概率论事件的概率
概率公式大全
概率公式大全概率公式大全（上篇）概率公式在概率论中起着非常重要的作用，它们用于描述随机事件的发生概率以及事件之间的关系。
本文将介绍一些常见的概率公式，帮助读者更好地理解和应用概率论。
1. 基本概率公式1) 事件的概率公式：在概率论中，事件的概率通常用P(A)表示，其中A表示一个事件。
事件A的概率可以用下述公式计算：P(A) = N(A) / N(S)其中，N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间S 中的总次数。
2) 样本空间的概率公式：当样本空间S的每个样本点发生的概率相同且为1/N(S)时，我们可以使用下述公式计算事件A的概率：P(A) = N(A) / N(S)这个公式在实际问题中应用广泛，是基本的概率公式之一。
2. 条件概率公式1) 条件概率的定义：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为A在B 条件下的条件概率，用P(A|B)表示。
条件概率的计算公式如下：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件A与事件B同时发生的概率。
2) 乘法公式：乘法公式是条件概率的推广形式，用于计算两个事件同时发生的概率。
根据乘法公式，我们可以得到：P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B)这个公式在计算复杂事件的概率时非常有用。
3. 全概率公式全概率公式用于计算一个事件发生的总概率，它假设事件发生的样本空间可以划分为若干个互斥事件。
全概率公式如下：P(A) = Σi P(A|Bi) * P(Bi)其中，Bi表示样本空间S的一个划分，P(A|Bi)表示在Bi条件下事件A发生的概率。
这个公式可以在一些复杂问题中计算事件发生的概率，非常实用。
4. 贝叶斯公式贝叶斯公式是条件概率公式的逆运算，用于通过已知的条件概率反推出相反的条件概率。
根据贝叶斯公式，可以得到：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
1.2 概率论——随机事件及其概率
反演律
AB A B
AB A B
n
n
Ai Ai
i 1
i 1
运算顺序： 逆交并差，括号优先
n
n
Ai Ai
i 1
i 1
Note1:
“+”的理解,“-”的理解
举例说明: A B C A BC
A {1,2,3,4}, B {1,3,5} A B C {2,4}
而BC {1,2,3,4,5} A 反之,请同学课后练习.
§1.2 随机事件及其概率
自然界中的有两类现象
•1. 确定性现象 • 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
•2. 随机现象 • 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
• 随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.
(4) A1 A2 An A1 A2 An (5) A1 A2 An A1 A2 An
交换律 结合律
分配律
A B B A AB BA
(A B)C A(BC) ( AB)C A(BC )
(A B)C (AC)(BC) A (BC ) ( A B)(A C)
AB
和与积的运算同样定义）
4.事件的差
事件 A 发生而事件B 不发生，是一个事件，称为
事件 A 与 B 差，记作 A B
AB
5.互不相容事件
如果事件 A 与 B 不能同时发生，即 AB ，称事件
A与B互不相容，(或称互斥） 显然, 基本事件是互不相容的 类似地，如果
BA
A1, A2 , , An 两两互不相容，
(6)三个事件至少有两个发生： AB AC BC
概率论公式总结
1° f (x) 的图形是关于 x 对称的； 2° 当 x 时， f () 1 为最大值；
2 若 X ~ N (, 2 ) ，则 X 的分布函数为
F(x) 1
(t )2
x
e
2 2
dt
2
(x) 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
X
~ N (0,1)
充要条件：X 和 Y 不相关。
（1） D(C)=0；E(C)=C
（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)
（3） 方差 的性 质
（3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b （4） D(X)=E(X2)-E2(X) （5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；
更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 … An 1) 。
独立性
①两个事件的独立性
设事件 A 、 B 满足 P( AB) P( A)P(B) ，则称事件 A 、 B 是相互独立的。
第三章 二维随机变量及其分布
对 于 二 维 随 机 向 量 (X,Y) ， 如 果 存 在 非 负 函 数
f (x, y)( x , y ) ，使对任意一个其邻边
分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有
连续型
P{(X ,Y ) D} f (x, y)dxdy, 则称 为连续型随机向量；
《概率论》第1章 事件与概率
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5. 试用A、B、C 表示下列事件： ① A 出现； A ② 仅 A 出现；ABC ③ 恰有一个出现；ABC ABC ABC ④ 至少有一个出现；A B C ⑤ 至多有一个出现； ABC ABC ABC ABC ⑥ 都不出现； ABC ⑦ 不都出现； ABC A B C ⑧ 至少有两个出现； AC BC AB
第一章 事件与概率
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在随后的200多年里,概率论不仅在理论上获得了一定 发展,而且在人口统计、保险业、误差理论、天文学等自 然科学中得到了应用.在这一时期,对概率论在理论和应用 方 面 作 出 重 要 贡 献 的 数 学 家 有 雅 格 布 · 努 利 (Jakob 伯 Bernoullii),丹尼尔· 伯努利(Daniel Bernoullii), 棣莫弗(De Moivre), 拉 普 拉 斯 (pace), 欧 拉 (L.Euler), 贝 叶 斯 (T.Bayes), 蒲 丰 (G.Buffon), 高 斯 (F.Gauss), 泊 松 (S.Poisson),布尼亚可夫斯基 (V.Bunjakovskii),切比雪夫 (Chebyshev), 马 尔 可 夫 (A.Markov), 李 雅 普 诺 夫 (A.Lyapunov)等. 尽管18,19世纪,概率论在理论和应用方面得到了很多 成果,但与其它数学分支比较,概率论的发展是缓慢的.甚 至直到20世纪以前概率论还未进入主流数学.其基本原因 是概率论缺乏严密的逻辑基础.
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凯恩斯主张把任何命题都看作事件,例如“明天将下 雨”,“土星上有生命”等等都是事件,人们对这些事件的 可信程度就是概率,而与随机试验无关,通常称为 主观概 率. 米泽斯定义事件的概率为该事件出现的频率的极限, 而作为公理就必须把这一极限的存在作为第一条公理,通 常称为客观概率.
概率论第十四章概率论初步重要知识点
第十四章 概率论初步第一节 事件与概率一、随机事件和样本空间在研究自然界和人类社会时，人们可观察到各种现象，按它是否带有随机性将它们划分为两类。
一类是在一定条件下必然会发生的现象，称这类现象为确定性现象。
例如苹果从树上掉下来总会落到地上，三角形的内角和一定为180º。
另一类现象是在一定条件可能出现也可能不出现的现象，称这类现象为随机现象。
例如掷一枚质地均匀的硬币时，它可能出现正面向上，也可能出现反面向上等。
对于随机现象的一次观察，可以看作是一次试验，如果某种试验满足以下条件：（1）试验可在相同条件下重复地进行；（2）每次试验的结果可能不止一个，并且能事先确定试验的所有可能的结果;（3）每次试验的结果事先不可预测，称这种试验为随机试验。
随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件，它们的全体，称作样本空间，通 常用字母Ω表示。
样本空间的元素即基本事件，有时也称作样本点，常用ω表示。
例1、一次掷两颗骰子,观察每颗的点数解： Ω=}654321,|),{(、、、、、j i j i =其中()j i ,表示第一颗掷出i 点,第二颗掷出j 点,显然, Ω共有36个样本点。
例2、 一个盒子中有十个完全相同的球,分别标以号码1021、、、Λ从中任取一球, 解：令 {}i i 取出球的号码为=则}1021{、、、Λ=Ω称样本空间Ω的某一子集为一个随机事件，简称事件，通常用大写英文字母A 、B 、C ……表示。
如在例2中， A={}取出球的标号为奇数因为Ω是所有基本事件所组成，因而在任一次试验中，必然要出现Ω中的某一些基本事件ω，即Ω∈ω，也即在试验中，Ω必然会发生，又用Ω来代表一个必然事件。
相应地，空集φ可以看作是Ω的子集，在任意一次试验中，不可能有φω∈，即φ永远不可能发生，所以φ是不可能事件。
我们可用集合论的观点研究事件，事件之间的关系与运算如下：（1）包含 如果在一次试验中，事件A 发生必然导致事件B 发生，则称事件B 包含事件A ,记为B A ⊂由例2，{}5球的标号为=B ，则A B ⊂（2）等价 如果B A ⊂同时A B ⊂，则称事件A 与事件B 等价,记为A=B 。
概率论与统计1-3 随机事件的概率
基本事件总数为 10 10 10 103 , A 所包含基本事件的个数为 6 6 4, 6 6 4 0.144 . 故 P ( A) 3 10
同类型的问题还有：
1) 电话号码问题；
2) 骰子问题.
3) 英文单词、书、报等排列问题.
例6
分房模型
有n个人，每个人都以同样的概率 1/N 被分配在N(n≤N)间房中的每一间中，试求 下列各事件的概率：
nH
1061 2048 6019 12012
f
德.摩根 蒲丰 K.皮尔逊 K.皮尔逊
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
f (H ) n的增大
1 . 2
重要结论
频率当 n 较小时波动幅度比较大,当 n 逐渐增 大时 , 频率趋于稳定值, 这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件的
满足等式
rn r r1 r2 n n n n
根据定1.2知 P ( A1 Am ) P ( A1 ) P ( Am )
说明
概率的统计定义直观地描述了事件发生的 可能性大小，反映了概率的本质内容，但也有 不足，即无法根据此定义计算某事件的概率.
三、古典概型
1.古典概型定 义
m Cn ( N 1)nm
m C n ( N 1) n m P (C ) Nn
同类型的问题还有： 1) 球在杯中的分配问题； (球人，杯房) 2) 生日问题； (日 房，N=365天) ( 或 月 房，N=12月)
3) 旅客下站问题； ( 站房 )
4) 印刷错误问题； (印刷错误人，页房)
mn 基本事件总数为: C M N m n CM CN A 所包含基本事件的个数为
事件的概率及其性质
少 ，呈现出一定的稳定性.
雅各布· 伯努利
• （Jakob Bernoulli 1654 ，
年12月27日－1705年8月16
日）数学家。被公认的概率
论的先驱之一。
• 较早阐明随着试验次数的增 加，频率稳定在概率附近。
概率的统计定义
• 定义1.2.2 • 在一定条件下，重复做n次试验，k为n次试验 中事件A发生的次数， • 如果随着n逐渐增大，频率k/n逐渐稳定在某
证明
因为 A B, 所以 B A ( B A).
又 ( B A) A ,
B A
得 P ( B ) P ( A) P ( B A) A B
于是 P( B A) P( B) P( A).
又因 P ( B A) 0, 故 P ( A) P ( B ).
nC C C
10 30 10 20 10 10
3!27! P ( A) 9 9 9 n A 3 2 1 C 27 C18C 9 9! 9! 9! P( B) 3 27! 7 10 10 n B 3 C 27 C 20C10 7! 10! 10!
k ( k 1) p n N
n
n
概率的古典定义的局限性
概率的古典定义具有可计算性的优点,但 它也有明显的局限性.要求样本点有限,如果 样本空间中的样本点有无限个, 概率的古典 定义就不适用了. 把有限个样本点推广到无限个样本点 的场合,人们引入了几何概型. 由此形成了 确定概率的另一方法 ——几何方法.
k n C M C N kM p n CN
解：
2）
P
有放回抽样
k Cn M k (N
M)
概率论中的随机事件及概率的定义及计算
概率论中的随机事件及概率的定义及计算在概率论中，随机事件是指一个结果是不确定的事件，例如掷骰子的结果、抽奖的结果、病人是否能成功治愈等。
通过对随机事件的概率进行计算，我们可以预测它们发生的可能性大小，从而对未来的结果进行预测和控制。
随机事件的概率定义在概率论中，随机事件的概率定义为该事件在所有可能结果中出现的比例。
例如，在掷一次骰子时，获得6面的概率为1/6，因为6面是6个可能结果中的一个。
概率的计算方法一般来说，概率的计算方法有两种：相对频率方法和古典概型方法。
1. 相对频率方法相对频率方法是指通过实验来计算概率。
具体来说，我们可以对随机事件进行多次实验，然后统计该事件发生的次数与实验总次数之比。
例如，如果我们想要计算投掷骰子获得6面的概率，我们可以对骰子进行大量实验，并记录6面出现的次数。
然后，我们可以计算该事件发生的次数与实验总次数之比，即得到6面出现的概率。
2. 古典概型方法古典概型方法是指对于已知的固定有限集合，每个结果的概率相等时，对随机事件进行计算。
例如，对于投掷一枚骰子的情况，我们可以通过以下公式计算获得特定面的概率：P(E) = n(E) / n(S)其中，n(E)是事件E中有利结果的数量，n(S)是样本空间中的所有结果数。
概率的性质在概率论中，概率具有以下几个重要的性质：1. 非负性：概率是非负的，即概率不会小于零。
2. 正则性：所有可能事件的概率之和等于1。
3. 加法性：对于两个不相交事件A和B，它们的概率之和等于它们的并集的概率。
4. 乘法性：对于两个事件A和B，它们的联合概率等于它们各自的概率的积。
总结概率论是应用广泛的一门学科，在许多领域都有着重要的应用，例如统计学、经济学、金融学等。
随机事件及概率的定义和计算方法是概率论中最基础的概念，建立了整个概率论体系的基础。
了解概率论的基本概念和方法，可以帮助我们更好地理解和应用它们，在实际应用中更加准确地估计未来的结果和降低风险。
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事件的概率
第一节 概率的概念
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1
概率的含义：
对于事件发生的的可能性大小，需要用一
个数量指标去刻画它，这个指标应该是随机事
件本身所具有的属性，不能带有主观性，且能
在大量重复实验中得到验证，必须符合常情。
11
古典概型是一类比较简单,直观的随机试验,有以下 两个明显特征:
（1）试验所有可能的结果个数有限, 样本空间可表示为 1 , 2 , 3 , （2） 各个试验结果 1 ,2 ,3 ,
, n ；
, n
在每次实验中发生的可能性是相同. 样本空间有限
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15
例1(2) 一批产品由70件正品和30件次品组成，连
续从中抽取两件，第一次取出后不再放回，问“两
次都取得次品”的概率多大？
30 29 29 p = 0.088 100 99 330
若改为有放回的抽取方式呢？
“第一次取得正品且第二次取得次品”的概率 70 30 21 p1 = =0.21 100 100 100 30 30 =0.09 “两次都取得次品”的概率 p2 100 100
连续从中抽取两件，第一次取出后不再放回，
问第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率多 大？ 解：用A表示事件“第一次取得正品且第二次 取得次品”， 由于是无放回地抽取，应用乘法原理可知 总的抽取方法有：100×99种，
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分析：该题概率的计算方法与盒子模型相同.
n P365 解： P1 ， n 365
P2 1 P1 .
30 40 50 60
n
10
20
P2
0.1160 0.4058 0.6963 0.8820 0.9651 0.9922
当n>50时，第二个事件几乎是必然事件，这与我们 的直观想像是不同的。
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例3
从一副扑克牌〔52张〕中任取3张，求取出的
三张是同花〔A〕、顺〔B〕及同花顺〔AB〕的概率。
3 共有多少种取法？ C 52 3 A的取法 4 C13 ，
B的取法 A23,234, AB的取法 4 12
1 1 1 , QKA. 12 C4 C4 C4
3 4 C13 P ( A) 0.05176, 3 C52
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m1 频率 n 1
m2 n2
ms ns
概率p
这种稳定性为用统计方法求概率的数值开拓了道 路。在实际中，当概率不易求出时，人们常取实 验次数很大时事件的频率作为概率的估计值.并称 此概率为:统计概率。 思考：当n 时， 这种确定概率的方法称为频率方法。 f n ( A) P ( A)吗？
我们把刻画事件发生的可能性大小的数量指标
叫做事件的概率。
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2
在一般情况下，对一个随机试验，如何
度量随机事件发生的可能性的大小呢？为了
回答这个问题，我们先引进频率的概念。 设随机事件A在n次试验中发生了r次，则
称比值 r/n为这n次试验中事件A发生的频率，
即
r f n ( A) n
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在了解了定义之后，我们从试验入手，会发现 随机事件一个极其重要的特征：
频率的稳定性
频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大 小。尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率 可以各不相同，但只要n相当大，频率与概率是会非 常接近的。
4 12 P ( AB ) 3 C 52
1 1 1 12 C4 C4 C4 P( B) 0.03475 3 C52
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0.002172
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例4(抽签问题) 设某超市有奖销售，投放n张奖券
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几何概型：——面积型 1、样本空间Ω 是平面上某个区域，它的面积为S(Ω ); 2、向区域Ω 上随机投掷一点，这里“随机投掷一点”
的含义是指该点落入Ω 内任何部分区域内的可能性只
与这部分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置 和形状无关。
3、事件A是Ω 的某个区域，它的面积为S(A),则向区域
概率
n2
n1 n2
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概率
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9
三、概率的性质
1、非负性： 2、正则性： 3、可列可加性:
0 P ( A) 1 P ( ) 1 (1) (2)
若A1 , A2 ,
（1） 共有Pnn n!种不同的放法，
n! 所以， p1 n ; N
n （2） 共有PN 种不同的放法，
n PN 所以， p2 n . N
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生日问题： n (n 365)个人的生日各不相同的概率 是多少？ 至少有两个人生日相同的概率是多少？
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4
因此，概率是可以通过频率来“测量”的, 频率是概率的一个近似。 考虑在相同条件下进行的S 轮试验
第一轮 试验 试验次数n1 事件A出现 m1次
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第二轮 试验 试验次数n2 事件A出现 m2次
第一次取正品的方法有70种，第二次取次品 的方法有30， 则A中包含的抽取方法共70×30种， 所求概率为：
70 30 7 P A 0.21 100 99 33
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只有1张有奖，每位顾客抽取一张，求第一位顾客、
任一位顾客中奖的概率。
1 第一位顾客中奖的概率 p1 n
“第k位顾客中奖”表明前k-1位顾客都未中奖， 第k位顾客中奖的概率
( n 1) ( n k 1) 1 1 . pk n( n 1) ( n k 1) n
中奖率与抽取先后次序无关.
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历史上抛硬币试验的若干结果
实验者 抛硬币次数
出现正面次数
Байду номын сангаас频率
德莫根 蒲丰 费勒 皮尔逊 皮尔逊
2048 4040 10000 12000 24000
1061 2048 4979 6019 12012
样本点具有等可能性
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定义：设试验E 是古典概型, 其样本空间Ω由
n个样本点组成 , 事件A由k 个样本点组成 。
则定义事件A 的概率为：
A包含的样本点数 k . P ( A) n 包含的样本点数
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例2〔盒子模型〕把n个球随机放入N(n<N)个盒子中，
求：①指定的n个盒子各有一个球的概率；
②恰有n个盒子各有一个球的概率。
解：每个球有N 种放法， 共有N n种不同的放法.
件A的概率类似可求，只不过把S理解为长度或体积.
几何概型通常以长度、面积或体积等具体形式表现 出来. 与古典概型一样，样本点必须具有等可能性.
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例6〔会面问题〕甲、乙两人相约在晚7时到8时这 段时间内在预定地点会面，先到的人等候另一个， 超过20分钟则离去。设每人在7时到8时这段时间内 各时刻到达该地是等可能的，且两人到达的时刻互 不影响。试求甲、乙两人能会面的概率？ y ( x , y ) 0 x 60 , 0 y 60 .
0
10 15
25 30
(15 10) (30 25) 1 P ( A) 30 0 3 (5 0) (20 15) 1 P( B) 30 0 3
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称此概率为古典概率； 这种确定概率的方法称为古典方法。 即把求概率问题转化为计数〔统计频数〕。 注意：排列组合是计算古典概率的重要工具 。
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例1(1) 一批产品由70件正品和30件次品组成，
0.5181 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005
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频率的稳定性
试验次数
n1
频率
Ω 上随机投掷一点，该点落区域A内的概率是
S ( A) P ( A) S ( )
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