高教社杯全国大学生数学建模竞赛优秀范文

CT系统参数标定及成像问题研究

摘要

CT机扫描部分主要由X线管和不同数目的控测器组成，用来收集信息。X线束对所选择的面层进行扫描，其强度因和不同密度的组织相互作用而产生相应的吸收和衰减。[1] 探测器将收集到的信息经过一系列的转变，最后经过计算机的储存和处理，得到CT值可以排列成数字矩阵。

通过对题目所提供材料进行分析，提出了较为合理的假设，对各组附件数据进行了拟合处理制成各种图像并分析说明，且建立模型来求解CT系统拟合处理问题。

在对问题一的分析中，对附件一模拟实体立体化建立模型Ⅰ，并对数据进行处理及排差，假设载物台在理想状态下是水平并与探测器无偏差，而且不考虑机械系数或各种问题的情况下，建立起了一个模拟CT系统的仪器。运用数学几何知识作图，通过建立相似图形（模拟CT系统运行）等比例来确定几个系统参数之间的关系（CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向）。在对建立的模型Ⅰ进行改进的基础上，对附件2进行拟合处理建立模型Ⅱ，利用数学中的傅里叶变换算法等比对图2模板示意图进行平面配对。借助数学算法和MATLAB软件，对附件中所提供的数据进行了筛选，去除异常数据，对残缺数据进行适当补充，并随机抽取了其中几组数据对理论结果进行了数据模拟，结果显示，理论结果与数据模拟结果吻合。

在对问题二的分析中，对附件3模拟建立模型Ⅲ。利用上述CT系统得到的某未知介质的接受信息还有结合问题一所得到的标定参数，通过建立相似图形等比例来确定几个系统参数之间的关系（CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、几何图形以及该吸

收率等信息）。借助数学算法和MATLAB软件，利用图3所给的10个位置，对附件4中所提供的数据（对附件4模拟建立模型Ⅳ）进行了筛选，去除异常数据，对残缺数据进行适当补充，并随机抽取了其中几组数据对理论结果进行了数据模拟推测其的吸收率。

在对问题三的分析中，对附件5模拟建立模型Ⅴ。利用上述CT系统得到的某未知介质的接受信息还有结合问题一所得到的标定参数，通过建立相似图形等比例来确定几个系统参数之间的关系（CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、几何图形以及该吸收率等信息）。借助数学算法和MATLAB软件，利用图3所给的10个位置，进行了数据模拟推测其的吸收率。

在对问题四的分析中，借助数学算法和MATLAB软件，分析问题一中参数标定的精度和稳定性，并借助问题一的条件设计出新的模板、建立所对应的标定模型，以改进精度和稳定性。

关键词：数字矩阵拟合处理傅里叶变换算法平面配对标定参数吸收率

1.问题重述

CT(Computed Tomography)可以在不破坏样品的情况下，利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获取样品部的结构信息。一种典型的二维CT系统如图1所示，平行入射的X射线垂直于探测器平面，每个探测器单元看成一个接收点，且等距排列。X射线的发射器和探测器相对位置固定不变，整个发射-接收系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次。对每一个X射线方向，在具有512个等距单元的探测器上测量经位置固定不动的二维待检测介质吸收衰减后的射线能量，并经过增益等处理后得到180组接收信息。

CT系统安装时往往存在误差，从而影响成像质量，因此需要对安装好的CT系统进行参数标定，即借助于已知结构的样品（称为模板）标定CT系统的参数，并据此对未知结构的样品进行成像。

请建立相应的数学模型和算法，解决以下问题：

(1) 在正方形托盘上放置两个均匀固体介质组成的标定模板，模板的几何信息如图2所示，相应的数据文件见附件1，其中每一点的数值反映了该点的吸收强度，这里称为“吸收率”。对应于该模板的接收信息见可附件2。请根据这一模板及其接收信息，确定CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向。

(2) 附件3是利用上述CT系统得到的某未知介质的接收信息。利用(1)中得到的标定参数，确定该未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率等信息。另外，请

具体给出图3所给的10个位置处的吸收率，相应的数据文件见附件4。

(3) 附件5是利用上述CT系统得到的另一个未知介质的接收信息。利用(1)中得到的标定参数，给出该未知介质的相关信息。另外，请具体给出图3所给的10个位置处的吸收率。

(4) 分析(1)中参数标定的精度和稳定性。在此基础上自行设计新模板、建立对应的标定模型，以改进标定精度和稳定性，并说明理由。

(1)-(4)中的所有数值结果均保留4位小数。同时提供(2)和(3)重建得到的介质吸收率的数据文件（大小为256×256，格式同附件1，文件名分别为problem2.xls和problem3.xls）

图1. CT系统示意图图2. 模板示意图（单位：mm）图3. 10个位置示意图

2．问题分析

问题一：

本题的误差主要在于工业CT系统的安装过程。CT系统安装时往往存在误差，从而影响成像质量，而且探测器自身的缺陷，载物台自身的不足等，通通都会成为CT系

统测量的不完全的因素，所以在分析问题时，模型是假定处于理想状态下去根据数据以及利用几何知识来实现CT系统参数标定。

问题二：

根据分析，载物台很有可能会是倾斜的，而载物台可以等效为探测器投影绕一个点在竖直方向旋转。由附录一可得知其图像，又由其图像可以推测其误差来源，从而可以进行修正，最终可以给出准确的CT系统参数标定。

问题三：

根据分析，载物台是倾斜的，探测器也可能本身有缺陷，此为机械误差，而载物台可以等效为探测器投影绕一个点在竖直方向旋转。由附录可得知其图像，又由其图像可以推测其误差来源，从而可以进行修正，最终可以给出准确的CT系统参数标定。

3．模型假设

（1）假设数据来源真实有效，能够反映实际情况。

（2）各组数据在相同条件下进行，无其他人为因素影响。

（3）题中有并未明确给出但又容易得到的数据，若可测量，不列入考虑围。

（4）在数据的采集过程当中，我们认为CT系统的自身参数不会变化。

（5）在此实验中光的衍射现象不明显，在假定光以直线传播的情况下进行数据处理。

4．符号说明

符号定义及说明

原点到该射线的垂直距离

探测单元之间的距离

模板收到射线的相对长度

接收到信息的探测器的个数

圆的直径

椭圆的短轴

5．建模过程

假设载物台在理想状态下是水平并与探测器无偏差，而且不考虑机械系数或各种问题的情况下，利用PROE建立起了一个模拟CT系统的仪器。

下图为利用附件一的数据以及MATLAB做成的附件1散点图像。

图2

对比分析：其与图2的形状大致吻合

说明附件一数据基本无偏差，完成排差工作。