计算机控制系统的状态空间设计(精)
控制系统的状态空间表达式
第一章 控制系统的状态空间表达式Chapter 1 State space representation of control systems本章内容• 状态变量及状态空间表达式 • 状态空间表达式的模拟结构图 • 状态空间表达式的建立(1) • 状态空间表达式的建立(2) • 状态矢量的线性变换 • 由传递函数求状态方程• 由状态空间表达式求传递函数阵 • 离散系统的状态空间表达式• 时变系统和非线性系统的状态空间表达式系统的动态特性由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，能同时给出系统全部独立变量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运动状态。
1.1 状态变量及状态空间表达式1.1 State space representation of control systems 状态变量 (State variables)状态：表征系统运动的信息和行为状态变量：能完全表示系统运动状态的最小个数的一组变量x 1(t ), x 2(t ), …, x n (t ) 状态向量(State vectors)由状态变量构成的向量 x (t )T 123()(),(),()...()n x t x t x t x t x t =⎡⎤⎣⎦状态空间 (State space) • 以各状态变量x 1(t ),x 2(t ),…… x n (t )为坐标轴组的几维空间。
•状态轨迹：在特定时刻t ，状态向量可用状态空间的一个点来表示，随着时间的推移，x (t )将在状态空间描绘出一条轨迹线。
状态方程 (State equations)• 由系统的状态变量与输入变量之间的关系构成的一阶微分方程组。
例1.1 设有一质量弹簧阻尼系统。
试确定其状态变量和状态方程。
解：系统动态方程2()().()().()()()d yF t ky t f yt m dt my t f yt ky t F t ⎧--=⎪⎨⎪++=⎩ 设1()()y t x t =，2()()yt x t = 12()()............................................(1)1()()()()........(2)x t y t f k x t y t y t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩12212()()1()()()()xt x t k f x t x t x t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩1122010()()()1()()xt x t F t f k x t x t m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ＝ 状态方程的标准形式：()()()xt Ax t Bu t =+ （A ：系统矩阵 B ：输入矩阵） 输出方程 (O u t p u t e q u a t i o n )系统的输出量与状态变量之间的关系[]112()()()10 ()x t y t x t x t ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦()()y t Cx t =(C:输出矩阵）状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式。
自动控制原理状态空间法
目录
• 引言 • 状态空间法基础 • 线性系统的状态空间表示 • 状态反馈与极点配置 • 最优控制理论 • 离散系Biblioteka 的状态空间表示01引言
状态空间法的定义
状态空间法是一种基于状态变量描述线性时不变系统的方法，通过建立系 统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为。
状态变量是能够完全描述系统内部状态的变量，可以是系统的物理量或抽 象的数学变量。
最优控制问题
在满足一定约束条件下，寻找一个控制输入， 使得被控系统的某个性能指标达到最优。
性能指标
通常为系统状态或输出函数的积分，如时间加 权或能量加权等。
约束条件
包括系统动态方程、初始状态、控制输入和终端状态等。
线性二次调节器问题
线性二次调节器问题是最优控制问题的一个特例， 其性能指标为系统状态向量的二次范数。
THANKS
状态方程描述了系统内部状态变量之间的动态关系，而输出方程则描述了 系统输出与状态变量之间的关系。
状态空间法的重要性
1
状态空间法提供了系统分析和设计的统一框架， 可以用于线性时不变系统的各种分析和设计问题。
2
通过状态空间法，可以方便地实现系统的状态反 馈控制、最优控制、鲁棒控制等控制策略。
3
状态空间法具有直观性和易于实现的特点，能够 直接反映系统的动态行为，便于理解和分析。
02
状态空间法基础
状态与状态变量
状态
系统在某一时刻的状态是由系统 的所有内部变量共同决定的。
状态变量
描述系统状态的变量，通常选择 系统的输入、输出和内部变量作 为状态变量。
状态方程的建立
根据系统的物理或数学模型，通过适 当的方法建立状态方程。
计算机控制系统复习资料(精简版 列出重点知识点)
第一章概论，讲述计算机控制系统的发展过程；计算机控制系统在日常生活和科学研究中的意义；计算机控制系统的组成及工作原理；计算机控制的特点、优点和问题；与模拟控制系统的不同之处；计算机控制系统的设计与实现问题以及计算机控制系统的性能指标。
1.计算机控制系统与连续模拟系统类似，主要的差别是用计算机系统取代了模拟控制器。
2.计算机系统主要包括：．A／D转换器，将连续模拟信号转换为断续的数字二进制信号，送入计算机；．D／A转换器，将计算机产生的数字指令信号转换为连续模拟信号(直流电压)并送给直流电机的放大部件；．数字计算机(包括硬件及相应软件)，实现信号的转换处理以及工作状态的逻辑管理，按给定的算法程序产生相应的控制指令。
3.计算机控制系统的控制过程可以归结为：．实时数据采集，即A/D变换器对反馈信号及指令信号的瞬时值进行检测和输入；．实时决策，即计算机按给定算法，依采集的信息进行控制行为的决策，生成控制指令；．实时控制，即D/A变换器根据决策结果，适时地向被控对象输出控制信号。
4.计算机控制系统就是利用计算机来实现生产过程自动控制的系统。
5.自动控制，是在没有人直接参与的情况下，通过控制器使生产过程自动地按照预定的规律运行。
6.计算机控制系统的特性系统规模有大有小系统类型多种多样系统造价有高有低计算机控制系统不断推陈出新7.按功能分类1)数据处理系统2)直接数字控制（DDC）3)监督控制（SCC）4)分散型控制5)现场总线控制系统按控制规律分类1)程序和顺序控制2)比例积分微分控制（PID）3)有限拍控制4)复杂控制5)智能控制按控制方式分类1)开环控制2)闭环控制9.计算机控制系统的结构和组成控制算法软件网络硬件11.硬件平台运算处理与存储部分：CPU，存储器（RAM，ROM，EPROM，FLASH-ROM，EEPROM以及磁盘等），时钟，中断，译码，总线驱动等。
输入输出接口部分：各种信号（模拟量，开关量，脉冲量等）的锁存、转换、滤波，调理和接线，以及串行通讯等。
状态空间分析法的特点及其应用
状态空间分析法的主要特点及其应用1.引言60年代以前，研究自动控制系统的传统方法 主要使用传递函数作为系统的数学描述，研究对象是 SISO 系统，这样建立起来的理论就是现在所说的“古典控制理论”。
随着宇航和生产技术的发展及电子计算机的出现，控制系统日渐复杂（MIMO ，时变，不确定，耦合，大规模），传统的研究方法难以适应新的形势。
在 50s'后期，Bellman 等人提议使用状态变量法，即状态空间法来描述系统，时至今日，这种方法已成为现代控制理论的基本模型和数学工具。
所谓状态空间是指以状态变量n 21X X X ，为轴所构成的n 维向量空间。
这样，系统的任意状态都可以用状态空间中的一个点表示。
利用状态空间的观点分析系统的方法称为状态空间法，状态空间法的实质不过是将系统的运动方程写成一阶微分方程组，这在力学和电工上早已使用，并非什么新方法，但用来研究控制系统时具有如下优点。
1、适用面广：适用于 MIMO 、时变、非线性、随机、采样等各种各样的系统，而经典法主要适用于线性定常的 SISO 系统。
2、 简化描述，便于计算机处理：可将一阶微分方程组写成向量矩阵方程， 因而简化数学符号，方便推导，并很适合于计算机的处理，而古典法是拉氏变换法，用计算机不太好处理。
3、内部描述：不仅清楚表明 I-O 关系，还精确揭示了系统内部有关变量及初始条件同输出的关系。
4、有助于采用现代化的控制方法 ：如自适应控制、最优控制等。
上述优点便使现代控制理论获得了广泛应用，尤其在空间技术方面还有极大成功。
状态空间法的缺点:1、不直观，几何、物理意义不明显：不象经典法那样， 能用 Bode 图及根轨迹进行直观的描述。
对于简单问题，显得有点烦琐。
2、对数学模型要求很高：而实际中往往难以获得高精度的模型，这妨碍了它的推广和应用。
2.状态空间分析法在部分系统中的应用2.1状态空间分析法在PWM 系统中的应用状态空间分析法不仅适用于时变系统（例如PWM 系统），而且可以将其简化，同时便于计算机处理。
计算机控制系统设计的基本内容
计算机控制系统设计的基本内容计算机控制系统设计的基本内容是指在控制工程领域中，针对特定的系统设计出相应的控制系统，以实现对系统的监控和控制。
在这个过程中，设计人员需要考虑多方面的因素，包括系统的稳定性、性能、鲁棒性等。
控制系统设计的基本内容之一是系统建模。
在设计控制系统之前，首先需要对被控对象进行建模，即将实际系统抽象成数学模型，以便进行分析和设计。
建模的过程可以采用不同的方法，如传递函数法、状态空间法等。
通过建模可以更好地理解系统的特性，为后续的控制器设计奠定基础。
控制器设计是控制系统设计的核心内容之一。
根据系统的特性和要求，设计合适的控制器来实现对系统的控制。
常见的控制器包括比例积分微分（PID）控制器、模糊控制器、神经网络控制器等。
不同类型的控制器适用于不同的系统，设计人员需要根据实际情况选择合适的控制器。
信号采集和处理也是控制系统设计的重要内容之一。
通过传感器采集系统的状态信息，然后经过信号处理模块对信号进行处理，提取有效信息并传递给控制器。
信号采集和处理的准确性和及时性对系统的控制效果起着至关重要的作用。
控制系统设计还需要考虑系统的稳定性和性能。
稳定性是指系统在受到干扰或参数变化时能够保持稳定的能力，设计人员需要通过合理的控制策略来保证系统的稳定性。
性能则是指系统在实际操作中能够达到的指标，如响应速度、抗干扰能力等。
设计人员需要根据实际需求来平衡系统的稳定性和性能。
控制系统设计还需要考虑系统的实时性和可靠性。
实时性是指系统对输入信号能够做出及时响应的能力，设计人员需要考虑信号处理和控制算法的复杂度，以确保系统能够在规定的时间内完成控制任务。
可靠性则是指系统在长时间运行中能够保持正常工作的能力，设计人员需要考虑系统的容错性和自诊断能力，以提高系统的可靠性。
计算机控制系统设计的基本内容包括系统建模、控制器设计、信号采集和处理、稳定性和性能、实时性和可靠性等方面。
设计人员需要综合考虑这些因素，以实现对系统的有效监控和控制，从而达到预期的控制效果。
《计算机控制技术》计算机控制系统的常规控制技术
在计算机进入控制领域后，用计算机实现数字PID算法代替了模拟 PID调节器。
连续生产过程中,设计数字控制器的两种方法: 1．用经典控制理论设计连续系统模拟调节器，然后用计算机进行数字 模拟，这种方法称为模拟化设计方法。 2．应用采样控制理论直接设计数字控制器，这是一种直接设计方法 （或称离散化设计）
(z)
R(s) +
R(z)
T
e(s) E(z)
_
T
D(z)
U(z)
T
G h0 (s)
图12 典型计算机控制系统结构框图
G(z) G0 (s)
G(s)
Y (z) T
Y (s)
其中： G(z)＝Z Gho (s)G0 (s)
1 e Ts
Gh0 ( s )
s
广义对象脉冲传递函数
系统的闭环脉冲传递函数 系统的误差脉冲传递函数
① 断开数字PID控制器，使系统在手动 1
状态下工作，给被控对象一个阶跃输入
信号；
0
y(t )
y()
② 用仪表记录下在阶跃输入信号下的对 象阶跃响应曲线；
p•
0 a
Tm
t b
c
t
图11 对象阶跃响应曲线
③ 在响应曲线上的拐点处作切线，得到对象等效的纯滞后时间和 对象等效的时间常数 ；
④ 选择控制度；
不完全微分PID控制器结构
e(t )
PID 调节器
u(t )
Df (s)
u(t )
不完全微分的PID算法的基本思想是：在PID控制中的微分环节串联上一
现代控制理论基础_周军_第二章状态空间分析法
2.1 状态空间描述的基本概念系统一般可用常微分方程在时域内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程，这是相当困难的。
经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系统，得到联系输入－输出关系的传递函数，基于传递函数设计单输入－单输出系统极为有效，可从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。
但传递函数对系统是一种外部描述，它不能描述处于系统内部的运动变量；且忽略了初始条件。
因此传递函数不能包含系统的所有信息。
由于六十年代以来，控制工程向复杂化、高性能方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、输出量、误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而可能处理复杂的时变、非线性、多输入－多输出系统的问题，但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。
于是需要用新的对系统内部进行描述的新方法－状态空间分析法。
第一节基本概念状态变量指描述系统运动的一组独立（数目最少的）变量。
一个用阶微分方程描述含有个独立变量的系统，当求得个独立变量随时间变化的规律时，系统状态可完全确定。
若变量数目多于，必有变量不独立；若少于，又不足以描述系统状态。
因此，当系统能用最少的个变量完全确定系统状态时，则称这个变量为系统的状态变量。
选取状态变量应满足以下条件：给定时刻的初始值，以及的输入值，可唯一确定系统将来的状态。
而时刻的状态表示时刻以前的系统运动的历史总结，故状态变量是对系统过去、现在和将来行为的描述。
状态变量的选取具有非唯一性，即可用某一组、也可用另一组数目最少的变量。
状态变量不一定要象系统输出量那样，在物理上是可测量或可观察的量，但在实用上毕竟还是选择容易测量的一些量，以便满足实现状态反馈、改善系统性能的需要。
状态向量把描述系统状态的个状态变量看作向量的分量，则称为状态向量，记以,上标为矩阵转置记号。
若状态向量由个分量组成，则称维状态向量。
现代控制理论基础-第2章-控制系统的状态空间描述精选全文完整版
(2-18)
解之,得向量-矩阵形式的状态方程
(2-19)
输出方程为
(2-20)
(5) 列写状态空间表达式
将式(2-19)和式(2-20)合起来即为状态空间表达式,若令
则可得状态空间表达式的一般式,即
(2-21)
例2.2 系统如图
取状态变量:
得：
系统输出方程为：
写成矩阵形式的状态空间表达式为：
1.非线性系统
用状态空间表达式描述非线性系统的动态特性，其状态方程是一组一阶非线性微分方程，输出方程是一组非线性代数方程，即
(2-7)
2. 线性系统的状态空间描述
若向量方程中 和 的所有组成元都是变量 和 的线性函数，则称相应的系统为线性系统。而线性系统的状态空间描述可表示为如下形式： （2－8） 式中，各个系数矩阵分别为 （2－9）
4．线性定常系统的状态空间描述
式中的各个系数矩阵为常数矩阵
当系统的输出与输入无直接关系（即 ）时，称为惯性系统；相反，系统的输出与输入有直接关系（即 ）时，称为非惯性系统。大多数控制系统为惯性系统，所以，它们的动态方程为
（2－11）
1.系统的基本概念 2. 动态系统的两类数学描述 3. 状态的基本概念
2.2 状态空间模型
2.2.1状态空间的基本概念
1.系统的基本概念
■系统:是由相互制约的各个部分有机结合，且具有一定功能的整体。 ■静态系统:对于任意时刻t，系统的输出惟一地取决于同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。静态系统亦称为无记忆系统。静态系统的输入、输出关系为代数方程。 ■动态系统:对任意时刻，系统的输出不仅与t时刻的输入有关，而且与t时刻以前的累积有关(这种累积在t0(t0<t)时刻以初值体现出来)，这类系统称为动态系统。由于t0时刻的初值含有过去运动的累积，故动态系统亦称为有记忆系统。动态系统的输入、输出关系为微分方程。
状态空间分析方法基础
§9-1 控制系统的状态空间描述
别是每一个状态变量的一阶导数，右端是状态变量和输入变量 所组成的代数多项式。
2.输出方程 输出方程是在指定输出变量的情况下，该输出 变量与状态变量以及输入变量之间的函数关系。状态变化决定 输出的变化，这是一个变换过程，所以输出方程的数学形式表 征为一个变换关系的代数方程。
1.1检测的基本概念
1）传感器 传感器的作用是把被测的物理量转变为电参量，是获取
信息的手段，是自动检测系统的首要环节，在自动检测系统 中占有重要的位置。 2）信号处理电路
信号处理电路的作用把传感器输出的电参量转变成具有 一定驭动和传输功能的电压、电流和频率信号，以推动后续 的记录显示装置、数据处理装置及执行机构。 3）记录显示装置
1）静态测量和动态测量 2）直接测量与间接测量 3）模拟式测量和数字式测量 4）接触式测量和非接触式测量 5）在线测量和离线测量
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1.1检测的基本概念
2. 测量误差 在检测过程中，被测对象、检测系统、检测方法和检测
人员都会受到各种因索的影响。而且，对被测量的转换有时 也会改变被测对象原有的状态信息，这就造成了检测结果 （测量值）与真值之间存在一定的差值，这个差值就称为测 量误差。
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§9-3 线性离散系统状态空间表达式
一、线性离散系统的状态空间表达式 线性定常离散系统状态空间表达式的结构图如图9-16所
示。 二、线性定常离散系统状态方程的解
1.迭代法求解 迭代法是一种递推的数值解法，其思路是：利 用初始时刻t0=0(即k=0)时的x(0)和u(0)求x(1)；再根据求出的 x(1)和给定的u(1)求x(2)；如此逐步迭代，即可求得所需的 x(k)。此法适于在计算机上求解。
计算机控制系统---第三章
的z变换。
解：
另一种由F(s) 求取F(z) 的方法是留数计算方法。本书对此不予讨论
利用MATLAB软件中的符号语言工具箱进行F(s)部分 分式展开
已知
，通过部分分式展开法求F(z) 。
MATLAB程序：
F=sym(′(s+2)/(s*(s+1)^2*(s+3))′)； %传递函数F(s)进行符号定义
即得到
3.4.4 干扰作用时闭环系统的输出
根据线性系统叠加定理，可分别计算指令信号和干扰信号作用下的输出响应。
G(z)
Z
1
esT s
G1(s)G2 (s)
R(s)单独作用时的 系统输出[N(s)=0]
干扰单独作用时的 系统输出[R(s)=0]
共同作用时的系 统输出
图3-13 有干扰时的计算机控制系统
图3-10采样控制系统典型结构
一般系统输出z变换可按以下公式直接给出：
C(z)
前向通道所有独立环节z变换的乘积 1闭环回路中所有独立环节z变换的乘积
3.4.3 计算机控制系统的闭环脉冲传递函 数
1. 数字部分的脉冲传递函数
控制算法，通常有以下两种形式：
差分方程
脉冲传递函数D(z)
(z变换法)
连续传递函数
2. 由脉冲传递函数求差分方程
z反变换
z反变换
3.4.1 环节串联连接的等效变换
1. 采样系统中连续部分的结构形式
并不是所有结构都能写出环节的脉冲传递函数
3.4.1 环节串联连接的等效变换
2. 串联环节的脉冲传递函数
3.4.1 环节串联连接的等效变换
3. 并联环节的脉冲传递函数
根据叠加定理有：
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X ( z)
z z0
Y ( z) N ( z) , 零点： 使N(z)=0（P(z) 0）的zi , i=1...m R( z ) P( z )
( zI F ) X ( z ) GU ( z ) Y ( z ) CX ( z )
0
z z0
CX ( z )
1. 闭环系统的特征方程由[F-GK]决定，系统的阶次不改变。通过选择状态反 馈增益K，可以改变系统的稳定性。 2. 闭环系统的可控性由[F-GK]及G决定。可以证明，如开环系统可控，闭环 系统也可控，反之亦然。
Wc [F n1G, F n2G, FG, G] [(F GK )n1 G, (F GK )n2 G, (F GK )G, G]T WcT
1 Wo f11 K1 0 f12 K 2
f11 , F 0,
F12＝K2时不可观
4. 状态反馈不能改变或配置系统的零点 1）零点的定义
G( z )
在状态空间中： x(k 1) Fx(k ) Gu (k ) y (k ) Cx(k ) 使输出为0：
2 T K1 / 2 TK 2 2 1.6 在T=0.1 K=(10,3.5) 2 T K1 / 2 TK 2 1 0.7
T是一个初等变换阵，可以选择T将闭环可控阵中的K消掉
3. 闭环系统的可观性由[F-GK]及[C-DK]决定。如果开环系统是可控可 观的，加入状态反馈控制，由于K的不同选择，闭环系统可能失去可观 性。 即；开环（C,F）可观 闭环［(C-DK)，(F-GK)］可观
闭环系统可观阵：
例：
C DK 若选K使C-DK=0，则 (C DK )( F GK ) Wo W0 0 n 1 ( C DK )( F GK )
det[ zI F GK ] 0
zi i
i 1, 2,
,n
( z n ) 0
( z) ( z 1 )( z 2 )
对应系数相等，得n个代数方程
K [ K1 , K2 ,
Kn ]
可求得n个未知系数
Ki
, i 1, 2,
,n
例：
T 2 / 2 1, T x(k 1) u (k ) x(k ) 0 1 T
第6章 计算机控制系统的状态空间设计
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 离散系统的状态空间描述 离散系统的可控可观性 状态反馈控制律的极点配置设计 状态观测器设计 调节器设计（控制律与观测器的组合）
6.3.1 状态反馈控制
x(k 1) Fx(k ) Gu(k )
y(k ) 22不可控 , C (1 0) f 0 22 选： f11 K1 f12 K 2 u(k ) ( K1 , K2 ) x(k ) F GK F22仍不可控 f 22 0 开环可观阵 1 0 Wo F12＝0时不可观 f f 11 12 闭环
6.3.2 单输入系统的极点配置
• 系统可控，可任意配置n个极点（P182证明） • 由系统性能要求确定闭环系统期望极点位置，然 后依据期望极点位置确定反馈增益矩阵K。
1. 系数匹配法
x(k 1) F GK x(k ) Gr (k )
状态反馈闭环系统特征方程 闭环系统期望特征根为: 闭环系统期望特征方程：
det[ zI ( F GK )] det
z 1 T 2 K1 / 2 T T 2 K 2 / 2 TK1 z 1 TK 2
z 2 (T 2 K1 / 2 TK 2 2) z (T 2 K1 / 2 TK 2 1) 0
z1,2 0.8 j0.25 ( z) z 2 1.6z 0.7
z z0
0 X ( z)
z z0
z z0
z z0
( zI F ) 1 GU ( z )
0 U ( z)
0
写成矩阵形式：
zI F , G X ( z ) C, U ( z ) 0
z z0
0
零点的矩阵形式
r: p
K :mn
取线性反馈控制
u(k ) Kx(k ) Ir (k )
I－单位阵 闭环系统状态方程：
x(k 1) F GK x(k ) Gr (k )
K改变了状态转移阵，系统极点 K改变了x与y的偶合关系
y(k) C DK x(k) Dr (k)
zI F GK , G X ( z0 ) zI F , G X ( z0 ) 0 C, 0 0 R( z0 ) Kx( z0 ) R ( z0 ) C ,
Z0使开环、闭环的输出都为0，零点矩阵的 解与K无关，状态反馈不改变系统的零点
闭环系统：加入状态反馈： 有：
u (k ) Kx(k ) r (k )
x(k 1) ( F GK ) x(k ) Gr (k )
zI F GK , G X ( z ) R( z ) C , 0
z z0
0
闭环零点矩阵
求：K，使闭环极点为 z1,2=0.8j0.25
解：取
u(k ) ( K1 , K2 ) x(k )
1 T 2 K1 / 2 T T 2 K 2 / 2 1, T T 2 / 2 F GK ( K1 , K 2 ) 0 1 T TK 1 TK 1 2