局解复习(凌树才)-1
备战2024高考数学二轮复习讲义第3讲-割补思想在立体几何中的应用
第3讲割补思想在立体几何中的应用割补法是数学中最重要的思想方法之一，主要分为割形与补行，是将复杂的，不规则的不易认识的几何体或几何图形，分割或补充成简单的、规则的、易于认识的几何体或图形，从而达到解决问题的目的。
割补法重在割与补，巧妙对几何体过几何图形实割与补，变整体的为局部，化不规则为规则，化陌生为熟悉，化抽象为直观。
割补法在立体几何中体现的主要的题型就是几何体的切等问题。
【应用一】割的思想在多面体的体积及几何体的内切球中的运用割的思想主要体现两种题型：一是求复杂几何体的体积、表面积等问题，此类问题通过割把复杂的几何体割成几个简单的几何体。
二是求几何体内切球的半径、体积等问题。
此类问题主要是通过球心与几何体的各点割成锥，然后运用等积法求半径。
【例1.1】已知一个三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的内切球的体积为________．【例1.2】【2020年新课标3卷理科】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【思维提升】以三棱锥P －ABC 为例，求其内切球的半径．方法：等体积法，三棱锥P －ABC 体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，球心为O ，建立等式：V P －ABC ＝V O －ABC ＋V O －PAB ＋V O －PAC ＋V O －PBC ⇒V P －ABC ＝13△ABC ·r ＋13S△PAB·r ＋13S △PAC ·r ＋13S △PBC ·r ＝13(S △ABC ＋S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC )·r ；第三步：解出r ＝3V P －ABC S O －ABC ＋S O －PAB ＋S O －PAC ＋S O －PBC ＝3VS 表．秒杀公式(万能公式)：r ＝3V S 表【例1.3】（2023·河北唐山·统考三模）（多选）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到底面为长方形的屋状的楔体（图示的五面体)EF ABCD -．底面长方形ABCD 中3BC =，4AB =，上棱长2EF =，且EF 平面ABCD ，高（即EF 到平面ABCD 的距离）为1，O 是底面的中心，则（）A ．EO 平面BCF【变式1.1】（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）如图①，在平行四边形ABCD中，AB ===ABD △沿BD 折起，使得点A 到达点P 处（如图②），=PC P BCD -的内切球半径为______.【变式1.2】（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知一正四面体棱长为4，其内部放置有一正方体，且正方体可以在正四面体内部绕一点任意转动，则正方体在转动过程中占据的空间体积最大为__________．【变式1.3】（2022·江苏通州·高三期末）将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A ′－BD －C ，设三棱锥A ′－BDC 的外接球和内切球的半径分别为r 1，r 2，球心分别为O 1，O 2.若正方形ABCD 的边长为1，则21r r =________；O 1O 2＝__________.【应用二】补的思想在立体几何中几何体外接球中的应用解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．2．记住几个常用的结论：（1）正方体的棱长为a，球的半径为R.①对于正方体的外接球，2R；②对于正方体的内切球，2R＝a；③对于球与正方体的各棱相切，2R.（2）在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，球的半径为R，则2R=.（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.3．构造法在定几何体外接球球心中的应用（1）正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；（2）同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；（3）若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；（4）若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体【例2.1】（2022·广东潮州·高三期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥AD，AB=BD，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B，则该棱锥的外接球的表面积为_________．【思维提升】墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2．)，秒杀公式：R 2＝a 2＋b 2＋c 24．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：【例2.2】（2022·广东·铁一中学高三期末）已知四面体A BCD -中，5AB CD ==，10AC BD ==，13BC AD ==，则其外接球的体积为______.【思维提升】棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即2222R a b c =++(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝x2＋y2＋z28(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．【变式2.1】（2023·湖南邵阳·统考三模）三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，4,223,PA AC AB AC AB ===⊥，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为__________.【变式2.2】已知三棱锥A BCD -，三组对棱两两相等，且1AB CD ==，3AD BC ==，若三棱锥A BCD -的外接球表面积为92π．则AC =________．【变式2.3】已知三棱锥A －BCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 都在球O 的表面上，AC ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AC ＝3，BC ＝2，CD ＝5，则球O 的表面积为()A ．12πB ．7πC ．9πD ．8π【变式2.4】(2019全国Ⅰ)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为()．A．62πD．6π8πB．64πC．6巩固练习1、【2019年新课标2卷理科】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．2、（2022·湖北江岸·高三期末）如图，该几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若被截的正方体棱长为2，则该几何体的表面积为（）A．1233++D．63+C．633+B．12433、（2023·山西临汾·统考一模）《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除ABCDEF如图所示，底面ABCD为正方形，4EF=，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为（）A．22πB．42πC．82πD．2π3A ．18B ．275、正四面体的各条棱长都为．6、在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝3，AC ＝BD ＝4，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为________．7、在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，则该三棱锥的外接球的体积为____．8、（2023·湖南郴州·统考三模）已知三棱锥-P ABC 的棱长均为4，先在三棱锥-P ABC 内放入一个内切球1O ，然后再放入一个球2O ，使得球2O 与球1O 及三棱锥-P ABC 的三个侧面都相切，则球2O 的表面积为__________.第3讲割补思想在立体几何中的应用割补法是数学中最重要的思想方法之一，主要分为割形与补行，是将复杂的，不规则的不易认识的几何体或几何图形，分割或补充成简单的、规则的、易于认识的几何体或图形，从而达到解决问题的目的。
用分部积分法求解常系数高阶非齐次线性常微分方程
提供ｒ求解常系数非齐线性常微分方程初值问题的一种降阶法．重复应用这一降阶法，最终也就得到１仁
齐次线性力＋程对应初值问题的解．了解算子法的读者会清楚．这一降阶法本质上与算子法的分解性质足 相同的（见［１，Ｐ１９７］的性质２）．但是，这里引出这一降阶法的优点在于：只要知道分部积分公式，就可以 求解（不需耍引入其它方法、概念及它们的性质．）
ｖ（』）一ｌ－厂（ｒ）ｓｌｎ（ｒ—ｒ）ｄｒ．
伊０ ２求解仞值问题
ｆｙ“ ３）－’＋２、ｙ一，（．ｒ）．
１ｙ（ｏ）一１，／（ｏ）一２． 解（１１）的方科对应的特征方程为
＾２—３＾＋２—０．
其特征值为＾．一】。＾：一２．
在（１１）的方程两边同乘以ｅ一并从ｏ｛｜｝｛分至ｎ得
』‘ｅ ７ｙ”ｃ－ｒ，ｄ丁一。』：ｅ。＿７ ｃｚ，ｄ丁＋ｚ』．：ｃ ７ｙ ｃ。，ｄ丁＝』：ｅ ７Ｌ厂ｃ。，ｄ。
天学数学
第１８卷
Ａ ｖ一６．
（１８）
这里，ｊ阶方阵Ａ一（“．，（，））…，．”维列向萤，一（ｙ；√’，…．』１７’”）。．６一（６·（』Ｊ）－仉ｆ』）．…，＾。（ｒ））‘·其中，
“．（·），６．（』）…，一ｌ，２＋…川为上的已知函数；
第三步求解线性方程组（１８）．Ｊ的第一分量就是埘应初值问题的解． 为ｒ汪叫这·方法的町行性。只需验证第二步．即取（ｊ）巾的每一个幽数乘以方程（１）的两边，两边 自初始时刻。积分至』．左端各项反复用分部积分公式，能够化成ｙ．，．…．∥””的线性式．（我们注意 到系统（１）的初值问题解是存在唯一的．故它必然是（１８）的解．）现在，我们假设ｐ∈｛＾。．＾。，…，＾）是一个
引证文献(4条)
1.邢春峰.袁安锋.王朝旺 求二阶线性常系数非齐次微分方程通解的一种新方法[期刊论文]-北京联合大学学报（自
钱吉林《数学分析题解精粹》错误更正完整版
P14.28. C k(x i)= a k()把i去掉h(x)=……=(a k+a1+k )x+(akx1+k+a1+kxk)把()x后面的+改为-30.证加一句“不妨设x1>0”infE=min{ x1, x2,…, x100}把x100改为xNxp = min{ x1, x2,…, x100}同上改法.P2137(2)1311sin )(13lim---+→xx x x f 把3下的“-1”去掉.P 3057证 (2)令M= ()34322改为()3432aP3160故{ x n }当x ≣6时为单调减小,改为“当n ≣5时” P3261[]改为().P 4595“=21+2[1-121-⎪⎭⎫ ⎝⎛n ]-212nn -”改为“x n =1+2[1-121-⎪⎭⎫⎝⎛n ]-212nn -”在题中令a=6即为100题P48102“用数学归纳法可证：……5a 3=3a 4+1”中的a 3改为a 5怎么想到的“用数学归纳法可证：2≢na n ≢2+n30(n ≣5)”？ 另外思路(注意不是解题过程！)： 设b n =na n (求什么设什么，很正常的想法) 由已知得b 1+n =b n (21+n1)+1 (*) (*)中若lim ∞→n b n 存在(让证明的肯定成立)，则对(*)两边取n →∞，得lim ∞→n b n =2现在的问题是b n 是递增还是递减的呢？没办法，只能硬算了。
由(*)及b 1=a 1=2算出b 2=4，b 34=5，b 4=631，b 54=839(考试时能算到b 5的人应该是相当沉着了) 由此猜测当n ≣4时，{ b n }单调递减。
由b n (21+n 1)+1=b 1+n <b n 得b n >2+24-n (n ≣4) 下面按正常书写过程证：设b n =na n ，则由已知得b 1+n =b n (21+n1)+1 下面证明当n ≣4时，b n >2+24-n 。
龙驭球《结构力学Ⅰ》(第4版)考研复习笔记及考研真题精选(答案详解)
（2）结构力学的主要研究内容（见表1-1-3）表1-1-3结构力学的主要研究内容3能力培养（见表1-1-4）表1-1-4结构力学教学中的能力培养二、结构的计算简图和简化要点计算中忽略不重要的细节、保留基本特点、需要寻求一个简化的图形来代替实际结构，这个图就称为结构的计算简图。
它的确定原则及简化要点见表1-1-5。
表1-1-5结构的计算简图和简化要点三、杆件、杆件结构、荷载的分类（见表1-1-6）表1-1-6杆件、杆件结构、荷载的分类名校考研真题说明：本部分从指定龙驭球主编的《结构力学》（第3版）为考研参考书目的名校历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对其进行了详细的解答。
所选考研真题既注重对基础知识的掌握，让学员具有扎实的专业基础；又对一些重难点部分（包括教材中未涉及到的知识点）进行详细阐释，以使学员不遗漏任何一个重要知识点。
如需更多专业课资料，可转识库学习网进行查看。
一、判断题1．当不考虑杆件轴向变形时，图11-1（a）所示单跨超静定梁与图11-1（b）所示单跨超静定梁完全等效。
（）[湖南大学2006年研]图11-1【答案】对查看答案二、选择题1．以下叙述正确的是（）。
[国防科技大学2004年研]A．静定结构在支座位移作用下，既产生位移又产生内力B．超静定结构只有在荷载作用下才产生内力C．静定结构的全部内力和范例可以由平衡条件位移确定D．一平衡力系作用于静定结构的某一部分时，仅该部分有内力，结构的其余部分内力为零【答案】C查看答案三、计算题1．绘制图11-2（a）所示结构弯矩图形状；已知图11-2（b）结构弯矩图，绘制其荷载图；不经过计算，绘制图11-2（c）所示结构弯矩图。
[武汉科技大学2009研]（a）（b）（c）图11-2解：（1）图11-2（a）为对称结构，由对称结构的性质绘制弯矩图，如下图题11-3（a）所示。
（2）图11-2（b），自右向左进行分析。
悬臂端有弯矩，则端部有一集中力偶．横杆弯矩图有尖端，则在尖端位置有一集中力作用，竖杆弯矩斜率保持不变，则刚结点有水平荷载作用，绘制荷载图，如下图题11-3（b）所示。
解析几何全册课件(吕林根版)精选全文完整版
（1）交换律：
（2）结合律：
（3）
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O
A1
A2
A3
A4
An-1
An
这种求和的方法叫做多边形法则
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向量减法
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A
B
C
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例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.
证
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解
设
为直线上的点，
6、线段的定比分点坐标
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由题意知：
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定理1.5.4 已知两个非零向量
7、其它相关定理
则
共线的充要条件是
定理1.5.6 已知三个非零向量
，则
共面的充要条件是
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空间一点在轴上的投影(Projection)
§1.6 向量在轴上的射影
解
根据题意有
所求方程为
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根据题意有
化简得所求方程
解
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例4 方程 的图形是怎样的？
根据题意有
图形上不封顶，下封底．
解
以上方法称为截痕法.
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以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：
线为
的连
的中点
对边
一组
设四面体
证
e
e
e
AP
e
AD
e
AC
e
园林树木学复习思考题及参考答案.doc
园林树木学复习思考题及参考答案一、名词解释：1. 园林树木学——以园林建设为宗旨，对园林树木的分类、习性、繁殖、栽培管理和应用等方面进行系统研究的学科称园林树木学。
2. 生长——植物在同化外界物质的过程中，通过细胞的分裂和扩大导致体积和重量不可逆的增加称生长。
3. 物候期——生物在进化过程中，生物的生命活动随气候变化而在形态和生理机能有与之相应的规律变化，称物候期。
4. 开花期——指观测株上5%的花瓣完全展开至残留约5%的花这一时期。
5. 芽的潜伏力——当枝条受到某种刺激或冠外围枝处于衰弱时，能由潜伏芽发生新梢的能力称芽的潜伏力。
6. 叶幕——指叶在树冠内集中分布区而言，它是树冠叶面积总量的反映。
7. 温周期——植物对昼夜温度变化的适应性称温周期。
8. 湿生植物——在潮湿环境中才能正常生长发育的植物类型。
9. 中性植物——在PH值在6.5～7.5之间的土壤中生长最佳的植物称中性植物。
10. 色相——各种群体所具有的色彩形象称色相。
11. 种——是自然界中客观存在的一种类群。
这种类群的所有个体都有着极其近似的形态特征和生理、生态特性，个体间可以自然交配产生正常后代而使种族延续，它们在自然界中又占有一定的分布区域。
12. 干性——树木中心干的强弱和维持时间的长短称干性。
13. 层性——由于顶端优势和芽的异质性，使主枝在中心干上的分布或二级枝在主枝上的分布形成明显的层次称之为“层性”。
14. 生存条件的不可代替性——生态因子虽互有影响、紧密联系，但生存条件是不可代替的，缺一不可用另一来代替。
15. 生长期积温——植物在生长期中高于某温度数值以上的昼夜平均温度的总和称该植物的生长期积温。
16. 自然群体——生长在一定地区内，并适应于该区域环境综合因子的许多互有影响的植物个体所组成。
它有一定的组成结构和外貌，依历史的发展而演变。
17. 群系组——根据建群种亲缘关系近似（同属或相近属）生活型（3级或4级）近似或生境相近而分为群系组，但划入同一群系组的各群系，其生态特点一定是相近的。
解码专训
解码专训一：根与系数的关系的四种应用类型名师点金：利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方程两根的特征．在实数范围内运用一元二次方程的根与系数的关系时，必须注意Δ≥0这个前提，而应用判别式Δ的前提是二次项系数不为0.因此，解题时要注意分析题目中有没有隐含条件Δ≥0和a ≠0.利用根与系数的关系求代数式的值1．设方程4x 2－7x －3＝0的两根为x 1，x 2，不解方程求下列各式的值．(1)(x 1－3)(x 2－3)；(2)x 2x 1＋1＋x 1x 2＋1；(3)x 1－x 2.利用根与系数的关系构造一元二次方程2．构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x 2＋2x －3＝0各根的负倒数．利用根与系数的关系求字母的值或取值范围3．已知关于x 的一元二次方程2x 2－mx －2m ＋1＝0的两根的平方和是294，求m 的值．巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性4．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解码专训二：一元二次方程中的常见热门考点名师点金：一元二次方程题的类型非常丰富，常见的有一元二次方程的根、一元二次方程的解法、一元二次方程根的情况、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的应用等，只要我们掌握了不同类型题的解法特点，就可以使问题变得简单，明了．一元二次方程的根1．(2015·兰州)若一元二次方程ax 2－bx －2 015＝0有一根为x ＝－1，则a ＋b ＝________．2．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1，且a ＝4－c ＋c －4－2，求（a ＋b ）2 0162 015c 的值．一元二次方程的解法3．用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后所得的方程为( )A ．(x ＋1)2＝0B ．(x －1)2＝0C ．(x ＋1)2＝2D ．(x －1)2＝24．一元二次方程x2－2x－3＝0的解是()A．x1＝－1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3C．x1＝－1，x2＝－3 D．x1＝1，x2＝35．选择适当的方法解下列方程：(1)(x－1)2＋2x(x－1)＝0；(2)x2－6x－6＝0；(3)6 000(1－x)2＝4 860；(4)(10＋x)(50－x)＝800；(5)(中考·山西)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.一元二次方程根的判别式6．(2015·河北)若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是()A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥17．在等腰三角形ABC中，三边长分别为a，b，c.其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋(6－b)＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．8．(2015·南充)已知关于x的一元二次方程(x－1)(x－4)＝p2，p为实数．(1)求证：方程有两个不相等的实数根．(2)p为何值时，方程有整数解．(直接写出三个，不需说明理由)．一元二次方程根与系数的关系9．已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，则m 的值是( )A ．3B ．1C ．3或－1D ．－3或110．关于x 的方程ax 2－(3a ＋1)x ＋2(a ＋1)＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且有x 1＋x 2－x 1x 2＝1－a ，求a 的值．11．设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋a 2＋4a －2＝0的两个实数根，当a 为何值时，x 12＋x 22有最小值？最小值是多少？一元二次方程的应用12．(2015·乌鲁木齐)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？13．小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2，小林该怎么剪？(求出剪成的两段铁丝的长度)(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2.”他的说法对吗？请说明理由．新定义问题14．(中考·厦门)若x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，且|x 1|＋|x 2|＝2|k|(k 是整数)，则称方程x 2＋bx ＋c ＝0为“偶系二次方程”．如方程x 2－6x －27＝0，x 2－2x －8＝0，x 2＋3x －274＝0，x 2＋6x －27＝0，x 2＋4x ＋4＝0都是“偶系二次方程”．判断方程x 2＋x －12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由．答案解码专训一1．解：根据一元二次方程根与系数的关系，有x 1＋x 2＝74，x 1x 2＝－34.(1)(x 1－3)(x 2－3)＝x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9＝－34－3×74＋9＝3.(2)x 2x 1＋1＋x 1x 2＋1＝x 2（x 2＋1）＋x 1（x 1＋1）（x 2＋1）（x 1＋1）＝ x 12＋x 22＋x 1＋x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2＋（x 1＋x 2）x 1x 2＋（x 1＋x 2）＋1＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫742－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋74－34＋74＋1＝10132. (3)∵(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫742－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝9716， ∴x 1－x 2＝±9716＝±1497.2．解：设方程5x 2＋2x －3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－25，x 1x 2＝－35.设所求方程为y 2＋py ＋q ＝0，其两根为y 1，y 2，令y 1＝－1x 1，y 2＝－1x 2. ∴p ＝－(y 1＋y 2)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1－1x 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝23，q ＝y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＝1x 1x 2＝－53. ∴所求的方程为y 2＋23y －53＝0，即3y 2＋2y －5＝0.3．解：设方程两根为x 1，x 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m 2，x 1x 2＝－2m ＋12.∵x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝294， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22－2×－2m ＋12＝294， ∴m 2＋8m －33＝0.解得m 1＝－11，m 2＝3.当m ＝－11时，方程为2x 2＋11x ＋23＝0，Δ＝112－4×2×23<0，方程无实数根，∴m ＝－11不合题意，舍去；当m ＝3时，方程为2x 2－3x －5＝0，Δ＝(－3)2－4×2×(－5)>0，方程有两个不相等的实数根，符合题意．∴m 的值为3.4．解：不存在．理由如下：∵一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0有两个实数根，∴k ≠0，且Δ＝(－4k)2－4×4k(k ＋1)＝－16k ≥0，∴k ＜0.∵x 1，x 2是方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k .∴(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝2(x 1＋x 2)2－9x 1x 2＝－k ＋94k . 又∵(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32，∴－k ＋94k ＝－32，∴k ＝95.又∵k<0，∴不存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32成立．方法总结：对于存在性问题，先根据方程根的情况，利用根的判别式确定出未知字母的取值范围，再利用根与系数的关系求出已知式子中字母的值，验证字母的值是否在其取值范围内．解码专训二1．2 015 点拨：把x ＝－1代入方程中得到a ＋b －2 015＝0，即a ＋b ＝2 015.2．解：∵a ＝4－c ＋c －4－2，∴c －4≥0且4－c ≥0，即c ＝4，则a ＝－2.又∵－1是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，∴a －b ＋c ＝0，∴b ＝a ＋c ＝－2＋4＝2.∴原式＝（－2＋2）2 0162 015×4＝0. 3．D 4.A5．解：(1)(x －1)2＋2x(x －1)＝0，(x －1)(x －1＋2x) ＝0，(x －1)(3x －1) ＝0，∴x 1＝1，x 2＝13.(2)x 2－6x －6＝0，∵a ＝1，b ＝－6，c ＝－6，∴b 2－4ac ＝(－6)2－4×1×(－6)＝60.∴x ＝6±602＝3±15，∴x 1＝3＋15，x 2＝3－15.(3)6 000(1－x)2＝4 860，(1－x)2＝ 0.81，1－x ＝ ±0.9，∴x 1＝1.9，x 2＝0.1.(4)(10＋x)(50－x)＝800，x 2－40x ＋300＝ 0，∴x 1＝10，x 2＝30.(5)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7，4x 2－4x ＋1 ＝3x 2＋2x －7，x 2－6x ＋8 ＝0，∴x 1＝2，x 2＝4.6．B7．解：∵关于x 的方程x 2＋(b ＋2)x ＋(6－b)＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(b ＋2)2－4(6－b)＝0，∴b 1＝2，b 2＝－10(舍去)．当a 为腰时，△ABC 的周长为5＋5＋2＝12.当b 为腰时，2＋2＜5，不能构成三角形．∴△ABC 的周长为12.8．(1)证明：原方程可化为x 2－5x ＋4－p 2＝0.Δ＝(－5)2－4(4－p 2)＝9＋4p 2.∵p 为实数，则p 2≥0，∴9＋4p 2＞0.即Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)解：当p 为0，2，－2时，方程有整数解．(答案不唯一)点拨：(1)先将一元二次方程化为一般形式，由题意得，一元二次方程根的判别式b 2－4ac ＝(－5)2－4×1×(4－p 2)＝9＋4p 2，易得，9＋4p 2＞0，从而得证．(2)一元二次方程的解为x ＝5±9＋4p 22，若方程有整数解，则9＋4p 2必须是完全平方数，故当p ＝0、2、－2时，9＋4p 2分别对应9、25、25，此时方程的解分别为整数．9．A10．解：由题意，得x 1＋x 2＝3a ＋1a ，x 1x 2＝2（a ＋1）a ，∴3a ＋1a －2（a ＋1）a＝1－a ，∴a 2－1＝0，即a ＝±1.又∵方程有两个不相等的实数根，∴a ≠0，且Δ＝[－(3a ＋1)]2－4a·2(a ＋1)＞0，即a ≠0，且(a －1)2＞0，∴a ≠0，且a ≠1，∴a ＝－1.11．解：∵方程有两个实数根，∴Δ＝(2a)2－4(a 2＋4a －2)≥0，∴a ≤12.又∵x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝a 2＋4a －2，∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝2(a －2)2－4.∵a ≤12，∴当a ＝12时，x 12＋x 22的值最小．此时x 12＋x 22＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－22－4＝12，即最小值为12.点拨：本题中考虑Δ≥0从而确定a 的取值范围这一过程易被忽略．12．解：设每件商品降价x 元，则售价为每件(60－x)元，每星期的销量为(300＋20x)件．根据题意，得(60－x －40)(300＋20x)＝6 080.解得x 1＝1，x 2＝4.又要顾客得实惠，故取x ＝4，即销售单价为56元．答：应将销售单价定为56元．13．解：(1)设剪成的较短的一段长为x cm ，则较长的一段长为(40－x) cm ，由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫40－x 42＝58，解得x 1＝12，x 2＝28.当x ＝12时，较长的一段长为40－12＝28(cm )，当x ＝28时，较长的一段长为40－28＝12(cm )＜28cm (舍去)．∴较短的一段长为12 cm ，较长的一段长为28 cm .(2)小峰的说法正确．理由如下：设剪成的较短的一段长为m cm ，则较长的一段长就为(40－m) cm ，由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫m 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫40－m 42＝48，变形为m 2－40m ＋416＝0.∵Δ＝(－40)2－4×416＝－64＜0，∴原方程无实数解，∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.14．解：不是．理由如下：解方程x2＋x－12＝0，得x1＝－4，x2＝3.|x1|＋|x2|＝4＋3＝2×|3.5|.∵3.5不是整数，∴方程x2＋x－12＝0不是“偶系二次方程”．。
解析几何第四版吕林根 期末复习 课后习题(重点)详解
第一章 矢量与坐标§ 数量乘矢量4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM , CN 可 以构成一个三角形. 证明： )(21AC AB AL +=Θ )(21+=)(21CB CA CN +=0)(21=+++++=++∴7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 OB OA ++OC =OL ++.[证明] LA OL OA +=Θ MB OM OB += NC ON OC +=)(OM +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++ ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量,,构成一个三角形。
8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明OA +OB ++OD ＝4OM .[证明]：因为OM ＝21(OA +), OM ＝21(OB +OD ), 所以 2＝21(OA +OB +OC +) 所以OA +OB ++OD ＝4OM .10、用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．图1-5证明 已知梯形ABCD ，两腰中点分别为M 、N ，连接AN 、BN ． →→→→→→++=+=DN AD MA AN MA MN ，→→→→→→++=+=CN BC MB BN MB MN ，∴ →→→+=BC AD MN ，即§ 矢量的线性关系与矢量的分解3.、设一直线上三点A , B , P 满足AP ＝(－1),O 是空间任意一点，求证：OP ＝λλ++1[证明]：如图1-7，因为＝－OA ,PB ＝OB －,所以 －OA ＝ (OB －),(1+)OP ＝+,从而 OP ＝λλ++1OB.4.、在ABC ∆中,设,1e =2e =.(1) 设E D 、是边BC 三等分点,将矢量,分解为21,e e 的线性组合; （2）设AT 是角A 的平分线(它与BC 交于T 点),将分解为21,e e 的线性组合 解：（1）()12123131,e e e e -==-=-=Θ， 2111231323131e e e e e BD AB AD +=-+=+=，同理123132e e AE +=（2）因为||||TC ||11e e , 且 BT 与方向相同， 所以 BT ||21e e .由上题结论有AT ||||1||212211e e e e e +||||212112e e e e e e +.5．在四面体OABC 中，设点G 是ABC ∆的重心（三中线之交点），求矢量对于矢量,,,的分解式。
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局部解剖学复习题（颈部）一、名词解释（回答时注意描述位置、组成、内容或意义）1．颈动脉鞘2．静脉角3．颈袢4．颈动脉窦5．甲状腺悬韧带6．甲状腺囊鞘间隙7．Sibson筋膜8．椎动脉三角9．斜角肌间隙10. Carotid glomus11. Virchow lymph node12. Cupula of pleura13. Prevertebral space14. Submental triangle15. Jugular venous arch二、选择题【A1型题】1．固有颈部是指A．两侧胸锁乳突肌前缘之间与脊柱颈段前方的区域B．两侧斜方肌前缘之间与脊柱颈段前方的区域C．两侧胸锁乳突肌后缘之间与脊柱颈段前方的区域D．两侧斜方肌后缘之间与脊柱颈段前方的区域E．两侧斜方肌前缘之间与脊柱颈段后方的区域2．舌骨大角A．是寻找舌动脉的标志B．是寻找甲状腺上动脉的标志C．是寻找舌下神经的标志D．是寻找舌神经的标志E．是寻找舌咽神经的标志3．下颌下三角位于A．左、右二腹肌前腹与舌骨体之间B．左、右二腹肌前腹与下颌骨下缘之间C．二腹肌前、后腹与下颌骨下缘之间D．二腹肌前、后腹与舌骨体之间E．左、右二腹肌前腹之间4．颏下三角深面的肌肉是A．茎突舌骨肌B．胸骨舌骨肌C．舌骨舌肌D．下颌舌骨肌E．肩胛舌骨肌5．支配颈阔肌的神经是A．颈横神经B．副神经C．面神经颈支D．锁骨上神经E．颈袢6．咽后间隙位于A．椎前筋膜与脊柱颈段之间B．椎前筋膜与颊咽筋膜之间C．气管前筋膜与气管颈部之间D. 气管前筋膜与椎前筋膜之间E. 以上都不是7．由椎前筋膜形成的筋膜鞘是A．下颌下腺鞘B．甲状腺鞘C．胸锁乳突肌鞘D．腋鞘E．斜方肌鞘8．不属于胸骨上间隙内的结构是A．淋巴结B．脂肪组织C．颈外静脉D．颈静脉弓E．颈前静脉下段9．下颌下腺A. 位于颈筋膜浅层所形成的筋膜鞘内B. 较大的浅部位于下颌舌骨肌深面C. 其浅部的前端发出下颌下腺管D. 腺管走行于下颌舌骨肌浅面E. 开口于上颌第2磨牙相对处的颊粘膜处10．颈动脉三角深面的筋膜是A．颈浅筋膜B．颈筋膜浅层C．气管前筋膜D．椎前筋膜E．颊咽筋膜11．颈总动脉A．在颈动脉鞘内位于颈内静脉外侧B．平甲状软骨上缘分为颈外和颈内动脉C．平舌骨大角处分为颈外和颈内动脉D．其末端和颈内动脉起始部膨大称颈动脉窦，窦壁上有化学感受器E．其分叉处的后方有颈动脉小球，是压力感受器12．自颈外动脉前壁自下而上发出的动脉是A．甲状腺上动脉，面动脉和舌动脉B．甲状腺下动脉，面动脉和舌动脉C．甲状腺上动脉，舌动脉和面动脉D. 甲状腺下动脉，舌动脉和面动脉E. 甲状腺下动脉，甲状腺上动脉，舌动脉和面动脉13．舌下神经A．自二腹肌后腹下缘穿出进入颈动脉三角B．在颈动脉三角内走行于颈内、外动脉的深面C．经二腹肌后腹前端的浅面进入下颌下三角D．其分支颈袢上根沿颈总动脉深面下降E．支配舌骨下肌群14．二腹肌后腹A．是颈动脉三角和颏下三角的分界标志B．是颈动脉三角和下颌下三角的分界标志C．其浅面有枕小神经，下颌后静脉和面神经颈支D．其上缘有耳后动脉，舌下神经和舌咽神经E．其下缘有枕动面和面神经15．甲状腺鞘A．由气管前筋膜形成B．由椎前筋膜形成C．又称甲状腺的纤维囊D．又称甲状腺真被膜E．是甲状腺自身的外膜16．甲状腺悬韧带A．由颈筋膜浅层形成B．由甲状腺假被膜形成C．由甲状腺真被膜形成D．由椎前筋膜形成E．由气管软骨膜形成17．甲状腺悬韧带将甲状腺固定于A．环状软骨B．甲状软骨C．喉及甲状软骨D．喉及气管壁上E．气管软骨18．与甲状腺上动脉伴行的神经是A．迷走神经B．喉返神经C．膈神经D．喉上神经内支E．喉上神经外支19．与甲状腺下动脉关系密切的神经是A．喉返神经B．喉上神经C．喉下神经D．迷走神经E．交感神经20．舌尖部的癌首先转移至A．颈外侧浅淋巴结B．Virchow淋巴结C．锁骨上淋巴结D．颈内静脉二腹肌淋巴结E．颈内静脉肩胛舌骨肌淋巴结21．鼻咽癌首先转移至A．颈内静脉二腹肌淋巴结B．颈外侧浅淋巴结C．Virchow淋巴结D．锁骨上淋巴结E．颈内静脉肩胛舌骨肌淋巴结22．膈神经A．由第3～5颈神经的后支纤维组成B．斜行于前斜角肌的前面，椎前筋膜的浅面C．斜行于前斜角肌的后面，椎前筋膜的深面D．斜行于前斜角肌的前面，椎前筋膜深面E．经锁骨下动、静脉前方入胸腔23．副神经A．在胸锁乳突肌后缘上、中1/3交点处进入枕三角B．在胸锁乳突肌前缘上、中1/3交点处进入枕三角C．在胸锁乳突肌后缘中、下1/3交点处进入枕三角D．在胸锁乳突肌前缘中、下1/3交点处进入枕三角E．在胸锁乳突肌后缘中点处进入枕三角24．椎动脉三角A．由中斜角肌、颈长肌和锁骨下动脉第一段围成B．由前斜角肌、颈长肌和锁骨下动脉第一段围成C．由中斜角肌、颈长肌和锁骨下动脉第二段围成D．由前斜角肌、颈长肌和锁骨下动脉第二段围成E．由前斜角肌、颈长肌和锁骨下动脉第三段围成25．胸导管A．入颈根部后沿食管前面上行B．入颈根部后沿食管左缘上行C．在第5颈椎高度向左呈弓状跨过胸膜顶D．走行在颈动脉鞘前方E．经椎血管和交感干后方【A2型题】26．下列结构中不在胸骨上间隙内的是A. 颈前静脉下段B. 颈静脉弓C. 胸锁乳突肌锁骨头D. 淋巴结E. 脂肪组织27．关于椎前筋膜的描述,错误的是A. 位于椎前肌和斜角肌前面B. 颈交感干、膈神经、臂丛和锁骨下动脉位于其浅面C. 上起自颅底，下续前纵韧带和胸内筋膜D. 向后附着于项韧带E. 包绕腋血管和臂丛形成腋鞘28．下列结构中未穿经二腹肌后腹深面的结构是A. 舌咽神经B. 迷走神经C. 舌下神经D. 副神经E. 颈交感干29．下列结构中不与颈动脉鞘内侧毗邻的结构是A．甲状腺侧叶B．喉与气管C．咽与食管D．喉返神经E．颈交感干30．关于臂丛的描述，错误的是A．由第5～8颈神经前支组成B．经斜角肌间隙、锁骨下动脉后上方入锁骨上三角C．第5、6颈神经前支合成上干D．第7颈神经前支延续为中干E．锁骨上部的分支有肩胛上神经，肩胛背神经和胸长神经31．不属于颈动脉鞘内的结构是A. 颈总动脉B. 颈外动脉C. 颈内动脉D. 颈内静脉E. 迷走神经32．关于喉返神经的描述，错误的是A. 右喉返神经从下、后方勾绕右锁骨下动脉B. 左喉返神经从下、后方勾绕主动脉弓C. 二者均沿气管与食管之间的沟内上行D. 一般走行于甲状腺的囊鞘间隙内E. 感觉支分布于声门裂以下的喉粘膜33．关于甲状腺下动脉的描述，错误的是A. 是甲状颈干的分支B. 沿前斜角肌内侧缘上行C. 至环状软骨平面弯向下内D. 经颈动脉鞘前方至甲状腺侧叶下极E. 在甲状腺侧叶下极后方与喉返神经交叉34．关于颈袢的描述，错误的是A. 由颈袢上根和下根在肩胛舌骨肌中间腱上缘汇合而成B. 颈袢上根随舌下神经走行C. 由舌下神经和第1～3颈神经前支的纤维组成D. 颈袢下根的纤维由第2、3颈神经前支的纤维组成E. 发支支配肩胛舌骨肌上腹、胸骨舌骨肌、胸骨甲状肌和肩胛舌骨肌下腹35．关于椎动脉的描述，错误的是A. 起自锁骨下动脉的第一段B. 走行于前斜角肌的前面C. 穿经上6个颈椎横突孔D. 经枕骨大孔入颅E. 分布于脑和内耳三、填空题1．固有颈部可依据胸锁乳突肌前、后缘分为、和。
2．颈外侧区位于、和之间。
3．颈筋膜位于和深面，分为、、三层。
4．气管前间隙位于和之间；椎前间隙位于和之间。
5．下颌下三角位于和之间，又名。
6．颈外动脉自前壁由下而上依次发出、和动脉。
7．甲状腺前面由浅入深依次为、、、和。
8．甲状腺向后外方可压迫，引起综合证。
9．甲状腺悬韧带由增厚而成，将甲状腺固定于和。
10．喉上神经是的分支，在处分为内、外两支。
11．颈丛由组成，位于深面。
12．胸导管颈部经入颈根部，其前方有，后为、和，注入。
13．膈神经由组成，斜行于前斜角肌的，椎前筋膜的，经与之间入胸腔。
14．椎动脉三角位于、和之间。
15．椎动脉三角内的主要结构有、、。
16．锁骨下动脉第一段主要分支有、、和。
17．锁骨上三角内的主要结构有、、和。
18．枕三角位于、和之间。
19．颈动脉鞘内的结构有、、和。
20．颈外静脉由和合成，沿表面下行。
四、问答题1．试述颈部筋膜的层次、包裹的结构及主要的筋膜间隙位置。
2．试述颈动脉三角的境界，以及由浅入深的层次结构。
3．试述颈动脉鞘的位置，内容及毗邻关系。
4．试述二腹肌后腹的毗邻关系。
5. 简述甲状腺的形态、被膜、位置、毗邻、动脉与喉的神经的位置关系及其临床意义。
6. 试述甲状腺手术有浅入深经过哪些层次？7. 试述前斜角肌的毗邻关系。
8. 试述椎动脉三角的境界及内容。
9. 试述气管切开在何处进行？由浅入深经过哪些层次。
10．试述颈外侧深淋巴结的分群、位置及注流关系。
11. 简述胸膜顶的位置及其主要毗邻关系。
局部解剖学复习题（胸部）一、名词解释：1.胸骨角2.剑肋角3.锁胸筋膜4.乳房悬韧带5.动脉导管三角6.腰肋三角7.肺韧带8.食管系膜9.中纵隔10.肺根11.肋膈隐窝12.肺门13.肺根14.肺段（支气管肺段）15.肺韧带16.心包斜窦17.心包三角18.心包横窦19.心包斜窦20.心包前下窦21.食管上三角22.食管下三角23.动脉韧带24.食管后隐窝25.胸腺三角26.心包裸区二、选择题1. 胸骨角A. 是两侧肋弓间夹角B. 剑突与肋弓间夹角C. 后方正对第4 胸椎上缘D. 两侧平对第2 肋软骨E. 位于胸骨体与剑突间2. 最大的肋间隙是A. 第一肋间隙B. 第十肋间隙C. 第六肋间隙D. 第二肋间隙E. 第十一肋间隙3. 不属于胸膜的危险区者A. 锁骨上方和十二肋下B. 右剑肋角C. 前纵隔2-4肋间D. 后纵隔食管后隐窝E. 左剑肋角4. 乳房A. 位于胸部深筋膜内B. 无小叶间隔C. 位于胸壁浅筋膜内D. 乳房后间隙位于胸大肌筋膜深面E. 淋巴全部回流腋区淋巴结5. 女性乳房的淋巴主要注入A. 胸骨旁淋巴结B. 肋间淋巴结C. 腋区淋巴结D. 膈下淋巴结E. 以上都不是6. 不属于肋间隙内的结构A. 肋间外肌B. 肋间血管C. 肋间神经D. 肋间最内肌E. 胸廓内动脉主干7. 不属于膈的通道A. 主动脉裂孔B. 食管裂孔C. 腔静脉裂孔D. 膈下间隙E. 胸肋三角8. 右肺根各结构间关系(自上而下为)A. 肺动脉、支气管、肺静脉B. 支气管、肺静脉、肺动脉C. 肺动脉、肺静脉支气管D. 支气管、肺动脉、肺静脉E. 支气管、肺静脉、肺动脉9. 肺根各结构间位置关系（由前向后为）A. 肺静脉、支气管、肺动脉B. 肺静脉、肺动脉、支气管C. 肺动脉、支气管、肺静脉D. 肺动脉、肺静脉、支气管E. 支气管、肺静脉、肺动脉10. 胸导管后纵隔段A. 前方为食管B. 后方为气管C. 左侧为奇静脉D. 右侧为主动脉E. 以上都不是11. 左侧喉返神经A. 绕过锁骨下动脉返回B. 与甲状腺下动脉伴行C. 手术时较右侧易受损伤D. 行于气管食管沟内E. 以上都不是12. 心腔处于最后方的是A. 左心房D. 右心室E. 右心耳13. 胸导管胸段位于A. 脊柱的左前方B. 脊柱的右前方C. 在下纵隔位于脊柱的右前方，在上纵隔位于脊柱的左前方D. 食管与主动脉间E. 以上都不是14. 肺静脉A. 在肺根的最上方B. 在肺根的最后方C. 在支气管与肺动脉间D. 在肺根的最前和最下方５以上都不是15. 食管系膜A. 位于食管与气管间B. 位于食管与奇静脉间C. 位于食管与胸主动脉间D. 位于食管与心包间E. 以上都不是16. 奇静脉A. 于肺根下方注入上腔静脉B. 与腰升静脉间无吻合C. 收集全部肋间静脉血液D. 经肺根后上方注入上腔静脉E. 始终行于胸导管的左侧三、填空题：1. 女性乳房淋巴丰富，分为浅深两组，浅组位于---------和--------，深组位于-----------周围和------------内，------------是乳房淋巴回流的主要途径。