人教版五四制数学初中8年级上册同步全解
人教版五四制初中八年级数学上册全套教案
轴对称【教学目标】1．亲历轴对称图形的探索过程，体验分析归纳得出轴对称图形的定义，对称轴、对称点，图形轴对称的性质，进一步发展学生的探究、交流能力。
2．掌握垂直平分线的定义，线段的垂直平分线的性质。
3．熟练运用轴对称、垂直平分线解决问题。
【教学重难点】重点：掌握轴对称图形的定义，垂直平分线的定义。
难点：运用图形轴对称的性质，线段的垂直平分线的性质解决问题。
【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习轴对称，这节课的主要内容有轴对称图形的定义，对称轴、对称点，图形轴对称的性质，垂直平分线的定义，垂直平分线的性质，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解有轴对称图形的定义内容，形成初步感知。
（2）首先，我们先来学习轴对称图形，它的具体内容是如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例：下图的每对图形有什么共同特点？把图中的每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形能与右边的图形重合。
每对图形都是轴对称图形，都关于中间虚线对称。
根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：对称现象无处不在。
请判断下图是否为轴对称图形。
解：都为轴对称图形。
3．接着，我们再来看下垂直平分线的定义，它的具体内容是：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
这样，我们就得到图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。
人教版八年级上册数学全册同步讲义
三角形的中线的数学语言：
如图3，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或
BD＝CD＝ BC。AD是ΔABC的中线 BD＝CD＝ BC。
要点诠释：
①三角形的中线是线段；
②三角形三条中线全在三角形内部；
③三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心．
外角和定理的应用：（1）已知外角度数，求正多边形边数；（2）已知正多边形边数，求外角度数.知识点三：镶嵌
（一）平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.
（二）镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个时，就能拼成一个平面图形.
(3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形;(4)有一个角是直角的三角形是直角三角形;
(5)有一个角是锐角的三角形是锐角三角形.其中正确的说法有____________.
题型二 三角形三边的关系
例题2．以下列各组线段为边,能组成三角形的是( )
A.2cm, 3cm, 5cm B.1cm, 11cm, 11cm C.5cm, 8cm, 2cm D.三边之比为5:10:4
5.如果线段a，b，c能组成三角形，那么，它们的长度比可能是（ ）
A、1∶2∶4 B、1∶3∶4 C、3∶4∶7 D、2∶3∶4
6.如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为（ ）
A、5 B、6 C、7 D、8
二、填空题
1.如图4，图中所有三角形的个数为，在△ABE中，AE所对的角是，∠ABC所对的边是，AD在△ADE中，是的对边，在△ADC中，是的对边；
2.如图5，已知∠1=0.5∠BAC，∠2 =∠3，则∠BAC的平分线为，∠ABC的平分线为；
2022-2023学年全国初中八年级上数学新人教版同步练习(含答案解析考点)001500
2022-2023学年全国初中八年级上数学新人教版同步练习考试总分：32 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）1.如图，在中，于点，．若，则的周长是 （ ）A.B.C.D.2. 三角形中，到三个顶点距离相等的点是( )A.三条高线的交点B.三条中线的交点C.三条角平分线的交点D.三条垂直平分线的交点3. 临猗是我省重要的苹果生产基地，受疫情影响，大量优质苹果滞销．当地几名大学生利用直播带货，助推家乡农业复苏．目前，政府为更好地服务农民，将在村庄、、之间的空地上新建一座仓库．已知、、恰好在三条公路的交点处，要求仓库到村庄、、的距离相等，则仓库应选在( )A.三条角平分线的交点△ABC DE ⊥AC E CE =EA AB =12cm,BC =10cm △BCD 16cm22cm23cm25cmA B C P A B C P A B C P △ABC △ABCB.三边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高所在直线的交点4. 如图，在中，，的垂直平分线交的延长线于点，若则的长是( )A.B.C.D.二、填空题（本题共计 3 小题，共计12分）5. （6分）如图，已知，，的垂直平分线交于点，则________度．6. （3分）如图，在中，斜边的垂直平分线交边于点，交边于点，如果，那么________．7. （3分）如图，是的角平分线，，分别是和的高，得到下列四个结论：①和互相垂直平分；②＝；③当＝时，＝；④是的垂直平分线．其中正确的是________（填序号）．△ABC△ABC△ABCRt△ABC∠ACB=90∘AB DE BC F∠F=,DE=1，30∘EF323–√1AB=AC∠A=40∘AB MN AC D∠DBC=Rt△OMN MN MN Q ON P∠N=27∘∠OMP=AD△ABC DE DF△ABD△ACDAD EF AE AF∠BAC90∘AD EF DE AB三、 解答题 （本题共计 1 小题 ，共计8分 ）8.(8分) 如图，，的垂直平分线交延长线于，交于，，．的周长为多少？的度数为多少？AB =AC AB DE BC E AC F ∠A =40∘AB +BC =6(1)△BCF (2)∠E参考答案与试题解析2022-2023学年全国初中八年级上数学新人教版同步练习一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）1.【答案】B【考点】线段垂直平分线的性质【解析】先根据，垂足为，得出，故可得出结论．【解答】解：∵，垂足为，，，，∴，∴的周长．故选．2.【答案】D【考点】线段垂直平分线的性质【解析】运用到三角形的某边两端距离相等的点在该边的垂直平分线上的特点，可以判断到三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．【解答】解：根据到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，可以判断：三角形中，到三个顶点距离相等的点是三条垂直平分线的交点．故选．3.【答案】DE ⊥AC E CE =AE CD =AD DE ⊥AC E CE =AE AB =12cm BC =10cm CD =AD △BCD =BC +BD +CD =BC +AB =10+12=22cm B D线段垂直平分线的性质【解析】根据到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点．【解答】解：∵仓库到村庄、、的距离相等，∴仓库应选在三边的垂直平分线的交点．故选．4.【答案】B【考点】线段垂直平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，连接，的垂直平分线交于的延长线于，,故选二、 填空题 （本题共计 3 小题 ，共计12分 ）P A B C P △ABC B AF ∵AB DE BD F ∴AF =BF ，∵FD ⊥AB ，∴∠AFD =∠BFD =，30∘∠B =∠FAB =90°−30°=60°∵∠ACB =,90∘∴∠BAC =,30∘∵DE =1∴AE =2DE =2∴∠FAE =∠AFD =30∘∴EF =AE =2.B.【考点】线段垂直平分线的性质【解析】由，，即可推出，由垂直平分线的性质可推出，即可推出，根据图形即可求出结果．【解答】解：如图，∵，，∴，∵的垂直平分线交于，∴，∴，∴．故答案为：．6.【答案】【考点】线段垂直平分线的性质【解析】先求出的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，，可以得出，最后两角相减即可．【解答】解：在中，，，30AB =AC ∠A =40∘∠C =∠ABC =70∘AD =BD ∠A =∠ABD =40∘AB =AC ∠A =40∘∠C =∠ABC =70∘AB MN AC D AD =BD ∠A =∠ABD =40∘∠DBC =30∘3036∘∠OMN PM =PN ∠PMN =∠N Rt △OMN ∠N =27∘∴∠OMN =−=90∘27∘63∘∵PQ垂直平分，，，．故答案为：．7.【答案】②③【考点】角平分线的性质线段垂直平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、 解答题 （本题共计 1 小题 ，共计8分 ）8.【答案】解：∵是的垂直平分线，∴，∵，，∴的周长；∵，，∴，∵的垂直平分线交延长线于，∴，∴.【考点】线段垂直平分线的性质【解析】暂无暂无【解答】∵PQ MN ∴PM =PN ∴∠PMN =∠N =27∘∠OMP =∠OMN −∠PMN=−=63∘27∘36∘36(1)DF AB AF =BF AB +BC =6AB =AC △BCF =BC +CF +BF=BC +CF +AF =BC +AC =AB +BC =6(2)AB =AC ∠A =40∘∠ACB =∠ABC =(−)=12180∘40∘70∘AB DE BC E ∠BDE =90∘∠E =−∠ABC =90∘20∘(1)AB解：∵是的垂直平分线，∴，∵，，∴的周长；∵，，∴，∵的垂直平分线交延长线于，∴，∴.(1)DF AB AF =BF AB +BC =6AB =AC △BCF =BC +CF +BF=BC +CF +AF =BC +AC =AB +BC =6(2)AB =AC ∠A =40∘∠ACB =∠ABC =(−)=12180∘40∘70∘AB DE BC E ∠BDE =90∘∠E =−∠ABC =90∘20∘。
人民教育出版社数学八年级上册全解
第十一章
思维导图
智力背景
黄金三角形
黄金三角形分两种：一种是等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°，这种三角形既美观又标准，这样的三角形的底边与一腰的长之比为黄金数；另一种也是等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°，这种三角形一腰与底边的长之比也为黄金数。
【end】
神奇的古建筑，完美的几何体
【答案】
在△ACD中，
∵∠C+∠A+∠ADC=180°，
∴∠C=180°-∠A-∠ADC=180°-32°-110°=38°。
∵△BCE是直角三角形，
∴∠B=90°-∠C=90°-38°=52°。
【解析】
∠B是△BCE的内角，△BCE是直角三角形，只要求出∠C的度数即可求得∠B的度数。从题目已知条件来看，∠A与∠ADC的度数已知，又∠A和∠ADC都是△ACD的内角，故利用“三角形的内角和为180°”可求出∠C的度数。
题型二
例2、已知等腰三角形的两边长为9cm和4cm，求此三角形的周长。
【答案】
当9cm长的边为腰时，三边长分别是9cm，9cm，4cm（经检验符合三角形的三边关系），所以周长为22cm。
当4cm长的边为腰时，三边长分别是4cm，4cm，9cm。
因为4+4<9，
所以不符合三角形的三边关系，不能组成三角形。
【end】
中华世纪坛
中华世纪坛是为了迎接21世纪新千年而兴建的。世纪坛的主体建筑，地下两层，地上三层，高39米，直径85米，由静止的回廊和旋转的坛面组成，旋转坛体设计成呈19度坡型。旋转的坛体重3200吨，是目前世界上最大和最重的旋转坛体。旋转坛体采用轨道式的方案。旋转坛体环绕外立墙一周镌刻有56个民族象征图饰。回廊有青铜铸造的40尊“中华文化名人”肖像雕塑。
2022-2023学年全国初中八年级上数学人教版同步练习(含答案解析)122023
2022-2023学年全国初中八年级上数学人教版同步练习考试总分：100 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 甲和乙下棋，甲执白子，乙执黑子．如图，甲、乙已经下了枚棋子，棋盘中心黑子的位置用表示，其右下角黑子的位置用表示．甲将第枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．他放的位置是( )A.B.C.D. 2.如图， 与关于直线对称，则的度数为( )A.B.C.D.3. 四边形中，，，点，分别在边，上运动，当周长最小时，的度数为 7(−1,0)(0,−1)4(−1,1)(−2,1)(1,−2)(−1,−2)△ABC △A ′B ′C ′∠B 30∘50∘90∘100∘ABCD ∠BAD =α(<α<90∘)180∘∠B =∠D =90∘M N BC CD △AMN ∠AMN +∠ANM ()A.B.C.D.4. 下列食品标识中，不是轴对称图形的是( )A.B.C.D.5.如图，、和分别是关于，边所在直线的轴对称图形，若，则的度数为( )−α180∘+α90∘12−2α360∘−α180∘12△ABE △ADC △ABC AB AC ∠1:∠2:∠3=7:2:1∠αA.B.C.D.6. 如图，已知，点在边上，且，和分别是和上的动点，则 的最小值为（ ）A.B.C.D. 7. 下列四个图案中，是轴对称图形的是( )A. B.C.D.90∘108∘110∘126∘∠AOB =15∘M OB OM=4N P OM OA PM+PN 12348. 已知，为上一点且，若以点为圆心，为半径的圆与相切，则为（ ）A.B.C.D.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆．将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是________．10. 我国国旗上的五角星有________条对称轴．11. 如图，点是内任意一点，＝，点和点分别是射线和射线上的动点，＝，则周长的最小值是________．12. 如图是用两种正多边形密铺的平面图形图案中的一部分，其中一种是正方形，另一种与正方形相邻的四个正多边形是全等图形，那么这种正多边形是________.三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）13. 如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如图中的为格点三角形，请你在下面四张图中分别画出一个与成轴对称的格点三角形（要求所画图形不重复）．∠AOB =30∘P OB OP =10P OA r 53–√53–√3105P ∠AOB OP 3cm M N OA OB ∠AOB 30∘△PMN 2×2△ABC △ABC14. 如图，所有的网格都是由边长为的小正方形构成，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，为格点三角形．如图，图，图，图都是的正方形网格，点，点都是格点，请分别按要求在网格中作图：①在图中作，使它与全等；②在图中作，使由平移而得；③在图中作，使与关于某条直线对称；如图，是一个的正方形网格，图中与关于某条直线轴对称的格点三角形有________个．15. 如图，在内，点、分别是点关于、的对称点，分别交、于、．（1）若的周长是，求的长．（2）若，试求的度数．16. 如图，在正方形网格上的一个．（每个小正方形的顶点叫做格点，其中点，，均在格点上）.1△ABC(1)1236×6M N1△MNP△ABC2△MDE△MDE△ABC3△NFG△NFG△ABC(2)44×4△ABCP∠AOB M N P AO BO MNOA OB E F△PEF10cm MN∠AOB=30∘∠MON△ABC A B C作关于直线对称的（点，，的对应点分别为点，，；在上画出点，使得的值最小．(1)△ABC MN △A ′B ′C ′A B C A ′B ′)C ′(2)MN Q QA+QC参考答案与试题解析2022-2023学年全国初中八年级上数学人教版同步练习一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】轴对称图形【解析】此题主要考查了轴对称图形的性质以及点的坐标．【解答】解：如图所示，甲将第枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形，所以他放的位置是．故选．2.【答案】D【考点】轴对称的性质三角形内角和定理【解析】由已知条件，根据轴对称的性质可得，利用三角形的内角和等于180°可求答案．4(−1,1)A ∠C =∠=C ′30∘解：与关于直线对称，，.故选.3.【答案】C【考点】轴对称——最短路线问题【解析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，″，即可得出″，进而得出″即可得出答案．【解答】解：如图所示：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．∵，∴，∵，，且，，∴.故选．4.【答案】C∵△ABC △A ′B ′C ′∴∠C =∠=C ′30∘∴∠B =−∠A−∠C =−−=180∘180∘50∘30∘100∘D △AMN A BC CD A'A ∠AA'M +∠A =60∘∠AMN +∠ANM =2(∠AA'M +∠A )A BC CD A ′A ′′A ′A ′′BC M CD N A ′A ′′△AMN ∠DAB =α∠A M +∠A ′A ′′=−α180∘∠M A =∠MA A ′A ′∠NAD =∠A ′′∠M A+∠MA =∠AMN A ′A ′∠NAD+∠A ′′=∠ANM ∠AMN +∠ANM =∠M A+∠MA +∠NAD+∠A ′A ′A ′′=2(∠A M +∠A ′A ′′)=2×(−α)=−2α180∘360∘C轴对称图形【解析】根据轴对称图形的概念逐一判断即可.【解答】解：，是轴对称图形，故错误，，是轴对称图形，故错误，，是中心对称图形，不是轴对称图形，故正确，，既是中心对称图形，又是轴对称图形，故错误.故选.5.【答案】B【考点】轴对称的性质【解析】根据三角形的内角和定理和折叠的性质计算即可．【解答】解：∵，∴设，，.由得：，解得，故，，.∵和是分别沿着、边翻折形成的，∴，，，.故.在与中，，，∴，∴．故选． A A B B C C D D C ∠1:∠2:∠3=7:2:1∠1=7x ∠2=2x ∠3=x ∠1+∠2+∠3=180∘7x+2x+x =180∘x =18∠1=7×18=126∘∠2=2×18=36∘∠3=1×18=18∘△ABE △ADC △ABC AB AC 180∘∠DCA =∠E =∠3=18∘∠2=∠EBA =∠D =36∘∠4=∠EBA+∠E =+=36∘18∘54∘∠5=∠2+∠3=+=18∘36∘54∘∠EAC =∠4+∠5=+=54∘54∘108∘△EGF △CAF ∠E =∠DCA ∠DFE =∠CFA △EGF ∼△CAF α=∠EAC =108∘B6.【答案】B【考点】轴对称——最短路线问题【解析】作关于的对称点，过作于，交于，则此时的值最小，连接，得出，，，，根据含度角的直角三角形性质求出即可．【解答】解：作关于的对称点，过作于，交于，则此时的值最小，连接，则，，，，∵，∴.故选.7.【答案】D【考点】轴对称图形【解析】此题暂无解析【解答】解：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，故是轴对称图形.故选.8.【答案】M OA Q Q QN ⊥OB N OA P PM +PN OQ ∠QOA =∠AOB =15∘OQ =OM =4PM =PQ ∠QNO =90∘30QN M OA Q Q QN ⊥OB N OA P PM +PN OQ ∠QOA =∠AOB =15∘OQ =OM =4PM =PQ ∠QNO =90∘QN =OQ =×4=21212PM +PN =PQ +PN =QN =2B D DD【考点】轴对称的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】【考点】概率公式中心对称图形轴对称图形【解析】由五张卡片①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的①⑤，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵五张卡片①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的①⑤，∴从中抽取一张，正面图形一定满足既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是：．故答案为：.10.【答案】【考点】2525255轴对称的性质【解析】根据轴对称图形的定义，可直接求得结果．【解答】解：过五角星的五个顶点中任意一个，与所对的两边的交点可作一条对称轴，∴五角星有条对称轴．故答案为：．11.【答案】【考点】轴对称——最短路线问题【解析】设点关于的对称点为，关于的对称点为，当点、在上时，的周长最小．【解答】分别作点关于、的对称点、，分别交、，连接、、．∵点关于的对称点为，关于的对称点为，∴＝，＝；∵点关于的对称点为，∴＝，＝，∴＝＝＝，＝＝＝＝，∴是等边三角形，∴＝＝＝．∴的周长的最小值＝＝＝．12.【答案】正八边形【考点】平面镶嵌（密铺）轴对称图形中心对称图形553cmP OA C OB D M N CD △PMN P OA OB C D OA N OP OD PN P OA C OB D PM CM OP OC P OB D PN DN OP OD OC OD OP 3cm ∠COD ∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB 2∠POA+4∠POB 2∠AOB 60∘△COD CD OC OD 3(cm)△PMN PM +MN +PN CM +MN +DN ≥CD 7cm【解析】正八边形的每个内角为：，利用“围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角”作为相等关系列出多边形个数之间的数量关系，利用多边形的个数都是正整数可推断出能和正八边形一起密铺的多边形是正四边形．【解答】解：正四边形的每个内角是，即用两种正多边形密铺的平面图形图案中的一部分，其中一种是正方形，另一种与正方形相邻的四个正多边形是全等图形；正八边形的内角为,有,故两个正八边形与正方形可以密铺平面图形的图案，正八边形是中心对称图形.故答案为：正八边形.三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）13.【答案】解：与成轴对称的格点三角形如图所示，．【考点】作图-轴对称变换【解析】根据轴对称图形的概念，画出图形即可．【解答】解：与成轴对称的格点三角形如图所示，−÷8=180∘360∘135∘90∘∵135∘+2×=90∘135∘360∘△ABC △ABC．14.【答案】解：如图中，即为所求；如图中，即为所求；如图中，即为所求．【考点】作图-轴对称变换全等图形作图－平移变换轴对称图形【解析】根据全等三角形的判定画出图形即可；根据平移的性质画出图形即可；根据轴对称的性质画出图形即可．根据轴对称的性质画出图形即可解决问题．【解答】(1)①1△MNP ②2△MDE ③3△NFG 6(1)①②③(2)①解：如图中，即为所求；如图中，即为所求；如图中，即为所求．如图，与关于某条直线轴对称的格点三角形共有个三角形．故答案为：.15.【答案】解：（1）∵、分别是点关于、的对称点，∴，，∴的周长，∵的周长等于，∴；（2）如图，连接、、．∵垂直平分，∴，∴，同理，，∵．∴．【考点】轴对称的性质(1)①1△MNP ②2△MDE ③3△NFG (2)△ABC 66M N P AO BO ME =PE NF =PF MN =ME+EF +FN =PE+EF +PF =△PEF △PEF 10cm MN =10cm OP OM ON OA MP OP =OM ∠MOA =∠AOP ∠BOP =∠BON ∠AOB =∠AOP +∠BOP =30∘∠MON =2∠AOB =60∘【解析】（1）根据轴对称的性质可得，，然后求出的周长；（2）结合线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质推知，，同理，，则．【解答】解：（1）∵、分别是点关于、的对称点，∴，，∴的周长，∵的周长等于，∴；（2）如图，连接、、．∵垂直平分，∴，∴，同理，，∵．∴．16.【答案】解：如图，即为所求.如图，线段与的交点即为所求.【考点】作图-轴对称变换轴对称——最短路线问题【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，即为所求.ME =PE NF =PF MN =△PEF OP =OM ∠MOA =∠AOP ∠BOP =∠BON ∠MON =2∠AOB =60∘M N P AO BO ME =PE NF =PF MN =ME+EF +FN =PE+EF +PF =△PEF △PEF 10cm MN =10cm OP OM ON OA MP OP =OM ∠MOA =∠AOP ∠BOP =∠BON ∠AOB =∠AOP +∠BOP =30∘∠MON =2∠AOB =60∘(1)△A ′B ′C ′(2)AC ′MN Q (1)△A ′B ′C ′如图，线段与的交点即为所求.(2)AC ′MN Q。
2020学年八年级数学上册全一册同步练习(含解析)(打包26套)(新版)新人教版
第十一章 三角形第一节 与三角形有关的线段一、单选题(共10小题)1．（2017·山东乐安中学初一期中）如图，△ABC 中，AD 为△ABC 的角平分线，BE 为△ABC 的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）A ．59°B ．60°C ．56°D ．22°【答案】A 【解析】根据题意可得，在△ABC 中，，则， 又AD 为△ABC 的角平分线，又在△AEF 中，BE 为△ABC 的高 ∴ 考点：1、三角形的内角内角之和的关系 2、对顶角相等的性质.2．（2019·成都市武侯区西蜀实验学校初一期末）下列说法正确的有( )①同位角相等；②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；③相等的角是对顶角；④三角形两边长分别为3，5，则第三边c 的范围是28c ≤≤.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】A【解析】分别判断①②③④是否正确即可解答.解：①同位角相等，错误；②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确；③相等的角是对顶角，错误；④三角形两边长分别为3，5，则第三边c 的范围是28c ≤≤，错误.故选：A.点睛：本题考查了三角形三边关系、同位角、对顶角、平行线的知识，熟练掌握是解题的关键.3．（2019·江西南昌二中初一期末）下列图中不具有稳定性的是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】三角形不容易产生变化，因此三角形是最稳定的．四边形不具有稳定性，据此解答即可．解：根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性可知四个选项中只有正方形不具有稳定性的．故选B．点睛：本题主要考查三角形的稳定性．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．4．（2019·富顺县赵化中学校初三中考真题）已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长．解：设第三边为x，根据三角形的三边关系，得：4-1＜x＜4+1，即3＜x＜5，∵x为整数，∴x的值为4．三角形的周长为1+4+4=9．故选C.点睛：此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）5．（2019·浙江初三中考真题）若长度分别为,3,5A．1 B．2 C．3 D．8【答案】C【解析】根据三角形三边关系可得5﹣3＜a＜5+3，解不等式即可求解．解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，由此可得，符合条件的只有选项C，故选C．点睛：本题考查了三角形三边关系，能根据三角形的三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．6．（2019·重庆重庆十八中初一期中）如图，两个三角形的面积分别为16，9，若两阴影部分的面积分别为a、b（a＞b），则（a﹣b）等于（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【解析】可以设空白面积为x，然后三角形的面积列出关系式，相减即可得出答案.解：设空白面积为x，得a+x=16，b+x=9，则a-b=（a+c）-（b+c）=16-9=7，所以答案选择B项.点睛：本题考察了未知数的设以及方程的合并，熟悉掌握概念是解决本题的关键.7．（2019·贵州初三中考真题）在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是( )A．2cm，3cm，4cm B．3cm，6cm，76cmC．2cm，2cm，6cm D．5cm，6cm，7cm【答案】C【解析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断即可.解：A、2+3＞4，能组成三角形；B、3+6＞7，能组成三角形；C、2+2＜6，不能组成三角形；D、5+6＞7，能够组成三角形，故选C.点睛：本题考查了三角形构成条件，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键.8．（2019·连云港市新海实验中学初一期中）现有两根木棒，它们的长分别为30cm和40cm，若要钉成一个三角形木架，则在下列四根木棒中应选取( )A．10cm的木棒B．60cm的木棒C．70cm的木棒D．100cm的木棒【答案】B【解析】根据三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，进行分析得到第三边的取值范围；再进一步找到符合条件的数值．解：解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，即40−30=10；第三边应小于两边之和，即30+40=70.下列答案中，只有60符合条件.故选：B.点睛：熟练掌握构成三角形的条件是解题的关键.9．（2019·邢台市第十二中学初一期末）如图所示，△ABC中AC边上的高线是（）A．线段DA B．线段BA C．线段BD D．线段BC【答案】C【解析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.解：由图可知，ABC中AC边上的高线是BD.故选：C.点睛：掌握垂线的定义是解题的关键.10．（2019·山东济南十四中初一期末）如果等腰三角形两边长是6和3，那么它的周长是( ）A．15或12 B．9 C．12 D．15【答案】D【解析】由已知可得第三边是6，故可求周长.【详解】另外一边可能是3或6，根据三角形三边关系，第三边是6，所以，三角形的周长是:6+6+3=15.故选：D【点睛】本题考核知识点：等腰三角形.解题关键点:分析等腰三角形三边的关系.二、填空题(共5小题)11．（2019·兰州市外国语学校初一期末）等腰三角形的周长为12cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为___________.【答案】4.5cm【解析】此题要分情况考虑：3cm是底或3cm是腰．根据周长求得另一边，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断是否能够组成三角形．解：当3cm是底时，则腰长是(12−3)÷2=4.5(cm)，此时能够组成三角形；当3cm是腰时，则底是12−3×2=6(cm)，此时3+3=6，不能组成三角形，应舍去.故答案为：4.5cm点睛：此题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，解题关键在于分情况讨论12．（2019·乐清育英学校初中分校初一期中）如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，则∠EDC的度数为___．【答案】40°.【解析】根据平行线的性质求出∠ACB，根据角平分线定义求出∠BCD，再根据平行线的性质即可求解. 解：∵DE∥BC，∠AED=80°，∴∠ACB=∠AED=80°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ACB=40°，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD=40°故答案为：40°点睛：本题考查了平行线的性质和角平分线定义的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，题目比较好，难度适中．13．（2019·扬州市梅岭中学初一期中）若一个三角形的三条边的长分别是2，x，6，则整数x的值有__________个.【答案】3【解析】根据已知边长求第三边x的取值范围为：4＜x＜8，进而解答即可．解：解：设第三边长为xcm，则6-2＜x＜6+2，4＜x＜8，故x取5，6，7，故答案为：3点睛：本题考查三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．已知两边确定第三边的范围时，第三边的长大于已知两边的差，且小于已知两边的和．14．(2018·北京昌平中学初二期末)要使五边形木框不变形，应至少钉上_____根木条，这样做的依据是_____．【答案】2；三角形具有稳定性．【解析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．解：因为三角形具有稳定性，再钉上两根木条，就可以使五边形分成三个三角形，故至少要再钉两根木条. 故答案为：2；三角形具有稳定性.点睛：本题考查的知识点是三角形的稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形的稳定性.15．（2019·江苏苏州中学初一期中）如图，△ABC的中线AD，BE相交于点F．若△ABF的面积是7，则四边形CEFD的面积是____．【答案】7【解析】根据等底等高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，然后表示出S△ABE=S△ACD=12S△ABC，再表示出S△ABF与S四边形CEFD，即可得解．解：∵AD、BE是△ABC的中线，∴S△ABE=S△ACD=12S△ABC，∵S△ABF=S△ABE-S△AEF，S四边形CEFD=S△ACD-S△AEF，∴S△ABF=S四边形CEFD=7，故答案为：7．点睛：本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键．三、解答题（共2小题）16．（2019·长春吉大附中实验学校初一期中）在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B在网格格点上，若点C也在网格格点上，分别在下面的3个图中画出△ABC使其面积为2(形状完全相同算一种).【答案】见解析【解析】根据三角形的面积为2构造底和高即可求解.解：如图所示.点睛：此题主要考查网格的作图，解题的关键是根据面积公式构造底和高.17．（2019·兰州市第三十五中学初一期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，FO⊥OD于O，∠1=40°，试求∠2和∠4的度数。
人教版(五四制)初中数学八年级上册-22.1 从分数到分式 课件
即：当
x≠-
1 4
时，
分式
x 1 4x 1有意义。
小小心得：
使分式有意义的条件： 分母≠ 0
变式练习： 若把题目改为“当 x 取什么值时， 上面分式无意义呢？ ”
2、当x取什么值时，下列分式有意义？
(1)
x2
x
4
(2) 2x | x | 3
x (3) x2 1
如无特别声明， 本章出现的分式
都有意义。
如果设江水的流速为v千米/时。
= 最大航速顺流航行 90km所用时间
最大航速逆流航行 60km所用的时间
90
30 v
60 30 v
从分数到分式
学习目标
1、了解分式的概念，能用分式 表示实际问题中的数量关系；
2、能确定分式有意义的条件； 3、体会“类比”思想在本节课中
的运用。
导学提纲
请同学们认真自学课本P127－P128练习以上的 内容，并完成下列问题 。 1、独立完成P127中的两个思考，理解什么叫分式，
3、当 x 取什么值时，下列分式的值为零 :
(1)
x2 2x 5
,
(2)
解⑴： 由分子x+2=0，得
| x | 2 . 2x 4
x=-2。
而当 x=-2时，分母 2x－5=-4－５≠0。
所以当x=-2时，分式 x 2 的值是零。
解⑵
：
2x 5 由分子|x|－2=0，得 x=±2。
当x=2时，分母 2x+4=4+4=0。
渔船在静水中的最大航速 为30 km/h，它沿江以最大航 速顺流航行90 km所用时间， 与以最大航速逆 流航行60 km 所用时间相等，江水的流速为
2020-2021学年八年级数学人教版上册同步练习14.3因式分解(含答案解析)
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14.3因式分解专题一因式分解1．下列分解因式正确的是（）A．3x2－6x =x(x－6) B．－a2+b2=(b+a)(b－a)C．4x2－y2=(4x－y)(4x+y) D．4x2－2xy+y2=(2x－y)22．分解因式：3m3－18m2n+27mn2=____________．3．分解因式：(2a+b)2－8ab=____________．专题二在实数范围内分解因式4．在实数范围内因式分解x4－4=____________．5．把下列各式因式分解（在实数范围内）（1）3x2－16；（2）x4－10x2+25．6．在实数范围内分解因式：（1）x3－2x；（2）x4－6x2+9．专题三因式分解的应用7．如果m－n=－5，mn=6，则m2n－mn2的值是（）A．30 B．－30 C．11 D．－118．利用因式分解计算32×20.13+5.4×201.3+0.14×2019=___________．9．在下列三个不为零的式子：x2－4x，x2+2x，x2－4x+4中，（1）请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解；（2）请你选择其中两个并用不等号连接成不等式，并求其解集．状元笔记【知识要点】1．因式分解我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2．因式分解的方法(1)提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写出公因式与另一个因式的乘积的形式，这样分解因式的方法叫做提公因式法．(2)将乘法公式的等号两边互换位置，得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．(3)平方差公式：a 2－b 2=(a+b)(a －b)，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． (4)完全平方公式：a 2±2ab+b 2=(a ±b)2，两个数的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．【温馨提示】1．分解因式的对象必须是多项式，如把25a bc 分解成abc a ⋅5就不是分解因式，因为25a bc 不是多项式．2．分解因式的结果必须是积的形式，如21(1)1x x x x +-=+-就不是分解因式，因为结果(1)1x x +-不是积的形式．【方法技巧】1．若首项系数为负时，一般要提出“—”号，使括号内首项系数为正，但要注意，此时括号内的各项都应变号，如)2(22--=+-x x x x ．2．有些多项式的特点与公式相比，只是某些项的符号不符，这时就需要先对符号进行变化，使之符合公式的特点．参考答案:1．B 解析：A中，3x2－6x=3x(x－2)，故A错误；B中，－a2+b2=－(a－b)(a+b)=(b+a)(b －a)，故B正确；C中，4x2－y2=(2x)2－(2y)2=(2x－y)(2x+y)，故C错误；D中，4x2－2xy+y2的中间项不是2×2x×y，故不能因式分解，故D错误．综上所述，选B．2．3m(m－3n)2解析：3m3－18m2n+27mn2=3m(m2－6mn+9n2)=3m(m－3n)2．3．(2a－b)2解析：(2a+b)2－8ab=4a2+4ab+b2－8ab=4a2－4ab+b2=(2a－b)2．4．(x2解析：x4－4=(x2+2)(x2－2)=(x2．5．解：(1)3x2－－4)；(2)x4－10x2+25=(x2－5)22(x)2．6．解：(1)x3－2x=x(x2－；(2)x4－6x2+9=(x2－3)2)2(x2．7．B 解析：∵m－n=－5，mn=6，∴m2n－mn2=mn（m－n）=6×（－5）=－30，故选B．8．2019 解析：32×20.13+5.4×201.3+0.14×2019=0.32×2019+0.54×2019+0.14×2019=2019×（0.32+0.54+0.14）=2019×1=2019．9．解：(1)答案不唯一，如：（x2－4x）+（x2+2x）=2x2－2x=2x（x－1）．(2) 答案不唯一，如：x2－4x＞x2+2x，合并同类项，得－6x＞0，解得x＜0．教学反思1 、要主动学习、虚心请教，不得偷懒。
2022-2023学年全国初中八年级上数学人教版同步练习(含答案解析)080334
2022-2023学年全国初中八年级上数学人教版同步练习考试总分：100 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 若是完全平方式，则的值等于（ ）A.B.C.D.或2. 下列利用乘法公式运算中错误的是（ ）A.B.C.D.3. 在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下部分拼成一个矩形，计算面积，验证了一个等式（ ）A.B.C.D.4. 下列多项式中，不能用平方差公式的是（ ）A.B.C.D.5. 如图，在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长+2(m−3)x+25x 2m 3−578−2(−a +b)(−a −b)=−a 2b 2(−a −b =++2ab)2a 2b 2(−a +b =+−2ab)2a 2b 2(−a −b)(a +b)=−a 2b 2a b (a >b)(a +b =+2ab +)2a 2b 2−=(a +b)(a −b)a 2b 2(a −b =−2ab +)2a 2b 2−ab =a(a −b)a 2(x−y)(−x+y)(−x+y)(−x−y)(−x−y)(x−y)(x+y)(−x+y)1a b方形，如图．这个拼成的长方形的长为，宽为，则图中部分的面积是( )A.B.C.D.6. 若，，则，的大小关系是( )A.B.C.D.与的值有关7. 若关于的代数式是完全平方式，则的值等于( )A.B.C.D.8. 如图在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把剩下的部分拼成一个矩形，通过计算两处图形的面积，验证了一个等式，此等式是( )A.B.C.230202II 60100125150A =−2x x 2B =−6x−4A B A ≤BA ≥BA =Bx x +mx+16x 2m 8−4±8±4a b (a >b)−=(a +b)(a −b)a 2b 2(a +b =+2ab +)2a 2b 2(a −b =−2ab +)2a 2b 2(a +2b)(a −b)=+ab +22D.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 计算：的结果为________.10. 有两个正方形，，现将放在的内部得图甲，若将，并列放置后构造新的正方形得图乙．当图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和时，正方形，的面积之和为________．11. 若是完全平方式，则________.12. 已知是完全平方式，则常数等于________.三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分）13. 如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．① ② ③请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示）．方法一：________；方法二：________.根据中面积相等的关系，你能得出怎样的等量关系？（用含的等式表示）根据题中的等量关系，解决如下问题：已知实数，满足： ，求的值；根据图③，写出一个等式：________.14. 数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形.(a +2b)(a −b)=+ab +a 2b 2(a −b +c)(a +b −c)A B B A A B 110A B +2(m−3)x+1x 2m=+6x+x 2k 2k 2m 2n (1)m n (2)(1)m (3)(2)a b a +b =10，ab =8a −b (4)1A a B b C b a A B C 2请用两种不同的方法求图大正方形的面积.方法：________，方法：________；观察图，请你写出代数式：，,之间的等量关系________;根据题中的等量关系，解决如下问题：①已知：，，求的值；②已知：，求的值.15. 计算：.16. 如图，在边长为的正方形的一角剪去一个边长为的正方形，把剩余的部分（图中的阴影部分）裁剪后拼成右边的长方形．（1）请写出上述剪拼过程中所揭示的乘法公式；（2）请运用乘法公式简便计算：．(1)212(2)2(a +b)2+a 2b 2ab (3)(2)a +b =5+=13a 2b 2ab (2019−a +(a −2018=5)2)2(2019−a)(a −2018)(x+2y−3z)(x−2y+3z)a b −2020×201820192参考答案与试题解析2022-2023学年全国初中八年级上数学人教版同步练习一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】完全平方式【解析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．【解答】解：∵是完全平方式，∴，解得：或，故选2.【答案】D【考点】平方差公式完全平方公式【解析】根据平方差公式和完全平方公式进行解答并作出判断．【解答】解：、原式，故本选项正确，不合题意；、原式，故本选项正确，不合题意；、原式，故本选项正确，不合题意；、原式，故本选项错误，符合题意．+2(m−3)x+25x 2m−3=±5m=8−2D.A =(a −b)(a +b)=−a 2b 2B =(a +b =++2ab )2a 2b 2C =(b −a =+−2ab )2a 2b 2D =−(a +b =−(++2ab))2a 2b 2故选．3.【答案】B【考点】平方差公式的几何背景【解析】左图中的阴影部分的面积，右图中长方形的面积，两图形阴影面积相等，据此即可解答．【解答】解：由题可得：．故选．4.【答案】A【考点】平方差公式【解析】根据公式的左边的形式，判断能否使用．【解答】解：、由于两个括号中含，项的符号都相反，故不能使用平方差公式，正确；、两个括号中，含项的符号相同，的项的符号相反，故能使用平方差公式，错误；、两个括号中，含项的符号相反，项的符号相同，故能使用平方差公式，错误；、两个括号中，含项的符号相反，项的符号相同，故能使用平方差公式，错误；故选．5.【答案】B D =−a 2b 2=(a +b)(a −b)−=(a +b)(a −b)a 2b 2B (a +b)(a −b)=−a 2b 2A x y A B x y B C x y C D x y D A完全平方公式的几何背景二元一次方程组的解【解析】分析图形变化过程中的等量关系，求出变化后的长方形的长和宽即可．【解答】解:∵拼成的长方形的长为，宽为，∴有解得，，∴长方形的面积.故选6.【答案】B【考点】完全平方式完全平方公式【解析】此题暂无解析【解答】解：..故选.7.【答案】C【考点】完全平方公式(a +b)(a −b){a +b =30，a −b =20，a =25b =5II =b(a −b)=5×(25−5)=100B.∵A−B =(−2x)−(−6x−4)x 2=+4x+4=(x+2≥0x 2)2∴A ≥B B根据两平方项确定出这两个数是和，再根据完全平方公式的乘积二倍项列式求解即可．【解答】解：∵是完全平方式，∴，解得．故选.8.【答案】A【考点】平方差公式的几何背景【解析】利用正方形的面积公式可知剩下的面积，而新形成的矩形是长为，宽为，根据两者相等，即可验证平方差公式．【解答】解：利用正方形的面积公式可知剩下的面积，而新形成的矩形是长为，宽为，面积为，根据两者相等，可得：．故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】【考点】平方差公式完全平方公式【解析】首先把和结合，然后运用平方差公式和完全平方公式计算即可.【解答】x 4+mx+16x 2mx =±2×4⋅x m=±8C =−a 2b 2a +b a −b =−a 2b 2a +b a −b (a +b)(a −b)−=(a +b)(a −b)a 2b 2A −+2bc −a 2b 2c 2b c解：.故答案为：.10.【答案】【考点】完全平方公式的几何背景【解析】设正方形的边长为，正方形的边长为，由图形得出关系式求解即可．【解答】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，由图甲得即，由图乙得，即，所以.故答案为：.11.【答案】或【考点】完全平方式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵是完全平方式，∴或，∴或.故答案为：或.12.【答案】(a −b +c)(a +b −c)=[a −(b −c)][a +(b −c)]=−a 2(b −c)2=−(−2bc +)a 2b 2c 2=−+2bc −a 2b 2c 2−+2bc −a 2b 2c 211A aB b A a B b −−2(a −b)b =a 2b 21+−2ab =a 2b 21(a +b −−=)2a 2b 2102ab =10+=a 2b 2111124+2(m−3)x+1x 2m−3=−1m−3=1m=2m=424【考点】完全平方公式【解析】本题根据完全平方公式解决问题.【解答】解：是完全平方式，，.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）13.【答案】,由可得.由得：，故．．【考点】完全平方公式的几何背景【解析】无无无无【解答】解：观察图可以得到阴影部分的面积为，也可以为；故答案为：；.由可得.由得：，故．．±3∵+6x+x 2k 2∴=k 2()622∴k =±3±3−4mn (m+n)2(m−n)2(2)(1)=−4mn (m−n)2(m+n)2(3)(2)=−4ab =−4×8=68(a −b)2(a +b)2102a −b =±217−−√=+3b +3a +(a +b)3a 3a 2b 2b 3(1)(m−n)2−4mn (m+n)2−4mn (m+n)2(m−n)2(2)(1)=−4mn (m−n)2(m+n)2(3)(2)=−4ab =−4×8=68(a −b)2(a +b)2102a −b =±217−−√(4)=+3b +3a +(a +b)3a 3a 2b 2b 3=+3b +3a +33223故答案为：．14.【答案】,解：由已知得：①∵，∴,∵,∴.②设，，则，∵，∴.∵，∴，即.【考点】完全平方式完全平方公式的几何背景【解析】解：由图，图可得，有如下两种方法：故答案为：； .根据完全平方公式可得：，故答案为：.【解答】解：由图，图可得，有如下两种方法：，，故答案为：； .根据完全平方公式可得：，=+3b +3a +(a +b)3a 3a 2b 2b 3(a +b)2+2ab +a 2b 2(a +b =++2ab)2a 2b 2(3)a +b =5(a +b =+2ab +=25)2a 2b 2+=13a 2b 2ab =62019−a =x a −2018=y x+y =1(2019−a +(a −2018=5)2)2+=5x 2y 2(x+y =+2xy+)2x 2y 2xy ==−2(x+y −(+))2x 2y 22(2019−a)(a −2018)=−2(1)12(a +b)2+2ab +a 2b 2(a +b)2+2ab +a 2b 2(2)(a +b =++2ab )2a 2b 2(a +b =++2ab )2a 2b 2(1)12(a +b)2+2ab +a 2b 2(a +b)2+2ab +a 2b 2(2)(a +b =++2ab )2a 2b 2(a +b =++2ab)222故答案为：.解：由已知得：①∵，∴,∵,∴.②设，，则，∵，∴.∵，∴，即.15.【答案】解：原式.【考点】完全平方公式平方差公式【解析】先变形为原式，然后利用平方差公式和完全平方公式计算．【解答】解：原式.16.【答案】第一个图中阴影部分的面积是： ，第二个图中的面积：＝，乘法公式：＝．＝＝．(a +b =++2ab )2a 2b 2(3)a +b =5(a +b =+2ab +=25)2a 2b 2+=13a 2b 2ab =62019−a =x a −2018=y x+y =1(2019−a +(a −2018=5)2)2+=5x 2y 2(x+y =+2xy+)2x 2y 2xy ==−2(x+y −(+))2x 2y 22(2019−a)(a −2018)=−2=[x+(2y−3z)][x−(2y−3z)]=−x 2(2y−3z)2=−(4−12yz+9)x 2y 2z 2=−4+12yz−9x 2y 2z 2=[x−(2y−3z)][x−(2y−3z)]=[x+(2y−3z)][x−(2y−3z)]=−x 2(2y−3z)2=−(4−12yz+9)x 2y 2z 2=−4+12yz−9x 2y 2z 2−a 2b 2a(a −b)+b(a −b)(a +b)(a −b)−a 2b 2(a +b)(a −b)−2020×201820192−(2019+1)×(2019−1)201921【考点】平方差公式的几何背景【解析】（1）分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，继而可得出公式；（2）由平方差公式可求解．【解答】第一个图中阴影部分的面积是： ，第二个图中的面积：＝，乘法公式：＝．＝＝．−a 2b 2a(a −b)+b(a −b)(a +b)(a −b)−a 2b 2(a +b)(a −b)−2020×201820192−(2019+1)×(2019−1)201921。
人教版八年级上册数学同步解析
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人教版初中数学八年级上册2013目录第十一章三角形 (4)本章综合解说 (4)11.1 与三角形有关的线段 (4)学习目标 (4)知识详解 (4)课外拓展 (9)11.2 与三角形有关的角 (10)学习目标 (10)知识详解 (10)课外拓展 (13)11.3 多边形及其内角和 (13)学习目标 (13)知识详解 (13)课外拓展 (18)单元总结 (18)单元测试 (20)第十二章全等三角形 (25)本章综合解说 (25)12.1 全等三角形 (26)学习目标 (26)知识详解 (26)课外拓展 (32)12.2 三角形全等的判定 (33)学习目标 (33)知识详解 (33)课外拓展 (39)12.3 角的平分线的性质 (39)学习目标 (39)知识详解 (39)课外拓展 (43)单元总结 (43)单元测试 (47)第十三章轴对称 (52)本章综合解说 (52)13.1 轴对称 (53)学习目标 (53)知识详解 (53)课外拓展 (57)13.2 画轴对称图形 (57)学习目标 (57)知识详解 (58)课外拓展 (62)13.3 等腰三角形 (62)学习目标 (62)知识详解 (62)课外拓展 (67)13.4 课题学习最短路径问题 (67)学习目标 (67)知识详解 (67)课外拓展 (72)单元总结 (72)单元测试 (75)第十四章整式的乘法与因式分解 (82)本章综合解说 (82)14.1 整式的乘法 (83)学习目标 (83)知识详解 (83)课外拓展 (87)14.2 乘法公式 (87)学习目标 (87)知识详解 (87)课外拓展 (90)14.3 因式分解 (91)学习目标 (91)知识详解 (91)课外拓展 (94)单元总结 (94)单元测试 (97)第十五章分式 (102)本章综合解说 (102)15.1 分式 (102)学习目标 (102)知识详解 (103)课外拓展 (106)15.2 分式的运算 (106)学习目标 (106)知识详解 (106)课外拓展 (110)15.3 分式方程 (110)学习目标 (110)知识详解 (110)课外拓展 (113)单元总结 (113)单元测试 (116)期中测试 (120)期末测试 (129)第十一章三角形本章综合解说学习目标1.理解三角形及与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线）的概念，证明三角形两边的和大于第三边，了解三角形的重心的概念，了解三角形的稳定性。
2.理解三角形的内角、外角的概念，探索并证明三角形内角和定理，探索并掌握直角三角形的两个锐角互余，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
3.了解多边形的有关概念（边、内角、外角、对角线、正多边形），探索并掌握多边形的内角和与外角和公式。
内容提要三角形是一种基本的几何图形，本章在线段与角、相交线与平行线的基础上介绍三角形的概念与性质，进而研究多边形的概念与性质。
在本章，学生进一步学习通过推理得出数学结论的方法，提高推理能力。
本章的有关内容有广泛的实际应用，也是学习各种特殊三角形（如等腰三角形、直角三角形）与平行四边形等图形知识的基础。
学法指导三角形是基本的几何图形之一，在生产和生活中有广泛的应用。
教科书通过举出三角形的实际例子让学生认识和感受三角形，形成三角形的概念。
多边形概念的引入，也是类似处理的。
三角形有很多重要的性质，如稳定性，三角形的内角和等于180°。
教科书在介绍三角形的稳定性的同时，顺带介绍了四边形的不稳定性，这些内容是通过如下的实际问题引入的：“盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？”。
然后通过实验得出三角形有稳定性，四边形没有稳定性的结论，进而明白在上述实际问题中“斜钉一根木条”的道理。
除此之外，教科书还举出了一些应用三角形的稳定性，四边形的不稳定性的实际例子。
对于三角形的内角和等于180°，教科书则安排求视角的实际问题作为例题，加强与实际的联系。
11.1 与三角形有关的线段学习目标1.认识三角形，能用符号语言表示三角形，并把三角形分类。
2.知道三角形三边不等的关系。
3.懂得判断三条线段能否构成一个三角形的方法，并能用于解决有关的问题。
知识详解1.三角形的边由不在同一条直线的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
如图，顶点是A，B，C的三角形，记作：“△ABC”，读作三角形ABC。
边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边，如图，线段AB，BC，CD是三角形的边。
顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。
内角：相邻两边组成的角叫做三角形的角。
如图，∠A，∠B，∠C是三角形的角。
2.三角形的分类不等边三角形三角形按边分类：底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形锐角三角形三角形按角分类：直角三角形钝角三角形3. 三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。
三角形两边之和大于第三边指的是三角形中任意两边之和都大于第三边，即a＋b＞c，c＋b ＞a，a＋c＞b三个不等式同时成立。
注意：①判定三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可②在实际运用中，已经两边的长度，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之和作用：①利用三角形的三边关系，在已知两边的三角形中可以确定第三边的取值范围；②根据所给三条线段长度判断这三条线段能否构成三角形；“两点之间线段最短”是三边关系得出的理论依据。
4. 三角形的高、中线、角平分线（1）三角形的高概念：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形的三条高都在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；③三角形三条高所在直线交于一点。
（2）三角形的中线在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做三角形的中线。
注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形内部；③三角形三条中线交于三角形内部一点；④中线把三角形分成面积相等的两个三角形。
重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
（3）三角形的角平分线在三角形中，一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；④可以用量角器画三角形的角平分线。
5. 三角形的稳定性三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性。
【典型例题】例1：如图，图中三角形的个数为（）A ．2B ．18C ．19D ．20【答案】D【解析】线段AB 上有5个点，线段AB 与点C 组成5³（5－1）÷2=10个三角形；同样，线段DE 上也有5个点，线段DE 与点C 组成5³（5－1）÷2=10个三角形，图中三角形的个数为20个，故选D 。
例2：如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形__________个。
【答案】21【解析】根据前边的具体数据，再结合图形，不难发现：后边的总比前边多4，若把第一个图形中三角形的个数看作是1=4－3，则第n 个图形中，三角形的个数是4n －3．所以当n=6时，原式=21。
例3：在△ABC 中，有一点1p ，当1p 、A 、B 、C 没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当△ABC 内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？完成下表：【答案】【解析】当△ABC内有1个点时，构成不重叠的三角形的个数是3=1³2＋1；当△ABC内有2个点时，构成不重叠的三角形的个数是5=2³2＋1；参考上面数据可知，三角形的个数与点的个数之间的关系是：三角形内有n个点时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n+1，故当有3个点时，三角形的个数是3³2＋1=7；当有1007个点时，三角形的个数是1007³2＋1=2015【误区警示】易错点1：根据三角形的三边不等关系确定未知字母的范围1. 三角形的三边分别为3，1－2a，8，则a的取值范围是（）A．－6＜a＜－3B．－5＜a＜－2C．2＜a＜5D．a＜－5或a＞－2【答案】B【解析】根据题意，得8－3＜1－2a＜8＋3，即5＜1－2a＜11，解得－5＜a＜－2．故选B。
易错点2：三角形三边关系2. 下列长度的三条线段（单位：厘米）能组成三角形的是（）A．1,2,3.5B．4,5,9C．5,8,15D．6,8,9【答案】D【解析】选择最短的两条线段，计算它们的和是否大于最长的线段，若大于，则能构成三角形，否则构不成三角形，只有6＋8＝14＞9，所以D能构成三角形。
【综合提升】针对训练1. 三角形的三条高在（）A．三角形的内部B．三角形的外部C．三角形的边上D．三角形的内部、外部或边上2. 如图，AE是△ABC的中线，EC＝6，DE＝2，则BD的长为（）A．2 B．3 C．4 D．63. 在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，如果b=4，则这样的三角形共有______个1.【答案】D【解析】三角形的三条高交于一点，但有三种情况：当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部，所以只有D正确。
2.【答案】C【解析】因为AE是△ABC的中线，所以BE＝EC＝6.又因为DE＝2，所以BD＝BE－DE＝6－2＝43.【答案】10【解析】∵在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，∴c＜a+b．∵b=4，∴a=1，2，3，4．a=1时，c=4；a=2时，c=4或5；a=3时，c=4，5，6；a=4时，c=4，5【中考链接】A．3B．4C．9 2D．5【答案】C【解析】∵点P在y=1x上，∴|x p|³|y p|=|k|=1，∴设P的坐标是（a，1a）（a为正数），∵PA⊥x轴，∴A的横坐标是a，∵A在y=-2x上，∴A的坐标是（a，-2a），∵PB⊥y轴，∴B的纵坐标是1a，∵B在y=-2x上，∴代入得：1a=-2 x ，解得：x=-2a，∴B的坐标是（-2a，1a），∴PA=|1a-（-2a）|=3a，PB=|a-（-2a）|=3a，∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，∴PA⊥PB，∴△PAB的面积是：12PA³PB=12³3a³3a=92课外拓展三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。