梅涅劳斯定理复习过程
第一章梅涅劳斯定理
第一章 梅涅劳斯定理基础知识梅涅劳斯定理：证明：梅涅劳斯定理的逆定理：证明：典型例题与基本方法例1 如图，在四边形ABCD 中，ABD ∆，BCD ∆，ABC ∆的面积比是1:4:3，点N M ,分别在AC ，CD 上，满足CD CN AC AM ::=，并且N M B ,,共线.求证：M 与N 分别是AC 和CD 的中点.例2 如图，圆1O 与圆2O 和ABC ∆的三边所在的3条直线都相切，H G F E ,,,为切点，直线EG 与FH 交于点P .求证：BC PA ⊥.例3 已知ABC ∆的重心G ，M 是BC 边的中点，过G 作BC 边的平行线交AB 边于X ，交AC 边于Y ，且XC 与GB 交于点Q ，YB 与GC 交于点P .证明：MPQ ABC DD .例4 ABC ∆是一个等腰三角形，AC AB =，M 是BC 的中点；O 是AM 的延长线上的一点，使得AB OB ⊥；Q 是线段BC 上不同于B 和C 的任意一点，E 在直线AB 上，F 在直线AC 上，使得F Q E ,,同一直线上的三个不同点.求证：（Ⅰ）若EF OQ ⊥，则QF QE =；（Ⅱ）若QF QE =，则EF OQ ⊥.例5 在凸四边形ABCD 的边AB 和BC 上取点E 和F ，使线段DE 和DF 把对角线AC 三等分，已知ABCD CDF ADE S S S 41==∆∆. 求证：ABCD 是平行四边形.例6 在ABC ∆中，1AA 为BC 边上的中线交BC 于1A ，2AA 为BAC ∠的平分线交BC 于2A ，K 为1AA 上的点，使AC KA //2. 证明：KC AA ⊥2.例7 给定锐角ABC ∆，在BC 边上取点21,A A （之间与位于C A A 12），在CA 边上取点21,B B （之间与位于A B B 12），在AB 边上取点21,C C （之间与位于B C C 12），使得122112211221C CC C CC B BB B BB A AA A AA ∠=∠=∠=∠=∠=∠，直线111,CC BB AA 与可构成一个三角形，直线222,CC BB AA 与可构成另一个三角形.证明：这两个三角形的六个顶点共圆.例8 以ABC ∆的底边BC 为直径作半圆，分别与边AB ，AC 交于点D 和E ，分别过点ED ,作BC 的垂线，垂足依次为G F ,，线段DG 和EF 交于点M .求证：BC AM ⊥.例9 已知凸四边形ABCD 的一组对边BA 与CD 的延长线交于M ，且//AD BC ，过M 作截线交另一组对边所在直线于L H ,，交对角线所在直线于','L H . 求证：'1'111ML MH ML MH +=+.例10 ABC ∆的内切圆分别切三边AB CA BC ,,于点F E D ,,，点X 是ABC ∆的一个内点，XBC ∆的内切圆在点D 处与BC 边相切，并与CX ，XB 分别相切于点Z Y ,. 证明：EFZY 是圆内接四边形.例11 如图，四边形ABCD 内接于圆，其边DC AB ,的延长线交于点P ，AD 和BC 的延长线交于点Q ，过Q 作该圆的两条切线，切点分别为F E ,.求证：F E P ,,三点共线.例12 已知ABC 的内切圆分别切AB CA BC ,,于点F E D ,,，线段CF BE 、分别与该内切圆交于点Q P 、，若直线BC FE 与交于圆外一点R . 证明：R Q P 、、三点共线.练习。
梅涅劳斯定理的证明
梅涅劳斯定理的证明梅涅劳斯定理是描述三角形内切圆半径和三角形三边的关系的定理。
它是数学中的一个经典结果。
下面将详细阐述梅涅劳斯定理的证明过程。
我们需要明确梅涅劳斯定理的表达方式：对于任何三角形ABC，设其外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，且三角形的三条边分别为a，b，c，则有如下关系：r = (s - a)tan(A/2) = (s - b)tan(B/2) = (s - c)tan(C/2)其中，s = (a + b + c)/2是三角形的半周长，A，B，C是三个内角。
现在，我们来证明这个定理。
证明步骤如下：设三角形的内切圆的圆心为O。
我们知道，三条角平分线Ox，Oy，Oz交于一点I，称为三角形的内心。
因此，我们可以将三角形ABC分成三个小三角形，即三角形OAx，OBy和OCz。
那么，根据余弦定理，我们可以得到以下几个关系：(1) OA² = IO² + IA²(2) OB² = IO² + IB²(3) OC² = IO² + IC²我们现在来计算这三个关系。
根据定义，IO就是内心到内切圆的半径，即IO=r。
那么，(1)式可以写成：OA² = r² + IA²接下来，我们来计算IA²。
由于IA是角平分线，所以IA与角C的角平分线OC构成的角为90度。
那么，IAOC构成一个直角三角形。
根据勾股定理，我们可以得到：IA² = IC² + AC²将这个结果代入(1)式，得到：OA² = r² + IC² + AC²同理，我们可以计算OB²和OC²，得到：OB² = r² + IA² + AB²OC² = r² + IB² + BC²接下来，我们来计算三角形ABC的面积S。
平面几何的几个重要的定理--梅涅劳斯定理
平面几何的几个重要的定理（一）梅涅劳斯定理一、基础知识梅涅劳斯定理 若直线l 不经过△ABC 的顶点，并且与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或它们的延长线分别交于P 、Q 、R ，则1BP CQ AR PC QA RB ⋅⋅= 梅涅劳斯定理的逆定理 设P 、Q 、R 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或它们的延长线上的三点（并且P 、Q 、R 三点中，位于△ABC 边上的点的个数为0或2），若1BP CQ AR PC QA RB ⋅⋅=，则P 、Q 、R 三点共线.由和分比定理可得R R '∴与重合 ∴P 、Q 、R 三点共线二、典型例题与基本方法1. 恰当地选择三角形及其截线（或作出截线），是应用梅涅劳斯定理的关键例1 如图，在四边形ABCD 中，△ABD 、△BCD 、△ABC 的面积之比是3∶4∶1，点M 、N 分别在AC 、CD 上，满足AM ∶AC =CN ∶CD ，且B 、M 、N 三点共线．求证：M 与N 分别是AC 和CD 的中点.A BC DM N1A B C C B A C A Bh h h A B C l h h h BP CQ AR PC QA RB h h h ⋅⋅=⋅⋅=证：设、、分别是、、到直线的垂线的长度，则：BP 1PC CQ AR PQ AB R QA R B ''⋅⋅='证：设直线与直线交于，于是由梅氏定理得：BP 1PC CQ AR AR AR QA RB R B RB '⋅⋅='又，则：＝AR AR AB AB'＝2. 梅涅劳斯定理的逆用（逆定理的应用）与迭用，是灵活应用梅氏定理的一种方法 例2 点P 位于△ABC 的外接圆上，111A B C 、、是从点P 向BC 、CA 、AB 引的垂线的垂足，证明点111A B C 、、共线.三、解题思维策略分析1. 寻求线段倍分的一座桥梁例3 △ABC 是等腰三角形，AB=AC ，M 是BC 的中点；O 是AM 延长线上的一点，使得OB ⊥AB ； Q 为线段BC 上不同于B 和C 的任意一点，E 、F 分别在直线AB 、AC 上使得E 、Q 、F 是不同的和共线的．求证：（1）若OQ EF ⊥，则QE QF =；（2）若QE QF =，则OQ EF ⊥.111111*********|cos |,|cos ||cos ||cos ||cos ||cos |,,1801BA BP PBC CA CP PCB CB CP PCA AB AP PAC AC AP PAB BC PB PBA PAC PBC PAB PCB PCA PBA BA CB AC CA AB BC A B C ⋅∠=⋅∠⋅∠=⋅∠⋅∠=⋅∠∠=∠∠=∠∠+∠=︒⋅⋅证：易得：将上面三个式子相乘，且可得＝依梅涅劳斯定理可知、、三点共线.2. 导出线段比例式的重要途径例4 直角△ABC 中，CK 是斜边上的高，CE 是∠ACK 的平分线，E 点在AK 上，D 是AC的中点，F 是DE 与CK 的交点. 求证：//BF CE .3. 论证点共线的重要方法例5 设不等腰△ABC 的内切圆在三边BC CA AB 、、上的切点分别为D E F 、、，证明：EF 与CB ，FD 与AC ，ED 与AB 的交点X Y Z 、、在同一条直线上.X Y Z ABC X Y Z ∆又、、都不在的边上，由梅氏定理的逆定理可得、、三点共线 例6 如图，△ABC 的内切圆分别切三边BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，点X 是△ABC 的一个内点，△XBC 的内切圆也在点D 处与BC 边相切，并与CX 、XB 分别相切于点Y 、 Z. 证明：EFZY 是圆内接四边形.11BX CE AF ABC XFE XC EA FB ∆⋅⋅=证：被直线所截，由定理可得：BX FB AE AF XC CE=又代人上式可得：＝CY DC AZ EA YA AF ZB BD同理可得：＝＝1BX CY AZ XC YA ZB⋅⋅=将上面三条式子相乘可得：。
初二奥数精讲——第15讲塞瓦定理与梅列劳斯定理定理（一）
初二奥数精讲——第15讲塞瓦定理与梅列劳斯定理定理（一）一、知识点解析1. 基本知识塞瓦（Ceva）定理：设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB 或延长线上的点，则AD、BE、CF三线共点或互相平行的充要条件是塞瓦（Ceva）定理角元形式：设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB或延长线上的点，令∠BAD=α1，∠CAD=α2，∠CBE=β1，∠ABE=β2，∠ACF=γ1，∠BCF=γ2，则AD、BE、CF三线共点或互相平行的充要条件是梅涅劳斯（Menelaus）定理：设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB或延长线上的点，则D、E、F共线的充要条件是2. 基本方法循环积：塞瓦定理与梅涅劳斯定理的证明都可采用这样一种方法：要证三个比值的积为1，可设法找到三个量（比如线段）x、y、z，使三个比值分别为x/y、y/z、z/x，则它们的积（我们称这种积为循环积）显然为1.3. 基本问题利用塞瓦定理与梅涅劳斯定理，常可解决如下一些问题：（1）证明点共线与线共点；（2）求线段长（比）；（3）已知有关线段的比，求相应的参数；（4）证明恒等式；（5）求满足某种条件的点的轨迹。
这部分主要考察学生对塞瓦定理与梅涅劳斯定理的了解及掌握。
塞瓦定理与梅涅劳斯定理是几何部分的“高阶”定理，这部分题目难度大，常与代数等知识点混合在一起考察，需要一定的空间想象能力和知识基础，要在扎实的基础知识基础上，认真学习，多加练习，让我们在例题和解答中一起学习吧。
二、例题例1证明塞瓦（Ceva）定理：设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB或延长线上的点，则AD、BE、CF三线共点的充要条件是分析：可以从线段角度出发，找到三条线段x、y、z，使得从这个角度考虑，可以过E、F、M中的某个点作三角形另两条边的平行线，通过平行线的比例定理进行求解。
另一方面，我们可以考虑通过面积来考虑，注意到△ACO与△BCO 有公共边CO，从而将比值转化为面积的比值。
梅涅劳斯定理推论
梅涅劳斯定理推论1. 哎呀，说起梅涅劳斯定理的推论，可别觉得是什么高不可攀的数学知识！今天我们就用最接地气的方式，把这个看似复杂的定理聊明白！2. 你们知道吗？梅涅劳斯定理就像是三角形里的"魔法切线"！它告诉我们，当一条直线横着切过三角形的三条边时，就会发生一些神奇的事情。
3. 来，我们打个超级生动的比方：想象一下，三角形就是一块大披萨，这条横着切过去的线就像是一把锋利的披萨刀。
这刀一划，就把三条边都切出了点，这些点之间还藏着特别的数学关系呢！4. 定理的推论告诉我们，如果在三角形的三边上分别取了三个点，只要这三个点满足一定的比例关系，它们就一定在同一条直线上。
就像是三个小伙伴约好了，非要排成一条直线拍照似的！5. 这个推论最厉害的地方在于，它给了我们一个判断三点共线的绝妙武器！你看啊，只要算算这些线段的比值，就能知道这三个点是不是真的乖乖排成一条直线了。
6. 有趣的是，这个推论还能反过来用。
如果我们发现三个点在一条直线上，那它们把三角形的边分成的部分肯定也符合特定的比例关系，就像是一个完美的平衡艺术！7. 在解题的时候，这个推论简直就是救命稻草！遇到那些看起来特别难的共线问题，只要想到用梅涅劳斯定理的推论，问题就会变得清晰明了，就像是迷雾中突然出现了一盏明灯！8. 我给大家举个实际的例子：假如你在三角形边上随便点了三个点，想知道它们是不是在一条直线上，不用傻傻地去拿尺子量，用这个推论算算比值就搞定啦！9. 这个推论还告诉我们一个有趣的事实：如果三个点真的共线，那么它们产生的六段线段之间会有一个神奇的乘积关系，就像是数学界的"连连看"游戏！10. 在几何题中，这个推论经常会和其他定理"联手作战"。
比如和塞瓦定理搭配使用，简直就是几何问题的"黄金搭档"，威力大得惊人！11. 记住啊，运用这个推论的时候，别忘了注意正负号。
冲击名校专题-梅涅劳斯定理
1梅涅劳斯定理模块一：梅涅劳斯定理的应用梅涅劳斯定理：如果一条直线与ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点，那么1AF BD CEFB DC EA ⋅⋅=．这条直线叫ABC △的梅氏线，ABC △叫梅氏三角形．梅涅劳斯定理的证明：证法一：如图，过C 作CG//DF ，∵DB FB DC FG =，EC FGAE AF=， ∴1AF BD CE AF FB FG FB DC EA FB FG AF ⋅⋅=⋅⋅=．证法二：如图，过A 作AG//BD 交DF 的延长线于G ，∴AF AG FB BD =，BD BD DC DC =，CE DC EA AG= 三式相乘即得：1AF BD CE AG BD DCFB DC EA BD DC AG⋅⋅=⋅⋅=．证法三：如图，分别过A 、B 、C 作DE 的垂线，分别交于1H 、2H 、3H ．则有1AH //2BH //3CH ， ∴3122311CH AH BH AF BD CE FB DC EA BH CH AH ⋅⋅=⋅⋅=．模块二：梅涅劳斯定理的逆定理梅涅劳斯定理的逆定理：若F 、D 、E 分别是ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线的三点，如果1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=，则F 、D 、E 三点共线．典题精练：1．如图，在ABC △中，AD 为中线，过点C 任作一直线交AB 于点F ，交AD 于点E ，求证：:2:AE ED AF FB =．2．如图，在ABC △中，AD 、CE 交于点F ，若:4:5AE BE =，AF DF =，求:CF FE ．3．如图，点D 、E 分别在ABC △的边AC 、AB 上，AE EB =，23AD DC =，BD 与CE 交于点F ，40ABC S =△．求AEFD S ．4．如图，在ABC △中，5AB =，8BC =，BD BE =，2AF FC =，BF 交DE 于点P ．求:DP PE ．A F EA BD CE FAF GE B C D G A FEBCDA F1H 2H E3H BCDFDEC BA ADFPBEC2KQPHGFED CBA5．已知AD 是ABC △的高，点D 在线段BC 上，且3BD =，1CD =，作DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，连接EF 并延长，交BC 的延长线于点G ，求CG ．6．如图，在ABC △中，D 为BC 的中点，::4:3:1AE EF FD =．求::AG GH AB ．7．P 是平行四边形ABCD 内任意一点，过P 作AD 的平行线，分别交AB 于E ，交CD 于F ；又过P 作AB 的平行线，分别交AD 于G ，交BC 于H ，又CE ，AH 相交于Q ．求证：D ，P ，Q 三点共线．8．如图，在ABC △中，A ∠的外角平分线与边BC 的延长线交于点P ，B ∠的平分线与边CA 交于点Q ，C ∠的平分线与边AB 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线．9．如图，在ABC △中，:2:1AE EC =，:4:1BD DC =，AD 、BE 交于点F ，求:BF FE ．10．如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =．AM 为BC 边上的中线，CD AM ⊥于点D ，CD 的延长线交AB 于点E ．求AEEB ．11．如图，在ABC △中，D 为AC 中点，BE EF FC ==，求证：::5:3:2BM MN ND =．12．如图，CD 、BE 、AF 分别为ABC △（ABC △不是等边三角形）的三个外角平分线，分别交AB 、AC 、BC 于D 、E 、F ．证明：D 、E 、F 三点共线．AEBDC GFARBCPQA GBDCHEFAFECDEBM C A C B EADMNBEFCD ABCE F。
几何第01讲-几何的有名定理(1)复习进程
第一讲 几何的有名定理（1）一 梅涅劳斯定理Menelaus (公元98年左右)，希腊数学家、天文学家，梅涅劳斯定理包含在其几何著作《球论》里．设△ABC 的三边BC 、CA 、AB或它们的延长线与一条不经过其顶点的直线交于P 、Q 、R 三点，则.1..=⋅RBAR QA CQ PC BP设P 、Q 、R 分别是△AB 的三边BC 、CA 、AB 上或它们延长线上三点，若有,1..=RBAR QA CQ PC BP 则P 、Q 、R 三点在同一直线上． 例1． 过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于E 、F ，交CB 于D 。
求证：1=+FACFEA BE 。
证 连AG,交BC 于M, DEF 截△ABM →1BE AG MD EA GM DB ⋅⋅=→2BE GM GM DBEA AG AG MD =⋅=DEF 截△AMC →1CF AG MD FA GM DC ⋅⋅=→2CF GM DC DCFA AG MD MD=⋅= 故122BE CF DB DCEA FA MD MD+=+= 评注 也可以添加辅助线证明：过A 、B 、C 之一作DF 的平行线。
D例2. 设△ABC 的∠A 的外角平分线与∠B 的延长线交于P ， B 的平分线与A 交于Q, C 的平分线和AB 交于R(图15-7).求证P 、Q 、R 三点共线.分析 要证P 、 Q 、R 三点共线，只需证明1BP CQ ARPC QA RB⋅⋅=，利用三角形内角及外角平分线的性质不难得到.例3. 莱莫恩(Lemoine)线如图，过△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB的延线交于P 、Q 、R ．求证P 、Q 、R 三点共线．分析 欲证P 、Q 、R 三点共线，只须证明.1..=RBAR QA CQ PC BP 证明 因AP 为圆的切线，所以△ACP ∽△ABP ，从而有⋅==CPAPAC AB AP BP AC AB , 两式相乘得⋅=22AC AB CP BP 同理可得,22AB BC QA CQ =⋅=22BC CA RB AR .1..=∴RBARQA CQ CP BP 由梅涅劳斯定理的逆定理得，P 、Q 、R 三点共线，例4．戴沙格（Desargues ）定理 设△ABC 和△A’B’C’对应顶点的连线A A’，BB’，CC’交于一点S ，这时如果对应边BC 和B’C’、CA 和C’A’、AB 和A’B’（或它们的延长线）相交，则它们的交点D 、E 、F 在同一直线上．分析 由于D 、E 、F 三点分别在△ABC 三边延长线上，要证三点共线，只须证明1.=⋅EACF DC BD FB AF 注意图中多个三角形被多条直线所截；反复利用梅涅劳斯定理，即可得证．证明 因直线FA’B’截△SAB ，由梅涅劳斯定理，有1''''=⋅⋅SB BB FB AF A A SA 同理，直线BCA 截△SAC ，有.1''''=⋅⋅EACEC C SC AA AA 直线DC’B’截△SBC ，有 .1''''=⋅⋅SC CC DC BD B B SB 三式相乘，得1..=EA CEDC BD FB AF , 由梅涅劳斯定理逆定理，D 、E 、F 三点共线.注 戴沙格定理是射影几何中的一个重要定理.例5. 牛顿（Newton ）线设四边形ABCD 的一组对边AB 和CD 的延长线交于点E ，另一组对边AD 和B 的延长线交于F ，则AC 中点L 、BD 中点M 及EF 中点N 三点共线.分析 为了证明L 、M 、N 共线，可考虑L 、M 、N 三点是否分别在一个三角形的边或延长线上．由它们分别是AC 、BD 、E 的中点，设△EBC 三边中点为P 、R 、Q ，则显然有M 在P 上，L 在R 上，N 在P 延长线上．再利用梅涅劳斯定理不难得到证明．证明 设P 、R 、Q 分别为EB 、BC 、CE 中点，因为L 、Q 、R 分别是CA 、CE,CB 的中点，所以它们在同一直线上，且有⋅=AB EALR QL 同理，M 、R 、P 三点在同一直线上，且DECDMP RM =N 、P 、Q 三点在同一直线上，且⋅=FCBFNQ PN 三式相乘得⋅⋅⋅=⋅⋅FCBFDE CD AB EA NQ PN MP RM LN QL 但因直线AD 切割△EBC 由梅涅劳斯定理，有,1.=⋅NQCD FC BF AB RA .1.=⋅∴NQPNMP RM LR QL 因L 、M 、N 三点分别在△PQ 三边或其延长线上，故由梅涅劳斯定 理逆定理，L 、M 、N 三点共线，注 直线LMN 叫做四边形ABCD 的牛顿线。
2022年高考数学梅涅劳斯定理及其逆定理
分析与线段的比有关的问题，G ，则有b AE EC AF GF ===，你发现了BF AF 、AE CE 、CD BD CD BD ·AE CE ·BFAF =1事实上，这个结论是由古希腊数学家梅涅劳斯（定理）：一直线截△ABC 的边BC 、如果你觉得记忆起来比较困难的话，可以这样想：分点顶点顶点分点·分点顶点顶点分点·梅涅劳斯定理的证明方法还有很多，如面积法等。
读者可以自己常使用不同的方法证明．分析已知DB AD 、CE AC 解∵△ABC 被直线∴DB AD ·FC BF ·EA CE ∵25=DB AD ，=CE AC ∴73=EA CE ．∴17325=∙∙FC BF ，∴1514=FC BF ．例2如图24.7.3，在△EBAE ．解在Rt △AMC 中,∵CD⊥AM,AC=2CM,∴CMAC AM DM AM AD DM AD =∙∙=∵△ABM 被直线EDC 所截，∴DA MD CM BC EB AE ∙∙=1（梅涅劳斯定理），即∴2=EBAE ．分析由题设知需先求出相关三角形的面积与边的比例关系．简解由图易得BC BD S S ABC ABD =∆∆∴BC BD AD AM S ABM ∙=∆∵△ACD 被直线BME 所截，∴1=∙∙MADM BD CB EC AE （梅涅劳斯定理）∴12+=∙=k k BC BD AE EC MA DM ∴1=+=AM DM MA DM 代入①式得2+=∆k k S ABM 同理，2==∆∆k S S ACP BCN (+-=∆∆∆S S S ABM ABC MNP 运用梅涅劳斯定理的关键在于要看清哪个三角形的三边或延长线被哪条线断所截．2．已知：如图，PA求证：PQ平分∠CPD 3．如图，E、F为△ABC :．x:zy2．梅涅劳斯定理的逆定理如果点D 、E 、F 是△ABC 的边BC 、CA 、AB 或其延长线上的点，并且1=∙∙FBAF EA CE DC BD ，那么点D、E、F 在一条直线上吗？分析如图24.7.5，延长FE 交BC 的延长线于点D’，则由梅涅劳斯定理可知1''=∙∙FB AF EA CE C D BD ∵1'=∙∙FB AF EA CE DC BD ∴DC BD C D BD =''∴DC BD BD C D BD BD -=-'''，即BCBD BC BD ='∴BD BD ='，即点D’与点D 重合，∴点D、E、F 在一条直线上，即点D、E、F 三点共线．于是我们有：梅涅劳斯定理的逆定理如果点D 、E 、F 是△ABC 的边BC 、CA 、AB 或其延长线上的点，并且1=∙∙FBAF EA CE DC BD ，那么点D、E、F 三点共线．例4已知：如图24.7.6，△ABC 两内角∠B、∠C 的平分线分别交对边于点E、F，∠A 的外角平分线交直线BC 于点D．求证：D 、E 、F 三点共线．证明∵∠A 的外角平分线与BC 直线相交，∴AB≠AC，不妨设AB﹥AC，则D 在BC 延长线上∵∠B、∠C 的平分线分别交对边于点E、F，∠A 的外角平分线交直线BC 于点D∴ACAB CD BD =（三角形外角平分线性质定理）AB BC AE CE =，BCAC FB AF =（三角形的内角平分线定理）∴1=∙∙=∙∙BCAC AB BC AC AB FB AF EA CE DC BD ∴D、E、F 三点共线（梅涅劳斯定理的逆定理）证明在△ABC 中，直线DET 分别交BC ∴1=∙∙DBAD EA CE TC BT （梅涅劳斯定理）设CD 、BE 相交于点H ，则H 为△ABC ∵DF⊥BC，EG⊥BC，∴AH∥DF∥EG∴GH CG EA CE =，FBHF DB AD =，代入①得∴F、G、T 三点共线（梅涅劳斯定理的逆定理）．梅涅劳斯定理的逆定理是证明三点共线的有效方法，的逆定理这一种方法，还有证明角度为180反证法是一种论证方式，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立）果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证．我们证明梅涅劳斯定理的逆定理的方法就是同一法．练习24.7（2）．已知：如图，△ABC 的∠A 的外角平分线与边平分线与边AB 交于点R．求证：P 、Q 、R 三点共线．2．如图，在△ABC 13AG AB =,13BE =4．已知：如图，设X CP交BC、AC、AB于练习24.7（2）1．求证：三角形的外角平分线各与对边所在直线的交点，三点共线．．如图，不妨设'A A 的中垂线''PA 于BC '''''''CAA A AA A AC AA A ∠=∠-∠=∠''ACA ∆∽''BAA ∆，于是''''ABA ACC S BA A C S ∆∆=22''''CB BC B A AB =，22''''AC AC C B CB =，于是BA A 由梅氏逆定理，知''A 、B''、C''共线由梅涅劳斯定理有：CN BE NB E ∵N 为BC 中点，∴1CN NB=∴AD ∥BC ，∴△EBC ∽△∴BE BC EA AD =,AO AD OC BC=，③①×②×③得：CN NB 由梅涅劳斯定理的逆定理知：同理，在△ABD 中，可证综上所述：N 、O 、M 4．考虑△OAB 和点1A 、B 考虑△OBC 和点1B 、1C 、考虑△OAC 和点1A 、C 以上三式相乘得2222BC AB AC CB 又2A 、2B 、2C 都在△ABC。
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BX•CY•AZ1 XCYAZB
A
Z●
或 XB•YC •ZA1
●Y
XCYAZB B
▪说明：本节出现的比值都是指有向线段的比
C
●
X
证明：（必要性）
过点 C作CD//XY交 ZAB 于D
BX BZ
A
XC ZD
Z●
CY DZ
D
●Y
YA ZA
从而
B
●
CX
B XX C•C YA Y•A ZZ BZBD Z•D ZAZ•A ZZB1
（充分性）
• 设直线XY与AB相交于点Z′，由上述定 理有：
BX •C• YAZ1
A
XCYAZB
Z●
又已知
Z′
●Y
BX •CY •AZ1B XCYAZB
AZ AZ ZB ZB
●
CX
Z和Z重合
说明：
• ①在证明的过程中，假设了点Z′的存在， 若Z′不存在,则XY∥AB，
我们称XY交AB于AB上的无穷远点
BX XC
SABX SACX
1
2 1
AB• AXs inBAX AC• AXs inXAC
2
A
Z●
●Y
B
●
CX
• ③定理的变形。
梅涅劳斯定理（角元形式）
s iB n• A s iX C n• B s iY A n C 1Z s iX n A s iC Y nB s iA Z nCB
A
Z●
●Y
Z′，并且约定
AZ 1
A
ZB
这样，命题依然成立
●Y
B
●
X
C
• ②定理的结构分析。
BX •CY •AZ1或 XCYAZB
XB•Y C •ZA1 XCY AZB
A
Z●
●Y
B
●
CX
• 利用梅涅劳定理证明时， • 必须先找一个三角形， • 使得X、Y、Z刚好在我们 • 要找的三角形三边所在 • 的直线上.
2
,
CE EA
3
,
则 S D E1 F S A 1 1 B 1 C 2 1 1 2 3 3
三 点 推 广 为
A
A
不
Z●
●Y
共
F
线
E的
三
B
C
●
X
B
D
C点
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梅涅劳斯定理
对于给定的三点或四点,更多的点 的位置关系是什么情况呢？
研究问题，先简单后复杂，对于 三点，我们研究平面图形中边数 最少的封闭图形三角形中三点共 线的问题.
梅涅劳斯（ Menelaus ）定理
设XY , Z,分别为 AB三 C 边 BCC, AA,B 或其 延长线上的点共 ，线 则的 它充 们要条
B
●
CX
④定理的推广研究
• 思考1：对于任意的凸四边形，凸五边
形呢？ B4
A1
B1
A4
B3
A2
A3 B 2
A1B1 • A2B2 • A3B3 • A4B4 ? B1A2 B2A3 B3A4 B4A1
思 设D, E, F分别在三角形ABC的
共 线
边BC,CA, AB上，
考 2：且AF FB来自1,BD DC