(12)∫dx1+x2=arctan x+C(13)∫dxx2+a2=1aarctan xa+C(14)∫dxx2−a2=12aln|a−xa+x|+C(15)∫dxa2−x2=12aln|a+xa−x|+C(16)∫√1−x2=arcsin x+C(17)√a2−x2=arcsin xa+C(18)√x2±a2=ln|x+√x2±a2|+C(19)∫√a2−x2dx=x2√a2−x2+a22arcsinxa+C(20)∫√x2±a2dx=x2√x2±a2±a22ln|x+√x2±a2|+C二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得）(1)D n=∫sin n x dx(详情请查阅教材166页)则D n=−cos x sin n−1xn+n−1nD n−2(求三角函数积分)易得D n：n为奇数时，可递推至D1=∫sin x dx=−cos x+C；n为偶数时，可递推至D2=∫sin2x dx=x2−sin2x4+C；(2)I n=∫dx(x2+a2)n(详情请查阅教材173页)则I n+1=12na2x(x2+a2)n+2n−12na2I n易得I n可递推至I1=∫dxx2+a2=1aarctan xa+C迅捷P DF编辑器（这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）三、普遍方法(一)换元积分法：第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。
不定积分概念及公式
5．1 不定积分的概念一．原函数的概念定义1：设 f (x) 是定义在区间上的已知函数，若存在一个函数F(x) 对于该区间上的每一点都有： F (x) f (x) 或dF(x) f ( x) dx 。
则：F(x)为f(x)的一个原函数。
例：(x3) 3x2,则：x3是3x2的一个原函数，另外由于(x31) 3x2,(x31) 3x2,(x33) 3x2，。
即：x31,x31, x3 3 , 。
等等也都是3x2的原函数。
即：x3 C ( C常数)全为3x2的原函数。
所以，有下面定理。
定理：一个函数 f (x) ，若有一个原函数F(x) ，则必有无穷多个。
而这写原函数只相差一个常数。
F(x) C是f(x) 的全体原函数。
例：设e x cosx是 f (x) 的原函数，求： f (x)。
解：由原函数概念可知，若e x cosx是f (x) 的原函数则有(e x cosx) e x sin x f (x) ，所以 f(x) (e x sin x) =e x cosx 二．不定积分的定义定义2。
设函数F(x)为函数 f (x)的一个原函数，则f(x) 的全部原函数F(x) C ( C为任意常数)称为函数 f (x) 的不定积分。
记作： f (x)dx。
即： f (x)dx F(x) C 。
f (x) ：被积函数， f ( x)dx ：被积表达式，x ：积分变量，：积分号， C ：积分常数。
存在原函数的函数为：可积函数。
求已知函数的不定积分，只要求出它的一个原函数，再加一个 C (任意常数)。
例：求积分3x 2dx解：( x3) 3x2∴ 3x2dx x 3 C例：求积分cosxdx解：(sin x) cos x∴ cosdx sin x C例：求积分e x dx解：(e x) e x∴ e x dx e x C例：求积分1dxx1 1 15) 2dx ( ) d ；6) dx ( ) d x1解：( ln x) ，(x 0)x 11[ln( x)] 1 ( 1) 1 ,(x 0) xx 1dx ln x Cx不定积分 (互逆)求导数。
常见的不定积分(公式大全)
常见的不定积分(公式大全)一、基本积分公式1. $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $，其中 $ n \neq 1 $。
2. $ \int dx = x + C $。
3. $ \int a dx = ax + C $，其中 $ a $ 为常数。
4. $ \int e^x dx = e^x + C $。
5. $ \int \ln x dx = x \ln x x + C $。
6. $ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C $。
7. $ \int \sin x dx = \cos x + C $。
8. $ \int \cos x dx = \sin x + C $。
9. $ \int \tan x dx = \ln |\cos x| + C $。
10. $ \int \cot x dx = \ln |\sin x| + C $。
二、换元积分法1. $ \int f(ax + b) dx = \frac{1}{a} \int f(ax + b) d(ax + b) $。
2. $ \int f(x^n) dx = \frac{1}{n} \int f(x^n) d(x^n) $。
3. $ \int f(\sqrt{ax^2 + bx + c}) dx = \frac{1}{a} \int f(\sqrt{ax^2 + bx + c}) d(\sqrt{ax^2 + bx + c}) $。
4. $ \int f(\sqrt{a^2 x^2}) dx = \frac{1}{a} \intf(\sqrt{a^2 x^2}) d(\sqrt{a^2 x^2}) $。
5. $ \int f(\sqrt{x^2 a^2}) dx = \frac{1}{a} \intf(\sqrt{x^2 a^2}) d(\sqrt{x^2 a^2}) $。
三、分部积分法1. $ \int u dv = uv \int v du $。
不定积分公式大全24个
不定积分公式大全24个不定积分公式大全24个具体如下：1、∫x^ndx=x^(n+1)/(n+1) +C, 其中n≠-1.2、∫1/xdx=ln|x|+C, 即当n=-1时的幂函数类型.3、∫x/(a+bx)dx=(bx-aln|a+bx|)/b^2+C.4、∫x/(a+bx)^2dx=(a/(a+bx)+ln|a+bx|)/b^2+C.5、∫x^2/(a+bx)dx=(-bx(2a-bx)/2+a^2ln|a+bx|)/b^3+C.6、∫x^2/(a+bx)^2dx=(bx-a^2/(a+bx)-2aln|a+bx|)/b^3+C.7、∫x^2/(a+bx)^3dx=(2a/(a+bx)-a^2/(2(a+bx)^2)+ln|a+bx|)/b^3 +C.8、∫1/(x(a+bx))dx=ln|x/(a+bx)| /a+C.含有二次二项式的平方和差类型有如下的基本公式：（其中结果出现反三角函数的也可以归为反三角函数类型）9、∫1/(a^2+x^2)dx=arctan(x/a) /a+C. 特别地，当a=1时，∫1/(1+x^2)dx=arctanx+C.10、∫1/(x^2-a^2)dx= -∫1/(a^2-x^2)dx= ln|(x-a)/(x+a)|/(2a)+C.11、∫1/根号(a^2-x^2)dx= arcsin (x/a)+C. 特别地，当a=1时，∫1/根号(1-x^2)dx= arcsinx +C.12、∫1/(x根号(x^2-a^2))dx= arccos (a/x) /a+C. 特别地，当a=1时，∫1/(x根号(x^2-1))dx= arccos(1/x)+C.三角函数类型不定积分公式有很多，以下列举出最常见的，它们都是成对出现的：13、∫sinxdx=-cosx+C；∫cosxdx=sinx+C.14、∫(sinx)^2dx=(x-sinxcosx)/2+C；∫(cosx)^2dx=(x+sinxcosx)/2+C.15、∫xsinxdx=sinx-xcosx+C；∫xcosxdx=cosx+xsinx+C.16、∫tanxdx=-ln|cosx|+C；∫cotxdx=ln|sinx|+C.17、∫(tanx)^2dx=-x+tanx+C；∫(cotx)^2dx=-x-cotx+C.18、∫secxdx=ln|secx+tanx|+C; ∫cscxdx=ln|cscx-cotx|+C.19、∫(secx)^2dx=tanx+C；∫(cscx)^2dx=-cotx+C.同样也有反三角函数类型的不定积分公式：20、∫arcsinxdx=xarcsinx+根号(1-x^2)+C；∫arccosxdx=xarccosx-根号(1-x^2)+C21、∫arctanxdx=xarctanx-ln(1+x^2) /2+C；∫arccotxdx=xarccotx+ln(1+x^2) /2+C.22、∫arcsecxdx=xarcsecx-ln|x+根号(x^2-1)|+C；∫arccscxdx=xarccscx+ln|x+根号(x^2-1)|+C.最后是指数函数和对数函数形式的不定积分公式：23、∫a^xdx=a^x /lna+C, 特别地，当a=e时，∫exdx=ex+C.24、∫lnxdx=x(lnx-1) +C.。
常用的24个不定积分公式及证明
常用的24个不定积分公式及证明一、基本积分公式。
1. ∫ kdx = kx + C（k为常数）- 证明：根据求导公式(kx + C)'=k，所以∫ kdx = kx + C。
2. ∫ x^n dx=frac{x^n + 1}{n+1}+C(n≠ - 1)- 证明：对frac{x^n + 1}{n+1}+C求导，根据求导公式(x^m)'=mx^m - 1，可得(frac{x^n+1}{n + 1}+C)'=frac{(n + 1)x^n+1-1}{n+1}=x^n，所以∫ x^n dx=frac{x^n +1}{n+1}+C(n≠ - 1)。
3. ∫(1)/(x)dx=lnx+C- 证明：当x>0时，(ln x)'=(1)/(x)；当x < 0时，[ln(-x)]'=(1)/(-x)×(-1)=(1)/(x)。
所以∫(1)/(x)dx=lnx+C。
4. ∫ e^x dx=e^x+C- 证明：因为(e^x)' = e^x，所以∫ e^x dx=e^x+C。
5. ∫ a^x dx=(a^x)/(ln a)+C(a>0,a≠1)- 证明：设y = a^x，则ln y=xln a，y = e^xln a。
对y=(a^x)/(ln a)+C求导，((a^x)/(ln a)+C)'=(1)/(ln a)× a^xln a=a^x，所以∫ a^x dx=(a^x)/(ln a)+C(a>0,a≠1)。
6. ∫sin xdx=-cos x + C- 证明：因为(-cos x)'=sin x，所以∫sin xdx =-cos x+C。
7. ∫cos xdx=sin x + C- 证明：因为(sin x)'=cos x，所以∫cos xdx=sin x + C。
8. ∫(1)/(cos^2)xdx=tan x + C- 证明：因为(tan x)'=sec^2x=(1)/(cos^2)x，所以∫(1)/(cos^2)xdx=tan x + C。
高等数学常用不定积分公式
高等数学常用不定积分公式一、基本不定积分公式：1. 常数函数的不定积分：∫k dx = kx + C，其中k为常数，C为任意常数。
2. 幂函数的不定积分：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1，C为任意常数。
3. 对数函数的不定积分：∫1/x dx = ln，x， + C，其中C为任意常数。
4. 指数函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C，其中C为任意常数。
5.三角函数的不定积分：a) ∫sinx dx = -cosx + C，其中C为任意常数。
b) ∫cosx dx = sinx + C，其中C为任意常数。
c) ∫sec^2(x) dx = tanx + C，其中C为任意常数。
d) ∫cosec^2(x) dx = -cotx + C，其中C为任意常数。
e) ∫sec(x)tan(x) dx = secx + C，其中C为任意常数。
f) ∫cosec(x)cot(x) dx = -cosecx + C，其中C为任意常数。
6.反三角函数的不定积分：a) ∫1/√(1-x^2) dx = arcsinx + C，其中C为任意常数。
b) ∫1/√(1+x^2) dx = arctanx + C，其中C为任意常数。
c) ∫1/(x^2+1) dx = arctanx + C，其中C为任意常数。
二、常用不定积分公式：1. ∫sin^2x dx = (1/2)(x - sinx cosx) + C，其中C为任意常数。
2. ∫cos^2x dx = (1/2)(x + sinx cosx) + C，其中C为任意常数。
3. ∫tan^2x dx = tanx - x + C，其中C为任意常数。
4. ∫cot^2x dx = -cotx - x + C，其中C为任意常数。
5. ∫sec^3(x) dx = (1/2)(secx tanx + ln，secx + tanx，) + C，其中C为任意常数。
不定积分的性质与基本积分公式
2
= arctan x + C
=
−arccot x + C.
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由导数线性运算法则可得到不定积分的线性运算
法则. 定理 8.3 (不定积分的线性运算法则)
若函数 f 与 g 在区间 I 上都存在原函数, k1, k2为
任意常数, 则 k1 f + k2g 在 I上也存在原函数, 且
∫ ∫ ∫ ( k1 f ( x) + k2g( x) )dx = k1 f ( x)dx + k2 g( x)dx.
∫ s (t ) = v0 dt = v0 t + C .
若 t0 时刻质点在 s0 处, 且速度为 v0, 则有 s (t ) = v0(t − t0 ) + s0 .
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四、基本积分表
由基本求导公式可得以下基本积分公式:
1. ∫ 0dx = C.
2. ∫1dx = ∫dx =x + C. ∫3. xαdx = xα+1 + C (α ≠ −1, x > 0).
dx 所以(1)式成立.
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第一换元积分法亦称为凑微分法, 即
∫ g(ϕ( x))ϕ′( x)dx = ∫ g(ϕ( x))dϕ( x) = G(ϕ( x)) + C,
其中 G′(u) = g(u). 常见的凑微分形式有
(1) adx = d(ax);
(2) dx = d( x + a);
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§2 换元积分法与分部积分法
不定积分是求导运算的逆运算, 相应 于复合函数求导数的链式法则和乘法 求导公式, 不定积分有换元积分法和分 部积分法.
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4i
(C : z 2正向圆周)
(C为包含单(C位: z圆周1在正内向的) 任何一条正向简单闭曲线) 2
Note.利用待定系数法将被积函数分解成简单分式的和.
NUDT
练习题
Exercise1.
? 试问：
dz
?
dz
C1 3z 2 1 C2 3z 2 1
其中：C1是 z （4 正向圆周），
C
f (z)d z
z2 z1
f (z)dz
与连接起点与终点的路线无关.
D z1.
.z2 C2
C1
Note.实际上Cauchy-Goursat基本定理与定理1等价.
定义:变上限积分
z
f ( )d F(z)
z0
NUDT
§4 原函数与不定积分
定理2 如果函数 f (z)在单连通区
设 C : z z(t) x(t) iy(t) ( t )，则
C
f
(z) d
z
f
[ z(t )]z(t ) d t
什么是基本定理?
定理（Cauchy-Goursat基本定理）设函数 f (z) 在单连 通区域 D 内解析，C 为 D 内的闭曲线，则 f (z)在C上的 积分等于零，即
C2是以x 1, y 1为边的正向正方形。
---闭路变形原理/复合闭路定理
(1)将被积函数分解成简单分式
dz 1
dz
dz
C2 3z2 1 2
[
3
C2
z
3i
C2
z
]0 3i
3
3
(2)利用复合闭路定理与 (3)利用留数定理 Cauchy积分公式
NUDT
练习题
Exercise2.
提问: 函数满足什么条件下一定存在原函数? Note. 单连通区域内的解析函数
一定存在原函数且不唯一.
定义 把f (z)的原函数的一般表达式称为 f (z) 的不定积分.
f (z)dz F (z) C(C为任意的复常数 )
NUDT
§4 原函数与不定积分
牛顿-莱布尼兹公式
定理3 如果函数 f (z) 在单连通区域 D 内解析，G(z) 为 f (z) 在
z.
域 D 内解析，那么函数
F(z)
z
z0
f
( )d
在D 内解析，且
F(z) f (z) (z D).
D
C
z
.
0
Note.实际上该定理只需证得一个结论即可.
NUDT
定理2的证明
定理2 如果函数 f (z) 在单连通 区域 D内解析，那么函数
F(z) f (z) (z D).
单闭曲线，C1,C2,,Cn为 C 内的简单闭曲线，它们互不包
含也互不相交，并且以 C, C1,C2,,Cn 为边界的闭区域全
在 D 内.如果f (z) 在 D 内解析,则
n
蜒 (1)
f (z)d z
C k 1
f (z)d z
Ck
其中C及Ck均取正方向；
(2)Ñ f (z) d z 0.
闭路变形原理:在区域内的一个解析函数沿
闭曲线的积分,不因闭曲线在该区域内作连续 变形而改变它的值,只要在变形过程中曲线不 经过函数的不解析点。
庞加莱猜想:在一个三维空间中,假如每一条
封闭的曲线都能收缩成一点,那么这个空间一 定是一个三维的球体。
NUDT
§3 复合闭路定理
定理（复合闭路定理）设 C 为多连通区域D 内的一条简
z1 z0
f
(z)d z
G(z0)
NUDT
三个例题
积分技巧:分部积分法,降阶法,“凑”微分法,
换元积分法,有理函数积分法等等.
Example1.
试求:C dz ? (C 表示连接起点a和终点b的任一光滑曲线)
1 z
zz[ z
f
( )
f
( z )] d
1
z z
f ( ) f (z) d
z z
NUDT
§4 原函数与不定积分
定义 如果函数 (z) 在区域 D 内的导数等于f (z)，即
(z) f (z) (z D),
那么称 (z) 为 f (z) 在区域 D 内的原函数.
NUDT
第三章 复变函数的积分
§1 复变函数积分的概念 §2 柯西—古萨（Cauchy-Goursat）基本定理 §3 复合闭路定理 §4 原函数与不定积分 §5 柯西积分公式 §6 解析函数的高阶导数 §7 解析函数与调和函数的关系
NUDT
上次课主要内容的回顾
复积分的计算方法有哪些?
试求：C sin zdz ？ C：以原点为起点
沿 z 1 1的上半圆周以2为终点的圆弧。 y
0 试问在什么条件下积分将与路径无关?
2x
NUDT
§4 原函数与不定积分
再谈积分与路径无关的问题
Cauchy-Goursat基本定理
定理1 如果函数 f (z) 在单连通区
域 D 内解析，那么积分
..z z
z
.D z0
lim 1
z z
f ( )d
z0 z z
f
(z)
F(z)
lim
z0
F(z
z) z
F(z)
lim 1 [ zz
z0 z z0
f
( )d
z z0
f
( )d ]
F(z
z) z
F(z)
f
(z)
C C1 C2 L Cn
D
C1 C
C2
NUDT
例题
Example1.
C
z
dz z0
2?i
(C : z z0 r，正方向)
Note. 事实上C可推广到包含 z0点的正向简单闭曲线
该结果仍然成立.
? Example2.
ÑC
2z z2
Hale Waihona Puke 1dz zC f (z)d z 0.
Theorem2. If a function f is analytic at all points interior to and on a simple closed contour C, then
ÑC f (z)dz 0
NUDT
上次课主要内容的回顾
What is the principle of deformation of paths?
D 内的原函数，那么
z1 z0
f
(z)d
z
G(z1)
G( z0 ),
这里 z0, z1为区域 D 内的两点.
Proof. G(z) F (z) C0
D z0 .
. z1
(C0为某个复常数)
G(z0 ) F (z0 ) C0 C0
G(z1) F(z1) C0