教育最新K122018年秋八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理3反证法作业新版华东师大版
八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理14.1.1直角三角形的三边关系第2课时勾股定理的验
八年级数学上册第14章勾股定理14.1 勾股定理14.1.1 直角三角形的三边关系第2课时勾股定理的验证及简单应用学案（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学上册第14章勾股定理14.1 勾股定理14.1.1 直角三角形的三边关系第2课时勾股定理的验证及简单应用学案（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第2课时勾股定理的验证及简单应用课前知识管理对于勾股定理的探索，可以采用测量、计算、•观察和动手操作的方法来验证其正确性．课本主要运用拼图的方法,利用两种方法表示同一个图形的面积来验证勾股定理．如图1，是由4个完全相同的直角三角形拼成的，得到一个边长为(a+b）的大正方形和以斜边c为边长的小正方形,有（a+b）2=4×12ab+c2，整理可得a2+b2=c2．对于图2，有S正方形EFGH=c2=（b—a）2+4×12ab，即c2=a2+b2．名师导学互动典例精析：知识点1：用拼图法验证勾股定理例1、请判断一下，下列图形中，哪些可以用来验证勾股定理.【解题思路】①大正方形的面积等于四个直角三角形面积加中间小正方形面积;②中间正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形面积；③推导不出。
【解】①②可以验证勾股定理。
【方法归纳】勾股定理的验证，主要通过拼接图形的面积来实现.对应练习：请结合以下图形，验证勾股定理.知识点2：方程的思想例2、如图，在△ABC中，AB=15，BC=14， CA=13，求BC边上的高AD．【解题思路】【解】设DC=x，则BD=14－x，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：（14－2)x+22222(14)56--=，解x x=+=，两式相减得：2215,13AD x AD得:5x=．在Rt△ACD由勾股定理得：AD=12．【方法归纳】由于勾股定理反映了直角三角形三边的数量关系，所以在应用勾股定理解决问题时，要考虑应用定理列方程来求解．对应练习：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于( ）A 2cm B 3cm C 4cm D 5cm知识点3：数形结合的数学思想例3、某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km 的速度向北偏东60°方向移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域.试问A 城是否受这次风暴的影响?如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。
[推荐学习]2018年秋八年级数学上册第14章勾股定理141勾股定理1直角三角形三边的关系第2课时
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1１.2017·丽水我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理,绘制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图Ｋ-38－10①所示.在图②中，若正方形ＡＢCD的边长为14，正方形IJKＬ的边长为2,且ＩＪ∥AＢ，则正方形ＥFＧH的边长为__＿＿_＿__.
图Ｋ-３8-10
三、解答题
１２．如图K－３8-11,在由边长为１的小正方形组成的网格中,△ＡBC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
根据题意，得
解得
由勾股定理得直角三角形的弦（斜边)为 ＝ ＝１0，
即正方形ＥFGＨ的边长为1０.
12.[解析] （1)根据AＤ=ＢC和AD∥BC即可确定点D；(2)把AC，ＣＤ，AD放在网格中的直角三角形中，用勾股定理分别求出ＡC，CD，AD的长．
解:（1)如图．
(２) 5
13．解：根据图中的数据得ＡC＝9０－40＝５0(mm)，BＣ＝160-40＝120（ｍm)，根据勾股定理，得AB＝ =130(ｍm）．
图K-38－７
9．如图Ｋ－３8－8，学校有一块长方形草坪,有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”.他们仅仅少走了_＿_＿＿___步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．
图K-3８-8
1０.如图K-38-９,已知在Rt△ABC中,∠BＣＡ＝９0°，AB=10,分别以ＡC,ＢC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2=______＿_．
图K－３8－１４
问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国三国时期的数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明．著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系(勾股定理）”用探索飞船带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
八年级数学上册第14章勾股定理1勾股定理3反证法作业课件新版华东师大版
知识点二：用反证法证明
6．用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁 内角不互补，那么这两条直线不平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1＋∠2≠180°. 求证：l1与l2不平行．
证明：假设l1___∥_l2，则∠1＋∠2____＝180°，
这与____已__知_矛盾，故____假__设_不成立． ∴____l_1与__l_2_不__平__行______．
练习1.已知命题“在△ABC中，若AC2＋BC2≠AB2，则∠C≠90°”，
要证明这个命题是真命题可用反证法．其步骤为：假设_∠__C__＝__9_0_°__，根
据_勾__股__定__理__，一定有_A__C_2_＋__B_C_2_＝__A_B_，2 但这与已知___A_C_2_＋__B_C__2≠__A__B_2_相 矛盾，因此，假设是错误的，于是可知原命题是真命题．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，则AC≠BC. 证明：假设AC＝BC，∵∠A≠45°，∠C＝90°，∴∠B≠∠A， ∴AC≠BC，这与假设矛盾，∴AC≠BC. 上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明方法；若有错误，请予以 纠正．
解：有错误．证明：假设AC＝BC，∴∠A＝∠B，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝45°，与∠A≠45°相矛盾，∴AC≠BC
4．用反证法来证明命题：已知AB∥CD，AB∥EF，求证：CD∥EF.证明 的第一步是( B )
A．假定CD∥EF B．假定CD不平行于EF C．假定AB∥EF D．假定AB不平行于EF
5．“已知：在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°”．下面写出了用于证 明这个命题过程中的四个推理步骤： ①∴∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾； ②∴∠B<90°； ③假设∠B≥90°； ④那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°. 这四个步骤正确的顺序应该是( C) A．①②③④ B．③④②① C．③④①② D．④③①②
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14.1 勾股定理
2．勾股定理在四边形中的应用： (1)梯形的问题，通常通过作高，构造直角三角形，利用勾股定理 求解． (2)有内角为直角的四边形的问题，通常连结对角线等，转化成直 角三角形的问题，再应用勾股定理求解．
14.1 勾股定理
例 3 如图 14－1－7 是一个蔬菜大棚的简单示意图，大棚宽为 6 m，高为 8 m，大棚的斜面是一个长方形，将该长方形用塑料薄膜 遮盖，求所需塑料薄膜的面积．
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(2)如果MB＝a，BQ＝b，AB＝c，那么利用这个图形中的面积 关系，你能得到勾股定理吗？请说明理由．
图14－1－5
14.1 勾股定理
解：(1)正方形 ABCD 的面积＝正方形 MNPQ 的面积－4×三角形 BCM 的面积＝ 7×7－4×12×3×4＝25. (2)能．理由如下：正方形 MNPQ 的面积＝(a＋b)2 ＝a2 ＋b2 ＋2ab， 正方形 MNPQ 的面积＝4×12×ab＋c2＝2ab＋c2， 所以 a2＋b2＋2ab＝2ab＋c2， 得 a2＋b2＝c2.
14.1 勾股定理
【归纳总结】拼图法是探索勾股定理的有效方法，一般应遵循以 下步骤： 拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→ 导出勾股定理．
14.1 勾股定理
目标二 能用勾股定理解决简单问题
例 四边形 ABCD 中，∠B ＝∠D＝90°，BC＝2，CD＝3，AD＝4，求 AB 的长．
14.1 勾股定理
【归纳总结】勾股定理在三角形及四边形中的应用： 1．勾股定理在三角形中的应用： (1)添线应用． 应用勾股定理的前提条件是在直角三角形中，当题目中没有直角 三角形时，可以通过作高等方式，把非直角三角形的问题转化为 直角三角形的问题，应用勾股定理求解．
八年级数学上册14.1勾股定理14.1.3反证法习题课件(新版)华东师大版(1)
证明：假设 AB 与 CD 不平行，则直线 AB 与 CD 相 交，设它们的交点为 P，于是经过点 P 就有两条直线(AB、 CD)都和直线 EF 平行，这就与经过直线外一点有且只有 一条直线和已知直线平行相矛盾．所以假设不能成立．故 AB∥CD.
则 m 2＝(2n＋1)2＝4n2＋4n＋1. ∵4n2，4n 均为偶数，∴4n2＋4n 为偶数． 而 1 为奇数， ∴4n2＋4n＋1 为奇数，那么 m 2 为奇数． 这与已知条件“m 2 为偶数”相矛盾， ∴假设不成立，∴m 为偶数．
9. 求证：如果两条直线都和第三条直线平行，那么 这两条直线也互相平行．
1. “a≤b”的反面是( B )
A．a≠b
B．a＞b
C．a＝b
D．a＝b 或 a＞b
2. 用反证法证明，在直线 a，b，c 中，若 a∥b，c
与 a 相交，则 c 与 b 也相交，第一步应假设( C )
A．c 与 a 平行
B．c 与 b 相交
C．c 与 b 不相交 D．以上都不对
3. 命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条 直线互相平行”，用反证法证明时，若先假设这两条直线 不平行，则它们必相交，最终推出与下面选项相矛盾的 是( B )
A．两点确定一条直线 B．过一点与已知直线垂直的直线只有一条 C．过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条 D．定义
4. 用反证法证明“平行于同一直线的两条直线平行”的第 一步是 假设“平行于同一条直线的两条直线不平行” ．
5. 用反证法证明(填空)： 两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补， 那么这两条直线平行． 已知：如图，直线 l1，l2 被 l3 所截，∠1＋∠2＝180°. 求证：l1∥l2.
2024秋八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理3直角三角形的判定教案(新版)华东师大版
针对以上学情，教师在教学过程中需要关注学生的个体差异，对于不同层次的学生制定不同的教学策略。对于知识掌握较好的学生，可以适当增加难度，引导他们进行深入思考和探索；对于知识掌握不足的学生，要耐心引导，帮助他们弥补知识漏洞。同时，教师需要激发学生的学习兴趣，培养他们的自主学习能力，引导他们养成良好的学习习惯。此外，教师还需注重培养学生的团队合作意识，让他们在小组讨论和合作中共同进步。
（2）在线教学平台：利用在线教学平台，发布学习任务和练习题，方便学生随时随地进行学习和练习，提高教学效果和效率。
（3）互动式教学：通过小组讨论、问答等方式，鼓励学生积极参与课堂互动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
（4）数学软件辅助教学：利用数学软件进行几何图形的绘制和计算，帮助学生更直观地理解直角三角形的性质和勾股定理的应用。
教学过程设计
1.导入新课（5分钟）
目标：引起学生对直角三角形的兴趣，激发其探索欲望。
过程：
开场提问：“你们知道直角三角形是什么吗？它与我们的生活有什么关系？”
展示一些关于直角三角形的图片或视频片段，让学生初步感受直角三角形的美妙和特点。
简短介绍直角三角形的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。
2.直角三角形基础知识讲解（10分钟）
学情分析
本节课的授课对象为八年级的学生，他们已经掌握了初中数学中的一些基本知识，如代数、几何等。在知识方面，学生对于平面几何的基本概念和性质已经有所了解，对于三角形的相关知识也有所掌握。在能力方面，学生已经具备了一定的逻辑推理能力和数学运算能力，能够进行简单的数学建模。
[推荐学习]2018年秋八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三边的关系第2课时
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[推荐学习]2018年秋八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三边的关系第2课时[14.1 1. 第2课时勾股定理的验证及简单应用]一、选择题1．如图K－38－1，△ABD的面积是( )A．18 B．30 C．36 D．60图K－38－12．如图K－38－2，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，BC＝2，则AD的长为( )图K－38－2A．1 B．2 C. 5 D. 33．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是( )图K－38－5A．6 B. 6C. 5 D．4二、填空题7．如图K－38－6，为测量某池塘最宽处A，B两点间的距离，在池塘边定一点C，使∠BAC ＝90°，并测得AC的长为18 m，BC的长为30 m，则最宽处A，B两点间的距离为________．图K－38－68．在如图K－38－7所示的图形中，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和是________．图K－38－79．如图K－38－8，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”．他们仅仅少走了________步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．图K－38－810．如图K－38－9，已知在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝10，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2＝________．图K－38－911．2017·丽水我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图K－38－10①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL 的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为________.图K－38－10三、解答题12．如图K－38－11，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：(1)画线段AD∥BC，且使AD＝BC，连结CD；(2)线段AC的长为______，CD的长为______，AD的长为________．图K－38－1113．在如图K－38－12所示的长方形零件示意图中，根据所给的部分尺寸，求两孔中心A和B的距离(单位：mm).图K－38－1214．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明灵感，他惊喜地发现，当四个全等的直角三角形如图K－38－13摆放时，可以用“面积法”来证明a2＋b2＝c2.请你写出证明过程.图K－38－1315．某市决定在相距10千米的A，B两地之间的E处修建一个土特产加工基地，A，E，B三点在同一条直线上，如图K－38－14所示，有C，D两个农庄，且DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知AD＝8千米，BC＝2千米，要使C，D两农庄到基地的距离相等，那么基地E应建在距离A 地多远的位置？图K－38－14问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国三国时期的数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明．著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系(勾股定理)”用探索飞船带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．定理表述请根据图K －38－15①中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述)．图K －38－15尝试证明以图①中的直角三角形为基础，可以构造出以a ，b 为底，以a ＋b 为高的直角梯形(如图②)，请你利用图②验证勾股定理．知识拓展利用图②中的直角梯形，我们可以证明a ＋b c <2，其证明如下：∵BC＝a＋b，AD＝________．又∵在直角梯形ABCD中，有BC________AD(填“>”“<”或“＝”)，即______________，∴a＋bc＜ 2.详解详析【课时作业】[课堂达标]1．B2．D3．D4．[解析] C设旗杆的高度为x m，则绳子的长为(x＋1)m，由勾股定理，得(x＋1)2＝x2＋52，解得x＝12.5．[解析] B由题意知∠AOB＝90°，由勾股定理得AB＝OA2＋OB2＝322＋242＝40(m)．6．[解析] B∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴由勾股定理，得AD＝AB2－BD2＝32－22＝ 5.又∵DC＝1，∴AC ＝DC 2＋AD 2＝ 6.7．24 m8．[答案] 49 cm 2[解析] 如图，∵a 2＋b 2＝x 2，c 2＋d 2＝y 2， ∴a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝x 2＋y 2＝72＝49(cm 2).9．410． 12.5π11．10 [解析] 设直角三角形的勾(较短的直角边)为a ，股(较长的直角边)为b.根据题意，得⎩⎨⎧a ＋b ＝14，b －a ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝6，b ＝8.由勾股定理得直角三角形的弦(斜边)为62＋82＝100＝10，即正方形EFGH的边长为10.12．[解析] (1)根据AD＝BC和AD∥BC即可确定点D；(2)把AC，CD，AD放在网格中的直角三角形中，用勾股定理分别求出AC，CD，AD的长．解：(1)如图．(2)20 5 513．解：根据图中的数据得AC＝90－40＝50(mm)，BC＝160－40＝120(mm)，根据勾股定理，得AB＝502＋1202＝130(mm)．即两孔中心A和B的距离为130 mm.14．证明：如图，∵S 五边形＝S 左边梯形＋S 右边梯形＝S 大正方形＋2S 直角三角形，∴12(b ＋a ＋b)·b＋12(a ＋a ＋b)·a＝c 2＋2×12ab ， 即12ab ＋b 2＋a 2＋12ab ＝c 2＋ab ， ∴a 2＋b 2＝c 2.15．解：∵C，D 两农庄到基地E 的距离相等，∴CE ＝DE.在Rt △CBE 和Rt △DAE 中，由勾股定理，得CE 2＝BE 2＋BC 2，DE 2＝AD 2＋AE 2，∴BE 2＋BC 2＝AD 2＋AE 2.设AE ＝x 千米，则BE ＝(10－x)千米，而BC ＝2千米，AD ＝8千米，所以(10－x)2＋22＝82＋x2，解得x＝2，即基地应建在距离A地2千米的位置．[素养提升]解：[定理表述]如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2.[尝试证明]∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC.又∵∠EDC＋∠DEC＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，∴∠AED＝90°.∵S梯形ABCD ＝S Rt△ABE＋S Rt△ECD＋S Rt△AED，∴12(a＋b)(a＋b)＝12ab＋12ab＋12c2，整理，得a2＋b2＝c2.[知识拓展]2c ＜a＋b＜2c。
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[14.1 3.反证法]
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一、选择题
1．命题“a＜b”的反面是( )
A．a≤b B．a＞b
C．a≥b D．a＝b
2．用反证法证明命题“如图K－40－1，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”时，证明的第一个步骤是( )
图K－40－1
A．假设CD∥EF B．假设CD不平行于EF
C．已知AB∥EF D．假设AB不平行于EF
3．利用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不小于45°”，应先假设( )
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形有一个锐角小于45°
4．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是( )
A．假设三角形的三个外角都是锐角
B．假设三角形的三个外角中至少有一个钝角
C．假设三角形的三个外角都是钝角
D．假设三角形的三个外角中最多有一个钝角
5．用反证法证明一个命题时，在推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用
( )
①与结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①② B．①②④
C．①②③ D．②③
6．用反证法证明“3是无理数”时，最恰当的证法是先假设( )
A.3是分数
B.3是整数
C.3是有理数
D.3是实数
7．用反证法证明命题：“若a，b是整数，ab能被3整除，则a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )
A．a，b都能被3整除
B．a不能被3整除
C．a，b不都能被3整除
D．a，b都不能被3整除
8．能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一定一个是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是( )
A．120°，60° B．95.1°，104.9°
C．90°，90° D. 30°，60°
二、填空题
9．用反证法证明“在一个三角形中，不可能有两个角是钝角”的第一步是________________________________________________________________________．
图K－40－2
10．已知：如图K－40－2，直线a，b被直线c所截，∠1，∠2是同位角，且∠1≠∠2.求证：直线a不平行于直线b.
证明：假设_________________，
则__________(______________________)，
这与____________相矛盾，
所以__________不成立，
所以直线a不平行于直线b.链接听课例1归纳总结
11．(1)用反证法证明命题时，若结论是“x＝y”，则第一步应假设____________；
(2)若结论是“a∥b”，则第一步的假设应为________________；
(3)若命题是“三角形的三个内角中，最多只能有一个钝角”，则第一步应假设____________________．
三、解答题
12．已知m，n是整数，m＋n是奇数，求证：m，n不能全为奇数．
13.阅读下列文字，回答问题．
题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，则AC≠BC.
证明：假设AC＝BC.因为∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B，所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC.
上面的证明有错误吗？若没有错误，指出各步骤的证明依据；若有错误，请纠正．
14．如图K－40－3，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内部的一点，且∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC(用反证法证明)．
图K－40－3
15．如图K－40－4，直线AB与CD相交于点O，EF⊥AB于点F，GH⊥CD于点H.求证：EF和GH必相交．
图K－40－4
16．用反证法证明：连结直线外一点和直线上各点的所有线段中垂线段最短．
推理探究能否在图K－40－5中的四个圆圈内填入4个互不相同的数，使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外两个圆圈中所填的数的平方和？如果能填，请填出一组符合条件的数；如果不能填，请说明理由．
图K－40－5
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．C
2．B
3．A
4．D
5．C
6．C
7．D
8．[导学号：90702317] C
9．假设一个三角形的三个内角中可能有两个钝角
10．直线a平行于直线b ∠1＝∠2两直线平行，同位角相等∠1≠∠2 假设11．[导学号：90702318]
(1)x≠y
(2)a与b相交
(3)三角形的三个内角中，至少有两个钝角
12．证明：假设m，n都为奇数，
设m＝2a＋1，n＝2b＋1(a，b均为整数)．
m＋n＝2(a＋b＋1)为偶数，与已知矛盾，
所以m，n不能全为奇数．
13．解：有错误．改正：
假设AC＝BC.则∠A＝∠B，又∠C＝90°，
所以∠A＝∠B＝45°，这与∠A≠45°矛盾，
所以AC＝BC不成立，所以AC≠BC.
14．证明：假设PB＝PC.
因为AB＝AC，PB＝PC，AP＝AP，
所以△ABP≌△ACP，
所以∠APB＝∠APC，
这与条件∠APB≠∠APC矛盾，
所以假设不成立，所以PB≠PC.
15．证明：假设EF与GH平行．
若EF与GH平行，则它们的垂线也平行，
即AB与CD平行．
这与直线AB与CD相交于点O矛盾，
所以EF与GH不平行，即EF与GH相交．
16．[导学号：90702319]
解：已知：如图，P为直线AB外一点，PC⊥AB于点C，PD和AB不垂直，求证：PC＜PD.
证明：假设PC≥PD，
(1)当PC＝PD时，
那么∠PCD＝∠PDC＝90°，
即PD⊥AB，这与PD和AB不垂直矛盾，
故PC≠PD；
(2)当PC＞PD时，
那么∠PDC＞∠PCD，
而∠PCD＝90°，
这与三角形的三个内角等于180°矛盾．
故PC ＜PD.
[素养提升]
[导学号：90702320]
解：不能填，理由如下：
设能填出符合条件的数，设所填的互不相同的4个数为a ，b ，c ，d ，
则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋c 2＝b 2＋d 2
，①a 2＋d 2＝c 2＋b 2，②a 2＋b 2＝c 2＋d 2，③
①－②，得c 2－d 2＝d 2－c 2，
所以c 2＝d 2.
因为c≠d，
所以只能是c ＝－d④.
同理可得c 2＝b 2.
因为c≠b，只能c ＝－b⑤.
比较④⑤得b ＝d ，与已知b≠d 矛盾，
所以题设要求的填数方法不存在．。