七年级数学下册《角平分线》课件 华东师大版

求证：点P在∠BAC的平分线上.
A
N F
P
B
C
3：如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，
且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。 A
E
F
B
D
C
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∠1= ∠2 （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（A.A.S.）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
A
∵点P是∠AOB平分线上的一点 D
又PD⊥OA，PE⊥OB
P
∴ PD=PE
O
（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
E
B
应用定理的前提条件是：
有角的平分线，有垂直距离
定理的作用： 证明线段相等
角平分线上的点 逆命题 到角两边的距离
相等。
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上．
到一个角的两边的 距离相等的点在这 个角的平分线上.
证明： ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO= ∠PEO=900
A D
在Rt △PDO 与Rt △PEO中
1
∵PD=PE（已知）
O
2
P C
OP=OP（公共边）
∴Rt△PDO≌ Rt △PDO(H.L.)
E
∴∠1=∠2 即点P在∠AOB的平分线上
B
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的 距离相等．
逆定理：
到角的两边的距离相等的点在这 个角的平分线上.
随堂练习
EA D C
思考 做完本题后，你对角平分线,又增加了 什么认识?
角平分线的性质，为我们证明两条线段 相等 又提供了新的方法与途径。
变式1：已知：在等腰Rt△ABC中，AC ＝ BC ∠C＝90°，AD平分∠ BAC，DE⊥AB于点E。 求证：BD＋DE ＝AC
A
E
C
D
B
变式2：已知：在等腰Rt△ABC中，AC ＝ BC
× 1.判断题（ ）
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴BD = DC
(
角的平分线上的点到角的两边 的距离相等。
)
B
A
D
C
随堂练习
2，.如图，在Rt△ABC 中BD是角平分线 ，
DE⊥AB，垂足为E， DE与DC 相等吗
为？什么？ 答： DE=DC。
∵ BD是∠ABC的平分线
B
且DE⊥BA DC⊥BC， ∴ ，DE=DC。
1、角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
逆定理：到角的两边的距离相等的点在这 个角的平分线上
2、应用定理的前提条件是：
有角的平分线，有垂直距离 3、定理的作用：证明线段相等
4、注意辅助线的作法
1.书面作业：习题19.4 第4题
2.课外作业：
已知：如图，△ABC的角平分线
BM、CN相交于点P.
ABCD中，∠A=90°,AD=4，连结BD，
BD⊥CD，∠ADB=∠C。若P是BC边上一
动点，则DP长的最小值是4源自A DBP
C
2.（2011年湖北省黄冈市试题）如图，
△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角
∠ABC平分线BP交于点P,若∠BPC=40°,则
∠CAP=
50°
A
P
B
C
D
感悟与收获
1.本节课我们学习了哪些知识？ 2.通过本节课的学习，你有什么收获？
(3)验证猜想
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC
上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E A 求证: PD=PE
D
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
C
1
P
2
O
EB
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴ ∠PDO= ∠PEO=900 在△PDO和△PEO中,
∵∠PDO= ∠PEO（已证）
H
证明：过点P作PM、PK、
C
D
PH分别垂直于AB、BC、AC， 垂足为M、K、H。
K
P
E
∵BD平分∠CBM ∴PK＝PM
同理PK＝PH
∴PK＝PM＝PH
A
BM
即点P到三边AB、BC、AC的距
离相等
思
考 分
变式2：若求证点P在∠BAC的 平分线上，又该如何证明呢？
析
1.（2011年河南省试题）如图，在四边形
不利用工具，请你将一张用纸片 做的角分成两个相等的角。你有什么 办法？ （对折）
A
再打开纸片 ，看看折痕 C 与这个角有何关系？
O
B
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形 （使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形 成的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的 距离相等.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
（角平分线上的点到角的两边的距离相等） A
同理 PE=PF. ∴ PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、
D F
N PM
CA的距离相等
B
E
C
变式1：如图，在△ABC的 顶点 B的外角的平分线BD与 顶点 C的外角的平分线CE相交于点P．
求证：点Ｐ到三边AB、BC、AC的距离相等．
∠C＝90°，AD平分∠ BAC，请你猜想图中
哪两条线段之和等于第三条线段，并证明你
的猜想。
A
C
D
B
变式3 ： 已知AB ＝15cm, 求△DBE的周长
A
E
C
D
B
4： 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交 于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、 CA，垂足为D、E、F