解斜三角形应用课件

的应用
我国古代很早就有测量方面的知识，公元 解三角形问题是三角学的基本问题之一。 解三角形的方法在度量工件、测量距离和 一世纪的《周髀算经》里，已有关于平面测量 什么是三角学？三角学来自希腊文“三角形” 高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用， 的记载，公元三世纪， 我国数学家刘徽在计 和“测量”。最初的理解是解三角形的计算， 在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角 算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就 后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角 形的方法。 已经取得了某些特殊角的正弦…… 形两部分内容的一门数学分学科。两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。
测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C， 测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB ＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）
分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形
AB AC ＝ sin C sin B
例3、 如何测定河对岸两点A、B
∴可解出AM= 15
≈8.97>8
北
2 5 6
A
北
∴无触礁危险
B
20 2
C
M
小结：求解三角形应用题的一般步骤：
1、审题（分析题意，弄清已知和所求，
根据提意，画出示意图；
2.建模（将实际问题转化为解斜三角形
的数学问题）
3.求模（正确运用正、余弦定理求解）
4，还原。
复习
测量问题：
1、水平距离的测量
B
C

A
分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或AC的长
解：在⊿ABC中， ∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=αβ, ∠BAD=α.根据正弦定理，
D
BC AB sin( ) sin( 90 )
BC sin(90 ) BC cos 所以，AB sin( ) sin( ) 解RtABD, 得 BC cos sin BD AB sin BAD sin( )
解三角形的应用---实地测量举例
间的距离？如图在河这边取一点， 构造三角形ABC，能否求出AB?为 什么？？
B
A
C
例3、 为了测定河对岸两点A、B
解三角形的应用---实地测量举例
间的距离，在岸边选定1公里长 的基线CD，并测得∠ACD=90o， ∠BCD=60o，∠BDC=75o， ∠ADC=30o，求A、B两点的距离.
①两点间不能到达， 又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
AB2 CA2 CB2 2CA CB cos C 可求得AB的长。
②两点能相互看到，但不能到达。
需要测量BC的长、角B和角C的大小， 由三角形的内角和，求出角 A 然后 由正弦定理，
AB BC sin C sin A可求边AB的长。
余弦定理先求出A,或先求 （1）a=2 3 ,b= 6 ,c=3 + 3 _________________________________ ； 出B 余弦定理先求出a （2）b=1，c= 2 ，A=105º ； _________________________________ 正弦定理先求出b （3）A=45º ，B =60º ， a=10； ________________________________
可求BS=7.7海里。
基本概念和公式.
2.为了开凿隧道,要测量隧道口D,E间的距离,为 此在山的一侧选取适当的点C(如图),测得 CA=482m,CB=631.5m,∠ACB=56018’,又测得A,B 两点到隧道口的距离AD=80.12m, BE=40.24m (A,D,E,B在一直线上).计算隧道DE的长 析： 由余弦定理可解AB 长。进而求DE。
11.12m
1.52 m
B
490 28
35 12
0
求A1B
D1
C1


C 11.12m D
A1 1.52 m A
B
490 28
35012
C1
求A1B
D1


C 11.12m D
A1 1.52 m A
C1D1B 1800 130032,
解:
在BC1D1中,已知BC1D1 35012,
正弦定理先求出B(60o或120o) （4）a=2 3 ，b=6，A=30º . ________________________________
无解 第4小题A变更为A=150o呢？_____________________
解斜三角形理论 在实际问题中的应用
解应用题中的几个角的概念
1、仰角、俯角的概念： 在测量时，视线与水平线 所成的角中，视线在水平线 上方的角叫仰角，在水平线 下方的角叫做俯角。如图： 2、方向角：指北或指南 方向线与目标方向线所成 的小于90°的水平角，叫 方向角，如图
B D
A
C
分析：在四边形ABCD中欲求AB长，只能去解三 角形，与AB联系的三角形有△ABC和△ABD，利 用其一可求AB。
略解：Rt △ACD中，AD=1/cos30o
△BCD中，1/sin45=BD/sin60，可求BD。 由余弦定理在△ABD中可求AB。 ( AB 30 0.913) 6
测量垂直高度 1、底部可以到达的； 测量出角 C 和 BC 的长度，解直 角三角形即可求出AB的长。 2、底部不能到达的 测量边 CD ，测量∠ C 和∠ ADB ，
CD AB cot C cot ADB
练习: 在山顶铁塔上B处测得地面 上一点A的俯角α＝ 60° ，在塔底 C处测得A处的俯角β＝30°。已 知铁塔BC部分的高为28m，求出 山高CD.
3. 视角：人眼对物体两端的张角。
基本概念和公式.
例1海上有A、B两个小岛相距10海里，从 A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望 C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛 间的距离是 。
解：应用正弦定理，C=45 °
BC/sin60°=10/sin45°
60° 75°
B C
BC=10sin60 °/sin45°
120°
5 并测得渔船以 /时 解得：t 2 , t 9海里 （舍去） 1 2 2 3 3 12 的速度正沿方位角为 (9 ) o AB BC 3 3 105 的方向航行，我海 3 2 sin CAB 由正弦定理： 2 sin 14 sin21 120 军舰艇立即以 海里 / CAB 21 3 时的速度前去营救。求 3 3 CAB arcsin 22 出舰艇的航向和赶上遇 14 险渔船所需的最短时间， o o o ∴ 航向为北 45 +22 =67 东 时间40分钟能营救成功。 能否营救成功？
C1BD1 14016
C1D1 BC1 根据正弦定理得 sin C1BD1 sin C1D1B
11.12sin 130032 BC1 34.30, 在RtA1BC1中, 0 sin 14 16
A1B BC1 sin 35012 19.77, 故烟囱的高度为 21.29m.
B
D A C
∠ACD=90o，∠BCD=60o， ∠BDC=75o，∠ADC=30o，
练习1：海中有岛A，已知A岛周围8海里内有 暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见A岛 在北偏东75°，航行20 2 海里后，见此岛在 北偏东30°，如货轮不改变航向继续前进， 问有无触礁危险。 A
北 北
B
20 2
C
解三角形的应用.
练习1、我舰在敌岛A南50°西相距12海里B处， 发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10海里/时 的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要 C 的速度大小为 。
分析：2小时敌舰航行距离AC=20，
10 °
由AB=12，∠BAC=120°，
余弦定理可解我舰航行距离 BC。 （略）
B
A D
解略。
E
C B
解斜三角形理论应用于实际问题应注意：
1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。 2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如 视角，仰角，俯角，方位角等等。 3、动手画出示意图，利用几何图形的性质， 将已知和未知集中到一个三角形中解决。 4、计算要认真，准确计算出答案。
解三角形的应用.
试 试 看 如图，要测底部不能到达的烟囱 的高AB，从与烟囱底部在同一水平直 线上的C，D两处，测得烟囱的仰角分 别是α=35°12′和β=49°28′，CD 间的距离是11.12m．已知测角仪器高 1.52m，求烟囱的高． 0
49 28 35012
11.12m
1.52 m
490 28 35012
例2 一艘渔船在我海域 遇险，且最多只能坚持 45分钟，我海军舰艇在 A处获悉后，立即测出 该渔船在方位角为45o 、 距离为10海里的C处， 并测得渔船以9海里/时 N 的速度正沿方位角为 45o 105o的方向航行，我海 军舰艇立即以21海里/ 时的速度前去营救。求 A 出舰艇的航向和赶上遇 险渔船所需的最短时间， 能否营救成功？
分析：要测出高CD,只要 测出高所在的直角三角形 的另一条直角边或斜边的 长。根据已知条件，可以 计算出BC的长。
M
解法一：
在△ABC中∠ACB=120°∠BAC=45°由 正弦定理得： AB BC
sin 120 sin 45 由BC=20 2 ,可求AB 20 3
0 AB sin 15 ∴得AM= 15 2 5 6

≈8.97>8 ∴无触礁危险
A
北
北
B
20 2
C
M
解法二： 在Rt△ABM中，AM/BM=tan15° 在Rt △ACM中 ，AM/CM=tan60° ∴ BM= AM/ tan15°， CM= AM/ tan60 ° 由BC=BM-CM=20 2