立体图形的体积
空间与图形7.立体图形的体积计算
空间与图形7.立体图形的体积计算在几何学中，我们经常会遇到需要计算立体图形的体积的情况，比如计算一个长方体、圆柱体或者球体的体积。
本文将介绍一些常见立体图形的体积计算公式和应用实例。
1. 长方体的体积计算公式长方体是最简单的立体图形之一，它的体积可以通过以下公式计算：体积 = 长 × 宽 × 高其中，长、宽和高分别为长方体的三个边长。
例如，一个长方体的长为5cm，宽为3cm，高为2cm，那么它的体积为：体积 = 5cm × 3cm × 2cm = 30cm³2. 圆柱体的体积计算公式圆柱体是具有圆形底面的立体图形，其体积计算公式如下：体积 = 圆的面积 × 高其中，圆的面积可以通过以下公式计算：圆的面积= π × 半径²考虑一个圆柱体的半径为2cm，高为6cm，那么它的体积为：圆的面积= π × 2cm² ≈ 12.57cm²体积= 12.57cm² × 6cm ≈ 75.42cm³3. 球体的体积计算公式球体是具有球面的立体图形，其体积计算公式如下：体积= 4/3 × π × 半径³考虑一个球体的半径为3cm，那么它的体积为：体积= 4/3 × π ×3cm³ ≈ 113.1cm³4. 实际应用示例立体图形的体积计算在日常生活和工程应用中非常常见。
以下是一些实际应用示例：a. 建筑领域建筑领域常常需要计算建筑物的空间容量，比如计算一个房间的体积和容积。
这对于材料采购、空调和供暖系统设计等非常重要。
b. 工业设计在工业设计中，计算产品的容量常常是必需的。
例如，在设计一个储存液体或气体的容器时，需要计算容器的容量以确定其尺寸和形状。
c. 液体储存在液体储存中，需要计算容器的体积以确定液体的存储量。
立体图形的体积和表面积的计算公式
立方图形：名称符号面积S和体积V
正方体a－边长S＝6a2 V＝a3
长方体a－长b－宽c－高S＝2（ab+ac+bc) V＝abc 棱柱S－底面积h－高V＝Sh
棱锥S－底面积h－高V＝Sh/3
棱台S1和S2－上、下底面积h－高V＝h[S1+S2+（S1S1)1/2］/3
拟柱体S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h －高V＝h（S1+S2+4S0）/6
圆柱r－底半径h－高C-底面周长S底-底面积S侧—侧面积S表—表面积C＝2πr S底＝πr2 S侧＝Ch S表＝Ch+2S底V＝S底h ＝πr2h
空心圆柱R－外圆半径r－内圆半径h－高V＝πh（R2—r2)
直圆锥r－底半径h－高V＝πr2h/3 圆台r－上底半径R－下底半径h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2）/3 球r－半径d－直径V＝4/3πr3＝πd2/6
球缺h－球缺高r－球半径a－球缺底半径V＝πh （3a2+h2）/6 ＝πh2(3r—h）/3 a2＝h(2r—h）
球台r1和r2－球台上、下底半径h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6
圆环体R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d
－环体截面直径V＝2π2Rr2 ＝π2Dd2/4
桶状体D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高V＝πh （2D2＋d2）/12 (母线是圆弧形，圆心是桶的中心) V＝πh（2D2＋Dd＋3d2/4）/15 (母线是抛物线形）长*宽＊高底面积*高底面积*高/3 边长的立方。
常用立体图形体积公式
常用的立体图形体积公式：
长方体：V=abc（长方体体积=长×宽×高）
正方体：V=a³（正方体体积=棱长×棱长×棱长）
圆柱（正圆）：V=πr²×h【圆柱（正圆）体积=圆周率×底半径×底半径×高】圆锥（正圆）：V=πr²×h÷3【圆锥（正圆）体积=圆周率×底半径×底半径×高÷3】
角锥：V=rS×h÷3【角锥体积=底面积×高÷3】
柱体：V=sh(柱体体积=底面积×高）
表面积的公式
1、柱体
（1）棱柱
每个面的面积相加
）特殊长方体、正方体（
长方体：S=2(ab+ah+bh)
正方体：S=6a^2
（2）圆柱
S=2πr^2+2πrh
2、锥体
（1）棱锥
每个面的面积相加
（2）圆锥
S=πr^2+πrl
3、台体
（1）棱台
每个面的面积相加
（2）圆台
S=πr^2+πr′ ^2+πrl+πr′ l
4、球
S=4πr^2
提问人的追问2010-03-07 08:00 请问台体是什么呀？？
回答人的补充2010-03-07 09:49。
立体图形的基本知识与计算方法
立体图形的基本知识与计算方法一、立体图形的概念与分类1.立体图形的定义：立体图形是具有三维空间的图形，它包括长度、宽度和高度三个维度。
2.立体图形的分类：a)几何体：根据面的形状和结构，几何体可以分为以下几种类型：•单体几何体：如球体、立方体、圆柱体、圆锥体等；•复合几何体：如长方体、棱柱、棱锥等；•旋转体：如圆环、圆台等。
b)非几何体：如圆柱面、圆锥面、球面等。
二、立体图形的计算方法1.体积的计算：a)单体几何体的体积计算公式：•球体：V = (4/3)πr³；•立方体：V = a³；•圆柱体：V = πr²h；•圆锥体：V = (1/3)πr²h。
b)复合几何体的体积计算公式：•长方体：V = lwh；•棱柱：V = Bh；•棱锥：V = (1/3)Bh。
c)旋转体的体积计算公式：•圆柱面：V = πR²h；•圆锥面：V = (1/3)πR²h；•球面：V = (4/3)πR³。
2.表面积的计算：a)单体几何体的表面积计算公式：•球体：S = 4πr²；•立方体：S = 6a²；•圆柱体：S = 2πrh + 2πr²；•圆锥体：S = πrl + πr²。
b)复合几何体的表面积计算公式：•长方体：S = 2(lw + lh + wh)；•棱柱：S = 2(B + Ph)；•棱锥：S = 2(B + P)。
c)旋转体的表面积计算公式：•圆柱面：S = 2πRh + 2πR²；•圆锥面：S = πrl + πR²；•球面：S = 4πR²。
三、立体图形的性质与特点1.立方体：立方体有六个面，均为正方形，对角线相等，体积和表面积的计算公式如上所述。
2.球体：球体是一种对称的立体图形，体积和表面积的计算公式如上所述。
3.圆柱体：圆柱体由两个平行的圆形底面和一个侧面组成，体积和表面积的计算公式如上所述。
立体图形的体积
立体图形的体积什么是立体图形的体积？为什么我们需要计算立体图形的体积呢？立体图形的体积是指立体图形所占据的空间的大小，可以用于计算物体的容积、液体的体量等。
准确计算立体图形的体积对于建筑设计、制造产品和解决实际问题等方面都具有重要意义。
在数学中，计算立体图形的体积可以根据不同的立体图形使用不同的公式。
下面将介绍一些常见的立体图形及其体积计算方法。
1. 立方体的体积计算：立方体是一种所有边长相等的六个面全都是正方形的立体图形。
计算立方体的体积非常简单，只需要将边长相乘即可。
假设立方体的边长为a，则其体积V等于a * a * a，即V = a³。
2. 长方体的体积计算：长方体是一种拥有六个面，其中相对的两个面是相等的长方形的立体图形。
计算长方体的体积也很简单，只需要将长、宽、高相乘即可。
假设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则其体积V等于a * b * c。
3. 圆柱体的体积计算：圆柱体是一种由两个相等的平行圆面与一个侧面围成的立体图形。
计算圆柱体的体积需要知道底面半径r和高h。
圆柱体的体积V等于底面积πr²乘以高h，即V = πr²h。
4. 圆锥体的体积计算：圆锥体是一种由一个圆锥面和一个底面圆围成的立体图形。
计算圆锥体的体积也需要知道底面半径r和高h。
圆锥体的体积V等于底面积πr²乘以高h再除以3，即V = (πr²h) / 3。
5. 球体的体积计算：球体是一种所有点到球心距离都相等的立体图形。
计算球体的体积需要知道半径r。
球体的体积V等于4/3乘以πr³，即V = (4/3)πr³。
除了上述列举的立体图形外，还有很多其他形状的立体图形可以通过特定的公式来计算体积，如圆环、棱柱、棱锥等。
不同的立体图形都有相应的体积公式，掌握这些公式能帮助我们准确计算立体图形的体积。
总结起来，立体图形的体积计算是根据不同的形状使用相应的公式来求解。
立体图形的体积计算
圆柱体的体积计算 可以通过底面积乘 以高来实现，也可 以通过积分来求解。
圆柱体的体积计算在 日常生活和工程中有 着广泛的应用，如计 算圆柱形物体的容积 、液体容量等。
圆柱体的体积计算是 立体几何中一个重要 的知识点，对于理解 三维空间和立体图形 的性质具有重要意义 。
圆锥体的体积公式：V=1/3πr²h 圆锥体的体积计算方法：先求出底面积和高，再代入公式计算 圆锥体的体积计算实例：以实际题目为例，演示如何计算圆锥体的体积 圆锥体的体积计算注意事项：强调计算过程中需要注意的事项，如单位统一等
立体图形的体积计算
汇报人：XX
目录
立体图形的种类
立体图形体积计算 的基本公式
立体图形体积计算 的应用
立体图形体积计算 的注意事项
立体图形体积计算 的练习题
立体图形的种类
长方体的体积公式：V=a×b×c，其中a、b、c分别为长方体的长、宽、高。
体积计算中需要注意的要点：长、宽、高的尺寸单位需要统一，计算时按照顺序进行乘法运 算。
一个圆柱体的体积是 314立方厘米，它的底 面积是314平方厘米， 它的高是多少厘米？
一个圆锥体的体积是 12.56立方厘米，它的 底面积是12.56平方厘 米，它的高是多少厘米？
计算正方体的体积：边长为6cm，求体积。 计算长方体的体积：长为8cm，宽为4cm，高为3cm，求体积。 计算圆柱体的体积：底面半径为4cm，高为5cm，求体积。 计算圆锥体的体积：底面半径为6cm，高为8cm，求体积。
立体图形的体积计算全解
① 一个圆锥形沙堆，把这堆沙子全部倒入长方体 沙坑中刚好填满。
圆锥形沙堆的体积 = 沙坑的容积
② 一个盛有水量筒，把4颗完全一样的玻璃球完全 浸没在水中，水面上升了。
4颗玻璃珠的体积 = 上升的水的体积
③ 把一个圆柱的底面平均分成若干个扇形，然后 切开拼接成一个近似的长方体。
圆柱的体积 = 长方体的体积
立体图形的体积计算
9π = 28.26 15÷1%= 1500
0.5π = 1.57 3 4 = 64 0.5÷0.25＝ 2 9.1－0.7＝ 8.4
长×宽 ×高
底
高
长方体的体积=底面积×高
公式推导
圆柱的体积
圆锥与它等底等高的圆柱体 积关系演示图
① 圆柱的底面积是28.26㎝²，高是10㎝。 体 积：28.26×10=282.6㎝³ ② 圆柱的底面半径是3㎝ ，高是10㎝ 。 底面积：3.14×3²=28.26㎝² 体 积：28.26×10=282.6㎝³ ③ 圆柱的底面直径是6㎝ ，高是10㎝ 。 半 径：6÷2=3㎝ 底面积：3.14×3²=28.26㎝² 体 积：28.26×10=282.6㎝³
Байду номын сангаас
底面周长：37.68÷3=12.56㎝ 直 径：12.56÷3.14=4㎝ 半 径：4÷2=2 ㎝ 底 面 积：3.14×2²=12.56 ㎝² 体 积：12.56×8=100.48 ㎝³
37.68㎝² 3厘米
8厘米
3㎝
S=9㎝²
等底等高
3㎝ S=9㎝² S=9㎝²
3㎝
S=9㎝²
3㎝
……
等 底 （高是3倍关系） 3㎝ S=9㎝²
=
h=9㎝
等 高 （底是3倍关系）
立体图形的体积和表面积的计算公式
立方图形：名称符号面积S和体积V
正方体a－边长S＝6a2 V＝a3
长方体a－长b－宽c－高S＝2(ab+ac+bc) V＝abc
棱柱S－底面积h－高V＝Sh
棱锥S－底面积h－高V＝Sh/3
棱台S1和S2－上、下底面积h－高V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3
拟柱体S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6
圆柱r－底半径h－高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积C＝2πr S底＝πr2 S侧＝Ch S表＝Ch+2S底V＝S底h ＝πr2h
空心圆柱R－外圆半径r－内圆半径h－高V＝πh(R2-r2)
直圆锥r－底半径h－高V＝πr2h/3 圆台r－上底半径R－下底半径h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3 球r－半径d－直径V＝4/3πr3＝πd2/6
球缺h－球缺高r－球半径a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6 ＝πh2(3r-h)/3 a2＝h(2r-h)
球台r1和r2－球台上、下底半径h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6
圆环体R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径V＝2π2Rr2 ＝π2Dd2/4
桶状体D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高V＝πh(2D2＋d2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心) V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15 (母线是抛物线形) 长*宽*高底面积*高底面积*高/3 边长的立方
鞠躬尽瘁，死而后已。
——诸葛亮。
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立体图形的体积
教学目标：
1．使学生进一步认识学过的一些立体图形的特征，发展学生的空间观念。
2．使学生加深理解立体图形体积的计算方法，能根据已知条件计算这些立体图形的体积。
3、复习巩固立体图形的体积公式的推导方法。
教学重点、难点：
1．复习巩固立体图形的体积计算公式；
2．复习巩固立体图形的体积公式的推导方法。
教学准备：
课件、学生用学习纸、圆柱体。
教学过程：
一、复习导入
1、出示两个不同的圆柱体。
这两个圆柱体两个大？这里我们一般指的是它的体
积大。
（板书体积）
什么是体积？
2、今天我们就一起来复习立体图形的体积。
二、回忆公式
1、我们学习过那些立体图形呢？小组讨论：这些立体图形的体积公式是怎样的
呢？用字母如何表示？再想一想。
这些立体图形的体积公式又是如何推导出来的呢？
（学生讨论，教师在黑板上画出立体图形）
2、我们最先学的立体图形是长方体。
谁来说说看它的体积公式用字母怎样表
示？
（板书公式）
那么，长方体的体积公式我们是如何推导出来的呢？播放课件。
教师解释。
3、后来我们学的立体的图形是正方体。
正方体的体积公式怎样用字母来表示
呢？
（板书公式）
它的体积公式是怎样推导出来的呢？（因为正方体是特殊的长方体，长方体的体积公式是长乘宽乘高，所以正方体也是棱长乘棱长再棱长，也就是棱长的三次方。
）
（板书补上箭头）
4、再后来我们学的圆柱体，它的体积公式是什么呢？
（板书公式）
圆柱体的体积公式是如何推倒出来的呢？播放课件。
教师解释。
（板书补上箭头）
5、我们最后学习的是圆锥体，那么圆柱体体积计算公式是什么呢？
（板书公式）
6、你能说说它的体积公式是怎样推导出来的吗？指名回答。
7、小结归类：
思考一下，我们如何给这些立体图形进行分类呢？（指名回答）注意回答：长方体、正方体的底面积是什么？
教师适时小结：像长方体、正方体和圆柱体这三种立体图形，它们都有一个共同的特点，就是上下的两个底面都是一样的（补上底面字母S，手势），我们都可以称它们叫柱体。
对照它们的体积计算公式，你们有没有什么发现呢？
（体积都是底面积乘高）
（板书公式）
8、小结：
刚才我们一起回忆了小学阶段所学习的立体图形的体积计算公式和推导的方法。
下面，打开书106页，把这些公式填在书上。
好，老师想来检验一下，你们到底掌握得怎么样。
三、补充练习
1、做练一练第1题。
2、做练一练第二题。
（1）指名读题。
（2）什么是容积？容积怎么求？求这个油桶最多能容纳的油的体积。
（3）学生自己计算。
（4）指名回答。
得数保留一位小数。
结果为什么不是7.9升呢？（去尾法）3、小结：
之前，我们做了很多关于立体图形的体积的习题，你们一定有很多感受把。
那么，在做题目的时候，你们有没有什么要提醒大家的。
（公式、方法、思路、单位名称、圆锥体积要乘三分之一等）
4、大显身手
大家说么这么多，想再来大显身手吗？老师来考考你的眼力。
（一）判断题
（1）长方体、正方体和圆柱的体积都可以用底面积乘高来计算。
（）（2）棱长6厘米的正方体，表面积和体积相等。
（）（3）一个物体的体积大，容积就大。
（）（4）圆锥的体积是圆柱的1/3。
（）（5）圆锥的体积是圆柱的1/3，所以圆柱和圆锥等底等高。
（）（二）填空题
（1）等底等高的圆柱和圆锥的体积之和是12立方厘米，圆锥的体积是____立方厘米。
（2）等底等高的圆柱和圆锥的体积之差是12立方厘米，圆锥的体积是____立方厘米。
（3）把一个长5分米、宽4分米、高3分米的长方体削成一个最大的正方体，这个正方体的棱长是_______厘米，体积是_______立方厘米。
（三）操作题
给你一张长20厘米，宽10厘米的长方形的纸片，以其中一条边为轴旋转一周,求转过的空间的体积。
比较怎样旋转的空间最大呢？小组讨论，互相演示一下。
反馈：学生一边演示，一边说两种旋转的方法。
说说比较的方法。
提示3.14可以提出来不算。
5、小结：我们复习立体图形的体积的计算方法，目的就是为了可以在生活中去使用。
6、那么，你们能估算一下我们这间教室的空间大小吗？在我们估计之前，请同学们想一想，我们的教室实际上可以看作是怎样的一个图形呢？（长方体）那么，要求这个教室这个长方体的大小，我们必须要知道哪些必要的条件呢？（长、宽、高）那么，你们能想办法找出长、宽、高吗？（通过比较：比如地砖的边长，门的高度、墙砖的长和宽，个人的身高）（教师可以提供必要的数据。
）
好，下面，我们就以小组为单位进行学习，看哪一组与老师测量过的最终结果最为接近。
学习前，请听清楚要求。
要求：1、以四人一小组为单位有组织地进行合作学习；2、可以离开座位进行研究学习；3、要求最后估计的结果得数保留到整立方米。
（学生合作学习）
指名回答。
教师比较、揭示答案并进行评价。
四、 总结全课
今天，我们一起复习了立体图形的计算公式以及公式推导的方法，也还进行了一些实际的操作。
最后，布置今天的作业：108页的7-9题。
板书设计：
体 积
a
s
a V= a 3
a
V=abh V=sh
V=sh
V=sh。