参数估计精讲及经典案例
参数估计、假设检验例子
例2： 某公司宣称有75%以上的消费者满意其产品 某公司宣称有75%以上的消费者满意其产品 的质量，一家市场调查公司受委托调查该公司此 项声明是否属实，随机抽样调查625位消费者， 项声明是否属实，随机抽样调查625位消费者， 表示满意该公司产品质量者有500人，试问在 表示满意该公司产品质量者有500人，试问在 0.05的显著性水平下，该公司的声明是否属实。 0.05的显著性水平下，该公司的声明是否属实。
例2： 在一项新广告活动的跟踪调查中，在被调查 的400人中有240人会记起广告的标语，试求会 400人中有240人会记起广告的标语，试求会 记起广告标语占总体比率的95%置信度的估计区 记起广告标语占总体比率的95%置信度的估计区 间。
假设检验： 1：某橡胶厂生产汽车轮胎，根据历史资料统计结 果，平均里程为25000公里，标准差为1900公里。 果，平均里程为25000公里，标准差为1900公里。 现采用一种新的工艺制作流程，从新批量的轮胎 中随机抽取400个作实验，求得样本平均里程为 中随机抽取400个作实验，求得样本平均里程为 25300公里，试按5%的显著性水平判断新批量 25300公里，试按5%的显著性水平判断新批量 轮胎的平均耐用里程与以前生产的轮胎的耐用里 程有没有显著的差异，或者它们属于同一总体的 假设是否成立。
第三讲 参数估计 (1)
L( x1 , x2 , x3;q ) =ˆ Pq { X1 = x1 , X 2 = x2 , X 3 = x3 }
= Pq { X1 = x1 }Pq { X 2 = x2 }Pq { X 3 = x3 }
= p( x1;q ) p( x2;q ) p( x3;q ) = q x1 (1 − q )1− x1q x2 (1 − q )1− x2 q x3 (1 − q )1− x3
其它
其中 −1
是未知参数,
X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数 的矩估计.
解:
数学期望
是一阶
1
=
= E(X
( + 1)
)
1
1
= x( 0
x +1dx
+ =
1)
x dx +1
原点矩由矩估计法,
X
=
0
+1
+2
总体矩
样本矩
+2
从中解得 ˆ = 2 X − 1 , 即为 的矩估计.
Gauss
Fisher
最大似然法的基本思想
先看一个简单例子： 某位同学与一位猎人一起外 出打猎 . 一只野兔从前方窜过 . 只听一声枪响，野兔应声倒下 . 如果要你推测，是谁打中的呢？ 你会如何想呢?
你就会想，只发一枪便打中, 猎人命中的概率 一般大于这位同学命中的概率 . 看来这一枪是猎人 射中的 .
最大似然估计法就是用使L(q )达到最大值的qˆ去估计q . 称qˆ为q 的最大似然估计（MLE）.
怎样求最大似然估计呢？ 因为lnx是x 的严格单增函数，lnL与L有相同的极大值点， 故一般只需求lnL的极大值点即可----令其一阶偏导为0，得到 似然方程（组），求解即可。
《统计学》课件参数估计
05
06
假设检验法：通过假设检验确定总体参数 是否落在某个范围内。
02
点估计
点估计的概念
数学模型
用样本均值、中位数等统计量 估计总体均值、中位数等参数
样本
来自总体的随机样本，具有代 表性
点估计
用样本统计量估计未知参数的 方法
参数
需要估计的未知量，如总体均 值、方差等
统计量
样本的函数，如样本均值、样 本方差等
区间估计在统计学中具有重要的意义，它可以帮助我们了解未知参数的取值范围，提供更全面的信息 。此外，区间估计还可以用于比较不同样本或不同条件下的参数估计结果，从而进行统计推断和决策 。
单个正态总体参数的区间估计
均值μ的区间估计
对于单个正态总体，我们可以通过样本均值来估计总体均值μ。假设样本容量 为n，样本均值为x，则总体均值μ的95%置信区间为[x-1.96*SE, x+1.96*SE]， 其中SE为样本标准误差。
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总体方差的假设检验
提出假设、计算样本方差、计算卡方 统计量、确定临界值、做出推断结论 。
两个正态总体参数的假设检验
两个总体均值差的假设检验
提出假设、计算样本均值和标准差、计算t统计量、确定临界值、做出推断结论。
两个总体方差比的假设检验
提出假设、计算样本方差、计算卡方统计量、确定临界值、做出推断结论。
用单一的数值估计总体参数，如 用样本均值估计总体均值。
区间估计
给出总体参数的估计区间，如 95%置信区间。
参数估计的方法
点估计方法
01
02
直接估计：根据样本数据直接计算估计量。
插值法：利用已知的点估计结果，通过插 值方法得到更精确的估计。
概率论 第七章 参数估计
L( ) max L( )
称^为
的极大似然估计（MLE）.
求极大似然估计(MLE)的一般步骤是：
(1) 由总体分布导出样本的联合概率分布 (或联合密度);
(2) 把样本联合概率分布(或联合密度)中自变 量看成已知常数,而把参数 看作自变量, 得到似然函数L( );
(3) 求似然函数L( ) 的最大值点(常常转化 为求ln L( )的最大值点) ，即 的MLE;
1. 将待估参数表示为总体矩的连续函数 2. 用样本矩替代总体矩，从而得到待估参
数的估计量。
四. 最大似然估计（极大似然法）
在总体分布类型已知条件下使用的一种 参数估计方法 .
首先由德国数学家高斯在1821年提出。 英国统计学家费歇1922年重新发现此
方法，并首先研究了此方法的一些性质 .
例：某位同学与一位猎人一起外出打猎.一只 野兔从前方窜过 . 一声枪响，野兔应声倒下 .
p值 P(Y=0) P(Y=1) P( Y=2) P(Y=3) 0.7 0.027 0.189 0.441 0.343 0.3 0.343 0.441 0.189 0.027
应如何估计p?
若：只知0<p<1, 实测记录是 Y=k
(0 ≤ k≤ n), 如何估计p 呢?
注意到
P(Y k) Cnk pk (1 p)nk = f (p)
第七章 参数估计
参数估计是利用从总体抽样得到的信息 估计总体的某些参数或参数的某些函数.
仅估 计一 个或 几个 参数.
估计新生儿的体重
估计废品率
估计降雨量
估计湖中鱼数
…
…
参数估计问题的一般提法:
设总体的分布函数为 F(x, )，其中为未 知参数 (可以是向量).从该总体抽样，得样本
第7章参数估计(小结与典型例题选讲)精品PPT课件
求置信区间的一般步骤
(1) 寻求一个X样 1,X本 2,,Xn的函:数
ZZ(X1,X2,,Xn;) 其中仅包含待,估 并参 且 Z的 数分布已知 且不依赖于任何 数(包 未括 知 ).参
(2)对于给定1 的 ,定 置出 信两 水 a,b个 , 平常 使 P{aZ(X1,X2, ,Xn;)b}1.
(3)若能a从 Z(X1,X2,,Xn;)b得到等价 的不等 式 , 其中 (X1, X2,,Xn), (X1,X2,,Xn)都是统,计 那量 么 (,)就是 的一个置信1水 的 平置 为信.区间
.
(2) 2为未,知
的置信 1水 的平 置为 信 X 区 nSn1t1/2间 (n1).
2.方差 2的置信区间
(1)=0已 知 , 方差 2的置信 1水 的平 置为 信
n
(Xi 0)2
n
(
Xi
0)2
i1
2 1/2
(n)
,
i1
2 /2
(n)
.
标准 的 差一个置 1信 的水 置平 信为 区
12的一个置 1的 信置 水信 平区 为
XYt1/2(n1n22)Sw
n 11n12.
其 中 Sw2n1 n S 11 2 n2 n 2S2 22, SwSw2.
2.两个总体方 1222的 差置 比信区间
( 1 ) 总 体 均 值 1 ,2 为 已 知 的 情 况 .
1 22 2的一个置1 信 的 水置 平信 为区间
用方程组 ˆ1,ˆ2的 ,,解 ˆk分别作 1,2为 ,,k的
估计,这 量个估计量称 量. 为矩估计
最大似然估计量
得到x 1 样 ,x2, ,本 xn时 ,选 值取使 L ()似 取得最 ˆ作 大 为 值 未 的 的 知 估 ,参 计 数 值
参数估计方法与实例例题和知识点总结
参数估计方法与实例例题和知识点总结一、参数估计的概念参数估计是指根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数。
参数通常是描述总体分布的特征值，比如均值、方差、比例等。
二、参数估计的方法（一）点估计点估计就是用样本统计量来估计总体参数，给出一个具体的数值。
常见的点估计方法有矩估计法和最大似然估计法。
1、矩估计法矩估计法的基本思想是用样本矩来估计总体矩。
比如，用样本均值估计总体均值，用样本方差估计总体方差。
2、最大似然估计法最大似然估计法是求使得样本出现的概率最大的参数值。
它基于这样的想法：如果在一次抽样中得到了某个样本，那么这个样本出现概率最大的参数值就是总体参数的估计值。
（二）区间估计区间估计则是给出一个区间，认为总体参数以一定的概率落在这个区间内。
区间估计通常包含置信水平和置信区间两个概念。
置信水平表示区间包含总体参数的可靠程度，常见的置信水平有90%、95%和 99%。
置信区间则是根据样本数据计算得到的一个区间范围。
三、实例例题假设我们要研究某地区成年人的身高情况。
随机抽取了 100 名成年人，他们的身高数据如下（单位：厘米）：165, 170, 172, 168, 175, 180, 160, 178, 176, 169,（一）点估计1、用样本均值估计总体均值：计算这 100 个数据的均值，得到样本均值为 172 厘米。
因此，我们估计该地区成年人的平均身高约为 172 厘米。
2、用样本方差估计总体方差：计算样本方差，得到约为 25 平方厘米。
（二）区间估计假设我们要以 95%的置信水平估计总体均值的置信区间。
首先，根据样本数据计算样本标准差，然后查找标准正态分布表或使用相应的统计软件，得到置信系数。
最终计算出置信区间为（168，176）厘米。
这意味着我们有 95%的把握认为该地区成年人的平均身高在 168 厘米到 176 厘米之间。
四、知识点总结（一）点估计的评价标准1、无偏性：估计量的期望值等于被估计的参数。
第六章参数估计范文
第六章参数估计范文第六章是统计学中的重要章节，讨论了参数估计的原理和方法。
参数估计是根据样本数据推断总体参数值的过程，它是统计推断的基础和核心。
在参数估计中，我们常常面临两个问题：点估计和区间估计。
点估计是通过样本数据得到总体参数的一个估计值，例如样本均值可以估计总体均值。
区间估计是在点估计的基础上，给出一个参数估计的区间，用于描述参数估计的不确定性。
常用的点估计方法有矩估计法和最大似然估计法。
矩估计法基于样本矩的性质，将样本矩和总体矩进行匹配，得到参数的估计值。
最大似然估计法是利用已知样本数据求取未知参数值，使样本观察到的概率最大化。
这两种方法都是有效的参数估计方法，但在特定情况下可能会有一定差异。
区间估计是对参数估计值的不确定性的度量，它给出了一个信任水平下参数取值的范围。
常用的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是在给定置信水平下，对参数范围进行估计。
置信水平是指对总体参数落在区间内的置信程度，通常使用95%或99%。
预测区间是对未来观测值的取值范围进行估计，它比置信区间更宽泛。
在实际应用中，我们会根据问题的性质和数据的特点选择适合的参数估计方法。
参数估计方法的选择是统计分析的基础，它直接影响着最后结果的可靠性和准确性。
因此，正确选择和应用参数估计方法对于准确推断总体参数具有重要意义。
总结起来，第六章参数估计是统计推断的重要内容，包括点估计和区间估计两个方面。
点估计是通过样本数据得到总体参数的一个估计值，常用的方法有矩估计法和最大似然估计法。
区间估计是对参数估计值的不确定性的度量，常用的方法有置信区间和预测区间。
正确选择和应用参数估计方法对于准确推断总体参数具有重要意义。
广义线性模型的参数估计及其经验应用
广义线性模型的参数估计及其经验应用广义线性模型是统计学中重要的一种模型，它统一了多种线性回归模型，包括普通线性回归、Logistic回归、Poisson回归、Gamma回归等。
广义线性模型的参数估计是模型分析的关键步骤之一，本文将探讨广义线性模型的参数估计及其经验应用。
一、广义线性模型广义线性模型（Generalized Linear Models，简称GLM）的基本表达式为：$g(E(Y))=\beta_0+\sum_{i=1}^{n}\beta_ix_i$其中，$g(E(Y))$是链接函数，$Y$是因变量，$x_i$是自变量，$\beta_i$是系数。
链接函数在不同的模型中有不同的定义，下面介绍几种常见的链接函数及其作用。
1.1. 普通线性回归普通线性回归的链接函数为恒等函数，即：$g(E(Y))=E(Y)$因此，普通线性回归的模型表达式为：$Y=\beta_0+\sum_{i=1}^{n}\beta_ix_i+\epsilon$其中，$\epsilon$为误差项。
1.2. Logistic回归Logistic回归的链接函数为logit函数，即：$g(E(Y))=\log\frac{E(Y)}{1-E(Y)}$Logistic回归用于二分类问题，因此$Y$只有两种取值，通常用0和1表示。
Logistic回归的模型表达式为：$\log\frac{P(Y=1)}{1-P(Y=1)}=\beta_0+\sum_{i=1}^{n}\beta_ix_i$其中，$P(Y=1)$表示$Y$取值为1的概率。
1.3. Poisson回归Poisson回归的链接函数为log函数，即：$g(E(Y))=\log(E(Y))$Poisson回归用于计数数据的分析，因此$Y$只能取非负整数值。
Poisson回归的模型表达式为：$\log(E(Y))=\beta_0+\sum_{i=1}^{n}\beta_ix_i$1.4. Gamma回归Gamma回归的链接函数为倒数函数，即：$g(E(Y))=-\frac{1}{E(Y)}$Gamma回归用于连续正值数据的分析。
统计学(参数估计)ppt课件
13
令最大似然估计的求法
14
3、矩法和最大似然法的比较
令矩估计法是采用样本矩替换总体矩来估 计参数，相当于使用了分布函数的部分信息；
令最大似然估计法是采用似然函数来求得 参数的估计，理论上相当于使用了分布函数的 全部信息；
在已知总体分布的前提下，采用最大似然 估计法的理由更充分，而在总体分布函数未知 但有关的总体矩已知的情况下，采用矩估计法 更合适。
通常可以认为，区间估计是在点估计的基 础上，给出未知总体参数的一个取值范围，及 这个范围的可靠程度。
24
区间估计——就是用一个区间去估计未知 总体参数，把未知总体参数值界定在两个数值 之间。即根据样本估计量，以一定的置信度估 计和推断总体参数的区间范围。
令总体参数的估计区间，通常是由样本统 计量加减抽样极限误差而得到的。
44
【解】 本题的总体方差未知，但属于大样本 抽样极限误差为： 所以，在90%的置信水平下，置信区间为：
表明在90%的置信水平下，投保人的平均年龄在 37.37至41.63岁之间。
45
【练习2】在大兴安岭林区，随机抽取了100块面 积为1公顷的样地，根据调查测量求得每公顷林 地平均出材量为88m3 ，标准差为10m3。
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一、无偏性
无偏性——是指样本估计量抽样分布的均 值等于被估总体参数的真实值。
无偏性实际是指：不同的样本，会有不同 的估计值。虽然从某一个具体样本来看，估计 值有时会大于 θ ，有时会小于 θ ，有误差。但 从所有可能样本的角度来看，估计值的平均水 平等于总体参数的真实值，即平均说来，估计 是无偏的。
令样本均值、样本方差和样本比率，分别 是总体均值、总体方差和总体比率的无偏、有 效和一致的优良估计量；
第六章---参数估计ppt课件
1、条件分析：总体分布为正态，且总体方差已 知，用正态法进行估计。 2、计算标准误 3、确定置信水平为0.95，查表得
51
4、计算置信区间 D=0.95时 D=0.99时
52
解释：总体均数μ落在75.61-84.39之间的可 能性为95%，超出这一范围的可能只有5%。而 作出总体μ落在74.22-85.78之间结论时的正 确概率为99%，犯错误的可能性为1%。
38
( 二)、 分布法， 未知 1、前提条件： 总体正态分布， n不论大小，
2、使用 t分布统计量
D=0.95时 D=0.99时
39
例：总体正态， 未知，
，
，
，
，
平均数0.95的置信区间是多少？
，
，试问总体
40
解： 1、条件分析：总体正态， 未知，
小
于30，只能用 分布
2、计算标准误
3、计算自由度
9
一、点估计
(一)意义 含义：直接用样本统计量的值作为总体参数的估 计值 无偏估计量：恰好等于相应总体参数的统计量。
例8-1；假设某市六岁男童平均身高110.7cm,随机 抽取113人测得平均身高110.70cm.总体的平均数, 标准差是多少
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(二)良好点估计的条件
无偏性： 一致性： 有效性： 无偏估计量的变异性问题。
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1 、条件分析：总体分布为非正态， 未知， ＞30，只能用近似正态估计法。
2、计算标准误
3、确定置信水平为0.95，查表得
48
4、计算置信区间
5、结果解释：该校的平均成绩有95%的可能落 在50.2~54.0之间。
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课堂练习
已知某总体为正态分布，其总体标准差为10。 现从这个总体中随机抽取n1=20的样本，其平 均数分别80。试问总体参数μ在0.95和0.99的 置信区间是多少。
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第21讲 参数估计习题课教学目的：1. 通过练习使学生进一步掌握矩估计和最大似然估计的计算方法； 2. 通过练习使学生理解无偏性和有效性对于评价估计量标准的重要性； 3. 通过练习使学生进一步掌握正态总体参数的区间估计和单侧置信限。
教学重点：矩估计和最大似然估计，无偏性与有效性，正态总体参数的区间估计。
教学难点：矩估计，最大似然估计，正态总体参数的区间估计。
教学时数：2学时。
教学过程：一、知识要点回顾1. 矩估计用各阶样本原点矩n ki i 11x n k V ==∑ 作为各阶总体原点矩k EX 的估计,1,2,k = 。
若有参数2g(,(),,)k E X E X E X θ= （）（），则参数θ的矩估计为n n n 2i=1i=1i=1111ˆ(,,,)ki i i X X X n n n θ=∑∑∑ 。
2. 最大似然估计似然函数1()(;)ni i L f x θθ==∏，取对数ln[()]L θ，从ln()d d θθ=0中解得θ的最大似然估计θˆ。
3. 无偏性,有效性当θθ=ˆE 时，称θˆ为θ的无偏估计。
当21ˆD ˆD θθ<时，称估计量1ˆθ比2ˆθ有效。
5. 两个正态总体均差值的区间估计当21σ和22σ已知时,12μμ-的置信水平为1α-的置信区间为当21σ和22σ未知时,12μμ-的置信水平为1α-的置信区间为二 、典型例题解析1．设,0()0, 0x e x f x x θθ-⎧>=⎨≤⎩，求θ的矩估计。
解 ,0dx xe EX x ⎰+∞-=θθ设du dx u x x u θθθ1,1,===则000111()0()u uu EX ue du ue e du e θθθθ+∞+∞--+∞--+∞⎡⎤⎡⎤==-+=+-⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰=θ1故1EXθ=，所以x 1ˆ=θ。
2. 设总体X 在[]b a ,上服从均匀分布，求a 和b 的矩估计。
解 由均匀分布的数学期望和方差知1()()2E X a b =+ （1）21()()12D X b a =- （2） 由（1）解得a EX b -=2，代入（2）得2)22(121a EX DX -=，整理得2)(31a EX DX -=，解得()()a E X b E X ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故得b a ,的矩估计为ˆˆa x b x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩其中∑=-=ni i x x n 122)(1ˆσ。
3．设总体X 的密度函数为(;)!x e f x x θθθ-=，求θ的最大似然估计。
解 设)!)...(!)(!(),()(2111nn x ni i x x x e x f L ni iθθθθ-=∑===∏，则11ln ()()ln ln(!)n ni i i i L x n x θθθ===--∑∑11ln ()11ˆ0, n ni i i i d L x n x x d n θθθθ===-===∑∑4．设总体X 的密度函数1(,)()(aa x f x a x e a θθθ--=已知），求参数θ的最大似然估计。
解 11121()(,)(...)nai i nx n n a i n i L f x a x x x eθθθθ=--=∑==∏11ln ()ln ln (1)ln n na i i i i L n n a a x x θθθ===++--∑∑1ln ()0n ai i d L n x d θθθ==-=∑ 解得 ∑==n i ai x n 11θ。
5. 设1ˆθ和2ˆθ为参数θ的两个独立的无偏估计量，且假定21ˆ2ˆθθD D =，求常数c 和d ，使21ˆˆˆθθθd c +=为θ的无偏估计，并使方差θˆD 最小。
解 由于θθθθθθ)(ˆˆ)ˆˆ(ˆ2121d c dE cE d c E E +=+=+=,且知θθ=ˆE ，故得c+d=1。
又由于2222222221221ˆ)2(ˆˆ2ˆˆ)ˆˆ(ˆθθθθθθθθD d c D d D c D d D c d c D D +=+=+=+= 并使其最小，即使222d c f +=，满足条件c+d=1的最小值。
令d=1-c ，代入得22)1(2c c f -+=，'42(1)0, 620c f c c c =--=-=解得321,31=-==c d c 。
6．对方差2σ为已知的正态总体来说，问需取容量n 为多大的样本，才能使总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间的长度不大于L ？解 由于μ的置信区间为),(22αασσu nx u nx +-，故μ的置信区间长度为L u n≤22ασ。
所以，有202ασu L n ≥，即220)2(ασu L n ≥。
7. 设某电子元件的寿命服从正态分布),(2σμN ，抽样检查10个元件，得样本均值)(1200h x =，样本标准差)(14h s =。
求(1) 总体均值μ置信水平为%99的置信区间；(2) 用x 作为μ的估计值，求绝对误差值不大于10（h ）的概率。
解 (1)由于σ未知，s=14（h ）,根据求置信区间的公式得 ))1(),1((22-+--n t n s x n t n s x αα ))9(10141200),9(10141200(005.0005.0t t +-查表得25.3)9(005.0=t ，故总体均值μ置信水平为%99的置信区间为(120014.388, 120014.388)(1185.612, 1214.388)-+=(2))141010)1(()10()10(<-=<-=<-n t P nn x P x P μμ=-=<≈<=α21))9()9(()2588.2)9((025.0t t P t P 1-0.05=0.958. 设n X X X ,...,,21为正态总体),(2σμN 的一个样本，确定常数c 的值，使2111)(∑-=+-=n i i i x x c Q 为2σ的无偏估计。
解])()()(2)([])())((2)[()]()[()(21112121112121112111μμμμμμμμμμ-+----=-+----=---=-=∑∑∑∑-=++-=++-=+-=+i n i i i i i n i i i i n i i i n i i i x E x E x E x E c x x x x E c x x E c x x c EQ由于0)(=-=-=-μμμμi i Ex x E ，所以有2112111)1(2)2(]0[σσ-==+-=∑∑-=-=+n c c Dx Dx c EQ n i n i i i由2σ=EQ （无偏性），故有1)1(2=-n c ，所以)1(21-=n c 。
9. 为了解灯泡使用时数均值μ及标准差σ，测量了10个灯泡，得1650=x 小时，20s =小时。
如果已知灯泡使用时间服从正态分布，求μ和σ的95%的置信区间。
解 由262.2)9()1(025.02==-t n t α，根据求置信区间的公式得22((1), (1))(165020)(165014.31)(1635.69, 1664.31)x n x n αα---=±=±= 查表知70.2)9()1(,023.19)9()1(2975.02212025.022==-==--χχχχααn n ，根据求置信区间的公式得2σ的置信区间为2222220.0250.975(1)(1)920920(, )(, )(189.24, 1333.33)(9)(9)19.023 2.70n s n s χχ--⨯⨯== 而σ的置信区间为(13.8, 36.5)=10. 岩石密度的测量误差服从正态分布，随机抽测12个样品，得2.0=s ，求2σ的置信区间()1.0=α。
解 查表得575.4)11(,675.19)11(295.0205.0==χχ，根据求置信区间的公式得2σ的置信区间为222222122(1)(1)110.2110.2(, )(, )(1)(1)19.675 4.575n s n s n n ααχχ---⨯⨯=--=(0.02, 0.10)11 . 设两位化验员A 、B 分别独立地对某种化合物各作10次测定，测定值的样本方差分别为220.5419, 0.6065ABs s ==。
设两个总体均为正态分布，求方差比22BAσσ的置信度为95%的置信区间。
解 查表得2481.003.41)9.9(1)9.9(,03.4)9.9()9.9(221025.02=====-αααF FF F ，根据求置信区间的公式得22BAσσ的置信区间为222222220.0250.975111(, )(, 4.03)(0.222, 3.601)(9.9)(9.9) 4.03A A A A B B B Bs s s s s F s F s s == 12. 某厂分别从两条流水生产线上抽取样本：1212,,,X X X 及1217,,,Y Y Y ，测得2μ，且有相同方差，试求1μ-2μ的置信度95%的置信区间。
根据求置信区间的公式得1μ-2μ的置信度95%的置信区间为。