高中数学技巧之仿射变换
第十五章 仿射变换
四、仿射变换在初等几何解题中的应用
例5：求椭圆的面积。 分析：椭圆是一个二次曲线，用初等几何和微积分的知识进行推导 比较繁琐。考虑到圆经过仿射变换对应一个椭圆，所以椭圆也可 以通过一个适当的仿射变换对应成一个圆。
解：在直角坐标系下，椭圆
x y 1 a 2 b2
2
2YΒιβλιοθήκη B’ B A O A’ X
第十五章 仿射变换
目录
仿射变换的定义 仿射变换的性质 仿射变换与初等几何的相关联系 仿射变换在初等几何解题中的应用 结束语
一、仿射变换的定义
定义：如果平面上的一个点变换，把共线的任意 三点变成共线的三点，并且保持三点的单比不 变，称这个点变换为仿射变换。
二、仿射变换的性质
1.仿射变换保持同素性:即仿射变换将点变成点, 直线变成直线. 2.仿射变换保持结合性:即仿射变换保持点与直线 的结合关系. 3.仿射变换将向量变成向量,且保持向量的线性关 系
三、仿射变换与初等几何的相关联系
变换群 几何学
射影群
射影几何
仿射群
仿射几何
正交群
欧式几何
四、仿射变换在初等几何解题中的应用
（一）平行投影 平行投影是仿射变换中最基本、最简单的一类。 因此平行投影变换具有仿射变换中的一切性质， 解这类题的关键是选定平行投影方向，应用平 行线段之比是仿射不变量。
四、仿射变换在初等几何解题中的应用
1 2
1 5
D F A
C
G E B
四、仿射变换在初等几何解题中的应用
（四）仿射变换在椭圆中的应用 例4：证明椭圆的外切三角形的顶点与对边上的 切点连线交于一点。 分析：此题是关于线共点的问题，由于椭圆的一 般性以及三角形的一般性，用初等几何比较难 入手，但可以用仿射几何的方法进行转化，变 成特殊的圆，以及正三角形来加以研究。
仿射变换原理解析
平移仿射变换涉及将图形在二维平面内沿某一方向进行移动，而不改变图形之 间的相对位置和形状。这种变换通常由一个平移矩阵表示，其中包含平移向量 和单位矩阵。平移向量决定了图形移动的距离和方向。
旋转仿射变换
总结词
旋转仿射变换是围绕某一点旋转图形，同时保持图形之间的相对位置和形状不变。
详细描述
旋转仿射变换涉及将图形围绕某一点进行旋转，同时保持图形之间的相对位置和形状不变。这种变换通常由一个 旋转矩阵表示，其中包含旋转角度和旋转中心点坐标。旋转角度决定了图形旋转的角度，而旋转中心点坐标决定 了旋转的基准点。
缩放仿射变换
总结词
缩放仿射变换是改变图形的大小，同时保持图形之间的相对位置和形状不变。
详细描述
缩放仿射变换涉及将图形的大小进行缩放，同时保持图形之间的相对位置和形状不变。这种变换通常 由一个缩放矩阵表示，其中包含缩放因子和缩放中心点坐标。缩放因子决定了图形缩放的程度，而缩 放中心点坐标决定了缩放的基准点。
03
图像校正
通过仿射变换，可以将倾 斜的图像进行校正，使其 恢复水平或垂直状态。
图像拼接
在图像拼接过程中，可以 使用仿射变换将多张图像 进行对齐，实现无缝拼接。
特征点匹配
通过仿射变换，可以将不 同视角下的图像进行对齐， 便于特征点匹配和计算。
计算机图形学中的仿射变换
3D模型渲染
在3D模型渲染过程中，可以使用 仿射变换对模型进行旋转、缩放 和平移等操作，以实现各种视觉
THANKS.
仿射变换的基本性质
仿射变换不改变图形间的相对 位置和大小关系，即保持平行 性和等比例性。
仿射变换可以分解为一系列基 本变换的组合，如平移、旋转、 缩放等。
仿射变换可以保持直线的性质， 如直线的平行性和垂直性。
解析几何中的仿射与相似变换
解析几何中的仿射与相似变换解析几何是数学中一个重要的分支，研究的是平面和空间中的几何图形，其中涉及到各种各样的变换。
在解析几何中，仿射变换和相似变换是两个常见的变换类型，它们在几何图形的研究和应用中发挥着重要的作用。
一、仿射变换仿射变换是指保持直线平行性和直线上的点的比例关系的变换。
形式上，对于平面上的点P(x, y)，经过仿射变换得到的新点P'(x', y')满足以下关系：x' = a1x + a2y + a3y' = b1x + b2y + b3其中a1、a2、a3、b1、b2、b3是常数，且a1b2 - a2b1 ≠ 0。
对于仿射变换，我们可以将其分解成平移、旋转、缩放和剪切四个基本变换的组合。
具体而言：1. 平移变换：平移变换将点P(x, y)移动到新的位置P'(x', y')，其中新位置与原位置的坐标之差为一个常量向量(v1, v2)。
对于平面上的点P(x, y)，经过平移变换得到的新点P'(x', y')满足以下关系：x' = x + v1y' = y + v22. 旋转变换：旋转变换将点P(x, y)绕一个固定的点O(x0, y0)逆时针旋转θ弧度。
对于平面上的点P(x, y)，经过旋转变换得到的新点P'(x', y')满足以下关系：x' = (x - x0)cosθ - (y - y0)sinθ + x0y' = (x - x0)sinθ + (y - y0)cosθ + y03. 缩放变换：缩放变换将点P(x, y)绕一个固定的点O(x0, y0)按照比例因子k进行缩放。
对于平面上的点P(x, y)，经过缩放变换得到的新点P'(x', y')满足以下关系：x' = k(x - x0) + x0y' = k(y - y0) + y04. 剪切变换：剪切变换通过把点P(x, y)沿着某个方向按照比例因子k进行剪切。
高中数学仿射变换
高中数学仿射变换一、引言仿射变换是高中数学中的重要概念之一，它在几何变换和线性代数中有着广泛的应用。
本文将介绍仿射变换的基本概念、性质以及应用，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
二、基本概念1. 定义：仿射变换是指保持直线平行性质的变换。
简单来说，它是由平移、旋转、缩放和投影四种基本变换组成的变换。
2. 仿射变换的代数表示：设二维平面上有一个点P(x, y)，经过仿射变换后得到点P'(x', y')，则有如下代数表示：x' = a*x + b*y + cy' = d*x + e*y + f其中a、b、c、d、e、f为常数。
三、性质1. 保直线性质：仿射变换保持直线的性质，即直线经过仿射变换后仍然是直线。
例如，一条直线上的三个点经过仿射变换后仍然共线。
2. 保平行性质：仿射变换保持平行线的性质，即平行线经过仿射变换后仍然平行。
例如，两条平行线经过仿射变换后仍然平行。
3. 保比例性质：仿射变换保持线段的比例关系。
例如，一条线段上的两个点经过仿射变换后线段上的其他点的比例关系仍然成立。
四、应用1. 几何变换：仿射变换在几何变换中有着广泛的应用，可以用来描述平面上的旋转、缩放、平移等操作。
例如，我们可以利用仿射变换来实现图片的旋转、缩放和平移。
2. 图像处理：仿射变换在图像处理中也有着重要的应用，可以用来进行图像的扭曲、校正和纠正等操作。
例如，我们可以利用仿射变换来对图像进行透视校正，使得图像中的平行线在处理后仍然保持平行关系。
3. 计算机图形学：仿射变换在计算机图形学中扮演着重要的角色，可以用来进行三维物体的平面投影、旋转和缩放等操作。
例如，我们可以利用仿射变换来实现计算机图形学中的三维模型的投影效果。
五、总结通过本文的介绍，我们了解了高中数学中的仿射变换的基本概念、性质以及应用。
仿射变换作为一种保持直线平行性质的变换，在几何变换、图像处理和计算机图形学等领域都有着广泛的应用。
#空间直角坐标转换之仿射变换
空间直角坐标转换之仿射变换一、仿射变换仿射变换是空间直角坐标变换的一种，它是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的“平直线”和“平行性”，其可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括平移(Translation)、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和剪切(Shear)。
此类变换可以用一个3×3的矩阵来表示，其最后一行为(0, 0, 1)。
该变换矩阵将原坐标(x, y)变换为新坐标(x', y')，这里原坐标和新坐标皆视为最末一行为(1)的三维列向量，原列向量左乘变换矩阵得到新的列向量：[x'] [m00 m01 m02] [x] [m00*x+m01*y+m02][y'] = [m10 m11 m12] [y] = [m10*x+m11*y+m12][1 ] [ 0 0 1 ] [1] [ 1 ]如果将它写成按旋转、缩放、平移三个分量的复合形式，则其代数式如下：x’= m00*x+m01*y+m02；y’= m10*x+m11*y+m12；其示意图如下：几种典型的仿射变换：1.public static AffineTransform getTranslateInstance(double tx, double ty)平移变换，将每一点移动到(x+tx, y+ty)，变换矩阵为：[ 1 0 tx ][ 0 1 ty ][ 0 0 1 ]（译注：平移变换是一种“刚体变换”，rigid-body transformation，中学学过的物理，都知道啥叫“刚体”吧，就是不会产生形变的理想物体，平移当然不会改变二维图形的形状。
同理，下面的“旋转变换”也是刚体变换，而“缩放”、“错切”都是会改变图形形状的。
）2.public static AffineTransform getScaleInstance(double sx, double sy)缩放变换，将每一点的横坐标放大（缩小）至sx倍，纵坐标放大（缩小）至sy倍，变换矩阵为：[ sx 0 0 ][ 0 sy 0 ][ 0 0 1 ]3.public static AffineTransform getShearInstance(double shx, double shy)剪切变换，变换矩阵为：[ 1 shx 0 ][ shy 1 0 ][ 0 0 1 ]相当于一个横向剪切与一个纵向剪切的复合[ 1 0 0 ][ 1 shx 0 ][ shy 1 0 ][ 0 1 0 ][ 0 0 1 ][ 0 0 1 ]（译注：“剪切变换”又称“错切变换”，指的是类似于四边形不稳定性那种性质，街边小商店那种铁拉门都见过吧？想象一下上面铁条构成的菱形拉动的过程，那就是“错切”的过程。
仿射变换例子
仿射变换例子（实用版）目录1.引言2.仿射变换的定义和基本概念3.仿射变换的例子4.仿射变换的性质和应用5.总结正文1.引言在数学中，仿射变换是一种在向量空间中进行的变换，它可以保持向量的线性关系，即保持向量的平行四边形形状不变。
仿射变换广泛应用于各种学科领域，如物理学、工程学、计算机图形学等。
本文将通过一些例子来介绍仿射变换的性质和应用。
2.仿射变换的定义和基本概念仿射变换是指在向量空间中，将一个点或者一个向量变换为另一个点或向量的过程。
仿射变换保持向量的线性关系，即保持向量的平行四边形形状不变。
仿射变换可以用矩阵来表示，这个矩阵称为仿射矩阵。
3.仿射变换的例子假设有一个平面直角坐标系，原点为 O(0, 0)，点 A(1, 0)，点 B(0, 1)，点 C(2, 1)。
现在我们考虑将这个坐标系进行仿射变换，变换后的坐标系中原点为 O"(a, b)，点 A"的坐标为 (x, y)。
根据仿射变换的定义，可以列出以下方程组：(x - a, y - b) = m(1 - a, 0 - b)(0 - a, 0 - b) = n(0 - a, 1 - b)(2 - a, 1 - b) = p(2 - a, 1 - b)其中，m、n、p 分别为仿射矩阵的三个元素。
解这个方程组，可以得到变换后的点 A"的坐标。
4.仿射变换的性质和应用仿射变换具有以下性质：1) 仿射变换保持向量的线性关系，即保持向量的平行四边形形状不变。
2) 仿射变换具有平滑性，即经过连续的仿射变换，可以得到任意的变换结果。
3) 仿射变换可以用矩阵表示，从而可以利用矩阵的运算法则进行计算。
仿射变换在实际应用中有很多，如在计算机图形学中，仿射变换可以用来实现图形的平移、旋转、缩放等操作；在物理学中，仿射变换可以用来描述物体在空间中的运动等。
5.总结仿射变换是一种在向量空间中进行的变换，它可以保持向量的线性关系，即保持向量的平行四边形形状不变。
仿射变换原理解析
换旳定义有
| AB | | BC || AC | | A' B ' | | B 'C ' || A'C ' | .
即A', B', C'依然为共线三点且B'在A', C'之间. 若A, B, C不共线, 则必有
定理 仿射变换是双射.设A表达平面上全体仿射变换旳集合. 则有
(1) , A, 有A.
(2) 恒同变换iA.
(3) S, 存在1A, 满足11i.
上述性质使得A对于变换旳乘法构成一种群, 叫做仿射变换群. 而 且MSA.
仿射变换
3. 仿射坐标系
定义 设在平面上取定一点O和以O为起点旳两个线性无关向
量ex, ey, 则由此构成平面上一种仿射坐标系(或仿射坐标架), 记作 O-exey. 平面上任一点P旳仿射坐标(x, y)由下式唯一拟定,
x
OPx OEx
(Px ExO)
y
OPy OEy
(Py EyO)
OP xex yey.
反之, 对任意给定旳有序实数偶(x, y), 由 (1.12)式可唯一拟定仿射平面上旳一种点 具有坐标(x, y). 建立了仿射坐标系旳平面 称为仿射平面, ex, ey称为基向量.
(1.10)
则称为上旳一种以k为相同比旳相同变换.
注. 相同变换旳基本性质 (1) 保持共线三点旳简朴比不变. (2) 使得任意图形变成其相同图形; 使平 行直线变为平行直线. (3) 保持任意两条线段旳比值不变. 从而 保持两直线夹角不变. (4) 正交变换、位似变换都是其特例.
仿射变换和等距变换
仿射变换和等距变换一、仿射变换1. 概念仿射变换是指在几何空间中，保持直线的平行性和比例关系的变换。
它可以由线性变换和平移变换组合而成，具有保持平行性、保持比例、保持共线性等性质。
2. 性质仿射变换具有以下性质：（1）保持直线的平行性：在仿射变换中，任意两个平行直线经过变换后仍然保持平行。
（2）保持比例关系：在仿射变换中，直线上的任意两点与其对应点的连线与直线上其他点与其对应点的连线的比值保持不变。
（3）保持共线性：在仿射变换中，直线上的任意三点经过变换后仍然共线。
3. 应用仿射变换在计算机图形学、计算机视觉、图像处理等领域有广泛应用。
例如，在图像处理中，可以利用仿射变换对图像进行旋转、平移、缩放和剪切等操作，实现图像的变形、校正和配准等功能。
二、等距变换1. 概念等距变换是指在几何空间中，保持距离不变的变换。
它可以由旋转变换、平移变换和翻转变换组合而成，具有保持距离、保持角度、保持面积等性质。
2. 性质等距变换具有以下性质：（1）保持距离不变：在等距变换中，任意两点之间的距离经过变换后仍然保持不变。
（2）保持角度不变：在等距变换中，任意两线段之间的夹角经过变换后仍然保持不变。
（3）保持面积不变：在等距变换中，平行四边形的面积经过变换后仍然保持不变。
3. 应用等距变换在几何学、物理学、计算机图形学等领域有重要应用。
例如，在地图投影中，可以利用等距变换将地球表面上的经纬度坐标转换为平面上的坐标，实现地图的绘制和测量。
此外，在计算机图形学中，等距变换常用于三维模型的变换和变形，实现真实感的渲染和动画效果。
仿射变换和等距变换是两种常见的几何变换方法。
它们分别具有保持直线的平行性和比例关系、保持距离的性质，并在不同领域中得到广泛应用。
了解和掌握这些变换的概念、性质以及应用，对于理解几何学和计算机图形学的基本原理和方法具有重要意义。
在实际应用中，可以根据具体需求选择合适的变换方法，实现几何形状的变换、校正和配准等功能，提高图像处理和计算机模拟的效果。
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仿射变换
与双曲线的标准方程22221x y a b 相比椭圆的标准方程22
221x y a b 在形式上极为接近圆的标准方程
222x y r ．在这一讲，我们着重讲述利用仿射变换将椭圆变换为圆，再利用圆的良好几何性质解决问题
的方法．
对椭圆的标准方程22221x y a b ，我们需要在y 轴进行伸缩变换x x b y y a
得到方程22221x y a a ．
伸缩变换不会改变直线与圆锥曲线的交点个数、也不会改变共线线段长度的比例关系、平行和直线共
点关系等等，但是伸缩变换会改变线段的长度，这需要引起充分的注意．
【备注】仿射变换（Affine Transform ）是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形
的“平直性”（译注： straightness ，即变换后直线还是直线不会打弯，圆弧还是圆弧）和“平行性”（译注：parallelness ，其实是指保二维图形间的相对位置关系不变，平行线还是平行线，而直线上点的位置顺序不变，另特别注意向量间夹角可能会发生变化．仿射变换可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括：平移（Translation ）、缩放（Scale ）、翻转（Flip ）、旋转（Rotation ）和错切（Shear ）．
【备注】在伸缩变换①下，椭圆方程22
22:1x y E a b
变为圆222:E x y a ，椭圆上的点 00,P x y 变为
00,a P x y b
，因此过圆E 上一点P 的圆的切线方程为:l 200a x x y y a b
该直线通过伸缩变换①就可以得到过椭圆E 上一点P 的椭圆的切线方程2
2002:a l x x y y a b
即
00221x x y y
a b
典型例题
160
例1
（2010年上海）已知椭圆22
x y ⑴ 设直线l
【解析】 ⑴ 作仿射变换，椭圆方程变为222x y a ，则121k k
∴C D O E ，根据垂径定理，E 是弦C D 的中点
于是E 是CD 的中点．
⑵ 如下图，求作点1P 、2P 的步骤为：
1．以O 为圆心，椭圆的长轴长a 为半径作圆；
2．过O 作射线，使Ox 轴正方向到该射线的角为 ，射线与圆交于Q ；
3．过圆与y 轴正向的交点作y 轴的垂线，过圆与x 轴负向的交点作x 轴的垂线，两条垂线交于点P ；
4．连结P Q ，取其中点N ；
认识仿射变换
161
5．连结ON ，过N 作与ON 垂直的直线，交圆于点1P 、2P ； 6．过点1P 、2P 作x 轴的垂线，交椭圆于点1P
、2P 即为所求． 证明：这样作图相当于作了纵轴方向上的伸缩变换2
2b y y a
，容易证明线段P Q 与12P P
互相平分，而坐标轴方向上的伸缩变换不改变线段的比例，因此PQ 与12PP 互相平分．这样就有
12121222
PQ PN PP PP PP PP
【备注】题⑴说明弦中点问题中由点差法得到的结论可以看做是椭圆的“垂径定理”；
题⑵利用仿射变换完成纯几何．．．
作图，注意椭圆的参数方程在仿射变换图形下获得了确切的几何意义．
练习1
（2012年湖北理）设A 是单位圆221x y 上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足DM m DA （0m ，且1m ）．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求焦点坐标．
【解析】 曲线C 的方程为2
22
1y
x m
． 当01m 时，曲线C 为焦点在x
轴上的椭圆，焦点坐标为
,0； 当1m 时，曲线C 为焦点在y
轴上的椭圆，焦点坐标为 0,．
通过仿射变换可以将椭圆内接三角形变为圆内接三角形，它们之间存在固定的比例关系．而求解圆内接三角形的面积运算量要低很多．例2 （2012年人大附开学考试）已知直线【解析】作仿射变换x x y
，则直线l 是椭圆22
334y x
即2213944
x y 的切线． 设O 到直线l 的距离为d ，239
44
d ≤（∵直线l 的斜率存在）
1
2AOB A O B S d
△△
利用仿射变换处理面积问题。