浙教版八年级数学下册第1章二次根式知识点总结
【典型例题】
【例13】比较 与 的大小。【例14】比较 与 的大小。
【例15】比较 与 的大小。【例16】比较 与 的大小。
已知： ，求 的值．
二次根式和一元二次方程经典练习题
1.把 的根号外的因式移到根号内等于。
2.若 与 互为相反数，则 。
3.若 ，则 等于（）
29. 。
30.计算及化简：
⑴. （2）
31、已知： ，求 的值。
32、已知： ，求 的值。
33、已知： 为实数，且 ，化简： 。
34、已知 的值。
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
4.公式 与 的区别与联系
（1） 表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．（2） 表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．（3） 和 的运算结果都是非负的．
【典型例题】
【例4】若 则 ．
举一反三：1、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x2－4｜＋ ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.
2．有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：利用 来确定，如： ， ， 与 等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如 与 ， ， 分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤：
①先将分子、分母化成最简二次根式；
②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
【典型例题】
【例12】把下列各式分母有理化
（1） （2）
举一反三：
1、已知 ， ，求下列各式的值：（1） （2）
知识点五：根式比较大小
【知识要点】
1、根式变形法当 时， 如果 ，则 ； 如果 ，则 。
18、已知二次方程 的两根都是负数，则k的取值范围是____________．
19、方程 的两个实根，且这两根的平方和比这两根之积大21，那么m= ______________．
20、一元二次方程 的两实根之差是3，则 ．
21、已知实数 满足 ，那么 的值是（）
（A）1或-2（B）-1或2（C）1（D）-2
A. B. C. D.
4.若 ，则 化简后为（）
A. B. C. D.
5.计算： 的值是（）
A. 0 B. C. D. 或
6.若 ＝－ 成立，则x、y符合的条件是（）
A.x≤0，y≠0B.x≤0，y为一切实数
C.x＜0，y≠0D.以上都不对
7.若 和 都是最简二次根式，则 。
8.已知 ，化简二次根式 的正确结果为（）
2、平方法当 时， 如果 ，则 ； 如果 ，则 。
3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
5、倒数法
6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
7、作差比较法
在对两数比较大小时，经常运用如下性质： ；
8、求商比较法
22、关于x的方程 的两实根满足 ，则 的值是（）
（A）-5（B）5（C）-9（D）-15
23、已知 、 、 为△ABC的三边，试判断关于 的方程 的根的情况．
24、已知 是关于x的方程 的两个实根，k取什么值时， ．
25、已知关于 的方程 有两个不相等的实数根 、 ，且 ．
（1）求证： ．（2）试用 的代数式表示 ．（3）当 时，求 的值．
13、以-3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是．
14、如果 是一个完全平方式，则 _____．
15、已知 是一元二次方程 的两个实数根，且 ，则m=__________．
16、已知 是方程 的两实根，是否能适当选取a的值，使得
的值等于 ________________．
17、关于x的二次方程 的两根一个比1大，另一个比1小，则m的取值范围是______________．
【典型例题】
【例11】下列根式中能与 是合并的是( )
A. B. C.2 D.
举一反三：
1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（）
A、 B、 C、 D、
2、如果最简二次根式 与 能够合并为一个二次根式,则a=__________.
知识点四：二次根式计算——分母有理化
【知识要点】
1．分母有理化
定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
知识点二：二次根式的性质
【知识要点】
1.非负性：是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．
2. ．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：
3. 注意：（1）字母不一定是正数．
（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
A. B. C. D.
9.若 ，则 化简的结果是（）
A. B. C. 3 D. -3
10.若 ，则 的值等于（）
A. 4 B. C. 2 D.
11.若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的值是（）
A. B. C. 1 D. 3
12.若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 。若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 。
3、已知 ，化简求值：
【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+ 的结果等于（）
A．－2b B．2b C．－2a D．2a
举一反三：实数 在数轴上的位置如图所示：化简： ．
【例8】化简 的结果是2x-5，则x的取值范围是（）
（A）x为任意实数（B） ≤x≤4（C）x≥1（D）x≤1
26、已知： 是关于 的方程 的两个实数根且 ，求 的值．
27、已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：不论 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．（2）若方程两根为 ，且满足 ，求 的值．
28、已知关于 的方程 的两根是一个矩形两邻边的长．（1） 取何值时，方程在两个实数根；（2）当矩形的对角线长为 时，求 的值．
知识点一：二次根式的概念
【知识要点】
二次根式的定义：形如 的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当 是一个非负数时， 才有意义．
【例2】若式子 有意义，则x的取值范围是．
举一反三：
1、使代数式 有意义的x的取值范围是
2、如果代数式 有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（ ）
A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限
【例3】若y= + +2009，则x+y=
解题思路：式 子 （a≥0）， ，y=2009，则x+y=2014
举一反三：1、若 ，则x－y的值为（）
A．－1 B．1 C．2 D．3
3、当 取什么值时，代数式 取Байду номын сангаас最小，并求出这个最小值。
已知a是 整数部分，b是 的小数部分，求 的值。若 的整数部分为x，小数部分为y，求 的值.
2、若 与 互为相反数，则 。
（公式 的运用）
【例5】化简： 的结果为（）
A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4
举一反三：3已知直角三角形的两直角边分别为 和 ，则斜边长为
（公式 的应用）
【例6】已知 ,则化简 的结果是
A、 B、 C、 D、
举一反三：2、化简 得（）
（A）2（B） （C）－2（D）
（A） (B) (C) (D)
1、把根号外的因式移到根号内：当 ＞0时， ＝； ＝。
知识点三：最简二次根式和同类二次根式
【知识要点】
1、最简二次根式：
（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．
2、同类二次根式（可合并根式）：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
举一反三：若代数式 的值是常数 ，则 的取值范围是（）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 或
【例9】如果 ，那么a的取值范围是（）A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a≤1
举一反三：
1、如果 成立，那么实数a的取值范围是（）
2、若 ，则 的取值范围是（）
（A） （B） （C） （D）
【例10】化简二次根式 的结果是
浙教版初中数学八年级下册二次根式的概念和性质(基础)知识讲解
二次根式的概念和性质（基础）知识讲解【学习目标】1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简.3、理解并掌握同类二次根式和最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质1、； 2.； 3.. 要点诠释：1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2(0a a =≥）.2要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2中a ≥0a 为任意值。
2).a ≥0时，2a ；a <0时，2a -.要点三、最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.要点四、同类二次根式1. 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式【典型例题】类型一、二次根式的概念1.当x ，，，属二次根式的有____ 个.【答案】 3【解析】这三个式子满足无论x 取何值，被开方数都大于等于零.【总结升华】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 举一反三：【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）（1（2； （3）（4）； （5；（61x >） A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B【：：381279：二次根式及其乘除法（上）经典例题1】2. x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1）y = （2）y=2+x －x 23-；【答案与解析】 （1）1x -≥0，所以x ≥1. （2）2x +≥0,32x -≥0,所以2-≤x ≤32； 【总结升华】重点考查二次根式的概念：被开方数是正数或零.举一反三：【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）【答案】B. 类型二、二次根式的性质3. 计算下列各式：(1)2- 【答案与解析】(1) 33=-2=-42⨯原式. (2) =3.14-=-3.14ππ原式.【总结升华】 二次根式性质的运用.举一反三【：：381279：二次根式及其乘除法（上）经典例题3】【变式】（1）2)252(-=_____________ （2）2)2(2a a ---=_____________【答案】(1) 10;(2) 0.4. （2015•蓬溪县校级模拟）已知：实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a ﹣b|．【答案与解析】解：从数轴上a 、b 的位置关系可知：﹣2＜a ＜﹣1，1＜b ＜2，且b ＞a ，故a+1＜0，b ﹣1＞0，a ﹣b ＜0，原式=|a+1|+2|b ﹣1|﹣|a ﹣b|=﹣（a+1）+2（b ﹣1）+（a ﹣b ）=b ﹣3．【总结升华】本题主要考查了利用数轴比较两个数的大小和利用二次根式的性质进行化简，属于基础题.举一反三【变式】若整数m 1,m m =+<且则m 的值是___________. 【答案】m =0或m =-1.类型三、最简二次根式5.下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由. (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7). 【答案与解析】和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；和的被开方数中都含有分母；和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.【总结升华】判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是 最简二次根式.举一反三【变式】（2015•东莞二模）下列各式中,是最简二次根式的是（ ）A B C 【答案】C.类型四：同类二次根式6. （2016是同类二次根式的是( )B.【答案】 B.【解析】故选B.【总结升华】同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式.举一反三：【变式】如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是( ) A.a=2，b=1 B.a=1，b=2 C. a=1，b=-1 D. a=1，b=1【答案】 D.根据题意，得解之，得，故选D.。
浙教版2022-2023学年数学八年级下册第1章二次根式1
浙江版2022-2023学年度下学期八年级数学下册第1章二次根式1.3 二次根式的运算（2）【知识重点】一、同类二次根式：1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.2.注意：一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式. 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数或因式，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断.3.同类二次根式合并法则：“同类二次根式相加减，根式不变，系数相加减”. 二、二次根式的运算法则：实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序相同，而且有理数的运算法则、运算律以及运算公式在实数范围内仍然适用.【经典例题】【例1】若最简二次根式√x 2+3x 与√x +15是同类二次根式，则x 的值是 ．【例2】如果最简根式 √3a −8 与√17−2a 是同类二次根式，那么使√4a −2x 有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x≤10 B ．x≥10 C ．x ＜10 D ．x ＞10 【例3】计算：（1）(√27−3√13)÷√3×√20−(2+√5)2．（2）√8+√32−(√2−4√12)【例4】a=1√2−1，b=1√2+1，则a +b −ab 的值是 ．【例5】已知x =5−√17√17−3，y =√17−35−√17，则4x 2−3xy +4y 2= ．【基础训练】1．若最简二次根式√x +3与最简二次根式√2x 是同类二次根式，则x 的值为（ ） A ．x ＝0 B ．x ＝1 C ．x ＝2 D ．x ＝3 2．已知二次根式√32−a 与√8化成最简二次根式后，被开方数相同，则符合条件的正整数a 有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．计算 4√12+3√13−√8 的结果是（ ）A ．√3+√2B ．√3C ．√33D ．√3−√24．化简 √12−√0.5−√13+√18 的结果是 .5．若最简二次根式√2−3a 与√2a +7可以合并，则a 的值为 ．6．已知x ，y 是两个不相等的有理数，且满足等式(3√2−1)x =3−√2y ，则x = ；y = ．7．计算（1）√12−√127+√48（2）√24 × √13 -4× √18 ×(1- √2 )0-( √23)-1（3）(2 √48 -3 √27 )÷ √3 -( √2 - √3 )28．计算：（1）√48÷√3－√12×√12＋√24；（2）√8－18√48－（23√412－2√34）；（3）（2－√3）2017×（2＋√3）2016－2|−√32|－（－√2）0（4）（a ＋2√ab ＋b ）÷（√a ＋√b ）－（√b －√a ）．【培优训练】9．下列二次根式中，同类二次根式是（ ）A ．√81ab 3和3√a 316bB ．√4a 2b 和和√2abC ．√a 3bc 和和√bcD ．√a 3+b 2和和√a 2+b 3 10．我们知道6−√2的小数部分b 为2−√2，如果用a 代表它的整数部分，那么ab 2−a 2b 的值是（ ） A ．8 B ．－8 C ．4 D ．－4 11．已知x 为实数，化简√−x 3−x √−1x的结果为（ ）A ．(x −1)√−xB ．(−1−x )√−xC ．(1−x )√−xD ．(1+x )√−x 12． 化简 −√−a +√−a 3−a √−1a＝ .13．已知：m+n ＝10，mn ＝9，则 √m−√n√m+√n＝ ．14．先化简，再求值： [4(√x+√y)(√x−√y)+√x+√y √xy(√y−√x)]÷√x−√y √xy，其中x ＝1，y ＝2．15．若x，y为实数，且y＝√1−4x＋√4x−1＋12．求√xy+2+yx－√xy−2+yx的值．16．已知：x＝√3+√2√3−√2，y＝√3−√2√3+√2，求x3−xy2x4y−2x3y2+x2y3的值．17．计算（√a＋b−√ab√a+√b ）÷（a√ab+b＋b√ab−a－a+b√ab）（a≠b）．18．已知函数y=kx，其中x>0，且满足√xy−y√xy−x +3=0.（1）求k；（2）求√xy−3yx+2√xy+y的值.19．观察下列格式，√5−12-√5−1，√8−222√8−2，√13−322√13−3，√20−422√20−4…（1）化简以上各式，并计算出结果；（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．20．先阅读，再解答问题：恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.例如：当x =√3+1时，求12x 3−x 2−x +2的值.为解答这道题，若直接把x =√3+1代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答.方法：将条件变形，因x =√3+1，得x −1=√3，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算.由x −1=√3，可得x 2−2x −2=0，即x 2−2x =2，x 2=2x +2.原式=12x(2x +2)−x 2−x +2=x 2+x −x 2−x +2=2.请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题： （1）若x =√2−1，求2x 3+4x 2−3x +1的值；（2）已知x =2+√3，求x 4−x 3−9x 2−5x+5x 2−4x+3的值.21．如果记 y =x 1+x =f(x) ，并且 f(√1) 表示当 x =√1 时y 的值，即 f(√1)=√11+√1=12 ；f(√2) 表示当 x =√2 时y 的值，即 f(√2)=√21+√2； f(√12) 表示当 x =√12 时 y 的值，即 f(√12)=√12√12=√2+1；… （1）计算下列各式的值：f(√2)+f(√12)= .f(√111)+f(√1111)= .（2）当n 为正整数时，猜想 f(√n)+f(√1n) 的结果并说明理由；（3）求 f(√1)+f(√2)+f(√12)+f(√3)+f(√13)+⋅⋅⋅+f(√100)+f(√1100) 的值.【直击中考】22．计算：√12−2√3= ．23．估计(2√5+5√2)×√15的值应在（ ）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间24．计算(√27+√18)(√3−√2)=；25．计算√24−√65×√45的结果是．26．计算：(√5+12−1)⋅√5+12=（）A．0B．1C．2D．√5−1227．从√2，−√3，−√2这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（）个.A．0B．1C．2D．328．人们把√5−12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数.设a=√5−12，b=√5+12，则ab=1，记S1=11+a+11+b，S2=11+a2+11+b2，…，S10=11+a10+11+b10.则S1+S2+⋯+S10=.。
浙教版八年级数学下册各章节知识点及重难点整理（版）
第一章二次根式知识点一：二次根式的概念二次根式的定义：形如（a≥0）的代数式叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七: 最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
(2021年整理)浙教版八年级数学下册第1章二次根式知识点总结
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知识点一：二次根式的概念【知识要点】 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数,只有当是一个非负数时，才有意义．【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三:1、使代数式221x x-+-有意义的x 的取值范围是2、如果代数式mnm 1+-有意义,那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009,则x+y=解题思路:式子a （a ≥0），50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩ 5x =,y=2009，则x+y=2014 举一反三： 1、若11x x ---2()x y =+,则x －y 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．33、当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小,并求出这个最小值。
浙教初中数学八下册知识点总结
浙教版八年级下册知识点总结第一章 二次根式1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式.注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 a 不是二次根式；（2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0.2．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 ；注意使用)0a ()a (a 2≥=. 3．积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求.4．二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅.5．二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小.6．商的算术平方根：)0b ,0a (b a b a >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.7．二次根式的除法法则：（1）)0b ,0a (b a b a >≥=； （2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷；（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.8．常用分母有理化因式： a a 与，b a b a +-与， b n a m b n a m -+与，它们也叫互为有理化因式.9．最简二次根式：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题.11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.12．二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.第二章一元二次方程1.认识一元二次方程：概念：只含有一个未知数，并且可以化为20++=(,,ax bx ca b c为常数，0a≠)的整式方程叫一元二次方程。
初二数学浙教版下册二次根式的运算知识点
初二数学浙教版下册二次根式的运算知识
点
知识点
二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减.
(1)二次根式的加减：
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数.
(2)二次根式的乘除：
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式.
(3)二次根式的混合运算：
先乘方(或开方)，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的;能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算.
注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法
公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便.二次根式运算结果应尽可能化简.另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数.
课后练习
二次根式的运算知识点的全部内容就是这些，不知道大家是否已经都掌握了呢？预祝大家可以更好的学习，取得优异的成绩。
浙教版八下数学知识点(完整版)
浙教版八年级数学下册知识点汇总八年级（下册）第1章二次根式1.1二次根式1.2二次根式的性质1.3二次根式的运算第2章一元二次方程2.1一元二次方程2.2一元二次方程的解法2.3一元二次方程的应用2.4一元二次方程根与系数的关系第3章数据分析初步3.1平均数3.2中位数和众数3.3方差和标准差第4章平行四边形4.1多边形4.2平行四边形及其性质4.3中心对称4.4平行四边形的判定定理4.5三角形的中位线4.6反证法第5章特殊平行四边形5.1矩形5.2菱形5.3正方形第6章反比例函数6.1反比例函数6.2反比例函数的图像和性质第一章 二次根式1.1. 二次根式 像3,4a 2++b 这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式，二次根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。
1.2. 二次根式的性质()()0a 2≥=a a ()()⎩⎨⎧<-≥==00a 2a a a a a ()0,0a ab ≥≥⨯=b a b()0,0a >≥=b a ba b 像57，这样，在根号内不含字母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式。
1.3. 二次根式的运算()0,0ab a ≥≥=⨯b a b()0,0a >≥=b a b ba第二章一元二次方程2.1一元二次方程像方程x 2+3x=4的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程。
能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根)。
任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为ax 2+bx+c=0的形式。
ax 2+bx+c=0(a,b,c 为已知数，a ≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax 2，bx ，c 分别称为二次项、一次项和常数项，a,b 分别称为二次项系数和一次项系数。
2.2一元二次方程的解法1、因式分解法：利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法，这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程，常见ax 2+bx=0（无常数项）、及类似3x(x -1)=x -1等也可以使用因式分解法。
浙教版八年级数学下册第章二次根式知识点总结
知识点一：二次根式的观点【知识重点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，此中 叫被开方数，只有当 是一个非负数时， 才存心义．1 【例 2】若式子存心义，则 x 的取值范围是 ．x 3贯通融会：1、使代数式 21 存心义的 x 的取值范围是x 2x2、假如代数式m1P （ m ， n ）的地点在（）存心义，那么，直角坐标系中点mnA 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例 3】若 y=x5 + 5 x +2009，则 x+y=x 5 05， y=2009，则 x+y=2014解题思路：式 子 a （ a ≥ 0），x, x5 0贯通融会：1、若x 11 x(x y)2 ，则 x －y 的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．33、当 a 取什么值时，代数式2a 1 1取值最小，并求出这个最小值。
已知 a 是5整数部分， b 是5的小数部分，求 1 的值。
若17 的整数部分为 x ，小数部分为y ，求 x 21 a的值 .b 2y知识点二：二次根式的性质【知识重点】1. 非负性：是一个非负数． 注意：此性质可作公式记着，后边根式运算中常常用到．2.( a ) 2 a(a 0) ． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，能够把随意一个非负数或非负代数式写成完整平方的形式：a2a( a 0) 3.a注意：（ 1）字母不必定是正数．| |a( a0)（2）能开得尽方的因式移到根号外时，一定用它的算术平方根取代．（ 3）可移到根号内的因式，一定是非负因式，假如因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a2a a( a0)与(a)2a(a )| |a( a0)的差别与联系（1）a 2表示求一个数的平方的算术根， a 的范围是一确实数．（2）(a ) 2表示一个数的算术平方根的平方， a 的范围是非负数．（3）a2和(a) 2的运算结果都是非负的．【典型例题】【例 4】若 a 2b 3 c 420， a b c．则贯通融会： 1、已知直角三角形两边x、 y 的长知足｜ x 2－4｜＋y 25y6＝ 0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿ .2、若a b 1 与a2b 4 互为相反数，则 a b2005_____________。
第1章 二次根式 知识讲解-2020-2021学年浙教版八年级数学下册
二次根式1. 理解二次根式的概念与性质.2. 理解并掌握同类二次根式和最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.3. 熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.一、二次根式1.定义：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.“a ”称为二次根号，a 叫做被开方数.2.有意义条件：a ≥0.3.性质（1）双重非负性：即a ≥0，a ≥0；（2）⎩⎨⎧≤≥==）（）（0a a -0a a a a 2 （3））（）（0a a a 2≥=.【注】2a 与2a ）（的区别与联系 区别：①取值范围不同：2a 中a 为全体实数，2a ）（中a ≥0； ②运算顺序不同：2a 是先平方后开方，2a ）（是先开方后平方； ③运算结果不同； 联系：两者均为非负数，当a ≥0时，2a =2a ）（. 二、最简二次根式同时满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：1. 被开方数不含分母；2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.三、同类二次根式 教学目标知识梳理定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.【注】（1）同类二次根式类似于整式中的同类项；（2）判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；（3）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.四、二次根式的运算1.二次根式的加减法（1）先把二次根式化为最简二次根式；（2）再把化简后被开方数相同的二次根式合并；（3）系数相加减，被开方数和根指数不变.【注】①二次根式中的系数不能写成带分数；②二次根式的加法也满足加法交换律和结合律.2.二次根式的乘除（1）乘法法则：ab b ·a =；（2）除法法则：b a ba =. 【注】①二次根式的乘法法则适用于多个二次根式相乘；②除法法则中的b 不可以为0，否则无意义.3.二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.（2）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的.（3）二次根式混合运算的结果要写成最简形式.（4）有理数（式）中的运算律及多项式乘法、乘法公式在二次根式的运算中仍然适用.五、分母有理化1.化去分母中根号的变形叫做分母有理化.2.依据：分式的基本性质.3.方法：将分式的分子、分母同乘分母的有理化因式.（有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式互为有理化因式.）。
春浙八年级数学下册教学课件：第1章二次根式小结
03
二次根式的应用
解决实际问题中的二次根式
计算物体面积和体积
测量和数据处理
利用二次根式计算矩形、三角形、圆 柱等图形的面积和体积。
在科学实验和工程测量中，利用二次 根式进行数据分析和误差处理。
求解最优化问题
通过二次根式计算最小值或最大值， 解决最优化问题，如最大利润、最小 成本等。
二次根式在数学证明中的应用
选择题：已知$x = sqrt{2}$，则$x^2 =$（ ）
填空题：已知$sqrt{a} = 2$，则$a =$____。
习题答案与解析
答案：对
解析：由于二次根式的定义，对于非负实数$a$，其平方根$sqrt{a}$一定大于等 于0。当$a > 0$时，$sqrt{a}$确实大于0。
习题答案与解析
春浙八年级数学下册教学课件第 1章二次根式小结
目录
• 二次根式的定义与性质 • 二次根式的运算 • 二次根式的应用 • 习题与解答 • 总结与展望
01
二次根式的定义与性质
二次根式的定义
总结词
二次根式是指形如$sqrt{a}$（$a geq 0$）的代数式，其中$sqrt{a}$ 表示$a$的非负平方根。
二次根式的关系。
与三角函数的结合
02
利用二次根式计算三角函数值，理解三角函数与二次根式的关
系。
与平面几何的综合
03
利用二次根式证明平面几何中的定理和性质，如平行线性质、
相似三角形性质等。
04
习题与解答
第1章二次根式习题
判断题：如果$a > 0$， 那么$sqrt{a}$一定大于0 。（）
A. 2 B. $sqrt{2}$ C. $frac{sqrt{2}}{2}$ D. $frac{1}{2}$