八年级数学下册平行四边形和一次函数复习资料
人教版八年级数学下册期末复习---平行四边形
八年级数学期末复习平行四边形知识结构图本章知识在本册考试中所占比重较大，是重点，也是难点，常考查运用平行四边形或特殊平行四边形的性质与判定来证明线段或角之间的关系．本章涉及的特殊题型有：折叠问题、多结论判断题、四边形中的动点问题等，也经常考查四边形中的全等模型，复习时应予以重视．重难点突破重难点1 平行四边形的性质与判定【例1】如图，已知▱ABCD，O是对角线AC与BD的交点，OE是△ABC的中位线，连接AE并延长与DC的延长线交于点F，连接BF.求证：四边形ABFC是平行四边形．【思路点拨】由▱ABCD，OE是△ABC的中位线，易得E是边BC中点，从而证△ABE≌△FCE，得AB ＝CF.进而证得四边形ABFC是平行四边形．【解答】要证一个四边形是平行四边形，通常按照已知条件的特征来选择判定方法，有五种方法，从中选出最佳的证明方法．1．如图，已知BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADF，AF⊥AC.（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；（2）若AF＝DF＝5，AD＝6，求AC的长．重难点2 特殊平行四边形的性质与判定【例2】如图，已知△ABC和△DEF是两个边长为10 cm的等边三角形，且点B，D，C，E在同一条直线上，连接AD，CF.（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；（2）若BD＝3 cm，△ABC沿着BE的方向以1 cm/s的速度运动，设△ABC运动时间为t s.①当t为何值时，▱ADFC是菱形？请说明理由；②▱ADFC有可能是矩形吗？若可能，求出t的值及此矩形的面积；若不可能，请说明理由．【思路点拨】（1）由△ABC和△DEF是两个边长为10 cm的等边三角形，得AC＝DF，∠ACD＝∠FDE＝60°，从而得AC∥DF，所以四边形ADFC是平行四边形；（2）①若▱ADFC是菱形，则B点与D 点重合，从而得出△ABC沿着BE的方向移动的距离，进而求出运动的时间；②若平行四边形ADFC 是矩形，则∠ADF＝90°，从而可推断E与B重合，得△ABC沿着BE的方向移动的距离，进而求出运动的时间及此时矩形的面积．【解答】来．其他的证明与静态问题相同．2．（教材P63“实验与探究”的变式）现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC，CD交于点M，N.（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是____________；（2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM＝ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？（4）如图4是点O在正方形外部的一种情况．当OM＝ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论（不必说理）．图1 图2备考集训一、选择题（每小题4分，共32分）1．边长为3 cm的菱形的周长是（）A．6 cm B．9 cm C．12 cm D．15 cm2．在▱ABCD中，已知AB＝（x＋1）cm，BC＝（x－2）cm，CD＝4 cm，则▱ABCD的周长为（）A．5 cm B．10 cm C．14 cm D．28 cm3．（2017·钦州期末）下列命题中，真命题是（）A．两条对角线相等的四边形是矩形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形4．（2016·南充）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（）A．1 B．2 C. 3 D．1＋ 35．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，对角线AC ＝6，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则AE 的长为（）A ．4B.125C.245D ．56．如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 中点，连接AF ，BE ，CE ，DF 分别交于点M ，N ，四边形EMFN 是（ ） A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．无法确定7．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD ，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B ＝90°时，如图1，测得AC ＝2，当∠B ＝60°时，如图2，AC ＝（ ）A. 2B ．2C. 6D ．2 28．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，DC 上的一个动点，以EF 为对称轴折叠△CEF ，使点C 的对称点G 落在AD 上．若AB ＝3，BC ＝5，则CF 的取值范围为（ ） A ．CF ≥53B ．CF ≤3C.53<CF ≤3D.53≤CF ≤3二、填空题（每小题3分，共18分）9．（2016·河南）如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E.若∠1＝20°，则∠2的度数为____________．10．（2017·钦州期末）如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AD＝8，AB＝6，将△ABO 向右平移得到△DCE，则△ABO向右平移过程扫过的面积是____________．11．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是________________．（写出一个即可）12．（2016·昆明）如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形EFGH 的面积是____________．13．（2016·钦州）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为____________．14．已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是____________．三、解答题（共50分）15．（8分）已知，如图，在矩形ABCD中，点E，F在边AD上，且AE＝DF，求证：BF＝CE.16．（10分）（2016·长沙）如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC.（1）求证：AB＝BC；（2）若AB＝2，AC＝23，求▱ABCD的面积．17．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F，连接EF.（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若AB＝8，AD＝4，求BF的长．18．（10分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE. （1）求证：CE＝CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？19．（12分）已知AC是菱形ABCD的对角线，∠BAC＝60°，点E是直线BC上的一个动点，连接AE，以AE为边作菱形AEFG，并且使∠EAG＝60°，连接CG，当点E在线段BC上时，如图1，易证：AB ＝CG＋CE.（1）当点E在线段BC的延长线上时（如图2），猜想AB，CG，CE之间的关系并证明；（2）当点E在线段CB的延长线上时（如图3），直接写出AB，CG，CE之间的关系．平行四边形【例1】 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD.∵OE 是△ABC 的中位线，∴E 是BC 的中点．∴BE ＝CE.∵AB ∥CD ，∴∠ABE ＝∠FCE.在△ABE 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠ABE ＝∠FCE ，BE ＝CE ，∠BEA ＝∠CEF ，∴△ABE ≌△FCE(ASA)．∴AB ＝CF.又∵AB ∥CF ，∴四边形ABFC 是平行四边形．【例2】 (1)证明：∵△ABC 和△DEF 是两个边长为10 cm 的等边三角形，∴AC ＝DF ，∠ACD ＝∠FDE ＝60°.∴AC ∥DF.∴四边形ADFC 是平行四边形．(2)①如图1，当t ＝3 s 时，▱ADFC 是菱形．理由：∵t ＝3，∴点B 与点D 重合，点C 与点E 重合．又∵△ABC 和△DEF 是两个边长为10 cm 的等边三角形，∴AD ＝DF ＝FE ＝EA.∴▱ADFC 是菱形．图1 图2②如图2，∵▱ADFC 是矩形，∴∠DAC ＝90°.又∵∠ACD ＝60°，∴∠ADC ＝30°.∴DC ＝2AC ＝20 cm ，AD ＝10 3 cm.∴t ＝(20－7)÷1＝13(s)，S 矩形ADFC ＝AD ·AC ＝103×10＝1003(cm)2. 变式训练1．(1)证明：∵BD 垂直平分AC ，∴AB ＝BC ，AD ＝DC.∴∠BAC ＝∠BCA ，∠DAC ＝∠DCA.∴∠BAC ＋∠DAC ＝∠BCA ＋∠DCA ，即∠BAD ＝∠BCD.∵∠BCD ＝∠ADF ，∴∠BAD ＝∠ADF.∴AB ∥FD.∵BD ⊥AC ，AF ⊥AC ，∴AF ∥BD.∴四边形ABDF 是平行四边形．(2)∵四边形ABDF 是平行四边形，∴AB ＝DF ，AF ＝BD.∵AF ＝DF ＝5，∴AB ＝BD ＝5.设BE ＝x ，则DE ＝5－x ，由题设得AC ⊥BD ，∴AB 2－BE 2＝AD 2－DE 2，即52－x 2＝62－(5－x)2.解得x ＝75.∴AE ＝AB 2－BE 2＝245.∴AC ＝2AE ＝485.2．(1)OM ＝ON (2)OM ＝ON 仍然成立．理由：过O 作OE ⊥BC 于E ，OF ⊥CD 于F ，则∠OEM ＝∠OFN ＝90°.∵O 是正方形ABCD 的中心，∴OE ＝OF.∵∠EOF ＝90°，∴∠EON ＋∠NOF ＝90°.∵∠MOE ＋∠EON ＝90°，∴∠MOE ＝∠NOF.∴△OEM ≌△OFN(ASA)．∴OM ＝ON.(3)过O 作OG ⊥BC 于G ，OH ⊥CD 于H ，则∠OGM ＝∠OHN ＝90°.∵∠C ＝90°，∴∠GON ＋∠NOH ＝90°.∵∠MOG ＋∠GON ＝90°，∴∠MOG ＝∠NOH.∵OM ＝ON ，∴△OGM ≌△OHN(AAS)．∴OG ＝OH.∴点O 在∠BCD 的平分线上．∴点O 在正方形内(含边界)移动过程中所形成的图形是对角线AC.(4)所成图形为直线AC. 备考集训1．C 2.B 3.D 4.A 5.C 6.B 7.A 8.D 9.110° 10.48 11.答案不唯一，如：AB ＝AD 或AB ＝BC 或AC ⊥BD 等 12.24 13.6 14.15°或75°15．证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝CD ，∠A ＝∠D ＝90°.∵AE ＝DF ，∴AD －AE ＝AD －DF ，即DE ＝AF.在△ABF 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝DE ，∠A ＝∠D ，AB ＝DC ，∴△ABF ≌△DCE(SAS)．∴BF ＝CE.16．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∴∠DAC ＝∠BCA.∵∠BAC ＝∠DAC ，∴∠BAC ＝∠BCA.∴AB ＝BC.(2)连接BD ，交AC 于点O.∵四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝BC ，∴四边形ABCD 是菱形．∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ＝12AC ＝3，OB ＝OD ＝12BD.∴OB ＝AB 2－OA 2＝22－（3）2＝1.∴BD ＝2OB ＝2.∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝12×23×2＝2 3. 17．(1)证明：∵DE ∥BC ，DF ∥AB ，∴四边形BFDE 是平行四边形．∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD.∵DE ∥BC ，∴∠CBD ＝∠EDB.∴∠ABD ＝∠EDB.∴EB ＝ED.∴四边形BFDE 是菱形．(2)∵DE ∥BC ，∠C ＝90°，∴∠ADE ＝90°.设BF ＝x ，则DE ＝BE ＝x.∴AE ＝8－x.在Rt △ADE 中，AE 2＝DE 2＋AD 2，即(8－x)2＝x 2＋42.解得x ＝3.∴BF ＝3.18．(1)证明：∵在正方形ABCD 中，BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF ，又∵BE ＝DF ，∴△CBE ≌△CDF(SAS)．∴CE ＝CF.(2)GE ＝BE ＋GD 成立．理由：由(1)得△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE ＝∠DCF.∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD ，即∠ECF ＝∠BCD ＝90°.又∵∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°.∵CE ＝CF ，∠GCE ＝∠GCF ，GC ＝GC ，∴△ECG ≌△FCG(SAS)．∴GE ＝GF.∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD.19．(1)AB ＝CG －CE.证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC.∵∠BAC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠BAC ＝60°，AB ＝AC.∵AD ∥BC ，AB ∥DC ，∴∠DAC ＝∠ACB ＝∠BAC ＝∠ACD ＝∠EAG ＝60°.∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠EAG ＋∠CAE ，即∠BAE ＝∠CAG.在△ABE 和△ACG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CAG ，AB ＝AC ，∠ABE ＝∠ACG ，∴△ABE ≌△ACG(ASA)．∴BE ＝CG.∵BC ＝CD ，∴CE ＝DG.∵AB ＝CD ＝CG －DG ，∴AB ＝CG －CE.(2)AB ＝CE －CG.。
平行四边形-八年级下学期数学期末重难点知识专题复习一遍过原卷及解析版(人教版)
专题03 平行四边形期末总复习重难点知识一遍过一、基础知识点综述三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.二、基础图形识别图形条件结论DE∥BC BE平分∠ABC BD=DE ∠1=∠3AB=AC，D是底边BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CH⊥ABDE+DF=CH四边形ABCD对角线AC⊥BD1=2ABCDS AC BD⨯⨯四边形2222 AD BC AB CD +=+四边形ABCD为正方形，BN ⊥AM △ADM≌△BANAM=BN另：三角形中位线定理、斜中定理的逆命题均是成立的，同学们自己完成证明.三、典型例题精讲题1. 如图1-1所示，有一块边长为8的正方形ABCD，将一块足够大的直角三角形的直角顶点放在A 处，两直角边分别于CD交于F，与CB的延长线交于点E，则四边形AECF的面积为图1-1题2. 已知如图2-1所示，矩形ABCD中，BD=5cm，BC=4cm，E是边AD上一点，且BE = ED，P是对角线上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G. 则PF+PG的长为（）。
A. 2.5 cmB. 2.8 cmC. 3 cmD. 3.5 cm图2-1题3. 如图3-1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF∥CE．（1）说明四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．图3-1题4. 如图4-1所示,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DE∥AC且AC=2DE,连接AE交OD于点F,连接CE、OE．（1）求证：OE=CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．图4-1题5. 如图5-1，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB 上，连接EF、CF.求证：（1）2∠DCF=∠BCD；（2）EF=CF；（3）∠DFE=3∠AEF.图5-1题6. 如图6-1所示，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为．图6-1题7. 如图7-1所示，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点．边长为6的正方形OABC的顶点A，C 分别在x轴和y轴的正半轴上，点E是对角线AC上一点，连接OE、BE，BE的延长线交OA于点P，若△OCE 的面积为12．（1）求点E的坐标：（2）求△OPE的周长．图7-1题8. 如图8-1中，菱形ABCD中，AB=12，∠A=60°，E、F分别在AD、CD上，连接BE、BF、EF，使得∠EBF=60°.（1）求证：DE=CF；（2）当E、F在AD、CD边上运动时，始终得到∠EBF=60°，求△BEF面积S的取值范围.图8-1题9. 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为直线BC上一动点（不与B、C重合）.以AD为边作正方形ADEF，连接CF.（1）如图9-1所示，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF；②CF=BC－CD.（2）如图9-2所示，当点D在线段BC的延长线上时，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系.图9-1 图9-2专题03 平行四边形期末总复习重难点知识一遍过一、基础知识点综述三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.二、基础图形识别图形条件结论DE∥BC BE平分∠ABC BD=DE ∠1=∠3AB=AC，D是底边BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CH⊥ABDE+DF=CH四边形ABCD对角线AC⊥BD1=2ABCDS AC BD⨯⨯四边形2222 AD BC AB CD +=+四边形ABCD为正方形，BN ⊥AM △ADM≌△BANAM=BN另：三角形中位线定理、斜中定理的逆命题均是成立的，同学们自己完成证明.三、典型例题精讲题1. 如图1-1所示，有一块边长为8的正方形ABCD，将一块足够大的直角三角形的直角顶点放在A 处，两直角边分别于CD交于F，与CB的延长线交于点E，则四边形AECF的面积为图1-1【答案】16.【解析】解：∵∠DAF+∠BAF=90°，∠EAB+∠BAF=90°,∴∠DAF=∠EAB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，又∠EBA=∠ADF=90°，∴△ABE≌△ADF，∴S△ABE=S△ADF,∴S四边形AECF= S△ABE+ S四边形ABCF= S△ADF+ S四边形ABCF=16.故答案为：16.题2. 已知如图2-1所示，矩形ABCD中，BD=5cm，BC=4cm，E是边AD上一点，且BE = ED，P是对角线上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G. 则PF+PG的长为（）。
人教版八年级下册数学平行四边形知识点归纳及练习
人教版八年级下册数学平行四边形知识点归纳及练习TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】平行四边形复习一基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线.二定理：中心对称的有关定理※1．关于中心对称的两个图形是全等形.※2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分. ※3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称. 三 公式：1．S 菱形 =21ab=ch.（a 、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长 ，h 为c 边上的高） 2．S 平行四边形 =ah. a 为平行四边形的边，h 为a 上的高）3．S 梯形 =21（a+b ）h=Lh.（a 、b 为梯形的底，h 为梯形的高,L 为梯形的中位线） 四 常识：※1．若n 是多边形的边数，则对角线条数公式是：2)3n (n .2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.4．常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 …… ；仅是中心对称图形的有：平行四边形 …… ；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆…… .注意：线段有两条对称轴.练习：一、填空：（每小题2分，共24分）1、对角线＿＿＿＿＿平行四边形是矩形。
2、如图⑴已知O 是□ABCD 的对角线交点，AC ＝24，BD ＝38，AD ＝14，那么△OBC 的周长等于＿＿＿＿＿。
＿＿＿cm 。
平行四边形矩形菱形正方形⑴ ⑵ ⑶⑷5、已知菱形的一条对角线长为12cm，面积为30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为__________cm。
苏教版初二八下期中复习一次函数与平行四边形含答案(非常好)
1、如图，在平面直角坐标系中，直线y=-34x+b 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，且点A 的坐标为（4，0），四边形ABCD 是正方形．（1）填空：b= ； （2）求点D 的坐标；（3）点M 是线段AB 上的一个动点（点A 、B 除外），试探索在x 上方是否存在另一个点N ，使得以O 、B 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N 的坐标．2、如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是（-3，0），（0，6），动点P 从点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C 从点B 出发，沿射线BO 方向以每秒2个单位的速度运动。
以CP ，CO 为邻边构造□PCOD ，在线段OP 延长线上取点E ，使PE=AO ，设点P 运动的时间为秒. （1）当点C 运动到线段OB 的中点时，求的值及点E 的坐标； （2）当点C 在线段OB 上时，求证：四边形ADEC 为平行四边形；t t3、如图，平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，点A 的坐标为（1，0）∠ABO=30°，过点B 的直线y=√33x +m 与x 轴交于点C ．（1）求直线l 的解析式及点C 的坐标．（2）点D 在x 轴上从点C 向点A 以每秒1个单位长度的速度运动（0＜t ＜4），过点D 分别作DE ∥AB ，DF ∥BC ，交BC 、AB 于点E 、F ，连接EF ，点G 为EF 的中点．①判断四边形DEBF 的形状并证明；②求出t 为何值时线段DG 的长最短．（3）点P 是y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q ，使以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．4、如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA=8、OB=6，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长；（2）若点C的坐标是（-3,0），点E坐标为（0，-4），M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5、在直角坐标系中，直线y=2x+4交x轴于A，交y轴于D（1）以A为直角顶点作等腰直角△AMD，直接写出点M的坐标为。
八年级数学培优第十三讲平行四边形与一次函数
八年级数学培优第十三讲平行四边形与一次函数第十二讲平行四边形与一次函数考点•方法•破译⒈理解并掌握平行四边形的定义、性质、和判定方法，并运用它们进行计算与证明.⒉理解三角形中位线定理并会应用.⒊了解平行四边形是中心对称图形.经典•考题•赏析【例3】（南昌）如图:在平面直角坐标系中,有A（0,1）,B（－1,0）,C（1,0）三点.⑴若点D与A、B、C三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D 的坐标；⑵选择⑴中符合条件的一点D，求直线BD的解析式．【解法指导】已知固定的三个点，作平行四边形应有三种可能性，如图所示，因而本题D点坐标应有三种可能性．【解】⑴D1（2，1）D2（－22，1）D3（0，－1）⑵若选择D3（0，－1），可求得解析式：y ＝－x－1【变式题组】已知固定的三个点，作平行四边形时应有三种可能性，如图所示，因而本题D点坐标应有三种可能性．【解】⑴D1（2，1）D2（－2，1）D3（0，－1）⑵若选择D3（0，－1），可求得解析式：y ＝－x－1【变式题组】3＋3与y01．如图，直线l1:y ＝－x2轴交于点A，与直线l2交于x轴上同一点B，直线l2交y轴于点3C，且点C与点A关于x轴对称．⑴求直线l2的解析式；⑵设D（0，－1），平行于y轴的直线x＝t分别交直线l1和l2于点E、F．是否存在t的值，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．02．如图，在直角坐标系中，A（1，0），B（3，1x上是否0），P是y轴上一动点，在直线y＝2存在点Q，使A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出对应的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．4503．（四川资阳）若一次函数y ＝2x －1和反比例函数y ＝x k 2的图象都经过点（1，1）．⑴求反比例函数的解析式；⑵已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A 的坐标；⑶利用⑵的结果，若点B 的坐标为（2，0），且以点A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．【例4】（齐齐哈尔）如图1.在四边形ABCD 中,AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则∠BME＝∠CNE（不需证明）(温馨提示:在图1中，连接BD,取BD的中点H,连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME＝∠CNE．)问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB 与CD相交于点O,AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF,分别交DC、AB于M、N，判断∆OMN的形状，请直接写出结论．67问题二:如图3，在∆ABC 中，AC >AB ,D 点在AC 上，AB ＝CD ,E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ,若∠EFC ＝60°,连接GD ,判断∆AGD 的形状并证明.【解法指导】出现中点，联想到三角形中位线是常规思路，因为三角形中位线不仅能进行线段的替换，也可通过平行进行角的转移．【解】⑴△OMN 为等腰三角形．⑵△AGD 为含有30°的直角三角形．证明：连接BD ，取BD 的中点M ，连接FM 、EM ．∵AF ＝FD ，BM ＝MD ∴MF //21AB 同理ME //21CD ．∵AB ＝CD ∴MF ＝ME ，RP D CB A EF又∵∠2＝∠1＝60°，∴△MEF为等边三角形，∴∠4＝∠3＝60°，∠5＝60°∴△AGF为等边三角形∴FG＝FD∴∠ADG＝30°∴△AGD为含有30°的直角三角形．【变式题组】01．（扬州）如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（)A、线段EF的长逐渐增大B、线段EF的长逐渐减小C、线段EF的长不变D、线段EF的长与点P的位置有关02．如图，在△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平89分线， BD ⊥AD 于D ,AB ＝12,AC ＝22,则MD 的长为（ ）.A .3B .4C .5D .6【例5】（浙江竞赛）如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°,点M 在BC 上，且BM ＝AC ,点N 在AC 上，且AN ＝MC ,AM 与BN 相交于点P ,求证：∠BPM ＝45°.【解法指导】题中相等线段关联性不强，能否把相等的线段（或角）通过改变位置，将分散的条件集中，从而构造全等三角形解决问题．【解】方法一、如图2，过M 作 ME AN ,连接BE ,EN ,则得 AMEN , ∴ME ⊥BC ,AM ＝EN在△AMC 和△BEM 中 ，AC ＝BN ,∠BNE＝∠C＝90°, ME＝MC∴△AMC≌△BEM∴BE＝AM＝EN,∠3＝∠4 ∵∠1＝∠2,∠1＋∠4＝90°∴∠2＋∠3＝90°, ∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE＝45°,∴∠BPM＝45°方法2：如图3，过B作BF AN,连接AF,FM也可证得．【变式题组】01．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC,延长边AB到点D,延长CA到点E,连接DE，若AD＝BC＝CE＝DE,求∠BAC的度数．10演练巩固反馈提高05．（浙江金华）某广场有一个形状是平行四边形的花坛（如图）分别种有红黄蓝绿橙紫6得颜色的花，如果有AB∥EF∥DC,BC∥GH ∥AD,那么下列说法错误的是A．红花，绿花种植面积一定相等B.紫花，橙花种植面积一定相等C.红花，蓝花种植面积一定相等D.蓝花，黄花种植面积一定相等06．（陕西）如图，l1∥l2BE∥CF, BA⊥l1DC⊥l2,下面四个结论中①AB＝DC;②BE＝CF③S△ADE＝S△DCF④S□ABCD ＝S□BCFE,其中正确的有（）A.4个B .3个C.2个D .1个07．(成都）已知四边形ABCD,有以下四个条件：①AB∥CD②AB＝CD③BC∥AD④BC＝AD从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD为平行四边形的选法种数有（）A.6种B.5种C.4种D.3种08．（厦门）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E,F分别是AB,CD的中点，AD＝BC,∠PEF＝180,则∠PFE的度数为________09．.如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD中，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A恰好落在CD上的F点，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为_________10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝3,AC＝4,将△ABC沿直线BC向右平移2.5个单位得到△DEF,AC与DE相交于点G,连接AD,AE,则下列结论中成立的是____①四边形ABED是平行四边；②△AGD≌△CGE③△ADE为等腰三角形④AC平分∠EAD11．(长春）如图□ABCD中，E是BC边上一点，且AB＝AE.求证:△ABC≌△EAD若AE平分∠DAB,∠EAC＝25°,求∠AED的度数．12．(荆州)如图，□ABCD内一点E满足ED⊥AD于D,且∠EBC＝∠EDC,∠ECB＝45°,找出图中一条与EB相等的线段，并加以证明．13．已知，如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将线段DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F,连接DC,AE.⑴求证：△ADE≌△DFC⑵过点E作EH∥DC交DB于点G ,交BC于点H,连接AH,求∠AHE的度数．。
(完整word版)新浙教版数学八年级下册平行四边形复习
课题 平行四边形复习知识点一：平行四边形的定义 知识点二：平行四边形的性质1.从边看：平行四边形两组对边平行且相等； 2．从角看：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．从对角线看：平行四边形的对角线互相平分；4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；5．若一条直线过平行四边形的两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中心，且这条直线二等分平行四边形的面积。
如下图：有OE=OF ，且四边形AFED 的面积等于四边形FBCE 的面积；6. 平行四边形的对角线分平行四边形为四个等积的三角形。
例题讲解：1．如图，的对角线和交于，，，，则△的周长是（ ）．A ．56B ．45C ．51D ．59 2．中的对角线，相交于点，，，则取值范围 ( ）．A ．B ．C ．D ． 3．的周长为，，，与的距离，的面积＝__________．4. 平行四边形相邻的两个角的平分线所成的角是（ ）．A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不确定 5. 如果的的平分线交于，且，则的度数为（ ）．A ．B ．C ．D ．或6．在中，为的中点，若，则和的夹角的度数是（ ）．A ．100B ．95C ．90D ．857. 从平行四边形的一个锐角顶点作它所对两边的高线，如果这两条高线夹角为，则这个平行四边形的内角为______________．ABCD AC BD O 24=AC 38=BD 28=AD BOC ABCD AC BD O 10=AC 8=BD AD 1>AD 9<AD 91<<AD 0>AD ABCD 6cm 3ο60=∠B 6cm =AB AD BC ______=AE ABCD ABCD BAD ∠BC E BE AE =BAE ∠ο30ο60ο120ο60ο120ABCD M CD AD DC 2=AM BM ο135知识点三：1、从边上看（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
华东师大初中数学八年级下册《平行四边形》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《平行四边形》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形.3．面积：高底平行四边形S 4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.要点二、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：宽＝长矩形S ４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．要点三、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：2对角线对角线高＝＝底菱形S 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形1、如图，在口ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N．求证：四边形MFNE是平行四边形．【答案与解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD＝BC,AD∥BC（平行四边形的对边相等且平行）又∵DF∥BE（已知）∴四边形BEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴DE＝BF（平行四边形的对边相等）∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF又∵AE∥CF∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴AF∥CE∴四边形MFNE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）【总结升华】要证明一个四边形是平行四边形首先要根据已知条件选择一种合理的判定方法，如本题中已有一边平行，只须说明另一边也平行即可，故选用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明.举一反三：【变式】如图，等腰△ABC中，D是BC边上的一点，DE∥AC，DF∥AB,通过观察分析线段DE，DF，AB三者之间有什么关系，试说明你的结论．【答案】AB＝DE＋DF，提示：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠C＝∠EDB∴DF＝AE．∵△ABC是等腰三角形，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EDB，∴DE＝BE，∴AB＝AE＋BE＝DF＋DE2、（2015?哈尔滨）如图1，口ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）如图2，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD除外）．【思路点拨】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，根据平行四边形的性质得到∠EAO=∠FCO，证出△OAE≌△OCF，得到OE=OF，同理OG=OH，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到结论；（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到结论．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△OAE与△OCF中，∴△OAE≌△OCF，∴OE=OF，同理OG=OH，∴四边形EGFH是平行四边形；（2）解：与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形有口GBCH，口ABFE，口EFCD，口EGFH；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∵EF∥AB，GH∥BC，∴四边形GBCH，ABFE，EFCD，EGFH为平行四边形，∵EF过点O，GH过点O，∵OE=OF，OG=OH，∴口GBCH，口ABFE，口EFCD，口EGFH，口ACHD它们面积=口ABCD的面积，∴与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形有口GBCH，口ABFE，口EFCD，口EGFH．【总结升华】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．类型二、矩形3、（2016春?常州期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，AE∥BC，DE∥AB．试说明：（1）AE=DC；（2）四边形ADCE为矩形．【思路点拨】（1）根据已知条件可以判定四边形ABDE是平行四边形，则其对边相等：AE=BD．结合中点的性质得到AE=CD；（2）依据“对边平行且相等”的四边形是平行四边形判定四边形ADCE是平行四边形，又由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得结论．【答案与解析】证明：（1）如图，∵AE∥BC，∴AE∥BD．又∵DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD．∵D为BC的中点，∴BD=DC，∴AE=DC；（2）∵AE∥CD，AE=BD=DC，即AE=DC，∴四边形ADCE是平行四边形．又∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥CD，∴平行四边形ADCE为矩形．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题也可以根据“对角线相等的平行四边形是矩形”来证明（2）的结论．4、如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，求EF的长.【思路点拨】要求EF的长，可以考虑把EF放入Rt△AEF中，由折叠可知CD＝CF，DE＝EF，易得AC＝10，所以AF＝4，AE＝8-EF，然后在Rt△AEF中利用勾股定理求出EF的值．【答案与解析】解：设EF＝x，由折叠可得：DE＝EF＝x，CF＝CD＝6，又∵在Rt△ADC中，226810AC．∴ AF＝AC－CF＝4，AE＝AD－DE＝8－x．在Rt△AEF中，222AE AF EF，即222(8)4x x，解得：x＝3 ∴ EF＝3【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解．举一反三：【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB ＝ 3cm，BC ＝ 5cm，则重叠部分△DEF的面积是__________2cm．【答案】5.1.提示：由题意可知BF＝DF，设FC＝x，DF＝5－x，在Rt△DFC中，222DC FC DF，解得x＝85，BF＝DE＝3.4，则DEF1=DE AB2S△＝12×3.4×3＝5.1.类型三、菱形5、如图,在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠CDF等于( ).A.80°B.70°C.65°D.60°【答案】D；【解析】解：连结BF，由FE是AB的中垂线，知FB＝FA，于是∠FBA＝∠FAB＝＝40°.∴∠CFB＝40°＋40°＝80°,由菱形ABCD知，DC＝CB，∠DCF＝∠BCF，CF＝CF，于是△DCF≌△BCF，因此∠CFD＝∠CFB＝80°,在△CDF中, ∠CDF＝180°－40°－80°＝60°.【总结升华】运用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、线段的平行及垂直等问题，关键是要记住它们的判定和性质.举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.类型四、正方形6、（2015春?上城区期末）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF．（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；（2）若DG=6，求△FCG的面积．【思路点拨】（1）通过证明Rt△DHG≌△AEH，得到∠DHG=∠AEH，从而得到∠GHE=90°，然后根据有一个角为直角的菱形为正方形得到四边形EFGH为正方形；（2）作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，利用AB∥CD得到∠AEG=∠QGE，再根据菱形的性质得HE=GF，HE∥GF，则∠HEG=∠FGE，所以∠AEH=∠QGF，于是可证明△AEH≌△QGF，得到AH=QF=2，然后根据三角形面积公式求解．【答案与解析】（1）证明：∵四边形EFGH为菱形，∴HG=EH，∵AH=2，DG=2，∴DG=AH，在Rt△DHG和△AEH中，，∴Rt△DHG≌△AEH，∴∠DHG=∠AEH，∵∠AEH+∠AHG=90°，∴∠DHG+∠AHG=90°，∴∠GHE=90°，∵四边形EFGH为菱形，∴四边形EFGH为正方形；（2）解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，∵四边形EFGH为菱形，∴HE=GF，HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠QGF，在△AEH和△QGF中，∴△AEH≌△QGF，∴AH=QF=2，∵DG=6，CD=8，∴CG=2，∴△FCG的面积=CG?FQ=×2×2=2．【总结升华】本题考查了正方形的判定与性质：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定；正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．也考查了菱形和矩形的性质．7、如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过 E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE＝EF．根据正方形的性质推出AB＝BC，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB是以∠Ｂ为直角的等腰直角三角形，得到BH＝BE，∠H＝45°，HA＝CE，根据CF平分∠DCE推出∠H＝∠FCE，根据ASA证△HAE≌△CEF即可得到答案．【答案与解析】探究：AE＝EF证明：∵△BHE为等腰直角三角形,∴∠H＝∠HEB＝45°，BH＝BE.又∵CF平分∠DCE，四边形ABCD为正方形，∴∠FCE＝12∠DCE＝45°，∴∠H＝∠FCE.由正方形ABCD知∠B＝90°，∠HAE＝90°＋∠DAE＝90°＋∠AEB,而AE⊥EF，∴∠FEC＝90°＋∠AEB，∴∠HAE＝∠FEC.由正方形ABCD知AB＝BC，∴BH－AB＝BE－BC，∴HA＝CE,∴△AHE≌△ECF （ASA）,∴AE＝EF.【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.。
北师大版数学八年级下册期末复习(六) 平行四边形
期末复习(六) 平行四边形01 各个击破)命题点1 平行四边形的性质与判定【例1】 (桂林中考)如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点． (1)求证：四边形EBFD 为平行四边形；(2)对角线AC 分别与DE ，BF 交于点M ，N ，求证：△ABN≌△CDM.【思路点拨】 (1)先根据平行四边形的性质得AB∥CD，AB ＝CD ，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；(2)因为AB ＝CD ，∠CAB ＝∠ACD 已知，则只需要再证明一组对应角相等即可． 【解答】 证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ABCD.∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点， ∴BE ＝12AB ，DF ＝12DC. ∴BEDF.∴四边形EBFD 为平行四边形． (2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ABCD.∴∠CAB ＝∠ACD.∵四边形EBFD 为平行四边形， ∴∠ABN ＝∠CDM. 又∵AB＝CD ，∴△ABN ≌△CDM(ASA)．【方法归纳】 1.判定平行四边形的基本思路：(1)若已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；(2)若已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等；(3)若已知一组对角相等，可以证另一组对角相等；(4)若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分． 2．利用平行四边形的性质进行计算的方法：(1)利用平行四边形的性质，通过角度或线段之间的等量转化进行相应的计算；(2)找出所求线段或角所在的三角形，若三角形为直角三角形，通过直角三角形的性质或勾股定理求解；若三角形为任意三角形，可通过三角形全等的性质进行求解．1．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝CD ，AD ＝BC ，AC ，BD 相交于点O ，若AC ＝6，则AO 的长度等于3．2．如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，CE ∥AB ，DE 交AC 于点O ，且OA ＝OC ，猜想线段CD 与线段AE 的大小关系和位置关系，并说明理由．解：线段CD 与线段AE 的大小关系和位置关系是相等且平行． 理由：∵CE∥AB， ∴∠DAO ＝∠ECO.∵OA ＝OC ，∠AOD ＝∠COE， ∴△ADO ≌△CEO.∴AD ＝CE. 又∵AD∥CE，∴四边形ADCE 是平行四边形． ∴CD ∥AE ，CD ＝AE.3．如图，E 是▱ABCD 的边CD 的中点，延长AE 交BC 的延长线于点F. (1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若∠BAF＝90°，BC ＝5，EF ＝3，求CD 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD.∴∠DAE ＝∠F，∠D ＝∠ECF. ∵E 是▱ABCD 的边CD 的中点， ∴DE ＝CE.在△ADE 和△FCE 中，⎩⎨⎧∠DAF＝∠F，∠D ＝∠ECF，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△FCE(AAS)． (2)∵△ADE≌△FCE， ∴AE ＝EF ＝3. ∵AB ∥CD ，∴∠AED ＝∠BAF＝90°. 在▱ABCD 中，AD ＝BC ＝5， ∴DE ＝AD 2－AE 2＝52－32＝4. ∴CD ＝2DE ＝8.命题点2 三角形的中位线【例2】 (邵阳中考)如图，等边三角形ABC 的边长是2，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，延长BC 至点F ，使CF ＝12BC ，连接CD 和EF. (1)求证：DE ＝CF ； (2)求EF 的长．【思路点拨】 (1)欲证DE ＝CF ，由三角形中位线定理可知DE ＝12BC ，而条件中有CF ＝12BC 故易证得；(2)欲求EF 的长，可证四边形DEFC 是平行四边形，因此只需求出CD 的长．在等边三角形ABC 中，点D 是AB 的中点，因此运用勾股定理可求出，问题获解．【解答】 (1)证明：∵D，E 分别为AB ，AC 的中点，∴DE ＝12BC ，且DE∥BC. ∵点F 在BC 的延长线上，且CF ＝12BC ，∴DE ∥CF ，且DE ＝CF.(2)由(1)知DE∥CF，且DE ＝CF ， ∴四边形DEFC 为平行四边形．∵△ABC 是等边三角形，边长是2，点D 是AB 的中点，AB ＝BC ＝2， ∴CD ⊥AB ，∠BDC ＝90°，BD ＝12AB ＝1. ∴CD ＝BC 2－BD 2＝22－12＝ 3. ∵四边形DEFC 为平行四边形， ∴EF ＝CD ＝ 3.【方法归纳】 若题中有中点通常考虑到三角形的中线和中位线，而在等边三角形(等腰三角形)中，中线同时也是高和角平分线．4．如图，CD 是△ABC 的中线，点E ，F 分别是AC ，DC 的中点，EF ＝2，则BD ＝4．5．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M ，N ，P 分别是AD ，BC ，BD 的中点，∠ABD ＝20°，∠BDC ＝70°，求∠PMN 的度数．解：∵M，N ，P 分别是AD ，BC ，BD 的中点，∴MP ，PN 分别是△ABD，△BCD 的中位线， ∴MP12AB, PN12CD.∴∠MPD ＝∠ABD＝20°，∠BPN ＝∠BDC＝70°. ∴∠DPN ＝110°.∴∠MPN ＝∠MPD＋∠DPN＝20°＋110°＝130°. 又∵AB＝CD ，∴MP ＝PN. ∴∠PMN ＝∠PNM. ∴∠PMN ＝25°.命题点3 多边形的内角和与外角和【例3】(泰安中考)如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于(B)A．90°B．180°C．210°D．270°【思路点拨】由AB∥CD，推导∠B＋∠C＝180°，故∠B，∠C两角的外角和是180°，根据多边形外角和等于360°可计算∠1＋∠2＋∠3度数．【方法归纳】对于求多边形的外角和或部分外角的和的问题，都要根据任意多边形的外角和是360°以及邻角和其补角的互补关系这两个知识点，来解决问题．6．正多边形的一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的3倍，则这个多边形的边数为8．7．如图，在六边形ABCDEF中，AB⊥AF，BC⊥DC，∠E＋∠F＝260°，求两外角和α＋β的度数．解：∵AB⊥AF，BC⊥DC，∴∠A＝∠C＝90°.又∵∠E＋∠F＝260°，∴∠EDC＋∠ABC＝(6－2)×180°－90°×2－260°＝280°.∴β＋α＝(180°－∠EDC)＋(180°－∠ABC)＝360°－(∠EDC＋∠ABC)＝80°.故两外角和α＋β的度数为80°.02整合集训一、选择题(每小题3分，共24分)1．已知平行四边形ABCD的周长为32 cm，AB＝4 cm，则BC的长为(B)A．4 cm B．12 cmD．16 cm D．24 cm2．(西宁中考)如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为(A)A．2 B．4 C．6 D．83．(临沂中考)将一个n边形变成n＋1边形，内角和将(C)A．减少180°B．增加90°C．增加180°D．增加360°4．(乐山中考)如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF＝3，DE＝2，则▱ABCD 的周长为(D)A．5B．7C．10D．145．某平行四边形的对角线长为x，y，一边长为6，则x与y的值可能是(C)A．4和7 B．5和7C．5和8 D．4和176．(葫芦岛中考)如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P 的度数是(A)A．60°B．65°C．55°D．50°7．如图，在▱ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的长为(B)A．2 3 B．43C．4 D．88．已知在正方形的网格中，每个小方格的边长都相等，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，则以A，B 为顶点的网格平行四边形的个数为(D)A．6个B．8个C．10个D．12个二、填空题(每小题4分，共24分)9．(陕西中考)一个正多边形的外角为45°，则这个正多边形的边数是8．10．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，若添加一个条件AE＝FC或∠ABE＝∠CDF，则四边形EBFD为平行四边形．11．(娄底中考)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO 的周长是9．12．(泉州中考)如图，顺次连接四边形ABCD四边的中点E，F，G，H，则四边形EFGH的形状一定是平行四边形．13．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别在CD，BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，CF＝3，则AB 的长为3．14．在某张三角形纸片上，取其一边的中点，沿着过这点的两条中位线分别剪去两个三角形，剩下的部分就是如图所示的四边形；经测量这个四边形的相邻两边长为10 cm ，6 cm ，一条对角线的长为8 cm ；则原三角形纸片的周长是48_cm 或(32＋813)cm ．三、解答题(共52分)15．(6分)一个多边形的内角和与外角和的差为1 260度，求它的边数． 解：设多边形的边数是n ，则(n －2)·180－360＝1 260.解得n ＝11. 答：它的边数为11.16．(8分)(陕西中考)如图，在▱ABCD 中，连接BD ，在BD 的延长线上取一点E ，在DB 的延长线上取一点F ，使BF ＝DE ，连接AF ，CE ，求证：AF∥CE.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC. ∴∠ADB ＝∠CBD. ∵BF ＝DE ，∴BF ＋BD ＝DE ＋BD ， 即DF ＝BE.在△ADF 和△CBE 中，⎩⎨⎧AD ＝CB ，∠ADF ＝∠CBE，DF ＝BE ，∴△ADF ≌△CBE(SAS)． ∴∠AFD ＝∠CEB. ∴AF ∥CE.17．(8分)(永州中考)如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知AB ＝10，BC ＝15，MN ＝3. (1)求证：BN ＝DN ； (2)求△ABC 的周长．解：(1)证明：∵AN 平分∠BAC， ∴∠BAN ＝∠DAN. ∵BN ⊥AN ，∴∠ANB ＝∠AND＝90°. 又∵AN＝AN ，∴△ABN ≌△ADN(ASA)．∴BN＝DN. (2)∵△ABN≌△ADN， ∴AD ＝AB ＝10，DN ＝NB. 又∵点M 是BC 中点，∴MN 是△BDC 的中位线． ∴CD ＝2MN ＝6.∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝AB ＋AD ＋CD ＋BC ＝10＋10＋6＋15＝41.18．(10分)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使EF ＝ED ，连接CF.(1)四边形DBCF 是平行四边形吗？说明理由；(2)DE 与BC 有什么样的位置关系和数量关系？说明理由． 解：(1)四边形DBCF 是平行四边形． 理由：∵E 是AC 的中点， ∴AE ＝CE.又∵EF＝ED ，∠CEF ＝∠AED， ∴△AED ≌△CEF(SAS)． ∴AD ＝CF ，∠A ＝∠ECF. ∴AD ∥CF ，即CF∥BD.又∵D 为AB 的中点，∴BD ＝AD.∴BD＝CF. ∴四边形DBCF 是平行四边形． (2)DE∥BC，DE ＝12BC. 理由：∵EF＝ED ，∴DE ＝12DF. 又∵四边形DBCF 是平行四边形， ∴DF ＝BC ，DF ∥BC. ∴DE ∥BC ，DE ＝12BC.19．(10分)(怀化中考)已知：如图，在△ABC 中，DE ，DF 是△ABC 的中位线，连接EF ，AD ，其交点为点O.求证： (1)△CDE≌△DBF； (2)OA ＝OD.证明：(1)∵DE，DF 是△ABC 的中位线， ∴DF ＝CE ，DF ∥CE ，DB ＝DC. ∵DF ∥CE ， ∴∠C ＝∠BDF.在△CDE 和△DBF 中，⎩⎨⎧DC ＝BD ，∠C ＝∠BDF，CE ＝DF ，∴△CDE ≌△DBF(SAS)．(2)∵DE，DF 是△ABC 的中位线， ∴DF ＝AE ，DF ∥AE.∴四边形DEAF 是平行四边形． ∵EF 与AD 交于点O ， ∴OA ＝OD.20．(10分)(扬州中考改编)如图，AC 为长方形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处． (1)求证：四边形AECF 是平行四边形；(2)若AB ＝6，AC ＝10，求四边形AECF 的面积．解：(1)证明：由折叠的性质可知：AM ＝AB ，CN ＝CD ，∠FNC ＝∠D＝90°，∠AME ＝∠B＝90°， ∴∠ANF ＝90°，∠CME ＝90°. ∵四边形ABCD 为长方形， ∴AB ＝CD ，AD ∥BC.∴AM ＝CN ，∠FAN ＝∠ECM. ∴AM －MN ＝CN －MN ， 即AN ＝CM.在△ANF 和△CME 中，∠FAN ＝∠ECM，AN ＝CM ，∠ANF ＝∠CME， ∴△ANF ≌△CME(ASA)． ∴AF ＝CE. 又∵AF∥CE，∴四边形AECF 是平行四边形． (2)∵AB＝6，AC ＝10，∴BC ＝8.设CE ＝x ，则EM ＝8－x ，CM ＝10－6＝4. 在Rt △CEM 中，(8－x)2＋42＝x 2， 解得x ＝5.∴S 四边形AECF ＝EC·AB＝5×6＝30.。
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精品文档人教版八年级数学下册平行四边形和一次函数复习 3分）一、选择题。
（每题）1、菱形具有而矩形不具有的性质是（ D.四条边相等四个角相等 C.对角线相等 A.对角相等
B..
）则与该菱形面积相等的正方形的边长是（2、若一个菱形的两条对角线长分别是5cm和10cm,5cm D.7.5cm
A.6cm
B.5cm
C.3、下列函数中，点（2，－1）在其图像上的是（）
11 A． B． C． D．3?x?1y?xy?5x?xy??1y?2224、已知点（-2，y），（-1，y），（1，y）都在直线y=－3x＋2上，则y，y，y的值的大小关311223系是（）
A．y<y<y B．y<y<y C．y>y>y D．y>y>y 3132322112315、已知一次函数
y=kx+b的图象如图所示,则k、b的符号是( )
y
k<0,b<0
、k>0,b<0 C、k<0,b>0 D、 A、k>0,b>0 B
x0 )
( 6、矩形具有而菱形不具有的性质是
B. 两组对边分别平行A. 对角线相等
D.两组对角分别相等 C.对角线互相平分
）k的值是（ x轴和y轴所围成的三角形的面积是4,则y7.已知直线＝kx ＋8与8 D.4
±A. -8 B. 8 C.
)
O,下列不能判定四边形是平行四边形的是( 中,对角线AC,BD相交于点8.四边形ABCD B. AB=DC,AD=BC BC A. AB∥DC,AD∥DC,AD=BC
∥ D. ABC. AO=CO,BO=DO
）mn≠0)图象是（ mnx(m、n是常数且9.表示一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝
O，给出下列四组条件：AC、BD相交于点10. 在四边形ABCD中，对角线AO=CO BO=DO
AB=CD AD=BC ③∥BC ②AB①∥CD AD. ）∥CD AD=BC 其中一定能判断这个四边形是平行四边形的共有（④AB 组 C.3组
D.4A.1组 B.2组.
）图象大致是下列的（ ,（m,n）在第四象限则直线y=nx+m11.已知点P
y
x
O 1
2
-
4分）二、填空题。
（每题的取值范围是的图象不经过第三象限，那么my=(m+1)x-(4m-3)1、一次函数。
,且经过点(-3,4),则表达式为与2、一次函数y=kx+by=2x+1平行
b??kxy． y3、已知一次函数时，的取值范围是的图像如图，当0?x
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的值随值增大而____________．中，4、一次函数y x6??3x?y .
M到x轴的距离是M（-2，k）在直线y=2x+1上，则点5、点的值随自变量x的增大而减小，，6、已知一次函数的图象经过（-12），且函数
y .
请写出一个符合上述条件的函数解析式
不等式2x<ax+4的解集为7.如图：函数y=2x和y=ax+4的图象交于点A(m,2),
三、解答题。
交长ADE沿AE对折至△AFE，延E1、如图，在边长为6的正方形ABCD中，是边CD的中点，将△AG. G，连接BC于点
；(1) 求证：△ABG≌△AFG. 的长(2) 求BG
轴的交点坐标yl与l与x轴的交点坐标为（－l，0），）l2、如图，直线l、相交于点A（2，3，2112），结合图像解答下列问题：为（0，－2
表示的一次函数的解析式．(1) 求出直线l2为何值时，l、l表示的两个一次函数的函数值都大于0？x(2) 当21
）时，汽（h3、一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x与），的函数关系如图所示．根据图像信息，解答下列问题：
车与甲地的距离为（km yy x y/km
与）求汽车返程时之间的函数解析式；（1y x120
4h时与甲地的距离．（2）求这辆汽车从甲地出发
/h x 4 2 2.5 5 1
O 3
BC、ADF分别在边、点AB=3cm,AD=4cm,中，ABCD、已知矩形4E上，连接、E,D、B分别把F.精品文档．
精品文档 BE,DF折叠成如图所示位置。
DCFΔBAE和RtΔ沿Rt.
AE的长（1）若得到四边形 BFDE是菱形，求.
AE的长和点恰好落在对角线BD (2) 上，求若折叠后点
两点，正比例函数轴正半轴分别交于A、B与5、如图，直线轴负半轴、
y x)b(b0>y?x?0)(?kxk?y，AM =10，BN =3M两点分别作AM⊥OQ于，BN⊥OQ于N，若
Q的图像与直线AB交于点，过A、B 的长．求M y
B N
Q M
O
A
x
，⊥BC边上一点，过点为ABD作DE，的直线中，∠、如图，在6Rt△ABCACB=90，过点CMN∥ABDBE F，连接CD，，垂足为MN交直线于E CE=AD
）求证：（1 中点使，四边形）当点（2D在ABBECD是什么特殊四边形？说明理由是正方形？说明理由。
的大小满足什么条件时，四边形为DAB的中点，则当
∠ABECD）若（3
、某通讯公司有两种收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方7y (元)
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式的通话时间（分钟）与收费（元）之间的函数关系如图所示．y x（1）有月租费的收费方式是（填①或②），月租费为元；
（2）分别求出①、②两种收费方式中与自变量之间的函数关系式x y（3）请你根据用户通话时间的多少，给出经济实惠的选择建议．
8、我市某化工厂现有甲种原料290kg，乙种原料212kg，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共80件．生产一件A产品需要甲种原料5kg，乙种原料1.5kg，生产成本是120元；生产一件B产品，需要甲种原料2.5kg，乙种原料3.5kg，生产成本是200元．
（1）该化工厂现有的原料能否保证生产？若能的话，有几种生产方案，请你设计出来；
（2）设生产A，B两种产品的总成本为y元，其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案总成本最低？?最低生产总成本是多少？
9、某超市用10000元购进一批价格分别为16元/箱和20元/箱的甲、乙两种酸奶，然后分别加价20%和25%进行销售。
（1）设购进甲种酸奶x(箱），全部售出甲乙两种酸奶所获利润为y元，求所获利润y（元）与x(箱）之间的函数关系式；
（2）根据市场调查，甲、乙两种酸奶在保质期内销售量都不超过300箱，那么该超市如何进货才能获利最大？最大的销售利润是多少？
10、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点
B在x轴正半轴上，
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AC，OD交于点P，其中OA=4，OB=3。
（1）求OD所在直线的解析式；
（2）求△AOP的面积。
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