《1.1.1 命题的概念和例子》教案
1.1.1命题的概念和例子PPT课件
2021
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自主检测
1.下列语句中，命题的个数为 ( ) B
①空集是任何集合的真子集； ②把门关上； ③垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ ④自然数是偶数。
A．1 B．2 C．3 D．4
2 、下列语句中不是命题
A sin 600 3 2
的是（）
B x 0
C
C x2 y2
D 对顶角相等
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你能分析此故事中歌德与批评家 的言行语句吗？
常用逻辑用语
“数学是思维的科学” 逻辑是研究思维形式和规律的科学. 逻辑用语是我们必不可少的工具. 通过学习和使用常用逻辑用语,掌握常用逻辑
用语的用法,,纠正出现的逻辑错误,体会运用常用 逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性.
命题及其关系
1.1.1 命题的概念和例子
增加，它是真命题．
在本题中，a>0是大前提，应单独给出， 不能把大前提也放在命题的条件部分内．
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例2 指出下列命题中的条件p和结论q：
1) 若整数a能被2整除，则a是偶数；
2) 菱形的对角线互相垂直且平分。
解：1) 条件p：整数a能被2整除， 结论q：整数a 是偶数。
2) 写成若p，则q 的形式：若四边形是菱形， 则它的对角线互相垂直且平分。 条件p：四边形是菱形， 结论q：四边形的对角线互相垂直且平分。
1.1.1命题的概念和例子
高二数学 选修2-1
第一章 常用逻辑用语
2021
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歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师，一 天，他与一位批评家“狭路相逢”，这位文艺批 评家生性古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让， 反而卖弄聪明，一边高调往前走。一边大声说道： “我从来不给傻子让路！”而对如此的尴尬的局 面，但只是歌德笑容可拘，谦恭的闪在一旁，一 边有礼貌回答道“呵呵，我可恰恰相反，”结果 故作聪明的批评家，反倒自讨没趣。
1.1.1 命题 教案
【解析】逆命题：若 且 ，则 （真）
否命题：若 ，则 且 （真）
逆否命题：若 或 ，则 （假）
【例10】命题“若 ，则 ”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它的真假
【解析】逆命题：若 ，则 （假，如 ）
否命题：若 ，则 （假，如 ）
判断复合命题真假的方法
①“非 ”形式的复合命题
【探究1】⑴如果 表示“ 是 的约数”，试判断非 的真假.
⑵如果 表示“ ”，那么非 表示什么？并判断其真假.
【解析】⑴中 表示的复合命题为真，而非 “ 不是 的约数”为假；
⑵中 表示的命题“ ”为假，非 表示的命题为“ ”，其显然为真。
【小结】非 复合命题判断真假的方法：当 为真时，非 为假；当 为假时，非 为真，即“非 ”形式的复合命题的真假与 的真假相反，可用下表表示：
逆否命题：若 ，则 。（真）
【例11】证明：如果 ，那么 。
① ；【答案】真，假，真；
② 是质数， 是 的约数；【答案】假，假，真；
③ ；【答案】真，真，假；
④ ；【答案】真，假，假。
【例4】分别指出下列复合命题的形式及构成它们的简单命题：
⑴ 既是 的倍数，也是 的被数；
⑵李强是篮球运动员或跳高运动员；
⑶平行线不相交。
【解析】⑴这个命题是 且 的形式，其中 是 的倍数， 是 的倍数；q且q真 Nhomakorabea真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
③“ 或 ”形式的复合命题：
【探究3】如果 表示“ 是 的约数”， 表示“ 是 的约数”， 表示“ 是 的约数”，写出 或 或 或 的复合命题，并判断其真假，归纳其规律.
《1.1.1命题》教学案3
《1.1.1命题》教学案教学目标1、通过生活与数学中的丰富实例，了解命题的概念；2、提高学生将知识转化为解决实际问题的能力；3、培养学生的数学思想，提高学生的创新能力.教学重点了解命题的定义.教学难点判定一个句子是不是命题.教学过程：一、方法指导：1．命题的概念是数学中的基础概念，学习时应结合具体实例理解它的含义．可以判断真假是命题的特征．2．一个命题要么是真的，要么是假的，但不能同时既真又假，也不能模棱两可，无法判断其真假．3．命题的表达可以是语言、符号或式子．二、知识体系：1．只有那些能判断真假的语句才是命题．2．一般可用小写英语字母表示一个命题，如p、q、r…3．按命题是否正确可将命题分为真命题和假命题．三、学技巧[1] 下列语句是命题的个数为( )①空集是任何集合的真子集；②x2－3x－4＝0；③3x－2>0；④把门关上！⑤垂直于同一条直线的两直线必平行吗？A．1个B．2个C．3个D．4个[解析] ①假命题．因为空集是空集的子集而不是真子集．②③是开语句，不是命题．④是祈使句，不是命题．⑤是疑问句，不是命题．故只有①是命题，应选A.[说明]首先是从句型上排除，然后再看语句能否判断真假．四、试真练习判断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)一条直线l，不是与平面α平行就是相交．(2)作△ABC∽△A′B′C′.(3)这是一棵大树．(4)等边三角形难道不是等腰三角形吗？[解析] (1)直线l与平面α有相交、平行和在平面内三种位置关系，为假，是命题．(2)为祈使句，不是命题．(3)“大树”不能界定，故不能判断其真假，不是命题．(4)用反问句对等边三角形是不是等腰三角形作出判断，为真，是命题．五、作业【一】选择题1．下列语句中，不能成为命题的是( )A．5>12B．x>0C．若a⊥b，则a·b＝0D．三角形的三条中线交于一点[答案] B2．若A、B是两个集合，则下列命题中真命题是( )A．如果A⊆B，那么A∩B＝AB．如果A∩B＝A，那么(∁UA)∩B＝∅C．如果A⊆B，那么A∪B＝AD．如果A∪B＝A，那么A⊆B[答案] A[解析] 由Venn图知A项为假命题．3．下列命题中真命题的个数为( )①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则a＋c>b＋c；④矩形的对角线互相垂直．A．1B．2C ．3D ．4[答案] A[解析] “面积相等”不一定“两个三角形全等”，故①错误；当x ＝0，y ≠0时，xy ＝0；而|x |＋|y |≠0，故②错误；矩形的对角线相等，但不一定垂直，故④错误；由不等式的可加性得，若a >b ，则a ＋c >b ＋c ，故选A .【二】解答题4．判断下列语句是否是命题，若不是，说明理由；若是，判断命题的真假．(1)奇数的平方仍是奇数；(2)两对角线垂直的四边形是菱形；(3)所有的质数都是奇数；(4)5x >4x .[解析] (1)是命题，而且是真命题；(2)是假命题，如四边形ABCD ，若AB ＝AD ≠BC ＝CD 时，对角线AC 也垂直于对角线B D .(3)是假命题，因为2是质数，但不是奇数．(4)不是命题，因为x 是未知数，不能判断不等式的真假．5．判断下列语句是否是命题，若不是，说明理由；若是，判断命题的真假．(1)x 2＋x ＋1>0；(2)未来是多么美好啊！(3)把数学课本给我带来！(4)若x ＋y 是有理数，则x 、y 都是有理数．[解析](1)真命题，因为x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，对一切实数x 都成立． (2)不是命题，感叹句不是命题．(3)不是命题，祈使句也不能成为命题．(4)假命题，如x ＝2，y ＝－2，x ＋y ＝0是有理数，而x 、y 都是无理数．。
《命题+定理与证明》教案
《命题、定理与证明》教案第一章：命题的概念与分类1.1 命题的定义引入命题的概念，让学生理解命题是由题设和结论组成的陈述句。
举例说明命题的正确性和错误性。
1.2 命题的分类分类介绍简单命题和复合命题，包括并列命题、蕴含命题和条件命题。
引导学生理解命题的逻辑关系，如且、或、非等。
第二章：定理与证明2.1 定理的定义与特点解释定理的概念，强调定理是经过证明的命题。
引导学生了解定理的重要性和应用价值。
2.2 证明的方法与要求介绍直接证明、反证法、归纳法等常见的证明方法。
强调证明的逻辑严密性和步骤完整性。
第三章：几何定理与证明3.1 几何定理的分类分类介绍几何定理，如三角形的性质定理、四边形的性质定理等。
强调几何定理在几何学中的基础性作用。
3.2 几何证明的基本步骤与技巧引导学生掌握几何证明的基本步骤，包括命题的引入、证明的假设、证明的逻辑推理和结论的得出。
介绍几何证明中常用的技巧，如相似三角形的性质、平行线的性质等。
第四章：代数定理与证明4.1 代数定理的分类分类介绍代数定理，如多项式的性质定理、方程的解的定理等。
强调代数定理在代数学中的基础性作用。
4.2 代数证明的基本步骤与技巧引导学生掌握代数证明的基本步骤，包括命题的引入、证明的假设、证明的逻辑推理和结论的得出。
介绍代数证明中常用的技巧，如因式分解、恒等式的性质等。
第五章：命题、定理与证明的应用5.1 命题、定理与证明在数学中的应用通过实际问题引入命题、定理与证明的应用，让学生理解其在数学问题解决中的重要性。
引导学生运用命题、定理与证明的方法解决实际问题。
5.2 命题、定理与证明在其他学科中的应用引导学生思考命题、定理与证明在其他学科中的应用，如物理学、化学等。
鼓励学生探索命题、定理与证明在生活中的应用。
第六章：逻辑推理与命题、定理6.1 逻辑推理的基本概念引入逻辑推理的概念，让学生理解逻辑推理是推理的一种，是思维的基本形式。
解释演绎推理、归纳推理和类比推理等逻辑推理的基本类型。
1.1.1命题
1．1命题及其关系1．1.1 命题教学设计教学目标： 1.了解命题的概念．2.会将一些简单的命题改写为“若p，则q”的形式．3.会判断一些简单命题的真假．重点、难点：会判断一些简单命题的真假．教学过程：一、知识点梳理1.命题的概念(1)命题的定义是：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句；(2)真命题的定义是：判断为真的语句；(3)假命题的定义是：判断为假的语句；(4)命题的分类：真命题；假命题.2．命题的结构形式形式：“若p，则q”，其中，命题的条件是p，命题的结论是q．二、思考尝试.夯基1.下列语句是命题的是()A.2 018是一个大数B.若两直线平行，则这两条直线没有公共点C.对数函数是增函数吗？D.a≤2 0182．语句“若a>b，则a＋c>b＋c”是()A．不是命题B．真命题C．假命题D．不能判断真假3．若M、N是两个集合，则下列命题中是真命题的是()A．若M⊆N，则M∩N＝M B．M∩N＝N，则M⊆NC．若M⊆N，则M∪N＝M D．若M∪N＝N，则N⊆M4．在下列4个命题中，是真命题的序号为( )①3＞3；②100或50是10的倍数；③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形；④等腰三角形至少有两个内角相等．A．①B．①②C．①②③D．②④5．把命题“偶函数的图象关于y轴对称”改写成“若p，则q”的形式为_________．三、核心突破、讲练结合类型1 命题的定义[例1] 判断下面的语句是不是命题．(1)空集是任何集合的子集．(2)喂，你快点过来.(3)指数函数是增函数吗？(4)若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．[变式训练]判断下列语句是不是命题．(1)求证3是无理数；(2)x2＋2x＋1≥0；(3)你是高二学生吗？(4)并非所有的人都喜欢吃苹果；(5)一个正整数不是质数就是合数；(6)若x∈R，则x2＋4x＋7＞0；(7)x＋3＞0.类型2命题的真假判断[例2]判断下列语句是不是命题，若是，判断其真假，并说明理由．(1)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(2)求证：x∈R时，方程x2－x＋2＝0无实根；(3)垂直于同一直线的两条直线平行吗？(4)当x＝3时，3x－8>0.[变式训练]判断下列命题的真假．(1)合数一定是偶数；(2)方程ax＋1＝x＋2有唯一解；(3)若a·b＞0且a＋b＞0，则a＞0且b＞0；(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则ca＞0.[例3]把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假.(1)对顶角相等；(2)当sin A＝sin B时，A＝B；(3)在△ABC中，当sin A＝sin B时，A＝B.[变式训练]把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假.(1)ac>bc⇒a>b；(2)已知x，y∈N*，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；(3)当m>14时，mx2－x＋1＝0无实根.三、课堂小结1．判断一个语句是否为命题应紧抓两点：①是不是陈述句，②能否判断真假．2．判断命题真假的难点是对已有知识的掌握，尤其是真命题的判断．3．准确判断命题的条件与结论是把命题改写为“若p，则q”形式的关键．。
1.1.1命题(教学设计)
1.1.1命题（教学设计）教学目标：知识与技能了解命题的概念，会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若p，则q”的形式；体会命题的逻辑性。
过程与方法：通过学生对命题的判定，总结命题的概念，培养学生的自主学习能力；引导学生学习判断命题的真假性，复习巩固以前所学内容，提高学生掌握知识的牢固性和熟练程度；教会学生改写命题，能从新知识的角度解释所学内容，提高学生对旧知识的理解程度。
情感态度与价值观：培养学生严谨缜密的思维习惯，深化学生对数学意义的理解，激发学习兴趣，认识数学的科学价值、应用价值和文化价值；通过探究学习培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神。
教学重点：命题的概念、命题的构成教学难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假教学过程：一、复习回顾、新课引入1、初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？2、下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点．（2）2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）若x2=1,则x=1．（５）两个全等三角形的面积相等．（６）３能被２整除．学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。
其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。
教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。
二、师生互动、新课讲解1、定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．例1（课本P2例1）判断下列语句是否为命题？（１）空集是任何集合的子集．（２）若整数a是素数，则a是奇数．（３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．（５）2)2(＝－２．（６）x＞１５．解：真命题：（1）（5）；假命题：（2）（4），不是命题：（3）（不是陈述句）；（6）（无法判断真假）让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．解略。
1.1.1命题 教案(人教A版选修2-1)
1.1.1命题●三维目标1.知识与技能理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式．2．过程与方法通过学生举命题的例子，培养他们的辨析能力及分析问题和解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣．●重点难点重点：命题的概念、命题的构成．难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假．(教师用书独具)●教学建议命题的概念在初中已经学习过，可以通过回顾初中知识引入，讲清命题概念中的两个问题，判断是否为陈述句，能否判断真假，重点放在命题的形式和判断命题真假的教学中，基于教材内容简单且以前曾经接触过，可以采用提问式、讨论式的教学方法，让学生在讨论、回答问题的过程中学习知识，增长技能，进而突破本节的难点．●教学流程创设问题情境，引出命题的概念，通过实例形成概念原型.⇒引导学生结合初中学习过的命题概念，比较、分析，揭示命题的特点及构成形式.⇒通过引导学生回答所提问题理解判断命题真假的方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握如何判断一个语句是否为命题.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握命题真假的判断方法，并对相关知识进行复习．⇒通过例3及其变式训练，完成对命题形式的认识与巩固，学会对命题进行改写.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解命题的概念．(难点)2.理解命题的构成，并能指出此类命题的条件和结论．(重点)3.能判断一些简单命题的真假．(难点)命题的概念【问题导思】给出下列语句：(1)2＋4＝7；(2)垂直于同一条直线的两个平面平行；(3)6能被2整除；(4)全等三角形面积相等．1．这些语句的表述形式有什么特点？【提示】都是陈述句．2．你能判断这些语句的真假吗？【提示】能，(2)、(3)、(4)为真；(1)为假．1．定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．2．分类：(1)真命题：判断为真的语句；(2)假命题：判断为假的语句.命题的结构【问题导思】观察命题：(1)若整数a是素数，则a是奇数；(2)若两个三角形全等，则它们的面积相等．上述命题的形式是怎样的？【提示】“若……，则……”的形式．命题的结构形式是“若p，则q”，其中p是命题的条件，q是命题的结论.命题的判断下列语句中是命题的有________．①一个数不是正数就是负数；②0是自然数吗？③22018是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.【思路探究】以上语句都是陈述句吗？你能判断它们的真假吗？【自主解答】②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“很大”无法说明到底多大，不能判断真假，不是命题；⑤是祈使句，不是命题．①是命题，为假命题，因为0既不是正数，也不是负数，④是命题，为真命题．【答案】①④判断一个语句是不是命题，关键是把握好以下两点：(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．(2)该语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．判断下列语句是不是命题，并说明理由．(1)函数f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)函数y＝cos x是周期函数吗？(4)集合{a，b，c}有3个子集．【解】(1)是命题，满足指数函数的定义，为真．(2)不是命题，不能判定真假．(3)不是命题，是疑问句，不能判断真假．(4)是命题．因为{a，b，c}有23＝8个子集，所以集合{a，b，c}有3个子集，为假．因此(1)与(4)是命题；(2)与(3)不是命题.命题真假的判断给出下列几个命题：(1)若x，y互为相反数，则x＋y＝0；(2)若a＞b，则a2＞b2；(3)若x＞－3，则x2＋x－6≤0；(4)若a，b是无理数，则a＋b是无理数．其中的真命题有________个．【思路探究】【自主解答】根据两数互为相反数的性质，(1)正确，为真命题；(2)中若a、b均为负数时不正确，为假命题；(3)中若取x＝3＞－3，而x2＋x－6＝6＞0，故为假命题；(4)中取a ＝2，b＝－2，则a、b均为无理数，而a＋b＝0为有理数，故为假命题．【答案】 11．由命题的概念可知，一个命题要么是真的，要么是假的，不存在模棱两可的情况．2．如果要判断一个命题为真命题，需要依据条件进行严格的推理论证，而要判断一个命题为假命题，只要举出一个反例即可．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是()A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交D．若α，β相交，则a，b相交【解析】如图所示，因为α，β为两个不同的平面，所以α∩β＝c，但平面α，β不会重合，因为a⊥α，b⊥β，所以a与b不一定相交．故“α，β相交，则a，b 相交”是假命题．【答案】 D命题的构成把下列命题改写成“若p，则q”的形式．(1)各位数字之和能被9整除的整数，可以被9整除．(2)斜率相等的两直线平行．(3)钝角的余弦值是负值．【思路探究】(1)上述命题的条件与结论分别是什么？(2)怎样用“若p则q”的形式改写命题？【自主解答】(1)若一个整数的各位数字之和能被9整除，则这个整数可以被9整除．(2)若两条直线斜率相等，则这两条直线平行．(3)若一个角为钝角，则这个角的余弦值是负值．要把一个命题写成“若p，则q”的形式，关键是要分清命题的条件和结论，然后写成“若条件，则结论”的形式，有一些命题虽然不是“若p，则q”的形式，但是把它们的表述作适当的改变，也能写成“若p，则q”的形式，但要注意语言的流畅性．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断它们的真假．(1)面积相等的两个三角形全等；(2)当abc＝0时，a＝0，或b＝0，或c＝0；(3)对顶角相等．【解】(1)若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等．它是假命题．(2)若abc＝0，则a＝0，或b＝0，或c＝0.它是真命题．(3)若两个角为对顶角，则这两个角相等．它是真命题．改写命题时，写错大前提致误已知c＞0，当a＞b时，ac＞bc.把该命题改写成“若p则q”的形式．【错解】若c＞0，a＞b，则ac＞bc.【错因分析】“已知c＞0”是大前提，条件应是“a＞b”，不能把它们全认为是条件．【防范措施】若已知命题中有大前提，在改写命题时，不能把大前提写在条件中，应仍作为命题的大前提．【正解】已知c＞0，若a＞b，则ac＞bc.1．判断一个语句是否为命题应紧抓两点：①是不是陈述句，②能否判断真假． 2．判断命题真假的难点是对已有知识的掌握，尤其是真命题的判断． 3．准确判断命题的条件与结论是把命题改写为“若p 则q ”形式的关键．1．(2018·湛江高二检测)下列语句为命题的是( ) A ．x －1＝0B ．2＋3＝8C ．你会说英语吗？D ．这是一棵大树【解析】 C 不是陈述句，A 、D 无法判断其真假，只有B 是命题，且为假命题． 【答案】 B2．下列命题是真命题的为( ) A ．若1x ＝1y ，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x ＜y ，则x 2＜y 2【解析】 只有A 正确，B 、C 、D 可以举反例验证． 【答案】 A3．把命题“偶函数的图象关于y 轴对称”改写成“若p ，则q ”的形式为________． 【答案】 若一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称4．把下列命题改写成“若p，则q”的形式并判断其真假：(1)菱形的四条边相等；(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；(3)空集是任何集合的真子集．【解】(1)若一个四边形是菱形，则它的四条边相等．真命题．(2)若x＝2，则x2－3x＋2＝0.真命题．(3)若一个集合是空集，则这个集合是任何集合的真子集．假命题.一、选择题1．下列语句是命题的是()①三角形的内角和等于180°；②2>3；③偶数是自然数；④x＞2；⑤这座山真险啊！A．①②③B．①③④C．①②⑤ D．②③⑤【解析】①②③是命题，④中x>2无法判断真假，⑤是感叹句，∴④⑤不是命题．【答案】 A2．(2018·郑州高二检测)在空间，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行【解析】A中平行投影可能平行，A为假命题．B、C中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质，D为真命题．【答案】 D3．下列说法正确的是()A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a ＞4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D ．语句“当a ＞4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题【解析】 将命题“直角相等”写成“若p ，则q ”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A 是错误的；语句“当a ＞4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根．”是陈述句而且可以判断真假，并且是假的，所以选项B 是错误的；选项D 是正确的；选项C 是错误的，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”．【答案】 D4．(2018·黔东南州高二检测)下列四个命题中，真命题是( ) A ．a ＞b ，c ＞d ⇒ac ＞bd B ．a ＜b ⇒a 2＜b 2 C.1a ＜1b⇒a ＞b D ．a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ＞b －d【解析】 可以通过举反例的方法说明A 、B 、C 为假命题． 【答案】 D5．设有不同的直线m ，n 和不同的平面α，β.下列四个命题中，正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α【解析】 若α∥β，m ⊂β，n ⊂β可知m ∥α，n ∥α，但m 与n 可以相交，所以A 不正确；B 不正确；若α⊥β，则α中仍有不与β垂直的直线，C 不正确；若α⊥β，则在α中可作与β垂直的直线n ，又m ⊥β，则m ∥n ，又m ⊄α，所以m ∥α，D 正确．【答案】 D 二、填空题6．指出下列命题的条件和结论．(1)当x ＝2时，x 2－3x ＋2≠0.条件是：________，结论是：________.(2)平行四边形的对角线互相平分．条件是：________，结论是：________.【解析】(1)条件是“x＝2”，结论是“x2－3x＋2≠0”．(2)命题可改写为：若一个四边形为平行四边形，则它的对角线互相平分．条件是“四边形为平行四边形”，结论“对角线互相平分”．【答案】(1)x＝2x2－3x＋2≠0(2)四边形为平行四边形对角线互相平分7．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2＞bc2，则a＞b.其中真命题的序号是________．【解析】②中四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，③中平行四边形不是梯形，①、④正确．【答案】①④8．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A—BD—C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成45°的角．其中真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)【解析】如图所示，取BD的中点E，连AE、EC，取AC、AD的中点F、G，连结EF、FG、EG.∵AE⊥BD，EC⊥BD，∴∠AEC就是二面角A—BD—C的平面角．∴∠AEC＝90°.由BD⊥平面AEC，可知BD⊥AC，①正确；由△AEC≌△AED，可知AD＝AC＝CD，②正确；由AE⊥平面BCD知，∠ABE＝45°是AB与平面BCD所成的角，③正确．故①②③为真命题．【答案】①②③三、解答题9．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π；②若x ＝4，则2x ＋1<0 ；③一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；④求证：x ∈R 时，则方程x 2－x ＋2＝0无实根．【解】 ①②③是命题，④不是命题．命题①中，y ＝sin 4x －cos 4x ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，显然其最小正周期为π，是真命题．命题②中，当x ＝4时，2x ＋1>0，∴②是假命题．命题③中，若等比数列的首项a 1＜0，公比q ＞1时，该数列为递减数列，是假命题． ④是一个祈使句，没有作出判断，不是命题．10．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)当m >14时，方程mx 2－x ＋1＝0无实根； (2)平行于同一平面的两条直线平行．【解】 (1)命题可改写为：若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根． ∵当m >14时，Δ＝1－4m <0，所以是真命题． (2)命题可改写为：若两直线平行于同一平面，则它们互相平行．∵平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，所以是假命题．11．命题“ax 2－2ax －3≤0恒成立”是真命题，求实数a 的取值范围．【解】 由于ax 2－2ax －3≤0恒成立是真命题，(1)当a ＝0时，－3≤0成立．(2)当a ≠0时，应满足⎩⎨⎧a ＜0Δ≤0，解之得－3≤a ＜0. 由(1)(2)得a 的取值范围为[－3,0].(教师用书独具)设有两个命题：p ：函数y ＝lg(x 2－2x ＋m )的值域为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3m )x 是减函数．若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．【自主解答】 若命题p 为真命题，则x 2－2x ＋m 的值可取到一切正数，故Δ＝4－4m ≥0，即m ≤1；若命题q 为真命题，则7－3m ＞1，即m ＜2.所以命题p 和q 中有且只有一个是真命题时，有p 真q 假或p 假q 真，即⎩⎨⎧ m ≤1，m ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞1，m ＜2.故m 的取值范围是1＜m ＜ 2.已知命题p ：|x 2－x |≥6，q ：x ∈Z ，且p 假q 真，求x 的值．【解】 ∵p 假q 真∴⎩⎪⎨⎪⎧ |x 2－x |＜6x ∈Z ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x ＜6x 2－x ＞－6x ∈Z∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2＜x ＜3x ∈Z故x 的取值为：－1,0,1,2.。
2019年数学新同步湘教版必修2第1章 1.1.1 命题的概念和例子
1．1命题及其关系1．1.1命题的概念和例子[读教材·填要点]1．命题的概念可以判断成立或不成立的语句叫作命题．2．命题的分类(1)真命题：成立的命题叫作真命题．(2)假命题：不成立的命题叫作假命题．(3)猜想：暂时不知道真假的命题可以叫作猜想．[小问题·大思维]1．如果一个语句是命题，它必须具备什么条件？提示：如果一个语句是命题，那么该语句所陈述的事情必须能够判断其成立或不成立．2．数学中的定义、公理、定理、公式等是否是命题？是真命题还是假命题？提示：数学中的定义、定理、公理、公式等都是命题，且都是真命题．判断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)求证π是无理数；(2)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；(3)一个数的算术平方根一定是负数；(4)梯形是不是平面图形呢？[自主解答](1)是祈使句，不是命题；(2)可以判断其是否成立，故为命题；(3)是命题，并且是假命题，因为一个数的算术平方根为非负数；(4)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．判断一个语句是否是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“可以判断成立或不成立”这个条件，如果满足这个条件，该语句就是命题，否则就不是．1．判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)若平行四边形的边都相等，则它是菱形；(2)空集是任何非空集合的真子集；(3)对顶角相等吗？(4)x>3.解：(1)能判断其是否成立，是命题；(2)能判断其是否成立，是命题；(3)是疑问句，不是命题；(4)不能判断其是否成立，不是命题．判断下列命题的真假，并说明理由．(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；(2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(3)正方形既是矩形又是菱形；(4)若a，b都是奇数，则ab必是奇数．[自主解答](1)是假命题，学好数学与会使用电脑不具有因果关系，因而无法推出结论，故为假命题．(2)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.(3)是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形．(4)是真命题，令a＝2k1＋1，b＝2k2＋1(k1，k2∈Z)，则ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1，显然2k1k2＋k1＋k2是一个整数，故ab是奇数．若将本例(4)中的“奇数”改为“无理数”，判断该命题的真假．解：当a ＝5，b ＝－5时，a ，b 都是无理数，但 5×(－5)＝－5是有理数，故该命题为假命题．判断命题真假的策略(1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．(2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可．2．判断下列命题的真假，并说明理由． (1)形如a ＋6b 的数是无理数；(2)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列； (3)奇函数的图象关于原点对称； (4)能被2整除的数一定能被4整除．解：(1)假命题，反例：a 是有理数且b ＝0，则a ＋6b 是有理数．(2)假命题．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝－1，q ＝2，则该数列为递减数列． (3)真命题．根据奇函数的性质可知奇函数的图象一定关于原点对称． (4)假命题．反例：如2,6能被2整除，但不能被4整除．试探究命题“方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解”为真命题时，a ，b 满足的条件．[自主解答] 方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：当a ＝0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0为bx ＋1＝0，只有当b ≠0时，方程有实数解x ＝－1b ；当a ≠0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b 2－4a ≥0. 综上知，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解．(1)并不是任何语句都是命题．要判断一个句子是否为命题，关键在于能否判断其成立或不成立．一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．(2)一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一．3．下面的命题中是真命题的是( ) A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则ca >0C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB ―→·BC ―→>0，则B 为锐角 解析：选B y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题；当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；在三角形ABC 中，当AB ―→·BC ―→>0时，向量AB ―→与BC ―→的夹角为锐角，B 应为钝角，故D 为假命题．故选B.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路若命题“如果5x －1>a ，那么x >1”是真命题，求实数a 的取值范围．[巧思] “如果5x －1>a ，那么x >1”是真命题，则不等式5x －1>a 的解集是x >1的子集．[妙解] 由5x －1>a ，得x >15(1＋a )．∵命题“如果5x －1>a 那么x >1”是真命题， ∴⎝⎛⎭⎫1＋a 5，＋∞⊆(1，＋∞)． ∴1＋a5≥1，即a ≥4. 即a 的取值范围是[4，＋∞)．1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )A ．红豆生南国B ．春来发几枝C ．愿君多采撷D ．此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.答案：A2．下列命题中的真命题是( )A．互余的两个角不相等B．相等的两个角是同位角C．若a2＝b2，则|a|＝|b|D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角解析：由平面几何知识可知A、B、D三项都是错误的．答案：C3．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A．4 B．2C．0 D．－3解析：方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．答案：C4．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的有________(只填序号)．解析：因为a，b，c相互不共线，所以(a·b)c与(c·a)b不一定相等．又因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以①③为假命题，易证②④为真命题．答案：②④5．下列命题：①y＝x2＋3为偶函数；②0不是自然数；③{x∈N|0＜x＜12}是无限集；④如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0.其中是真命题的是________(写出所有真命题的序号)．解析：①为真命题，②③④为假命题．答案：①6．若命题p(x)：x2＋2>3x为真命题，求x的取值范围．解：∵x2＋2>3x，∴x2－3x＋2>0.解得x>2或x<1，∴x的取值范围是(2，＋∞)∪(－∞，1)．一、选择题1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 0°＝0C．求x2－2x＋1>0的解集D．作△ABC∽△EFG解析：A选项是疑问句，不是命题，C、D选项中的语句显然不是．答案：B2．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1B．2C．3 D．4解析：①③错误；②④正确．答案：B3．下列命题中，为真命题的是()A．对角线相等的四边形是矩形B．若一个球的半径变为原来的2倍，则其体积变为原来的8倍C．若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切解析：等腰梯形对角形相等，不是矩形，故A中命题是假命题；由球的体积公式可知B中命题为真命题；C中命题为假命题，如“3,3,3”和“2,3,4”的平均数相等，但标准差显然不相等；圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝22<1，故直线与圆相交，所以D中命题为假命题．答案：B4．给出下列命题：①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；②若a，b都是正实数，则a＋b≥2ab；③若x2>x，则x>1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：①中，显然l∥m或l与m重合，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x2>x，得x<0或x>1，所以③是假命题；④中，函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，所以④是假命题．故选C.答案：C二、填空题5．下列语句：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程吗？②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④若m＞0，a＞b＞0，则b＋ma＋m＞ba.其中真命题的序号为________．解析：①不是命题；②错，可能没交点；③正确，若A⊆B，B⊆A，则A＝B；④显然正确，可以证明．答案：③④6．给出下列命题：①方程x2－x＋1＝0有两个实根；②对于实数x，若x－2＝0，则x－2≤0；③若p＞0，则p2＞p；④正方形不是菱形．其中真命题是________，假命题是________．解析：①假，因Δ＜0；②真；③假，p＝12时，p2＜p；④假，正方形是菱形，也是矩形．答案：②①③④7．函数f(x)的定义域为A，若当x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时，总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；③在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(填序号)解析：由x21＝x22，未必有x1＝x2，故①为假命题；对于f(x)＝2x，当f(x1)＝f(x2)时一定有x1＝x2，故②为真命题；当函数在其定义域上单调时，一定有“若f(x1)＝f(x2)，则x1＝x2”，故③为真命题．故真命题是②③.答案：②③8．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵ax 2－2ax －3>0不成立，∴ax 2－2ax －3≤0恒成立．当a ＝0时，－3≤0恒成立；当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0. 综上，－3≤a ≤0. 答案：[－3,0] 三、解答题9．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由． (1)一个数不是合数就是质数． (2)大角所对的边大于小角所对的边． (3)x ＋y 是有理数，则x ，y 也都是有理数． (4)求证x ∈R ，方程x 2＋x ＋1＝0无实根． 解：(1)是假命题，1不是合数，也不是质数． (2)是假命题，必须在同一个三角形或全等三角形中． (3)是假命题，如x ＝2，y ＝－ 2. (4)祈使句，不是命题．10．判断命题：“若a ＋b ＝2，则直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切”的真假． 解：由已知a ＋b ＝2，圆心(a ，b )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a ＋b |2＝22＝2＝r ， 所以直线与圆相切，即命题为真.。
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《命题的概念和例子》教案
（一）教材分析
1、教学目标：理解命题的含义，掌握判断命题的方法。
2、重点、难点分析
重点：找出命题的题设和结论．因为找出一个命题的题设和结论，是对该命题深刻理解的前提，而对命题理解能力是我们今后研究数学必备的能力，也是研究其它学科能力的基础．难点：找出一个命题的题设和结论．因为理解和掌握一个命题，一定要分清它的题设和结论，所以找出一个命题的题设和结论是十分重要的问题．
（二）教学建议
1、教师在教学过程中，组织或引导学生从具体到抽象，结合学生熟悉的事例，来理解命题的概念、找出一个命题的题设和结论，并能判断一些简单命题的真假．
2、命题是数学中一个非常重要的概念，虽然高中阶段我们还要学习，但对于程度好的A 层学生还要理解：
（1）假命题可分为两类情况：
①题设只有一种情形，并且结论是错误的，例如，“1+3=7”就是一个错误的命题．
②题设有多种情形，其中至少有一种情形的结论是错误的．例如，“内错角互补，两直线平行”这个命题的题设可分为两种情形：第一种情形是两个内错角都等于90°，这时两直线平行；第二种情形是两个内错角不都等于90°，这时两直线不平行．整体说来，这是错误的命题．
（2）是否是命题：
命题的定义包括两层涵义：①命题必须是一个完整的句子；②这个句子必须对某件事情做出肯定或者否定的判断．即命题是判断某一件事情的句子．在语法上，这样的句子叫做陈述句，它由“题设+结论”构成．
另外也有一些句子不是陈述句，例如，祈使句(也叫做命令句)“过直线AB外一点作该直线的平行线．”疑问句“∠A是否等于∠B?”感叹句“竟然得到5＞9的结果!”以上三个句子都不是命题．
（三）教学过程设计
一、分析语句，理解命题
1．教师让学生随意说一句完整的话，每个小组可以派一名同学说，如：
(1)我是中国人．
(2)我家住在北京．
(3)你吃饭了吗？
(4)两条直线平行，内错角相等．
(5)画一个45°的角．
(6)平角与周角一定不相等．
2．找出哪些是判断某一件事情的句子？
学生答：(1)，(2)，(4)，(6)．
3．教师给出命题的概念，并举例．
命题：判断一件事情的句子，叫做命题，分析(3)，(5)为什么不是命题．
教师分析以上命题中，每句话都判断什么事情．所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子，每组再选一个同学说．(不要让说过的再说)
如：(1)对顶角相等．
(2)等角的余角相等．
(3)一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线一定是这个角的平分线．
(4)如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0．
(5)当a＞0时，|a|=a．
(6)小于直角的角一定是锐角．
在学生举例的基础上，教师有意说出以下两个例子，并问这是不是命题．
(7)a＞0，b＞0，a+b＝0．
(8)2与3的和是4．
有些学生可能给与否定，这时教师再与学生共同回忆命题的定义，加以肯定，先不要给出假命题的概念，而是从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．
二、分析命题，理解真、假命题
1．让学生分析两个命题的不同之处．
(l)若a＞0，b＞0，则a+b＞0．
(2)若a＞0，b＞0，则a+b＜0．
相同之处：都是命题．为什么？都是对a＞0，b＞0时，a+b的和的正负，做出判断，都
有题设和结论．
不同之处：(1)中的结论是正确的，(2)中的结论是错误的．
教师及时指出：同学们发现了命题的两种情况．结论是正确的或结论是错误的，那么我们就有了对命题的一种分类：真命题和假命题．
2．给出真、假命题定义．
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题，叫做真命题．
假命题：如果题设成立，结论不成立，这样的命题都是错误的命题，叫做假命题．
注意：(1)真命题中的“一定成立”不能有一个例外，如命题：“a≥0，b＞0，则ab＞0”．显然当a=0时，ab＞0不成立，所以该题是假命题，不是真命题．
(2)假命题中“结论不成立”是指“不能保证结论总是正确”，如：“a的倒数一定是”，显然当a=0时命题不正确，所以也是假命题。
(3)注意命题与假命题的区别．如：“延长直线AB”．这本身不是命题．也更不是假命题．
(4)命题是一个判断，判断的结果就有对错之分．因此就要引入真假命题，强调真假命题的大前提，首先是命题．
3．运用概念，判断真假命题．
例请判断以下命题的真假．
(1)若ab＞0，则a＞0，b＞0．
(2)两条直线相交，只有一个交点．
(3)如果n是整数，那么2n是偶数．
(4)如果两个角不是对顶角，那么它们不相等．
(5)直角是平角的一半．
解：(l)(4)都是假命题，(2)(3)(5)是真命题．
4．介绍一个不辨真伪的命题．
“每一个大于4的偶数都可以表示成两个质数之和”．(即著名的哥德巴赫猜想)
我们可以举出很多数字，说明这个结论是正确的，而且至今没有人举出一个反例，但也没有一个人能证明它对一切大于4的偶数正确．我国著名的数学家陈景润，已证明了“每一个大于4的偶数都可以表示成一个质数与两个质数之积的和”．即已经证明了“1+2”，离“1+1”只差“一步之遥”．所以这个命题的真假还不能做最好的判定．
5．怎样辨别一个命题的真假．
(l)实际生活问题，实践是检验真理的唯一标准．
(2)数学中判定一个命题是真命题，要经过证明．
(3)要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．
四、总结
师生共同回忆本节的学习内容．
1．什么叫命题？真命题？假命题？．
2．初步会判断真假命题．
教师提示应注意的问题：
1．命题与真、假命题的关系．
2．抓住命题的两部分构成，判断一些语句是否为命题．
3．判断假命题，只需举一个反例，而判断真命题，数学问题要经过证明．五、作业
1．选用课本习题和本节学案相应习题。