精选2018届高三数学下学期适应性考试试题理(含解析)

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南通市2023-2024学年高三下学期高考适应性考试(三)数学试题+答案

南通市2023-2024学年高三下学期高考适应性考试(三)数学试题一、単项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}2{1,2,3,4},log (1)2A B x x ==-∣…,则集合A B ⋂的子集个数为（） A.32B.16C.8D.42.在梯形ABCD 中,//AB CD ,且2AB CD =,点M 是BC 的中点,则AM =（） A.2132AB AD - B.1223AB AD + C.12AB AD +D.3142AB AD +3.721x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为( )A.-21B.-35C.21D.354.国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为2m,4m ,侧棱长为3m 的正四棱台，则该台基的体积约为（）3 B.3C.328m35.在平面直角坐标系xOy 中,已知点(2,1)M 为抛物线2:2(0)E x py p =>上一点,若抛物线E 在点M 处的切线恰好与圆22:()2(0)C x y b +-=<相切,则b =（）A. B.-2C.-3D.-46.已知40,sin(),tan tan 225πβααβαβ<<<-=-=,则sin sin αβ=（）A.12 B.15C.25D.27.某校春季体育运动会上，甲，乙两人进行羽毛球项目决赛，约定“五局三胜制”，即先胜三局者获得冠军．已知甲、乙两人水平相当，记事件A 表示“甲获得冠军”，事件B 表示“比赛进行了五局”,则()P AB =∣（） A.12B.14C.38D.5168.设定义域为R 的偶函数()y f x =的导函数为()y f x '=,若2()(1)f x x '++也为偶函数,且()2(24)1f a f a +>+,则实数a 的取值范围是（）A.(,1)(3,)-∞-⋃+∞B.(,3)(1,)-∞-⋃+∞C.(3,1)-D.(1,3)-二、多项选择题（本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每个小题给出的选项中,有多项符合题目要求、全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.已知12,z z 都是复数,下列正确的是（） A.若12z z =,则12z z ∈R B.若12z z ∈R ,则12z z = C 、若12z z =,则2212z z =D.若22120z z +=,则12z z =10.在数列{}n a 中,若对*n ∀∈N ,都有211n n n na a q a a +++-=-(q 为常数),则称数列{}n a 为“等差比数列”,q 为公差比,设数列{}n a 的前n 项和是n S ,则下列说法一定正确的是( ) A.等差数列{}n a 是等差比数列B.若等比数列{}n a 是等差比数列,则该数列的公比与公差比相同C.若数列{}n S 是等差比数列,则数列{}1n a +是等比数列D.若数列{}n a 是等比数列,则数列{}n S 等差比数列11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,点E 是棱1BB 的中点,点F 在底面ABCD 内运动(含边界),则( )A.若F 是棱CD 的中点,则//EF 平面1A BDB.若EF ⊥平面11AC E ,则F 是BD 的中点C.若F 在棱AD 上运动(含端点),则点F 到直线1A ED.若F 与B 重合时,四面体11AC EF 的外接球的表面积为19π三、填空题（本题共3小题,每小题5分,共15分.)12.已知函数2,0,()sin 2,0,6x x f x x x π⎧<⎪=⎨⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎩…则2f f π⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦_____________. 13.在平面直角坐标系xOy 中,12,F F 分别是双曲线22:145x y E -=的左,右焦点,设点P 是E 的右支上一点,则1251PF PF -的最大值为_____________. 14.定义:[x ]表示不大于x 的最大整数,{}x 表示不小于x 的最小整数,如[1.2]1,{1.2}2==.设函数(){[]}f x x x =在定义域()*[0,)N n n ∈上的值域为n C ,记n C 中元素的个数为n a ,则2a =___________，12111na a a +++=_____________.(第一空2分,第二空3分) 四、解答题（本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）15.(本小题满分13分)如图,正方形ABCD 是圆柱1O O 的轴截面,已知4AB =,点E 是AB 的中点,点M 为弦BE 的中点. (1)求证:O 1M ∥平面ADE ;(2)求二面角D —O 1M —E 的余弦值.16.(本小题满分15分)跑步是人们日常生活中常见的一种锻炼方式，其可以提高人体呼吸系统和心血管系统机能,抑制人体癌细胞生长和繁殖.为了解人们是否喜欢跑步,某调查机构在一小区随机抽取了40人进行调查,统计结果如下表.（1）根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关?附:22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++,其中n a b c d =+++.（2）该小区居民张先生每天跑步或开车上班,据以往经验,张先生跑步上班准时到公司的概率为3,张先生跑步上班迟到的概率为13.对于下周（周一~周五）上班方式张先生作出如下安排:周一跑步上班,从周二开始,若前一天准时到公司,当天就继续跑步上班,否则,当天就开车上班,且因公司安排,周五开车去公司(无论周四是否准时到达公司).设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为X ,求X 的概率分布及数学期望()E X .17.(本小题满分15分)在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知22,23a c BA BC ==⋅-,其中S 为ABC 的面积. (1)求角A 的大小;(2)设D 是边BC 的中点,若AB AD ⊥,求AD 的长. 18.(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy 中,点A ,B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点,上顶点,若C 的离心率为且O 到直线AB (1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点(2,1)P 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,其中点M 在第一象限,点N 在x 轴下方且不在y 轴上,设直线BM ,BN 的斜率分别为12,k k . ①求证:1211k k +为定值,并求出该定值; ②设直线BM 与x 轴交于点T ,求BNT 的面积S 的最大值. 19.(本小题满分17分)已知函数()e cos xf x ax x =--,且()f x 在[0,)+∞上的最小值为0. (1)求实数a 的取值范围;(2)设函数()y x ϕ=在区间D 上的导函数为()y x ϕ'=,若()1()x x x ϕϕ'⋅>对任意实数x D ∈恒成立,则称函数()y x ϕ=在区间D 上具有性质S .①求证:函数()f x 在(0,)+∞上具有性质S ;②记1()(1)(2)()ni p i p p p n ==∏,其中*n ∈N ,求证:111sin (1)ni i i n n =⋅>+∏.数学试题参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分有选错的得0分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）121314．321 n n+四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）（1）证明：取AE的中点N，连结DN，FN．在△AEB中，M，N分别是EB，EA的中点，所以MN∥AB，且AB＝2MN．在正方形ABCD中，AB∥CD，且AB＝CD，又点O1是CD的中点，所以O1D∥AB，且AB＝2O1D．所以MN∥O1D，且MN＝O1D，所以四边形MNDO1是平行四边形，………………………………3分所以O1M∥DN．又DN⊂平面ADE，O1M⊄平面ADE，所以O1M∥平面ADE．………………………………6分（2）解：因为AB是圆O的直径，E是AB的中点，且AB＝4，所以OE⊥OB，且OE＝OA＝OB＝2．以O为坐标原点，以OE，OB，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ．依题意，O (0，0，0)，O 1(0，0，4)，B (0，2，0)，E (2，0，0)，M (1，1，0)， A (0，－2，0)，D (0，－2，4)． ………………………………7分所以()1114O M =-，，，()1020DO =，，，()1204O E =-，，．设()1111n x y z =，，是平面O 1MD 的法向量，则111100n O M n DO ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即11114020x y z y +-=⎧⎨=⎩，，取x 1＝4，得y 1＝0，z 1＝1，所以()1401n =，，是平面O 1MD 的一个法向量． ………………………………9分设()2222n x y z =，，是平面O 1ME 的法向量，则212100n O M n O E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即2222240240x y z x z +-=⎧⎨-=⎩，，取x 2＝2，得y 2＝2，z 2＝1，所以()2221n =，，是平面O 1ME 的一个法向量．………………………………11分所以121212cos 4n n n n n n ⋅===⋅，．设二面角D－O 1M －E 的大小为θ，据图可知，123cos cos 17n n ==，θ 所以二面角D －O 1M －E ． ………………………………13分 16．（本小题满分15分）解：（1）假设H 0：人们对跑步的喜欢情况与性别无关．根据题意，由2×2列联表中的数据，可得()22401210810400.4040 3.8412020221899χ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， ………………………3分因为()2 3.8410.050P =≥χ，所以没有95%认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关联． ……………………5分（2）X 的所有可能取值分别为1，2，3，4． ()113P X ==； ………………………7分 ()2122339P X ==⨯=； ………………………9分 ()2214333327P X ==⨯⨯=； ………………………11分()2228433327P X ==⨯⨯=， ………………………13分所以()124865123439272727E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．所以X 的数学期望为6527． ………………………15分 17．（本小题满分15分）解：（1）据223c BA BC =⋅-，可得21cos sin 2c c a B ac B =⋅⋅-，即cos sin c a B B =，………………………2分结合正弦定理可得sin sin cos sin C A B A B =．在△ABC 中，()()sin sin πsin sin cos cos sin C A B A B A B A B =-+=+=+⎡⎤⎣⎦，所以sin cos cos sin sin cos sin A B A B A B A B+=，整理得cos sin sin A B A B =． ………………………4分因为()0πB ∈，，sin 0B >，故cos AA =，即tan A = 又()0πA ∈，，所以5π6A =． ………………………6分（2）法一：因为D 是边BC 的中点，2a =，所以BD ＝CD ＝1．在△ABD 中，AB ⊥AD ，则AD ＝BD sin B ＝sin B ． ………………………8分在△ACD 中，∠CAD ＝5π6－π2＝π3，C ＝π－5π6－B ＝π6－B ，CD ＝1，据正弦定理可得，sin sin CD ADCAD C =∠，即1ππsin sin 36AD B =⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以π6AD B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．………………………11分所以πsin 6B B ⎛⎫=-⎪⎝⎭1cos 2B B B=，所以cos B B =， ………………………13分又22sin cos 1B B +=，()0πB∈，，所以()22sin 1BB +=，解得sin B=，所以AD ． ………………………15分法二：因为D 是边BC 的中点，故S △ABD ＝S △ACD ，所以11sin 22c AD b AD DAC ⋅=⋅⋅∠，即115πsin π226c AD b AD ⎛⎫⋅=⋅⋅- ⎪⎝⎭，整理得c ①． ………………………10分在△ABC 中，据余弦定理得，2222cos a b c bc BAC =+-∠，即224b c += ②．联立①②，可得b =c =． ………………………13分在Rt △ABD 中，据勾股定理得，22221113AD BD AB =-=-=，所以AD ． ………………………15分法三：延长BA 到点H ，使得CH ⊥AB ．在Rt △CHB 中，AD ⊥AB ，CH ⊥AB ，故AD ∥CH ，又D 是BC 的中点，所以A 是BH 的中点，所以AH ＝AB ＝c ，CH ＝2AD ，且2224HB HC a +==．………………………10分在Rt △CHA 中，5ππππ66CAH BAC ∠=-∠=-=，AC ＝b ，AH ＝c ，所以CH ＝b sin CAH ∠＝12b ，且c ＝b cos CAH ∠＝2b ． ………………………12分所以()221242c b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即221242b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得b =负舍)，所以11112224AD CH b b ==⨯== ………………………15分法四：延长AD 到E ，使AD ＝DE ，连结EB ，EC ．因为D 是BC 的中点，且AD ＝DE ，故四边形ABEC 是平行四边形，BE ＝AC ＝b ．又5π6BAC ∠=，所以5ππππ66ABE BAC ∠=-∠=-=．在Rt △BAE 中，AB ⊥AD ，π6ABE ∠=，AB ＝c ，BE ＝AC ＝b ，所以1sin 2AE BE ABE b =⋅∠=，且cos c BE ABE =⋅∠． ………………………10分在Rt △BAD 中，AB ⊥AD ，AB ＝c ，AD ＝12AE ＝14b ，BD ＝12a ＝1，据勾股定理222AB AD BD +=，可得22114c b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，………………………13分将c =代入上式，可得b =负舍)，所以14AD b ==． ………………………15分18．（本小题满分17分）解：（1）设椭圆C 的焦距为2c(c ＞0)，因为椭圆Cc a =，即2234c a =，据222a b c -=，得22234a b a -=，即2a b =． ………………………2分所以直线AB 的方程为12x yb b+=，即220x y b +-=，因为原点O 到直线AB，=1b =，所以2a =， ………………………4分所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=． ………………………5分（2）设直线l 的方程为()12y k x -=，其中14k >，且1k ≠，即21y kx k =-+．设直线l 与椭圆C 交于点()11M x y ，，()22N x y ，．联立方程组222114y kx k x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，整理得()()22224116816160k x k k x k k +--+-=，所以212216841k k x x k -+=+，2122161641k kx x k -=+． ………………………8分① 所以()()12121212121212111112222x x x x x x k k y y k x k x k x x ⎛⎫+=+=+=⋅+ ⎪------⎝⎭()()()()()12121212121212222224x x x x x x x x k x x k x x x x -+-+=⋅=⋅---++ 2222222222161616882241414144161616824414141k k k k kk k k k k k k k kk k k ----+++=⋅=⋅=----⨯++++为定值，得证．………………………11分② 法一：直线BM 的方程为11y k x =+，令0y =，得11x k =-，故110T k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．设直线BN 与x 轴交于点Q ．直线BN 的方程为21y k x =+，令0y =，得21x k =-，故210Q k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．联立方程组222114y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，整理得()22224180k x k x ++=，解得2222841k x k =-+或0(舍)，22222222222881114141k k y k x k k k ⎛⎫=+=⋅-+=-+ ⎪++⎝⎭．所以△BNT 的面积22222221221228411111111224141B k k S QT y y k k k k k k ⎛⎫=-=-+--+=-+⋅ ⎪++⎝⎭，由①可知，12114k k +=-，故12114k k -=+，代入上式，所以22222222224821424141k k S k k k k =+⋅=+⋅++，因为点N 在x 轴下方且不在y 轴上，故212k <-或212k >，得2120k +>，所以()22222222222222222821842211244141414141k k k k k k S k k k k k +⎛⎫⎛⎫+-=+⋅==⋅=+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， ………………………14分显然，当212k <-时，2222141441k S k ⎛⎫-=+< ⎪+⎝⎭，当212k >时，2222141441k S k ⎛⎫-=+> ⎪+⎝⎭，故只需考虑212k >，令221t k =-，则0t >，所以()2141414122112t S t t t ⎛⎫⎛⎫⎪⎡⎤ ⎪ =+=++=⎢⎥ ⎪ ++⎢⎥ ⎪⎣⎦++ ⎪ ⎝⎭⎝≤，当且仅当2t t=，t =2k =时，不等式取等号，所以△BNT 的面积S的最大值为2． ………………………17分法二：直线BM 的方程为11y k x =+，令0y =，得11x k =-，故110T k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．设直线BN 与x 轴交于点Q ．直线BN 的方程为21y k x =+，令0y =，得21x k =-，故210Q k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．由①可知，12114k k +=-，故12114k k --=，所以点A (2，0)是线段TQ 的中点．故△BNT的面积1222BAN S S AB d ==⨯⨯=△，其中d 为点N 到直线 AB 的距离． ………………………14分思路1 显然，当过点N 且与直线AB 平行的直线'l 与椭圆C 相切时，d 取最大值．设直线'l 的方程为()102y x m m =-+<，即220x y m +-=，联立方程组221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，整理得222220x mx m -+-=，据()()2224220m m ∆=---=，解得m =正舍)．所以平行直线'l：20x y ++=与直线l ：220x y +-=之间的=d所以△BNT 的面积S2=．………………………17分思路2 因为直线l 的方程为220x y+-=，所以2222S x y ==+-，依题意，222x -<<，20x ≠，20y <，故22220x y +-<，所以()22222222S x y x y =+-=-++．因为()22N x y ，在椭圆C 上，故222214x y +=，即()222224x y +=，所以()222222222222x y x y ++⎛⎫=⎪⎝⎭≤，当且仅当222x y ==等号，故222x y -+≤所以()22222S x y =-+++≤即△BNT 的面积S 的最大值为2．………………………17分思路3 因为直线l 的方程为220x y +-=，所以2222S x y ==+-，因为()22N x y ，在椭圆C 上，故222214x y +=，设22cos x =θ，2sin y =θ，不妨设33πππ2π22⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，θ，所以22π222cos 2sin 224S x y ⎛⎫=+-=+-=+- ⎪⎝⎭θθθ，当5π4=θ，2x =2y =2S ≤．即△BNT 的面积S 的最大值为2．………………………17分19．（本小题满分17分）解：（1）()e cos x f x ax x =--，0x ≥，()00e 0cos00f a =-⨯-=， ()'e sin x f x a x =-+，()0'0e sin 01f a a =-+=-，()''e cos 1cos 0x f x x x =++≥≥，等号不同时取，所以当0x ≥时，()''0f x >，()'f x 在[)0+∞，上单调递增，()()''01f x f a =-≥．（ⅰ）若10a -≥，即1a ≤，()'10f x a -≥≥，()f x 在[)0+∞，上单调递增，所以()f x 在[)0+∞，上的最小值为()00f =，符合题意． ………………………3分（ⅱ）若10a -<，即1a >，此时()'010f a =-<，()()'ln 22sin ln 2210f a a +=++>->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，又函数()'f x 在[)0+∞，的图象不间断，据零点存在性定理可知，存在()()00ln 2x a ∈+，，使得()'0f x =，且当()00x x ∈，时，()'0f x <，()f x 在()00x ，上单调递减，所以()()0'00f x f <=，与题意矛盾，舍去．综上所述，实数a 的取值范围是(]1-∞，． ………………………6分（2）① 由（1）可知，当0x >时，()0f x >．要证：函数()f x 在()0+∞，上具有性质S ．即证：当0x >时，()()'1x f x f x ⋅>．即证：当0x >时，()()'0x f x f x ⋅->．令()()()'g x x f x f x =⋅-，0x >，则()()()e sin e cos x x g x x a x ax x =⋅-+---，即()()1e sin cos x g x x x x x =-++，0x >，()()'e cos 0x g x x x =+>，所以()g x 在()0+∞，上单调递增，()()00g x g >=．即当0x >时，()()'0x f x f x ⋅->，得证． ………………………11分 ② 法一：由①得，当0x >时，()1e sin cos 0x x x x x -++>，所以当0x >时，()1e sin x x x x x -<+．下面先证明两个不等式：（ⅰ）e 1x x >+，其中0x >；（ⅱ）sin cos x x x<，其中()01x ∈，．（ⅰ）令()e 1x p x x =--，0x >，则()'e 10x p x =->，()p x 在()0+∞，上单调递增，所以()()00p x p >=，即当0x >时，e 1x x >+．（ⅱ）令()tan q x x x =-，()01x ∈，，则()2221sin '10cos cos x q x x x=-=>，所以()q x 在()01，上单调递增，故()()00q x q >=，即当()01x ∈，时，tan x x >，故sin cos x x x >，得sin cos x x x<． ………………………13分据不等式（ⅱ）可知，当()01x ∈，时，()11e sin cos sin x x x x x x x x ⎛⎫-<+<+ ⎪⎝⎭，所以当()01x ∈，时，()21sin e 1x x x x x ->+．结合不等式（ⅰ）可得，当()01x ∈，时， ()()()()()()()222111111sin e 1111x x x x x x x x x x x x x x x x --+-+->>>=++++．所以当()01x ∈，时，sin 11x x x x->+． ………………………15分当2n ≥，*n ∈N 时，()101n∈，，有1111sin 111n n n n n n -->=++．所以()2112312sin 34511n i n i i n n n =-⋅>⋅⋅⋅⋅=++∏．又π11sin1sin62⋅>=，所以()()11121sin 211n i i i n n n n =⋅>⋅=++∏． ………………………17分法二：要证：()111sin 1ni i i n n =⋅>+∏．显然，当1n =时，()π11sin1sin 6111⋅>=⨯+，结论成立．只要证：当2n ≥，*n ∈N 时，()()1111sin 111n n n n n n n n+->=+-．即证：当2n ≥，*n ∈N 时，1111sin 11n n n n ->⋅+． ………………………13分令()()1sin 1x x h x x x -=-+，102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，．所以()()22'cos 11h x x x =-++，()()34''sin 1h x x x =-++，所以()()412'''cos 01h x x x =--<+，()''h x 在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递减，所以()1321''''sin 02272h x h ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭≥，()'h x 在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递增，所以()()''00h x h >=，()h x 在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递增，所以()()00h x h >=，即当102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，()1sin 1x x x x ->+． ………………………15分所以当2n ≥，*n ∈N 时，1102n ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，有111111sin 111n n n n n n n -->⋅=⋅++，所以当2n ≥，*n ∈N 时，11sin1n n n n ->+．所以()12111112311sin 1sin sin 1234511n n i i n i i i i n n n ==-⎛⎫⋅=⋅⋅⋅>⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪++⎝⎭∏∏． ………………………17分。

高2021届高2018级高三数学一轮专题训练试题及考试参考答案 (8)

[考案8]第八章综合过关规范限时检测(时间：120分钟满分150分)一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.(2019·吉林长春实验中学期末)设△ABC 的一个顶点是A (－3，1)，∠B ，∠C 的平分线方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为( B )A.y ＝2x ＋5B.y ＝2x －5C.y ＝3x ＋5D.y ＝12x ＋52【试题解答】 A 关于y ＝x 的对称点为A 1(1，－3)，A 关于x ＝0的对称点为A 2(3,1)，又A 1、A 2都在BC 上，∴k BC ＝2.∴BC 的方程为y ＋3＝2(x －1)，即y ＝2x －5.2.(2019·安徽模拟)抛物线y ＝14x 2的焦点到双曲线y 2－x 23＝1的渐近线的距离为( B )A.12 B.32C.1D. 3【试题解答】抛物线y ＝14x 2的焦点为(0,1)，双曲线y 2－x 23＝1的渐近线方程为x ±3y ＝0，则焦点到双曲线渐近线的距离为|0±3|1＋3＝32，故选B. 3.(2020·四川攀枝花统考)直线l 是圆x 2＋y 2＝4在(－1，3)处的切线，点P 是圆x 2－4x ＋y 2＋3＝0上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值等于( D )A.1B. 2C.3D.2【试题解答】圆x 2＋y 2＝4在点(－1，3)处的切线为l ：－x ＋3y ＝4，即l ：x －3y ＋4＝0，点P 是圆(x －2)2＋y 2＝1上的动点，圆心(2,0)到直线l 的距离d ＝|2－0＋4|1＋3＝3，∴点P 到直线l 的距离的最小值等于d －1＝3－1＝2，故选D.4.(2020·河南新乡模拟)P 为椭圆x 2100＋y 291＝1上的一个动点，M ，N 分别为圆C ：(x －3)2＋y 2＝1与圆D ：(x ＋3)2＋y 2＝r 2(0＜r ＜5)上的动点，若|PM |＋|PN |的最小值为17，则r ＝( B )A.1B.2C.3D.4【试题解答】因为C (3,0)，D (－3,0)恰好为椭圆的两个焦点，所以|PM |＋|PN |≥|PC |＋|PD |－1－r ＝2a －1－r .因为a 2＝100，所以a ＝10，所以20－1－r ＝17，则r ＝2.故选B.5.(2020·陕西百校联盟联考)已知椭圆C ：x 28＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 2且与椭圆C 交于M ，N 两点，且MA →＝AN →，若|OA |＝|AF 2|，则直线l 的斜率为( B )A.±1B.±12C.±13D.±14【试题解答】设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 218＋y 212＝1，x 228＋y222＝1两式相减可得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)8＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)2＝0，则k OA ·k MN ＝－14；因为|OA |＝|AF 2|，故k OA ＝－k MN ，解得是k MN ＝±12，故直线l 的斜率为±12.6.(2019·高考天津卷)已知抛物线y 2＝4x的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( D )A.2B. 3C.2D. 5【试题解答】抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1，双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，则有A (－1，b a )，B (－1，－ba )，∴|AB |＝2b a ，2ba＝4，b ＝2a ， ∴e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝ 5.故选D.7.(2019·湖北省武汉市调研)已知A ，B 为抛物线y 2＝4x 上两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则|AB |的最小值为( C )A.42B.2 2C.8D.8 2【试题解答】设OA 方程为y ＝kx (k >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx y 2＝4x ，得A (4k 2，4k )，用1－k 代换k 得B (4k 2，－4k )，∴|AB |＝4(k 2－1k 2)2＋(k ＋1k)2＝4(k 2＋1k 2＋12)2－94≥8.当且仅当k ＝1时取等号，故选C.秒杀法：由图形对称性可知|AB |最小时Δ方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y 2＝4x ，得A (4,4)，故此时|AB |＝8.8.(2019·高考北京卷)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x |y 就是其中之一(如图).给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是( C ) A.① B.② C.①②D.①②③【试题解答】从结论“不超过”“小于”入手，利用基本不等式进行放缩，再利用图形估算面积. ∵x 2＋y 2＝1＋|x |y ≤1＋|x ||y |≤1＋x 2＋y 22， ∴x 2＋y 2≤2.①x 可能取得的整数值为±1,0，代入曲线C 的方程得整点坐标为(1,1)，(1,0)，(－1,1)，(－1,0)，(0,1)，(0，－1)，故①正确；②设曲线C 上任意一点到原点的距离为d ，则d 2＝x 2＋y 2≤2， ∴d ≤2，故②正确；③由图知，图形在第一象限的面积S 1>1，图形在第四象限的面积S 4>12，由对称性得，“心形”区域面积S >(1＋12)×2＝3，故③错误，综上可知选C.二、多选题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.(2020·山东滨州期末)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，则能使双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1的是( ABC )A.离心率为54B.双曲线过点(5，94)C.渐近线方程为3x ±4y ＝0D.实轴长为4【试题解答】 ∵c ＝5，由e ＝c a ＝54知a ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝9，A 正确；∵双曲线过点P (5，94)，∴2a＝|PF 1|－|PF 2|＝414－94＝8，∴a ＝4，B 正确；由渐近线方程为3x ±4y ＝0知b a ＝34，又c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a ＝4，b ＝3，C 正确；若2a ＝4，则a ＝2，从而b 2＝c 2－a 2＝21，D 错，故选ABC.10.已知△ABC 为等腰直角三角形，若圆锥曲线E 以A ，B 焦点，并经过顶点C ，该圆锥曲线E 的离心率可以是( ABD )A.2－1B.22C.2D.2＋1【试题解答】因为△ABC 为等腰直角三角形，其顶点为A ，B ，C ，圆锥曲线E 以A ，B 焦点，并经过顶点C ，所以(ⅰ)若该圆锥曲线是椭圆，当C ＝π2时，离心e ＝2c 2a ＝AB CA ＋CB ＝22，当C ＝π4时，离心率e＝AB CA ＋CB ＝12＋1＝2－1.(ⅱ)若该圆锥曲线是双曲线，根据双曲线的特征可得，则只有C ＝π4，此时，离心率e ＝2c 2a ＝AB |CA －CB |＝12－1＝2＋1，故答案为ABD.11.(2020·山东青岛一中期末)如图，A (2,0)，B (1,1)，C (－1,1)，D (－2,0)，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆经，三段弧构成曲线W ，则下述正确的是( BCD )A.曲线W 与x 轴围成的面积等于2πB.曲线W 上有5个整点(横纵坐标均为整数的点)C.CB 所在圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1D.CB 与BA 的公切线方程为x ＋y ＝2＋1【试题解答】作CM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，曲线W 与x 轴围成的面积为2＋π，A 错；W 上的整点D (－2,0)，C (－1,1)，H (0,2)，B (1,1)，A (2,0)，共5个，B 正确；显然C 正确；由图易知公切线l 平行直线MQ ：y ＝－x ＋1，且两直线间距离为1，设l ：y ＝－x ＋b (b >0)，则|b －1|2＝－1，∴b ＝2＋1，∴l ：y ＝－x ＋2＋1，D 正确；故选BCD.12.(2020·山东日照联考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则( ACD )A.以线段AB 为直径的圆与直线x ＝－32相离B.以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C.当AF →＝2FB →时，|AB |＝92D.|AB |的最小值为4【试题解答】对于选项A ，点M 到准线x ＝－1的距离为12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |，于是以线段AB 为直径的圆与直线x ＝－1一定相切，进而与直线x ＝－32一定相离；对于选项B ，显然AB 中点的横坐标与12|BM |不一定相等，因此命题错误；对于选项C ，D ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 方程为x ＝my ＋1，联立直线与抛物线方程可得，y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，x 1x 2＝1，若设A (4a 2,4a )，则B (14a 2，－1a )，于是|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4a 2＋14a 2＋2，|AB |最小值为4；当AF →＝2FB →可得y 1＝－2y 2，即4a ＝－2(－1a )，所以a 2＝12，|AB |＝92，故答案为ACD. 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2020·3月份北京市高考适应性考试)抛物线y 2＝4x 上到其焦点的距离为1的点的个数为__1__. 【试题解答】抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)2＋y 2＝1y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0. ∴抛物线y 2＝4x 上到其焦点距离为1的点只有1个.14.(2019·江西师大附中模拟)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为62. 【试题解答】圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，由题意可知圆心C (3,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为3，即3b a 2＋b2＝3b c ＝3，∴b 2c 2＝1－a 2c 2＝13，∴e ＝c a ＝62.15.(2020·安徽1号卷A10联前盟联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 、N 在抛物线上，且M 、N 、F 三点共线，点P 在准线l 上，若PN →＝NM →，则p |MF |＝ 23.【试题解答】分别过点M ，N 作准线的垂线，垂足分别为M 1，N 1，则|MM 1|＝|MF |·|NN 1|＝|NF |，∴|PN ||PM |＝|NN 1||MM 1|＝|NF ||MF |＝12设|NF |＝m ，则|MF |＝2m ，从而|PN |＝3m ， ∴m p ＝3m 4m ＝34，则m ＝34p ， ∴p |MF |＝p 2m ＝23. 16.(2020·山东日照联考)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0).若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 3－1 ；双曲线N 的离心率为__2__.【试题解答】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c ＋3c ，再根据椭圆定义得c ＋3c ＝2a ，所以椭圆M 的离心率为c a ＝21＋3＝3－1.双曲线N 的渐近线方程为y ＝±nm x ，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为π3，∴n 2m 2＝tan 2π3＝3，∴c 2＝m 2＋n 2m 2＝m 2＋3m 2m 2＝4，∴e ＝2.四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分) (2020·3月份北京市高考适应性考试)已知椭圆C 的短轴的两个端点分别为A (0,1)，B (0，－1)，焦距为2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线y ＝m 与椭圆C 有两个不同的交点M 、N ，设D 为直线AN 上一点，且直线BD ，BM 的斜率的积为－14.证明：点D 在x 轴上.【试题解答】 (1)由题意知c ＝3，b ＝1，且焦点在x 轴上， ∴a 2＝b 2＋c 2＝4所以椭圆C 的方程为：x 24＋y 2＝1.(2)由题意可设M (－x 0，m )，N (x 0，m )，－1＜m ＜1，则x 20＝4(1－m 2) ①因为点D 为直线AN 上一点，所以AD →＝λAN →＝λ(x 0，m －1)，所以OD →＝λAN →＋OA →＝(λx 0，λ(m －1)＋1)，所以K BD ·K BM ＝λ(m －1)＋2λx 0·m ＋1－x 0＝－14，整理得4λ(m 2－1)＋8(m ＋1)＝λx 20. 将①代入整理得(m ＋1)[λ(m －1)＋1]＝0， ∵m ＋1≠0，∴λ(m －1)＋1＝0，即y D ＝0，所以点D 在x 轴上.18.(本小题满分12分)(2019·天津高考卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率.【试题解答】 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4， c a ＝55，又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1. 所以，椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M,0). 设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0,2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x P ＝－20k4＋5k 2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k 24＋5k 2，进而直线OP 的斜率y P x P ＝4－5k 2－10k .在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·(－k2)＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.19.(本小题满分12分)(2019·湖南省五市十校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，右焦点为F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y －2＝0相切.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，过定点P (2,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，连接AF 并延长交C 于M ，求证：∠PFM ＝∠PFB .【试题解答】 (1)依题意可设圆C 方程为x 2＋y 2＝b 2， ∵圆C 与直线x －y ＋2＝0相切， ∴b ＝|2|12＋12＝1，∴a 2－c 2＝1，又c a ＝22，解得a ＝2， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)依题意可知直线l 斜率存在，设l 方程为y ＝k (x －2)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0， ∵l 与椭圆有两个交点，∴Δ>0，即2k 2－1＜0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AF ，BF 的斜率分别为k 1，k 2，则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2.∵F (1,0)，∴k 1＋k 2＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1＝k (x 1－2)x 1－1＋k (x 2－2)x 2－1＝2k －k (1x 1－1＋1x 2－1) ＝2k －k (x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1)＝2k －k 8k 21＋2k 2－28k 2－21＋2k 2－8k 21＋2k 2＋1＝2k －k 4k 2－22k 2－1＝0，即∠PFM ＝∠PFB .20.(本小题满分12分)(2019·大连模拟)已知直线y ＝2x 与抛物线Γ：y 2＝2px (p >0)交于O 和E 两点，且|OE |＝ 5.(1)求抛物线Γ的方程；(2)过点Q (2,0)的直线交抛物线Γ于A ，B 两点，P 为直线x ＝－2上一点，P A ，PB 分别与x 轴相交于M ，N 两点，问M ，N 两点的横坐标的乘积x M ·x N 是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.【试题解答】 (1)由y 2＝2px 与y ＝2x ，解得交点O (0,0)，E (p2，p )，∴|OE |＝(p2)2＋p 2＝5，得p ＝2，∴抛物线Γ的方程为y 2＝4x .(2)设直线AB 的方程为x ＝ty ＋2，代入y 2＝4x 中，则y 2－4ty －8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，①y 1·y 2＝－8.②设P (－2，y 0)，则直线P A 的方程为y －y 0＝y 1－y 0x 1＋2(x ＋2)，令y ＝0，得(y 0－y 1)x M ＝y 0x 1＋2y 1，③ 同理可得(y 0－y 2)x N ＝y 0x 2＋2y 2，④由③×④得(y 0－y 1)(y 0－y 2)x M ·x N ＝(y 0x 1＋2y 1)(y 0x 2＋2y 2)，即[y 20－(y 1＋y 2)y 0＋y 1y 2]x M ·x N ＝y 20x 1x 2＋2y 0(y 1x 2＋y 2x 1)＋4y 1y 2＝y 20×y 21y 224×4＋2y 0(y 1×y 224＋y 2×y 214)＋4y 1y 2＝y 20×116y 21y 22＋y 0y 1y 2×y 1＋y 22＋4y 1y 2，由①②可得(y 20－4ty 0－8)x M ·x N ＝4(y 20－4ty 0－8)，当点P 不在直线AB 上时，y 20－4ty 0－8≠0，∴x M ·x N ＝4；当点P 在直线AB 上时，x M ＝x N ＝x Q ＝2，∴x M ·x N ＝4.综上，x M ·x N 为定值，且定值为4.21.(2020·湖北宜昌调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，P (1，22)为椭圆上一点，且|PF 1|＝322. (1)求椭圆的标准方程；(2)设直线l ：x ＝－2，过点F 2的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 、直线AB 于M 、N 两点，当∠MAN 最小时，求直线AB 的方程.【试题解答】 (1)设F 1(－c,0)(c >0)，则|PF 1|＝(1＋c )2＋12＝322⇒c ＝1，∴|PF 2|＝22，则由椭圆定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝22， ∴a ＝2，b ＝1，故椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意直线AB 的斜率必定不为零，于是可设直线AB ：x ＝ty ＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1x 22＋y 2＝1得(t 2＋2)y 2＋2ty －1＝0，∵直线AB 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴Δ＝4t 2＋4(t 2＋2)＝8(t 2＋1)>0，由韦达定理y 1＋y 2＝－2t t 2＋2，y 1y 2＝－1t 2＋2，则y N ＝－tt 2＋2，∴x N ＝ty N ＋1＝－t 2t 2＋2＋1＝2t 2＋2，∵MN ⊥AB ，∴k MN ＝－t ， ∴|MN |＝1＋t 2·|－2－2t 2＋2|＝1＋t 2·2t 2＋6t 2＋2又|AN |＝12|AB |＝121＋t 2·|y 1－y 2|＝1＋t 2·21＋t 2t 2＋2∴tan ∠MAN ＝|MN ||AN |＝2(t 2＋3)t 2＋1＝2(t 2＋1＋2t 2＋1)≥2·22＝4，当且仅当t 2＋1＝2t 2＋1即t ＝±1时取等号. 此时直线AB 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.22.(本小题满分12分)(2020·宁夏银川一中月考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆经过点P (6，－1)，且△PF 1F 2的面积为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设斜率为1的直线l 与以原点为圆心，半径为2的圆交于A ，B 两点，与椭圆C 交于C ，D 两点，且|CD |＝λ|AB |(λ∈R )，当λ取得最小值时，求直线l 的方程.【试题解答】 (1)由△PF 1F 2的面积可得12·2c ·1＝2，即c ＝2，∴a 2－b 2＝4.① 又椭圆C 过点P (6，－1)， ∴6a 2＋1b2＝1.② 由①②解得a ＝22，b ＝2，由椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，则原点到直线l 的距离d ＝|m |2，由弦长公式可得|AB |＝22－m 22＝8－2m 2，将y ＝x ＋m 代入椭圆方程x 28＋y 24＝1，得3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，由判别式Δ＝16m 2－12(2m 2－8)>0，解得－23＜m ＜23，由直线和圆相交的条件可得d ＜r ，即|m |2＜2，也即－2＜m ＜2，综上可得m 的取值范围是(－2,2)，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－83，由弦长公式，得|CD |＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·16m 29－8m 2－323＝4312－m 2. 由|CD |＝λ|AB |，得λ＝|CD ||AB |＝4312－m 28－2m 2＝2231＋84－m 2. ∵－2＜m ＜2，∴0＜4－m 2≤4，则当m ＝0时，λ取得最小值263，此时直线l 的方程为y ＝x .。

山东省青岛市2024届高三下学期第一次适应性检测数学-试题含解析

山东省青岛市2024届高三下学期第一次适应性检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．等比数列{}n a 中，21a =，58a =，则7a =（）A ．32B ．24C ．20D ．162．在5(2)x +的展开式中，2x 项的系数为（）A ．1B ．10C ．40D ．803．已知直线a ，b 和平面α，a ⊂α，b α⊂，则“//a α”是“//a b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin b a B =，4bc =，则△ABC 的面积为（）A ．1BC ．2D ．5．2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S ”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：8AB ≈cm ，2AD ≈cm ，5AO ≈cm ，若3sin 375︒≈，π 3.14≈，则璜身（即曲边四边形ABCD ）面积近似为（）A ．26.8cmB ．29.8cmC ．214.8cmD ．222.4cm 6．记正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20100S =，则1011a a ⋅的最大值为（）A ．9B ．16C ．25D ．507．R x ∀∈，()(3)1()(3)f x f x f x f x ++=-+，(1)0f -=，则(2024)f 的值为（）8．已知(2,0)A -，(2,0)B ，设点P 是圆221x y +=上的点，若动点Q 满足：0QP PB ⋅= ，||||QA QB QP QA QB λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则Q 的轨迹方程为（）A ．2213y x -=B ．2213x y -=C ．2215x y +=D ．22162x y +=二、多选题9．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A =“取出的球的数字之积为奇数”，事件B =“取出的球的数字之积为偶数”，事件C =“取出的球的数字之和为偶数”，则（）A ．事件A 与B 是互斥事件B ．事件A 与B 是对立事件C ．事件B 与C 是互斥事件D ．事件B 与C 相互独立10．已知复数z ，下列说法正确的是（）A ．若0z z -=，则z 为实数B ．若20z z +=，则0z z ==C ．若i 1z -=，则||z 的最大值为2D ．若|i |||1z z -=+，则z 为纯虚数11．已知函数()cos sin2xf x x =+，则（）A ．()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭单调递增B ．()f x 的图象关于直线πx =对称C ．()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．关于x 的方程()f x a =在区间[0,2π]有实数根，则所有根之和组成的集合为{}π,2π,4π三、填空题12．已知集合{}1,0,1A =-，{}|2,B y y x x A ==∈，则A B ⋃的所有元素之和为．13．已知O 为坐标原点，点F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，点A ，B 在C上，AB 的中点为F ，OA OB ⊥，则C 的离心率为．14．已知球O 的表面积为12π，正四面体ABCD 的顶点B ，C ，D 均在球O 的表面上，球心O 为BCD △的外心，棱AB 与球面交于点P ．若A ∈平面1α，B ∈平面2α，C ∈平面3α，D ∈平面4α，1//(1,2,3)i i i αα+=且i α与1(1,2,3)i i α+=之间的距离为同一定值，棱AC ，AD 分别与2α交于点Q ，R ，则PQR 的周长为.四、解答题15．为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为3：2：1．(1)根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．16．已知函数21()ln 2f x x ax x =-+．(1)若1a =，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线斜率为1，求该切线的方程；(2)讨论()f x 的单调性．17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA 与1BB 12AB AC A B ===，1AC BC ==(1)证明：平面11A ABB ⊥平面ABC ；(2)若点N 在棱11A C 上，求直线AN 与平面11A B C 所成角的正弦值的最大值．18．已知O 为坐标原点，点W 为O ：224x y +=和M 的公共点，0OM OW ⋅=，M与直线20x +=相切，记动点M 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)若0n m >>，直线1:0l x y m --=与C 交于点A ，B ，直线2:0l x y n --=与C 交于点A '，B '，点A ，A '在第一象限，记直线AA '与BB '的交点为G ，直线AB '与BA '的交点为H ，线段AB 的中点为E ．①证明：G ，E ，H 三点共线；②若()217m n ++=，过点H 作1l 的平行线，分别交线段AA '，BB '于点T ，T '，求四边形GTET '面积的最大值．19．记集合{}{|n S a =无穷数列{}n a 中存在有限项不为零，}*n ∈N ，对任意{}n a S ∈，设变换{}()112n nn fa aa x a x -=++++ ，x ∈R ．定义运算⊗：若{}{},n n ab S ∈，则{}{}n n a b S ⊗∈，{}{}(){}(){}()n n n n f a b f a f b ⊗=⋅．(1)若{}{}{}n n n a b m ⊗=，用12341234,,,,,,,a a a a b b b b 表示4m ；(2)证明：{}{}(){}{}{}{}()n n n n n n a b c a b c ⊗⊗=⊗⊗；(3)若()()211,110010,100n n n a n n n ⎧++≤≤⎪=+⎨⎪>⎩，2031,150020,500nn n b n -⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，{}{}{}n n n d a b =⊗，证明：20012d <．参考答案：1．A【分析】利用已知求出首项1a 和公比q ,再求7a .【详解】由题得114111,, 2.82a q a q a q =⎧∴==⎨=⎩所以6712322a ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.故选：A.2．D 【分析】利用通项求解可得.【详解】通项公式为515C 2rrr r T x -+=，当2r =时，232235C 280T x x ==，所以2x 项的系数为80.故选：D 3．B 【分析】根据题意，由空间中的线面关系，即可判断.【详解】根据线面平行的判定定理可得，若//a b ，则//a α，即必要性成立，若//a α，则//a b 不一定成立，故充分性不成立，所以“//a α”是“//a b ”的必要不充分条件.故选：B 4．A 【分析】根据正弦定理化边为角得1sin 2A =，再利用三角形面积公式即可.【详解】根据正弦定理得sin 2sin sin B A B =，因为()0,πB ∈，则sin 0B ≠，所以12sin A =，解得1sin 2A =，所以111sin 41222ABC S bc A ==⨯⨯= .故选：A.5．C 【分析】根据给定图形求出圆心角AOB ∠，再利用扇形面积公式计算即得.【详解】显然AOB 为等腰三角形，5,8OA OB AB ===，则142cos 5ABOAB OA ∠==，3sin 5OAB ∠=，即37OAB ∠≈ ，于是53π10690AOB ∠==，所以璜身的面积近似为()()()222221153π·5314.8cm 2290AOB OA OD ∠-=⨯⨯-≈.故选：C 6．C 【分析】根据等差数列的求和公式计算可得101110a a +=，利用基本不等式计算即可得出结果.【详解】∵12020201002a a S +=⨯=，120101112010,10.a a a a a a ∴+=∴+=+=又∵10110,0a a >>，∴210111011+100==2524a a a a ⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，当且仅当1011==5a a 时，取“=”∴1011a a ⋅的最大值为25.故选：C 7．B 【分析】利用赋值法求出(2)f 的值，将()(3)1()(3)f x f x f x f x ++=-+变形为1()(3)1()f x f x f x -+=+，即可推出(6)()f x f x +=，可得函数周期，由此即可求得答案.【详解】由题意知R x ∀∈，()(3)1()(3)f x f x f x f x ++=-+，(1)0f -=，令=1x -，则(1)(2)1(1)(2),(2)1f f f f f -+=--∴=显然()1f x =-时，1(3)1(3)f x f x -++=++不成立，故()1f x ≠-，故1()(3)1()f x f x f x -+=+，则1()11()(6)()1()11()f x f x f x f x f x f x --++==-++，即6为函数()f x 的周期，则(2024)(33762)(2)1f f f =⨯+==，故选：B 8．A【分析】根据题意，点P 在BQA ∠的平分线上且QP PB ⊥，由此作出图形，利用等腰三角形“三线合一”与三角形中位线定理，证出2QA QB -=，从而得到Q 的轨迹方程.【详解】由0QP PB ⋅=，可得QP PB ⊥，而QA QB QP QA QB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，可知点P 在BQA ∠的平分线上.圆221x y +=，圆心为原点O ，半径1r =，连接AQ ，延长BP 交AQ 于点C ，连接OP ，因为PQB PQC ∠=∠且PQ BC ⊥，所以QB QC =，且P 为BC 中点，OP AC ，1=2OP AC 因此，22QA QB QA QC AC OP -=-===，点Q 在以A B 、为焦点的双曲线上，设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，可知2222,4c a b c =+==，由22a QA QB =-=，得1a =，故23b =，双曲线方程为2213y x -=.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将题中的QA QB QP QA QB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭转化为P 在BQA ∠的平分线上，进而证明QCA V 为等腰三角形，将QA QB -转化为QA QC AC -=得出所求轨迹为双曲线.9．AB 【分析】利用互斥，对立，相互独立的概念逐一判断.【详解】对于AB ：取出的球的数字之积为奇数和取出的球的数字之积为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，故事件A 与B 是互斥事件，也是对立事件，AB 正确；对于C ：如果取出的数为2,4，则事件B 与事件C 均发生，不互斥，C 错误；对于D ：()()()22223333222666C C C C 4211,,C 5C 5C 5P B P C P BC +=-=====，则()()()P B P C P BC ≠，即事件B 与C 不相互独立，D 错误；故选：AB.10．AC 【分析】根据题意，由复数的运算以及其几何意义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，若0z z -=，即()()i i 2i 0a b a b b +--==，即0b =，则z 为实数，故A 正确；若20z z +=，即()()22i i 0a b a b ++-=，化简可得22222i 2i 0a b ab a b ab -++--=，即22a b =，即a b =±，当a b =时，i z a a =+，i z a a =-，此时不一定满足0z z ==，当a b =-时，i z a a =-，i z a a =+，此时不一定满足0z z ==，故B 错误；若i 1z -=，即i z -=()111i a b =+-=，所以()2211a b +-=，即z 表示以()0,1为圆心，以1为半径的圆上的点，且z 表示圆上的点到原点的距离，所以||z 的最大值为2，故C 正确；若|i |||1z z -=+，即()i 1i z a b -=+-=，11z +=1+，化简可得b =，则0a =且0b ≤，此时z 可能为实数也可能为纯虚数，故D 错误；故选：AC 11．BCD 【分析】利用符合函数的单调性判断A ，计算出()()2πf x f x -=即可判断B ，利用换元法求出函数的值域，即可判断C ，求出函数在[0,2π]上的单调性，即可画出函数()f x 在区间[0,2π]的图象，结合图象分类讨论，即可判断D.【详解】对于A ：当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时sin 02x >，所以2()cos sin 12sin sin 222x xx f x x =+=-+，因为sin 2x y =在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又πsin 12===所以sin 2x ⎛∈ ⎝⎭，因为49316>，即74>172044=>，即124>，12>，所以π1sin 124=，又221y x x =-++在1,4∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以212sin sin 22xx y =-+在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，即()f x 在区间π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭不单调，故A 错误；对于B ：因为()()()2π2πcos 2πsincos sin 22x xf x x x f x --=-+=+=，所以()f x 的图象关于直线πx =对称，故B 正确；对于C ：因为()22cos sin 12sin sin 12sin sin22222x x x x xf x x =+=-+=-+，令sin2x t =，则[]0,1t ∈，令()212h t t t =-+，[]0,1t ∈，则()h t 在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又()01h =，()10h =，1948h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()90,8h t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 正确；对于D ：当[0,2π]x ∈时sin 02x ≥，所以()2cos sin 12sin sin 222x xx f x x =+=-+，由A 选项可令π0,6α⎡⎤∈⎢⎣⎦且1sin 24α=，则当[]0,x α∈时()f x 单调递增，令π222x α<<，即πx α<<时sin 2xy =在(),πα上单调递增，且1sin 142x <<，所以()f x 在(),πα上单调递减，又2π1sinsin 224αα-==，令π2π222x α-<<，即π2πx α<<-时sin 2x y =在()π,2πα-上单调递减，且1sin 142x<<，所以()f x 在()π,2πα-上单调递增，当2ππ22x α-<<，即2π2πx α-<<时sin 2x y =在()2π,2πα-上单调递减，且10sin 24x <<，所以()f x 在()2π,2πα-上单调递减，又()()02π1f f ==，()π0f =，()()92π8f f αα=-=，所以()f x 在[0,2π]上的函数图象如下所示：由图可知：①当0a =时()y f x =与y a =有且仅有一个交点，即关于x 的方程()f x a =在区间[0,2π]的实数根为π；②当01a <<或98a =时()y f x =与y a =有两个交点，即关于x 的方程()f x a =在区间[0,2π]有两个实数根，且两根关于πx =对称，所以两根之和为2π；③当918a ≤<时()y f x =与y a =有四个交点，即关于x 的方程()f x a =在区间[0,2π]有四个实数根，不妨设为1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，所以1x 与4x 关于πx =对称，2x 与3x 关于πx =对称，所以12344πx x x x +++=；④当a<0或98a >时()y f x =与y a =无交点，即关于x 的方程()f x a =在区间[0,2π]无实数根；综上可得，若关于x 的方程()f x a =在区间[0,2π]有实数根，则所有根之和组成的集合为{}π,2π,4π，故D 正确；故选：BCD【点睛】关键点点睛：对于D 选项关键是分析出函数的单调性，结合函数图象，将方程的解转化为函数与函数的交点问题，结合函数的对称性求出方程的根的和.12．0【分析】求出集合B ，再求A B ⋃，然后可得.【详解】由题知，{}2,0,2B =-，所以{}2,1,0,1,2A B ⋃=--，所以A B ⋃的所有元素之和为210120--+++=.故答案为：013【分析】先结合图形求得(),A c c ，代入椭圆方程构造齐次式，然后可解.【详解】由椭圆的对称性可知，AB 垂直于x 轴，又OA OB ⊥，所以π4AOF ∠=，所以AOF 为等腰直角三角形，故(),A c c ，所以22221c c a b+=，即222222a c b c a b +=，所以()()22222222a c a c c a a c +-=-，整理得42310e e -+=，解得2e =2e =，故2355151222e ⎛⎫---=== ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：512-14．17+71+【分析】结合球的表面积公式，根据正三角形外接圆的性质求得边长，利用三点共线及数量积的运算律求得113AP AB ==，然后利用平行平面的性质求得1AR =，32AQ =，再利用余弦定理求得72PQ RQ ==PQR 的周长.【详解】设i α与1(1,2,3)i i α+=之间的距离为d ，设球O 的半径为R ，则由题意得24π12πR =，解得3R =，所以3OB OP ==33AB BC ==，所以226OA AB OB =-=，由A ，P ，B 三点共线，故存在实数λ使得()()101OP OA OB λλλ=+-<< ，所以()()22222121OP OA OB OA OB λλλλ=+-+-⋅ ，所以()223631λλ=+-，即2320λλ-=，解得23λ=，所以2133OP OA OB =+ ，所以12AP PB =，所以113AP AB ==，又1//(1,2,3)i i i αα+=且i α与1(1,2,3)i i α+=之间的距离为d ，则133AR d AD d ==，122AQ d AC d ==，所以1AR =，32AQ =，所以93171214222PQ RQ ==+-⨯⨯⨯=，又113PR BD ==，所以PQR 的周长为712172+=+故答案为：17【点睛】关键点点睛：本题考查学生的空间想象能力，解题关键是找到点,,P Q R 的位置．本题中应用正四面体的性质结合球的半径，求出边长，利用平行平面的距离，得到所求三角形的边长即可求解.15．(1)67（分钟）(2)分布列见解析；期望为1【分析】（1）根据平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和求解；（2）依题意求出随机变量ξ的分布列，并利用数学期望公式求解.【详解】（1）由题知：各组频率分别为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，日均阅读时间的平均数为：300.15500.25700.3900.21100.167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）（2）由题意，在[60，80），[80，100），[100，120]三组分别抽取3，2，1人ξ的可能取值为：0，1，2则304236C C 1(0)C 5P ξ===2142363(1)5C C P C ξ===1242361(2)5C C P C ξ===所以ξ的分布列为：ξ012P 153515()1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=16．(1)32y x =-(2)答案见解析【分析】（1）求导，根据0()1f x '=可得01x =，即可利用点斜式求解，（2）求导，结合分类讨论求解导函数的正负，结合二次方程根的情况，即可求解.【详解】（1）当1a =时，21()x x f x x-+'=，0()1f x '=解得01x =又因为1(1)2f =-，所以切线方程为：112y x +=-，即32y x =-（2）()f x 的定义域为(0,)+∞，21()x ax f x x-+'=当0a ≤时，得()0f x '>恒成立，()(f x 在()0,∞+单调递增当0a >时，令2()1g x x ax =-+，24a ∆=-（i ）当0∆≤即02a <≤时，()0f x '≥恒成立，()f x 在(0,)+∞单调递增（ii ）当0∆>即2a >时，()x x f x x⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭'=由()0f x '>得，0x <<x 由()0f x '<x 所以()f x在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递增，在⎫⎪⎪⎝⎭单调递减综上：当2a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当2a >时，()f x在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递增；()f x 在⎫⎪⎪⎝⎭单调递减17．(1)证明见解析7【分析】（1）利用等腰三角形的性质作线线垂直，结合线段长度及勾股定理判定线线垂直，根据线面垂直的判定与性质证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面角结合基本不等式求最值即可.【详解】（1）取棱1A A 中点D ，连接BD ，因为1AB A B =，所以1BD AA ⊥因为三棱柱111ABC A B C -，所以11//AA BB ，所以1BD BB ⊥，所以BD =因为2AB =，所以1AD =，12AA =；因为2AC =，1A C =，所以22211AC AA AC +=，所以1AC AA ⊥，同理AC AB ⊥，因为1AA AB A = ，且1AA ，AB ⊂平面11A ABB ，所以AC ⊥平面11A ABB ，因为AC ⊂平面ABC ，所以平面11A ABB ⊥平面ABC ；（2）取AB 中点O ，连接1AO ，取BC 中点P ，连接OP ，则//OP AC ，由（1）知AC ⊥平面11A ABB ，所以OP ⊥平面11A ABB 因为1AO 平面11AABB ，AB ⊂平面11A ABB ，所以1OP AO ⊥，OP AB ⊥，因为11AB A A A B ==，则1A O AB⊥以O 为坐标原点，OP ，OB ，1OA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,1,0)A -，1A，1(0,B ，(2,1,0)C -，可设点(N a =，()02a ≤≤，()110,2,0A B =，(12,1,A C =-，(AN a = ，设面11A B C 的法向量为(,,)n x y z =，得1110202n A B y n AC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅==--⎪⎩，取x =0y =，2z =，所以n = 设直线AN 与平面11A B C 所成角为θ，则sin cos ,n AN n AN n AN θ⋅=<>==⋅=若0a =，则sin 7θ=，若0a≠，则sin 7θ=，当且仅当4a a=，即2a =时，等号成立，所以直线AN 与平面11A B C 所成角的正弦值的最大值7.18．(1)24y x=(2)①证明见解析；②16【分析】（1）设(,)M x y ，根据题目条件列式化简可得轨迹；（2）①设线段A B ''的中点为F ，利用向量证明G ，E ，F 三点共线，同理H ，E ，F 三点共线，进而可得结论；②将四边形GTET '面积转化为四边形GAHB 面积，将直线和抛物线联立，利用韦达定理，求出直线AA '和直线BA '的方程，则可求出,G H 坐标，然后利用面积公式121||||2S GH y y =⋅-求解最值即可.【详解】（1）设(,)M x y ，M 与直线20x +=的切点为N ，则2222||||||||MN MW OM OW ==+，所以222|2|4x x y =+++化简得24y x =，所以C 的方程为：24y x =；（2）①设线段A B ''的中点为F ，因为12//l l ，所以可设GA GA λ'= ，GB GB λ'= ，又因为1()()22GE GA GB GA GB GF λλ''=+=+= ，所以G ，E ，F 三点共线，同理，H ，E ，F 三点共线，所以G ，E ，H 三点共线．②设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)A x y '，44(,)B x y '，AB 中点为E ，A B ''中点为F ，将x y m =+代入24y x =得：2440y y m --=，所以124y y +=，124y y m =-，所以1222E y y y +==，同理344y y +=，344y y n =-，2F y =（,,,G EH F 均在定直线2y =上）因为1//TT l '，所以△EAT 与△EAH 面积相等，EBT '△与△EBH 面积相等；所以四边形GTET '的面积等于四边形GAHB 的面积，设(,2)G G x ，(,2)H H x ，直线131113:()y y AA y y x x x x -'-=--，即213112231444y y y y y x y y ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭-整理得：直线13134:x y y AA y y y +'=+，又因为2G y =，所以()131324G y y y y x +-=，同理，直线23234:x y y BA y y y +'=+，2H y =，所以23232()4H y y y y x +-=所以()()()341231232244G H y y y y y y y y GH x x +⎛⎫-- ⎪--⎝⎭=-==()()12348y y y y --=所以四边形GAHB 面积2123412()||1||||216y y y y S GH y y -⋅-=⋅-==(1616)16m +==22(1)142(22)162m n m m n ⎡⎤+++≤=+++=⎢⎥⎣⎦，当且仅当2(1)1m n +=+，即22226m m n n m m ⎧+=⎨++=⎩，即13m n =⎧⎨=⎩时取等号，所以四边形GTET '面积的最大值为16．【点睛】关键点点睛：本题的关键是将四边形GTET '的面积转化为四边形GAHB 的面积，还有充分利用第一问中的点共线求出,G H 的横坐标，可以给求面积带来便利.19．(1)414233241m a b a b a b a b =+++；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）根据新定义，由3x 项系数相等可得；（2）利用新定义证明(({}{}){})({}({}{}))n n n n n n f a b f c f a b f c ⊗⊗=⊗⊗即可；（3）根据多项式的乘法可得1211121n n n k n k n n d a b a b a b a b a b -+--=++++++ ，然后利用通项公式整理化简即可得证.【详解】（1）因为{}{}(){}(){}()n n n nf a b f a f b ⊗=⋅()()232312341234a a x a x a x b b x b x b x =++++++ ()314233241a b a b a b a b x =⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅，且{}()231234n f m m m x m x m x =++++ ，所以，由{}{}{}n n n a b m ⊗=可得33414233241()m x a b a b a b a b x =+++，所以414233241m a b a b a b a b =+++.（2）因为({}{})({})({})n n n n f a b f a f b ⊗=⋅，所以({})({})({})({}{})({})n n n n n n f a f b f c f a b f c ⋅⋅=⊗⋅=(({}{}){})n n n f a b c ⊗⊗又因为{}{}{}{}{}{}()()()()()()n n n n n n f a f b f c f a f b f c ⎡⎤⋅⋅=⋅⋅⎣⎦({})({}{})n n n f a f b c =⋅⊗({}({}{}))n n n f a b c =⊗⊗所以(({}{}){})({}({}{}))n n n n n n f a b f c f a b f c ⊗⊗=⊗⊗，所以{}{}(){}{}{}{}()n n n n n n a b c a b c ⊗⊗=⊗⊗.（3）对于{},{}n n a b S ∈，因为111121212()()n n n n n n a a x a xb b x b x d d x d x ---++++++++=++++ ，所以1112111121()()()n n k n k n n n k n k n n n d x a b x a x b x a x b x a x b ------+--=+++++ ，所以1211121n n n k n k n n d a b a b a b a b a b -+--=++++++ ，所以{}{}{}11n n n n k n k k a b d a b +-=⎧⎫⊗==⎨⎬⎩⎭∑，220010020010010020020120120120121110111(1)1(1)2k k k k k k k k k k k k k k k d a b a b a b a b k k ----+=====++==+==+∑∑∑∑∑，所以10020021121121k k d k k +=⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭∑，()100100212111112212k k k k k k k +++==⎡⎤=+-⎢⎥⋅+⋅⎢⎥⎣⎦∑∑10211021210122=-<⨯.【点睛】难点点睛：本题属于新定义问题，主要难点在于对新定义的理解，利用多项式的乘法分析，结合通项公式即可得证.。

云南省昆明市第一中学2018届高三数学第五次月考试题理(含解析)

昆明第一中学2018届高中新课标高三第五次二轮复习检测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，（其中为虚数单位，是的共轭复数），则（）A. 2B.C.D. -2【答案】D【解析】∵∴∴故选D2.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故选A3.）B. 4C. 12D. 16【答案】B【解析】故选B4.（）【答案】B【解析】故选B5.从一颗骰子的六个面中任意选取三个面，其中只有两个面相邻的不同的选法共有（）A. 20种B. 16种C. 12种D. 8种【答案】C【解析】8种，所种故选C6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）【答案】B【解析】由图可知该几何体底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示：故选B点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.视频7.，则输出的）【解析】故选D8.（，（）D. 不能确定【答案】A【解析】依题意可得故选A9.对称，且当，则）【解析】，，故选A10.）B. C. D. 7【答案】C【解析】∵∴函数的最大值是故选C点睛：本题考查三角恒等变换、三角函数的图象和性质，式，再利用三角函数的图象及性质进行求解.11.，）A. -3B. -2C. 2D. 3【答案】A【解析】，故选A点晴：本题主要考查了函数的奇偶性、周期性的应用，着重考查了学生的计算和推理能力，及将关系式本题的关键.12.，则）B.【答案】D【解析】的内切圆半径是为故选D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）．【答案】4【解析】故答案为414.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“我没有获奖”，乙说：“是丙获奖”，丙说：“是丁获奖”，丁说：“我没有获奖”.在以上问题中只有一人回答正确，根据以上的判断，获奖的歌手是__________．【答案】甲【解析】若甲回答正确，则正确表述为：甲：我未获奖；乙：丙未获奖；丙：丁未获奖；丁：我获奖.此情况下丙、丁冲突，故错误；若乙回答正确，则正确表述为：甲：我获奖；乙：是丙获奖；丙：丁未获奖；丁：我获奖.而只有一个人获奖，故错误；若丙回答正确，则正确表述为：甲：我获奖；乙：丙未获奖；丙：是丁获奖；丁：我获奖.而只有一个人获奖，故错误；若丁回答正确，则正确表述为：甲：我获奖；乙：丙未获奖；丙：丁未获奖；丁：我没有获奖.此时获奖人数只有一个，为甲.故正确。

高三数学适应性考试试题六理扫描版

云南省2017届高三数学适应性考试试题（六）理（扫描版）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．{|23}(0)[23][23]B x x A B =⇒=+∞=≤≤，，，，故选B ． 2．2(2i)24i (2i)2i 4i 2i(2i)2i z z z -=+⇒-=-+=-⇒=，故选A ． 3．由命题的否定定义知，故选C ．4．{}n a 是等差数列，561108a a a a +==+，1101010()402a a S ⨯+==∴，故选A ．5．2ππ7sin 2cos 212sin 4425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．6．由三视图知，这是一个横放的底面为等腰梯形，高为4的直四棱柱，2(13)4162V +=⨯=，故选B ．7．||||cos ||||10CA CB CB CA CA CB CB CD ===<，>，故选C ． 8．当1i =时，2016i ≤成立，10(1)1S =+-⨯，当2i =时，12(1)1(1)2S =-⨯+-⨯，当2016i =时，(12)(34)(56)(20132014)(20152016)1008S =-++-++-+++-++-+=…，当2017i =时，2016i ≤不成立，输出1008S =，故选B ．9．可行域为△ABC ，(12)A ，，(14)B -，，(34)C ，，当1a >时，过点B 有最小值成立，3a =，故选C ．10．设切抛物线2y x =于点2()a a ，2232230311a k a a a a a a +⇒==⇒--=⇒==--切或，3a = 时，切线方程为69y x =-不与圆相切，所以3a =(舍去)，当1a =-时，切线方程为21y x =--与圆相切，因此1a =-成立，这时2K =-切，故选B ．11．展开式含2x 项为125522442226564C C (1)C ()C (1)(615)542x ax a x x a --+-=-+=⇒=±，故选C ． 12．由1122421n n S S a a +=+=⇒=，，1124(2)2(2)n n n n S S n a a n -+=+⇒=≥≥，1n =时，上式成立{}n a ⇒是首项为2，公比为12的等比数列，1()41[24)2n n f n S ⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭，，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．由题意2()32(1)(3)f x x a x a '=--+-是偶函数101a a ⇒-=⇒=．14．双曲线2213y x -=的焦点(20)，到渐近线距离为214x y =的焦点(10)，到渐近线． 15．2222BCD VBC VCD VDB S S S S =++△△△△2222123S S S S ⇒=++．16．1(3)(1)[1(13)](13)0.68262P P P P ξξξξ=-=--<<⇒-<<=≥≤11σ⇒-=-，13σ+=，因此2σ=，由题意，圆心(0，0)到直线的距离d 满足01d <≤．||13c d ==∵，0||13c <∴≤，即(1313)c ∈-，．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）(2)m a b c =-，，(cos cos )n A C =，，且cos (2)cos m n a C b c A ⇒=-∥，………………………………………………（1分）在△ABC 中，sin sin sin a b c A B C =∶∶∶∶，所以sin cos (2sin sin )cos A C B C A =-，…………………………………………（2分）sin cos cos sin 2sin cos sin()sin A C A C B A A C B +==+=∴，…………………（4分）而在△ABC 中，sin 0B >，1cos 2A =∴，π0π3A A <<⇒=．………………………………………………（6分）（Ⅱ）在△ABC 中，2222222cos b c bc A a b c bc bc +-=⇒=+-≥(当且仅当b c=时，等号成立) ，即max ()20(bc b c ===， ……………………………………………………（9分）又1sin 2ABC S bc A ==△，………………………………………………（10分）所以max ()20ABC S =△，因此，△ABC面积的最大值为 …………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知，男性选出518330⨯=人，女性选出512230⨯=人，共5人参与维持秩序，所以选出2人担任招集人，求至少有一名女性的概率为11223225C C C 7C 10P +==． ………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）由题意知，同意限定区域停车的12位女性家长中，选出参与维持秩序的女性家长人数为3人．随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3， ……………………………………（7分）所以39312C 21(0)C 55P ξ===，2193312C C 27(1)C 55P ξ===，1293312C C 27(2)C 220P ξ===，33312C 1(3)C 220P ξ===，因此ξ的分布列为1 23P所以ξ的期望为21272713()012355552202204E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图1，取11B C 的中点1D ，连接1DD ，11A D ， ………………………………（2分）在三棱柱111ABC A B C -中， 1111AB AC A B AC =⇒=， 1111A D B C ⊥∴，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点11MN B C ⇒∥，11MN A D ⊥∴，……………………………………………………………………（4分）1AA ⊥底面111A B C ，MN ⊂平面1111A B C AA MN ⇒⊥， 1111AA A D A =∵，MN ⊥∴平面11A ADD ，AD ⊂平面11A ADD MN AD ⇒⊥．……………………………………………（5分）（Ⅱ）解：设12AA =，作AH BC ∥，以A 为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标系为O xyz -(点O 与点A 重合)， …………………………………………………（6分）则(000)A ，，，1(002)A ，，，由题意，D 为BC 的中点， 1AB AC AA ==，30ABC ∠=︒，所以(010)D ，，，(310)B ，，，1(312)B ，，， (310)C -，，，1(312)C ，，，由M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点3122M ⎫⇒⎪⎪⎝⎭，，，3122N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，所以(010)AD =，，，3122AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，3122AN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，设平面ADM 的一个法向量为()n x y z =，，，图1图2n AD ⊥∴，n AM ⊥，则01202y y z =⎧++=，，取z =0y =，4x =，于是(40n =，，．…………………………………………………………（8分）同理可得平面ADN的一个法向量为(40m =，． …………………………（9分）设二面角M AD N --的平面角为θ，由题意知，θ为锐角，1319==，因此，二面角M AD N --的余弦值为1319． ……………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解: （Ⅰ）()P x y ，42>，所以点P 的轨迹是以(10)-，，(10)，为焦点，长轴长为4的椭圆， ……………（2分）1c =∴，24a b =⇒= ………………………………………（3分）因此所求点P 的轨迹C 的方程为22143x y +=．………………………………（4分）（Ⅱ）当l x ⊥轴时，l ：1x =±，代入曲线C 的方程得32y =±，不妨设312A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，312B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，这时33541(1)2243OA OB ⎛⎫=-⨯-+⨯-=-≠- ⎪⎝⎭，所以直线斜率存在． ……………………………………………………………（5分）设11()A x y ，，22()B x y ，，直线l 的方程为y kx m =+，由直线l 与圆O ：221x y +=相切2211m k ⇒⇒=+，22222(34)841203412y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩，∴． ∵直线与曲线相交，2222(8)4(34)(412)144960km k m k ∆=-+-=+>∴成立，122834kmx x k +=-+∴，212241234m x x k -=+， ………………………………………（9分） 43=-23k k ⇒=⇒=………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知0x >， ()ln 1f x x a '=+-．………………………………………………………………（2分）()f x 在[4)+∞，是单调递增函数()ln 10f x x a '⇒=+-≥在[4)+∞，上恒成立 min (ln 1)a x ⇒+≤，412ln2x a ⇔+≥≤． …………………………………………………………（5分）（Ⅱ）由题意知()e 1ln x h x x x ax =---(0)x >，由()0h x =e ln 1(0)x x x x a x -->⇒=(0)x >，令e ln 1()x x x F x x --=(0)x >，……………………………………………（7分）2(e 1)(1)()x x F x x --'=∴，由于0x >，可知e 10x ->，当1x >时，()0F x '>；当01x <<时，()0F x '<，故()F x 在(01)，上是单调减函数，在[1)+∞，上是单调增函数，所以()()1e 1F x F =-≥，函数()h x 有两个零点e 1a ⇒>-，因此实数a 的取值范围是(e 1)-+∞，．……………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）ρθθ=∵，2cos sin ρθθ=∴， ……………………………………………………（2分）∴圆C的直角坐标方程为220x y +=，…………………………（3分）即221x y ⎛⎛-++= ⎝⎭⎝⎭，∴圆心的直角坐标为⎝⎭． ………………………………………………（5分）（Ⅱ）方法一：直线l 上的点向圆C 引的切线长是= ………………………………………………………………………………（8分）∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值是 …………………………（10分）方法二：∴直线l的普通方程为0x y -+=， …………………………………………（6分）圆心C 到直线l5=，∴直线l 上的点向圆C…………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）当1a =-时，()|1||1|f x x x =-++．由()3f x ≥，得|1||1|3x x -++≥， ………………………………………………（1分）（ⅰ）1x -≤时，不等式化为113x x ---≥，即23x -≥．不等式组1()3x f x ⎧-⎪⎨⎪⎩，，≤≥解集为32⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，．（ⅱ）当11x -<≤时，不等式化为113x x -++≥，不可能成立．不等式组11()3x f x -<⎧⎨⎩≤，≥，解集为∅．（ⅲ）当1x>时，不等式化为113x x-++≥，即23x≥．不等式组1()3xf x⎧⎨⎩>，≥，解集为32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．综上得，()3f x≥的解集为3322⎛⎤⎡⎫-∞-+∞⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，，．…………………………（5分）（Ⅱ）若1a=，()2|1|f x x=-，不满足题设条件．…………………………（6分）若1a<，21()112(1)1x a x a f x a a xx a x-++⎧⎪=-<<⎨⎪-+⎩，，，，，．≤≥()f x的最小值为1a-．若1a>，211 ()112(1)x a xf x a x ax a x a-++⎧⎪=-<<⎨⎪-+⎩，，，，，．≤≥()f x的最小值为1a-．所以x∀∈R，()2f x≥的充要条件是|1|2a-≥，从而a的取值范围为(1][3)-∞-+∞，，．………………………………………（10分）。

浙江省温州市2024届高三第二次适应性考试数学试题(含解析)

浙江省温州市2024届高三第二次适应性考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知z C ∈，则“2R z ∈”是“R z ∈”的（）A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件2．已知集合{{,M x y N y y ===，则M N ⋂=（）A ．∅B ．RC ．MD ．N3．在正三棱台111ABC A B C -中，下列结论正确的是（）A ．1111113ABC A B C A BB C V V --=B ．1AA ⊥平面11AB C C ．11A B B C⊥D ．1AA BC⊥4．已知0.50.3sin0.5,3,log 0.5a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c<<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a<<5．在()()531x x --展开式中，x 的奇数次幂的项的系数和为（）A ．64-B ．64C ．32-D ．326．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且{}n S 单调递增．若55a =，则d ∈（）A ．50,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．100,7⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．100,7⎛⎫⎪⎝⎭7．若关于x 的方程22112x mx x mx mx +++-+=的整数根有且仅有两个，则实数m 的取值范围是（）A ．52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C．55,22,22⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．55,22,22⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知定义在()0,1上的函数()()1,,1,m x m n f x n n x ⎧⎪=⎨⎪⎩是有理数是互质的正整数是无理数，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于12x =对称B ．()f x 的图象关于11,22⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()f x 在()0,1单调递增D ．()f x 有最小值二、多选题9．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，()3,4P -为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y x =-对称，则（）A ．()3cos π5α+=B ．()π2π22k k βα=++∈Z C ．7tan 24β=D ．角β的终边在第一象限10．已知圆221:6C x y +=与圆222:20C x y x a ++-=相交于,A B 两点．若122C AB C AB S S =△△，则实数a 的值可以是（）A ．10B ．2C ．223D ．14311．已知半径为r 球与棱长为1的正四面体的三个侧面同时相切，切点在三个侧面三角形的内部（包括边界），记球心到正四面体的四个顶点的距离之和为d ，则（）A ．r 有最大值，但无最小值B ．r 最大时，球心在正四面体外C ．r 最大时，d 同时取到最大值D ．d 有最小值，但无最大值三、填空题12．平面向量,a b满足()2,1a = ，a b ，a b ⋅= ，则b = ．13．如图，在等腰梯形ABCD 中，12AB BC CD AD ===，点E 是AD 的中点．现将ABE 沿BE 翻折到A BE ' ，将DCE △沿CE 翻折到D CE '△，使得二面角A BE C '--等于60︒，D CE B '--等于90︒，则直线A B '与平面D CE '所成角的余弦值等于．14．已知P ，F 分别是双曲线()22221,0x y a b a b -=>与抛物线()220y px p =>的公共点和公共焦点，直线PF 倾斜角为60 ，则双曲线的离心率为．四、解答题15．记ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知2sin c B =．(1)求C ；(2)若tan tan tan A B C =+，2a =，求ABC 的面积．16．已知直线y kx =与椭圆22:14xC y +=交于,A B 两点，P 是椭圆C 上一动点（不同于,A B ），记,,OP PA PB k k k 分别为直线,,OP PA PB 的斜率，且满足OP PA PB k k k k ⋅=⋅．(1)求点P 的坐标（用k 表示）；(2)求OP AB ⋅的取值范围．17．红旗淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金x （万元）与年收益y （万元）的8组数据：x1020304050607080y12.816.51920.921.521.92325.4(1)用ln y b x a =+模拟生产食品淀粉年收益y 与年投入资金x 的关系，求出回归方程；(2)为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的10%．2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值．（精确到0.1万元）附：①回归直线ˆˆˆu bv a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni i i nii v u nv ubvnv ==-⋅=-∑∑，ˆˆa u bv =-⋅②81ii y=∑81ln ii x=∑821ii x=∑()128ln i i x =∑81ln i ii y x=∑1612920400109603③ln20.7,ln5 1.6≈≈18．数列{}{},n n a b 满足：{}n b 是等比数列，122,5b a ==，且()()*1122238N n n n n a b a b a b a b n ++⋅⋅⋅+=-+∈．(1)求,n n a b ；(2)求集合()(){}*0,2,N i i A x x a x b i n i =--=≤∈中所有元素的和；(3)对数列{}n c ，若存在互不相等的正整数()12,,,2j k k k j ⋅⋅⋅≥，使得12j k k k c c c ++⋅⋅⋅+也是数列{}n c 中的项，则称数列{}n c 是“和稳定数列”．试分别判断数列{}{},n n a b 是否是“和稳定数列”．若是，求出所有j 的值；若不是，说明理由．19．如图，对于曲线Γ，存在圆C 满足如下条件：①圆C 与曲线Γ有公共点A ，且圆心在曲线Γ凹的一侧；②圆C 与曲线Γ在点A 处有相同的切线；③曲线Γ的导函数在点A 处的导数（即曲线Γ的二阶导数）等于圆C 在点A 处的二阶导数（已知圆()()222x a y b r -+-=在点()00,A x y 处的二阶导数等于()230r b y -）；则称圆C 为曲线Γ在A 点处的曲率圆，其半径r 称为曲率半径．(1)求抛物线2y x =在原点的曲率圆的方程；(2)求曲线1y x=的曲率半径的最小值；(3)若曲线e x y =在()11,e x x 和()()2212,e xx xx ≠处有相同的曲率半径，求证：12ln2x x +<-．参考答案：1．B 【分析】根据复数的概念及充分、必要条件的定义判定即可.【详解】易知2i R z z =⇒∈，所以不满足充分性，而2R R z z ∈⇒∈，满足必要性.故选：B 2．D 【分析】根据题意，由集合交集的运算，即可得到结果.【详解】由题意可得，{[)1,M x y ∞===-+，{[)0,N y y ∞===+，则[)0,N M N ⋂=+∞=.故选：D 3．D 【分析】对于A ：求出体积，然后作差确定大小；对于BC ：举例说明其错误；对于D ：通过证明BC ⊥面1A ADP 来判断.【详解】设正三棱台111ABC A B C -上底面边长为a ，下底面边长为b ，a b <，高为h ，对于A ：1112213ABC A B C V h -⎫=⎪⎪⎭三棱台，111213A BB C V h -=，则111111222133ABC A B C A BB C V V h h --⎫-=++-⎪⎪⎭()222222220h b a ab a ⎫==-+->⎪⎪⎭，即1111113ABC A B C A BB C V V -->，A 错误；对于B ：由正三棱台的结构特征易知11AA B ∠为钝角，所以1AA 与1AB 不垂直，所以1AA 与面11AB C 不垂直，B 错误；对于C ：（反例）假设该棱台是由正四面体被其中截面所截后形成的棱台，则11120A B B ∠=，若2b a =，1BB a =，所以()()21111111111111A B B C A B B B B B BC A B B B A B BC B B B B BC⋅=+⋅+=⋅+⋅++⋅ 2222102a a a a =-+-≠，即1A B 与1B C 不垂直，C 错误；对于D ：取BC 中点D ，11B C 中点P ，连接1,,AD DP A P ，则,BC AD BC PD ⊥⊥，且AD PD D =I ，,AD PD ⊂面ADP ，所以BC ⊥面ADP ，同理11B C ⊥面1A DP ，又11//BC B C ，所以BC ⊥面1A DP ，则面ADP 与面1A DP 是同一个面（过一点只有一个平面与已知直线垂直）所以BC ⊥面1A ADP ，又1A A ⊂面1A ADP ，所以1AA BC ⊥.故选：D.4．B 【分析】构造函数sin y x x =-，利用导数法求最值得sin x x <，从而有0.5a <，再利用函数0.3log y x =单调递减得0.51c <<，利用函数3x y =单调递增得1b >，即可比较大小.【详解】对π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为sin y x x =-，则cos 10y x '=-<，即函数sin y x x =-在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，且0x =时，0y =，则sin 0x x -<，即sin x x <，所以sin0.50.5a =<，因为0.30.30.32log 0.5log 0.25log 0.31=>=且0.30.3log 0.5log 0.31<=，所以0.30.5log 0.51c <=<，又0.50331b =>=，所以a c b <<.故选：B5．A【分析】设()()523456012345631x x a a x a x a x a x a x a x --=++++++，利用赋值法计算可得.【详解】设()()523456012345631x x a a x a x a x a x a x a x --=++++++，令1x =可得01245630a a a a a a a +++++=+，令=1x -可得0123456128a a a a a a a -+-+-+=，所以1350128642a a a -++==-，即在()()531x x --展开式中，x 的奇数次幂的项的系数和为64-.故选：A 6．A 【分析】因为数列{}n S 为递增数列，所以{}n a 从第二项开始，各项均为正数，由此可求d 得取值范围.【详解】因为{}n a 为等差数列，且55a =，所以()55n a n d =+-，又数列{}n S 为递增数列，所以{}n a 从第二项开始，各项均为正数.由()25250a d =+->⇒53d <.因为0n a >()2n ≥恒成立，所以数列{}n a 为常数数列或递增数列，所以0d ≥.综上，50,3d ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：A 7．C 【分析】设2,1A mx B x ==+，利用绝对值三角不等式得||||2||B A B A A ++-≥，()()0A B B A +-≤时等号成立，进而有422(2)10x m x +-+≤且整数根有且仅有两个，对于22()(2)1f t t m t =+-+，应用二次函数性质及对称性有0∆≥且2224t x =<=，得(4)0f >，即可求参数范围.【详解】设2,1A mx B x ==+，则原方程为||||2||B A B A A ++-=，由||||||||||2||B A B A A B A B A B A B A ++-=++-≥++-=，当且仅当()()0A B A B +-≥，即()()0A B B A +-≤时等号成立，所以22222()()(1)()0A B B A B A x mx +-=-=+-≤，整理得422(2)10x m x +-+≤①，显然0x =不满足，令2t x =，即22(2)10t m t +-+=必有两根，且1210t t =>，故12,t t 为两个正根，所以2222(2)4(4)0m m m ∆=--=-≥，可得2m ≤-或2m ≥，对于22()(2)1f t t m t =+-+，有2(1)40f m =-≤，即21t x ==，即1x =±恒满足①，要使①中整数根有且仅有两个，则对应两个整数根必为1±，若整数根为12,x x 且12x x <，则12202x x -<<<<，即2222112224,24t x t x =<==<=，所以2(4)2540f m =->，得5522m -<<，综上，55,22,22m ⎛⎤⎡⎫∈--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭故选：C【点睛】关键点点睛：利用绝对值三角不等式的等号成立得到422(2)10x m x +-+≤，且整数根有且仅有两个为关键.8．A【分析】利用特殊值可排除B 、C ，利用函数的性质可确定A 、D.【详解】对于BC ，由题意可知：13122f f ⎫⎛⎫-=+=⎪ ⎪⎭⎝⎭，显然()f x 的图象不关于11,22⎛⎫⎪⎝⎭对称，而3122<-，故B 、C 错误；对于D ，若x 为有理数，则()1f x n=，显然n →+∞，函数无最小值，故D 错误；对于A ，若mx n=是有理数，即(),m n m n <互质，则,n m n -也互质，即1m n m f f n n n -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若x 为无理数，则1x -也为无理数，即()()11f x f x =-=，所以()f x 的图象关于12x =对称，故A 正确.下证：,m n 互质，则,n m n -也互质.反证法：若,m n 互质，,n m n -不互质，不妨设,n m ka n kb -==，则(),m k b a n kb =-=，此时与假设矛盾，所以,n m n -也互质.故选：A【点睛】思路点睛：根据抽象函数的对称性结合互质的定义去判定A 、B ，而作为抽象函数可以适当选取特殊值验证选项，提高正确率.9．ACD 【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()3,4P -，所以：5OP =，所以4sin 5α=，3cos 5α=-，所以()3cos πcos 5αα+=-=，故A 对；又4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，2222347cos 2cos sin 5525ααα⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：724,2525⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y x =-对称，所以角β的终边与单位圆的交点为247,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以7tan 24β=，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y x =-的角为：ππ,4k k -∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y x =-对称，所以2ππ24k αβ+=-⇒π2π22k βα=--()k ∈Z ，故B 错误.故选：ACD 10．BD 【分析】根据题意，由条件可得弦AB 所在的直线方程，然后将122C AB C AB S S =△△转化为圆心到直线AB 的距离关系，列出方程，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得弦AB 所在的直线方程为12:260C C x a -+-=，因为圆221:6C x y +=，圆心()10,0C ，圆222:20C x y x a ++-=，圆心()21,0C -，设圆心()10,0C 与圆心()21,0C -到直线AB 的距离分别为12,d d ，因为122C AB C AB S S =△△，即1211222AB d AB d ⋅=⨯⋅，所以122d d =，又12d2320280a a -+=，即()()31420a a --=，解得2a =或143a =.故选：BD 11．ABD【分析】求出r 的取值范围可判断A ，B ；设1OO x =，根据题意得到d 关于x 的表达式，构造函数()f x x =+()f x 求导，得到()f x 的单调性和最值可判断C ，D.【详解】对于AB ，设球心为O ，正四面体为A BCD -，BCD △的中心为1O ，则O 在1AO上，AH ==，123DO ==球与平面ACD ，平面ABC ，平面ABD 相切，与平面ABC 相切于点2O，113HO ==，1AO ==因为2r OO =，在1Rt AO H中，111tan O H O AH AO ∠==，则1sin 31O AH ∠=所以在2Rt AOO △中，2212tan r OO AO O AH AO ==∠=，因为2AO ⎛∈ ⎝，所以2r AO ⎛=∈ ⎝，r 有最大值，但无最小值，故A 正确；当max r =，此时13sin r AO r O AH ===>∠r 最大时，球心在正四面体外，故B 正确；对于CD ，设1OO x =，AO x =，OD ==所以3d OA OD x =+=-+，令()f x x =-+令()10f x =-=='，解得：x =或x =，当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<，()f x在⎛ ⎝上单调递减，当x ∈时，()0f x '>，()f x在上单调递减，所以当x =时，()max f x =，所以d 有最小值，但无最大值，故D 正确，C 错误.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题CD 选项解决的关键在于，假设1OO x =，将d 表示为关于x 的表达式，再利用导数即可得解.12【分析】根据题意，设向量(),b x y = ，由向量共线以及数量积的结果列出方程，即可得到b的坐标，从而得到结果.【详解】设向量(),b x y = ，由a b可得21x y =，又a b ⋅=，则2x y +=解得x =y =，则b ⎛= ⎝ ，所以b ==13【分析】根据图象可得直线A B '与平面D CE '所成角的余弦值等于A BK ∠'的正弦值，设2AB a =，利用余弦定理求得相关线段的长度再进行计算即可.【详解】设2AB a =，取CE 的中点K ,连接,BK A K ',由题知平面BCE ⊥平面D CE ',平面BCE 平面D CE CE '=,又BK ⊂平面BCE ,BK CE ⊥所以BK ⊥平面D CE '，则直线A B '与平面D CE '所成角的余弦值等于A BK ∠'的正弦值，易求得,BK A C '==，2225cos 28EA EC A C A EC EA EC +-''⋅'=='∠,又2225cos 28EA EK A K A EC EA EK +-''⋅'=='∠,解得A K '=，222cos 2A B BK A K A BK A B BK +-'⋅''=='∠则sin A BK ∠=='所以直线A B '与平面D CE '142【分析】由题意2pc =，根据直线PF 倾斜角为60 得直线PF的方程为)y x c -，联立24y cx =得P 点坐标，代入双曲线方程即可得离心率.【详解】因为F 为双曲线()22221,0x y a b a b-=>与抛物线()220y px p =>的公共焦点，所以2pc =，故24y cx =，因直线PF 倾斜角为60 ，故直线PF的斜率为k =PF的方程为)y x c =-，联立24y cx =，得()234x c cx -=，即2231030x cx c -+=，得3x c =或13x c =，当3x c =时，2212y c =，代入22221x y a b-=得22229121c c a b -=，又因222b c a =-，ce a=，得4292210e e -+=，解得2e =，又因1e >，得e =当13x c =时，2243y c =，代入22221x y a b -=得222214931c c a b -=，又因222b c a =-，ce a=，得422290e e -+=，解得211e =±1e >，得2e =+2.15．(1)π4C =或3π4(2)43【分析】（1）根据正弦定理，边化角，结合三角形中角的取值范围，可得sin C ，从而确定角C .（2）根据条件求角求边，再结合三角形面积公式求面积.【详解】（1）由2sin c B =得2sin sin C B B =，而B 为三角形内角，故sin B >0,得sin C =C 为三角形内角，∴π4C =或3π4（2）由()tan tan tan tan A B C B C =-+=+得tan tan tan tan 1tan tan B CB C B C+-=+-，又tan tan 0B C +≠，∴tan tan 2B C =，，故π,0,2B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（1）得tan 1C =，故tan 2B =，∴tan tan tan 3A B C =+=，而A 为三角形内角，∴sin A .又sin sin a c A C ==⇒c =又tan 2B =，而B为三角形内角，故sin B =，114sin 2223S ac B ∴==⨯=.16．(1)(P或P （0k ≠）；(2)(4,5].【分析】（1）设出点,A P 的坐标，利用点差法求得14OP k k ⋅=-，再联立直线y kx =与椭圆方程求解即得.（2）利用（1）的结论求出||,||OP AB ，再借助基本不等式求出范围即可.【详解】（1）依题意，点A 、B 关于原点对称，设()()1122,,,A x y P x y ，则()11,B x y --，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得1212121214y y y y x x x x -+⋅=--+，于是14OP k k ⋅=-，由22440y kx x y =⎧⎨+-=⎩，整理得22(14)4k x +=，解得11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩用14k -代替上述坐标中的k ，得(P或P （0k ≠）.（2）由（1）得，0k ≠，OP AB ⋅====221168816k k ++≥=，当且仅当12k =±时取等号，显然2292511116168k k <+≤++，所以45OP AB <⋅≤，即OP AB ⋅的取值范围是(4,5].17．(1)5ln 2ˆyx =+(2)36.5【分析】（1）利用回归直线的公式求ˆb和ˆa 的值，可得回归方程.（2）建立函数关系，利用导数分析函数单调性，求出函数的最大值.【详解】（1）()()()()88881111882222211ln 29161ln 8ln ln 860388888529ln 8ln ln 81098ˆln 8iii i i ii ii i iii i x yx y x yx y bx xx x======-⋅-⋅-⨯⨯====⎛⎫---⨯ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑1ˆˆ6129ln 5288y ab x =-⋅=-⨯=∴回归方程为：5ln 2ˆyx=+（2）2024年设该企业投入食品淀粉生产x 万元，预计收益y （万元）()15ln 220010y x x =++-⋅，0200x ≤≤515001010x y x x-=-=>'，得50x <∴其在()0,50上递增，()50,200上递减()()max 5ln5021552ln5ln21752 1.60.71736.5y =++=++≈⨯⨯++=18．(1)31n a n =-，2nn b =(2)()2log 61122212462433n n n n ⎡-+⎤⎢⎥+⎣⎦++--(3)数列{}n a 是“和稳定数列”，()*31,N j m m =+∈，数列{}n b 不是“和稳定数列”，理由见解析【分析】（1）根据已知及等比数列的定义求出{}n b 的通项公式，由已知和求通项可得{}n a 的通项公式，（2）根据等差数列及等比数列的求和公式可得结果（3）根据“和稳定数列”的定义可判定.【详解】（1）()1111238a b a b =-+ ，112,2b a =∴=又()11222223a b a b a b +=-，1122,2,5b a a =∴==，解得：24b =因为{}n b 是等比数列，所以{}n b 的公比212b q b ==，2n n b ∴=又当2n ≥时，()11221111238n n n n a b a b a b a b ----++⋅⋅⋅+=-+，作差得：()()112323n n n n n n a b a b a b --=---将2nn b =代入，化简：()()1233n n n a a a -=---，得：()132n n a a n --=≥{}n a ∴是公差3d =的等差数列，()1131n a a n d n ∴=+-=-（2）记集合A 的全体元素的和为S ，集合{}122,,,n M a a a =⋅⋅⋅的所有元素的和为()22261262n n n A n n -+==+，集合{}122,,,n N b b b =⋅⋅⋅的所有元素的和为()22122122212nn n B +-==--，集合M N ⋂的所有元素的和为T ，则有22n n S A B T =+-对于数列{}n b ：当()*21N n k k =-∈时，()()2121*2123131N k k k b p p ---==-=-∈是数列{}n a 中的项当()*2N n k k =∈时，()()*221223132N k k b b p p p -==-=-∈不是数列{}n a 中的项1321k T b b b -∴=++⋅⋅⋅+，其中()()21222212log 611log 61122k n k n b a n n k b a -+≤⎧---+⇒<≤⎨>⎩即()2log 6112n k ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦（其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数）()()()2log 61122142241411433n k kT ⎡-+⎤⎢⎥⎣⎦⎛⎫- ⎪∴==-=--⎪⎝⎭()2log 61122212462433n n S n n ⎡-+⎤⎢⎥+⎣⎦∴=++--（3）①解：当()*3,N j m m =∈时，12j k k k a a a ++⋅⋅⋅+是3的正整数倍，故一定不是数列{}n a 中的项；当()*31,N j m m =-∈时，()121mod3j k k k a a a ++⋅⋅⋅=+，不是数列{}n a 中的项；当()*31,N j m m =+∈时，()122mod3j k k k a a a +++= ，是数列{}n a 中的项；综上，数列{}n a 是“和稳定数列”，()*31,N j m m =+∈；②解：数列{}n b 不是“和稳定数列”，理由如下：不妨设：121j k k k ≤<<⋅⋅⋅<，则12j j k k k k b b b b ++⋅⋅⋅+>，且121112121222222j j j j j j kk k k k k k k b b b b b b b +++++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=-<=故12j k k k b b b ++⋅⋅⋅+不是数列{}n b 中的项.数列{}n b 不是“和稳定数列”.19．(1)221124x y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭(3)证明见解析【分析】（1）设抛物线2y x =在原点的曲率圆的方程为()222x y b b +-=，求出导数、二阶导数，结合所给定义求出b 即可；（2）设曲线()y f x =在()00,x y 的曲率半径为r ，根据所给定义表示出r ，再由基本不等式计算可得；（3）依题意函数e x y =的图象在(),e xx 处的曲率半径()322e 1e xxr +=，即242333e e x x r -=+，从而得到112242423333e e e e x x x x --+=+，令1231e xt =，2232e xt =，即可得到()12121t t t t +=，再由基本不等式证明即可．【详解】（1）记()2f x x =，设抛物线2y x =在原点的曲率圆的方程为()222x y b b +-=，其中b 为曲率半径．则()2f x x '=，()2f x ''=，故()()231200b f b b ===-''，232r b =，即12b =，所以抛物线2y x =在原点的曲率圆的方程为221124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；（2）设曲线()y f x =在()00,x y 的曲率半径为r ．则法一：()()()0002030x a f x y b r f x b y -⎧=-⎪-⎪⎨'''⎪=⎪-⎩，由()()22200x a y b r -+-=知，()()220201r f x y b ⎡⎤+='⎣⎦-，所以(){}()322001f x r f x ⎡⎤+='''⎣⎦ ，故曲线1y x=在点()00,x y 处的曲率半径3222030112x r x ⎧⎫⎛⎫⎪⎪-+⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭=，所以3340220220301111242x r x x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭==+≥ ⎪⎝⎭，则2212333020122r x x -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，则322020112r x x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭20201x x =，即201x =时取等号，故r ≥1y x=在点()1,1处的曲率半径r =法二：()0202330012x a x y b r x b y -⎧-=-⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩r ，所以23001323013022x ry b r x a x ⎧⋅⎪-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎪⎩，而()()4423322200022233022x r r r x a y b x ⋅=-+-=+⋅，所以2223302012r x x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解方程可得322020112r x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则3220201124r x x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当20201x x =，即201x =时取等号，故r ≥1y x=在点()1,1处的曲率半径r =（3）法一：函数e x y =的图象在(),exx 处的曲率半径()322e1exxr +=，故242333e e x x r -=+，由题意知：112242423333eeeex x x x --+=+ 令12223312,e ex x t t ==，则有22121211t t t t +=+，所以22122111t t t t -=-，即()()12121212t tt t t t t t --+=，故()12121t t t t +=．因为12x x ≠，所以12t t ≠，所以()()123212121212122e x x t t t t t t t t +=+>⋅==，所以12ln2x x +<-．法二：函数e x y =的图象在(),e x x 处的曲率半径()322e 1e x x r +=，有()3224222e 1e 3e 3e e x x x xx r -+==+++令122212,e e x x t t ==，则有22112212113333t t t t t t +++=+++，则()121212130t t t t t t ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭，故1212130t t t t ++-= ，因为12x x ≠，所以12t t ≠，所以有12121211033t t t t t t =++->-，令t ，则21230t t +-<，即()3220231(1)21t t t t >+-=+-，故12t <，所以1212e x x t +==<，即12ln2x x +<-；法三：函数e x y =的图象在(),e x x 处的曲率半径()322e 1e x x r +=．故242333e e x xr =+设()4233e e x x g x =+，则()()4222333422e e e 2e 1333x x x x g x ---='=-，所以当1,ln22x ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时()0g x '<，当1ln2,2x ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时()0g x '>，所以()g x 在1,ln22∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在1ln2,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，故有121ln22x x <-<，所以121,ln2,ln22x x ∞⎛⎫--∈-- ⎪⎝⎭，要证12ln2x x +<-，即证12ln2x x <--，即证()()()212ln2g x g x g x =>-- 将12ln2x x +<- ，下证：当1ln2,2x ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时，有()()ln2g x g x >--，设函数()()()ln2G x g x g x =---（其中1ln22x >-），则()()()()21423332ln22e 1e 2e 03x x x G x g x g x --⎛⎫=+--=--⋅> ⎪'⎝⎭'，故()G x 单调递增，()1ln202G x G ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，故()()22ln2g x g x >--，所以12ln2x x +<-．法四：函数e x y =的图象在(),e x x 处的曲率半径()322e 1ex x r +=，有()3224222e 1e 3e 3e e x x x x x r -+==+++，设()422e 3e 3e x x x h x -=+++．则有()()()24222224e 6e 2e 2e e 12e 1x x x x x x h x --=+-+'=-，所以当1,ln22x ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时()0h x '<，当1ln2,2x ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时()0h x '>，故()h x 在1,ln 22∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在1ln 2,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增．故有121ln22x x <-<，所以121,ln2,ln22x x ∞⎛⎫--∈-- ⎪⎝⎭，要证12ln2x x +<-，即证12ln2x x <--，即证()()()212ln2h x h x h x =>--．将12ln2x x +<-，下证：当1ln2,2x ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时，有()()ln2h x h x >--，设函数()()()ln2H x h x h x =---（其中1ln22x >-），则()()()()222411ln22e 11e e 024x x x H x h x h x --''⎛⎫=+--=-++> ⎪⎝⎭'，故()H x 单调递增，故()1ln202H x H ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭ ，故()()22ln2h x h x >--，所以12ln2x x +<-．【点睛】方法点睛：极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等时两根的范围，根据范围以及函数值相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，判断新函数小于或大于零恒成立，即可证明不等式.。

安徽省合肥市部分学校2024届高三下学期高考适应性考试数学试题含答案

安徽省合肥市部分学校2024届高三下学期高考适应性考试数学试题考生注意：（答案在最后）1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．.4．本卷命题范围：高考范围.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}24A x x ∈≤=N ∣，{}1,0,1,2,3B =-，则A B = （）A.{}1,2 B.{}0,1,2C.{}2,1,0,1,2,3-- D.{}1,0,1,2-【答案】B 【解析】【分析】解不等式可得集合A ，进而可得A B ⋂.【详解】{}{}240,1,2A x x ≤=∈=N∣,{}1,0,1,2,3B =-，所以{}0,1,2A B = ，故选：B ．2.已知(i 3)2z z -=+，则z =（）A.42i 99+ B.42i 99-C.42i99-+ D.42i99--【答案】D 【解析】【分析】设i(,)z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，根据题意，结合复数的乘法运算和相等复数建立方程组，解之即可求解.【详解】设i(,)z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，因为(i 3)2z z -=+，所以(i)(i 3)i 2a b a b +-=-+，即3a b --+(3)i 2i a b a b -=+-，所以323a b a a b b --=+⎧⎨-=-⎩，解得4929a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以42i 99z =--．故选：D ．3.已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为8的半圆，则该圆锥的体积为（）A.48π B.16πC. D.643π3【答案】D 【解析】【分析】设圆锥的底面半径，结合侧面展开图可知底面半径与高，进而可得体积.【详解】设圆锥的底面圆半径为r ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则2π8πr =，解得4r =，又侧面展开图是半径为8的半圆，即圆锥的母线长为8，则圆锥的高h ==，所以该圆锥的体积为2211ππ4333V r h ==⨯⨯，故选：D ．4.为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从(70,64)N ，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（）参考数据：()0.6827,(22)0.9545,(3P X P X P X μσμσμσμσμσ-<<+≈-<<+≈-<<3)0.9973μσ+≈A.0.135% B.0.27%C.2.275%D.3.173%【答案】A 【解析】【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案.【详解】依题意70,8,943μσμσ===+，所以测试成绩不小于94的学生所占的百分比为10.9973100%2-⨯=0.135%．故选：A ．5.某银行大额存款的年利率为3%，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（）（单位：万元，结果保留一位小数）A.12.6B.12.7C.12.8D.12.9【答案】B 【解析】【分析】根据复利可知每年末本息和构成等比数列，利用等比数列通项公式及二项式定理求解即可.【详解】存入大额存款10万元，按照复利计算，每年末本利和是以10为首项，13%+为公比的等比数列，所以本利和811227788888810(13%)10C C 0.03C 0.03C 0.03C 12.7S ⎡⎤=+=+⨯+⨯++⨯+≈⎣⎦ ．故选：B ．6.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()01f =且()()24f x f x +-=，则()20240i f i ==∑（）A.4049B.2025C.4048D.2024【答案】A 【解析】【分析】根据函数的周期性与对称性可得解.【详解】由()()24f x f x +-=，令1x =，得()12f =，又令0x =得()23f =，再令=1x -，()()134f f -+=，又()()112f f -==，所以()32f =，又()()()()42424f x f x f x f x ++--=+++=，()()()()224f x f x f x f x -++=++=，所以()()4f x f x +=，4为()f x 的一个周期，()()401f f ==，即()()()()()()()202405061234150623214049i f i f f f f f =⎡⎤=+⨯+++=+⨯+++=⎣⎦∑，故选：A ．7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，圆222:O x y a +=与C 的渐近线在第二象限的交点为P，若tan FPO ∠=C 的离心率为（）A.2B.C.3D.【答案】C 【解析】【分析】由222b y x a x y a ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩解得2(,a abP c c -，根据三角函数的定义知sin ,cos b a POF POF c c ∠=∠=-，利用同角的三角函数关系求得3cos 3FPO ∠=，6sin 3FPO ∠=，由诱导公式、两角和的正弦公式和正弦定理计算可得ba=，结合离心率的概念即可求解.【详解】如图，由题意知，双曲线的渐近线方程为b y x a=-，则222b y x a x y a⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，解得4222222a x c a b x c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2(,)a abP c c -,由三角函数的定义知sin ,cos b aPOF POF c c∠=∠=-，又tan FPO ∠=FPO ∠为锐角，s in os FPO FPO ∠=∠，又22cos 1sin FPO FPO ∠+∠=，解得3cos 3FPO ∠=，sin 3FPO ∠=，则sin sin()33a b PFO OPF POF c c ⎛⎫∠=∠+∠=-+⨯ ⎪⎝⎭3c-=，在POF 中，由正弦定理可得||||sin sin OP OF PFO OPF=∠∠，即=化简得b a=，所以C的离心率为3c e a ===．故选：C ．8.如图，正四面体ABCD 的棱长为2，点E 在四面体ABCD 外侧，且AED △是以E 为直角顶点的等腰直角三角形．现以AD 为轴，点E 绕AD 旋转一周，当三棱锥E BCD -的体积最小时，直线CE 与平面BCD 所成角的正弦值的平方为（）A.13B.23C.26-D.212【答案】D 【解析】【分析】取BC 中点F ，取AD 中点M ，确定点E 的轨迹，从而结合三棱锥E BCD -的体积最小，确定E 点所处位置，进而作出直线CE 与平面BCD 所成角，解三角形，求出相关线段长，即可求得答案.【详解】在正四面体ABCD 中，取BC 中点F ，连接,DF AF ，则DF AF =，取AD 中点M ，连接,FM EM ，则FM AD ⊥，AED △是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，正四面体ABCD 的棱长为2，则EM AD ⊥，且112EM AD ==，点E 绕AD 旋转一周，形成的图形为以M 为圆心，以1EM =为半径的圆，设该圆与MF 的交点为1E ，当三棱锥E BCD -的体积最小时，即E 点到底面BCD 的距离最小，即此时E 点即位于1E 处，因为正四面体ABCD 的棱长为2，则DF AF ==，又AD 中点为M，则FM ==11FE =-，设点1E 在底面BCD 上的射影为H，则1111sin MD E H E F E FH E F FD =⋅∠=⋅=又MB MC =，BC 中点为F ，故MF BC ⊥，故1E C ==，由于点1E 在底面BCD 上的射影为H ，故1E CH ∠即为直线1CE 与平面BCD 所成角，故222112111)()23sin ()12E H E CH E C --∠==，故选：D【点睛】关键点睛：本题考查在四面体中求解线面角的正弦值问题，解答时要发挥空间想象，明确空间的点、线、面的位置关系，解答的关键在于确定E 点的轨迹，从而确定三棱锥E BCD -的体积最小时E 点的位置，由此作出直线CE 与平面BCD 所成角，解三角形，求得答案.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知12,x x 是函数π()2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的两个零点，且12x x -的最小值是π2，则（）A.()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B.()f x 的图象关于直线π6x =-对称C.()f x 的图象可由()2sin 2g x x =的图象向右平移π6个单位长度得到D.()f x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上仅有1个零点【答案】ABD【解析】【分析】依题意可得()f x 的最小正周期πT =，即可求出ω，从而得到()f x 解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】由题意可知，函数()f x 的最小正周期π2π22T ω=⨯=，2ω∴=，()2sin 26πf x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭．对于A ，当x ∈π0,3⎡⎤⎢⎣⎦时，πππ2,662x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，因为sin y x =在ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故A 正确；对于B ，因为πππ2sin 22sin 2π6662f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--=-⎛⎫-= ⎪=- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线π6x =-对称，故B 正确；对于C ，将()2sin 2g x x =的图象向右平移π6个单位长度得到：ππ2sin 22sin 2()63y x x f x ⎛⎫⎛⎫=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ，当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π5π11π2,666x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，仅当2x -ππ6=，即7π12x =时，()0f x =，即()f x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上仅有1个零点，故D 正确．故选：ABD ．10.已知实数,a b 满足01a b <<<，则（）A.11b b a a -<- B.a b ab+>C .baa b< D.112222log log a b a b -<-【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，利用作差比较法，结合不等式的性质，可判定A 错误，B 正确；令ln ()xf x x=，利用导数求得函数的单调性，得到ln ln a ba b<，进而判定C 正确；结合12()2log x g x x =-在()0,+∞上单调递增，可判定D 正确．【详解】对于A 中，由01a b <<<，可得101(1)b b a b a a a a ---=>--，所以A 错误；对于B 中，由(1)0a b ab a b a +-=+->，则a b ab +>，所以B 正确；对于C 中，令ln ()xf x x=，可得21ln ()x f x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，因为01a b <<<，则()()f a f b <，所以ln ln a ba b<，即ln ln ,ln ln b a b a a b a b <<，所以b a a b <，所以C 正确；对于D 中，由函数12()2log xg x x =-在()0,+∞上单调递增，因为01a b <<<，则()()g a g b <，即11222log 2log a ba b -<-，所以112222log log a ba b -<-，所以D 正确．故选：BCD ．11.椭圆222:1(0)4x y C m m+=>的两个焦点分别为12,F F ，则下列说法正确的是（）A.过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则1ABF 的周长为8B.若C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=，则m 的取值范围为()⎡⋃+∞⎣C.若直线10kx y -+=与C 恒有公共点，则m 的取值范围为[)1,+∞ D.若1,m P =为C 上一点，()1,0Q -，则PQ 的最小值为63【答案】BD 【解析】【分析】对于A ：根据椭圆的定义结合焦点所在的位置分析判断；对于B ：分析可知当P 位于短轴顶点时，12F PF ∠最大，此时2212b a ≤，分类讨论焦点所在位置分析求解；对于C ：因为直线10kx y -+=过定点(0,1)，可知定点(0,1)在椭圆内或椭圆上，列式求解即可；对于D ：设()2cos ,sin P θθ，根据两点间距离公式结合二次函数分析求解.【详解】对于选项A ：由椭圆定义可得1ABF 的周长为121122AF BF AB AF BF AF BF ++=+++4a =，但焦点不一定在x 轴上，故A 错误；对于选项B ：若120PF PF ⋅=，则12PF PF ⊥，当P 位于短轴顶点时，12F PF ∠最大，此时1cos cos 452OPF ∠≤︒=，可知22b a ≤，即2212b a ≤，当02m <<时，由2142m ≤，解得0m <≤；当m>2时，由2412m ≤，解得m ≥；综上所述：m 的取值范围为()∞⎡⋃+⎣，故B 正确；对于选项C ：因为直线10kx y -+=过定点(0,1)，则211m≤，即21m ≥，又因为24m ≠，且0m >，所以m 的取值范围为[)()1,22,∞⋃+，故C 错误；对于选项D ：若1m =，即椭圆22:14x C y +=，设()2cos ,sin P θθ，可得||PQ ==，当2cos 3θ=-时，min 6||3PQ =，故D 正确．故选：BD ．【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法（1）数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解；（2）构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解；（3）构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知ππ20,,tan tan 243θθθ⎛⎫⎛⎫∈+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2θ=______.【答案】34-【解析】【分析】利用两角和差的正切公式计算1tan 2θ=-，再使用二倍角的正切公式即可.【详解】由π2tan tan 43θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且π(0,)2θ∈，得tan 12tan 1tan 3θθθ+=--，整理得22tan 5tan 30θθ--=，解得1tan 2θ=-（舍）或tan 3θ=，所以222tan 233tan 21tan 134θθθ⨯===---．故答案为：34-.13.在ABC 中，若3BA BC CA CB AC AB ⋅=⋅=⋅ ，则||||AB BC =______.【答案】3【解析】【分析】根据题意，求得BA CA = 和13044BA CB CA ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，设D 为线段AB 上靠近A 的四等分点，得到CD AB ⊥，设AD t =，求得,CD BC ==，即可求解.【详解】由BA BC CA CB =⋅⋅，可得()0BC BA CA ⋅+=，即()()0BA AC BA AC +⋅-= ，可得220BA AC -= ，所以BA CA = ，又由3BA BC AC AB ⋅=⋅，可得(3)0BA BC AC ⋅+= ，即13044BA CB CA ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，设D 为线段AB 上靠近A 的四等分点，则CD AB ⊥，设AD t =，则3,4BD t AC t ==，所以CD ==，则BC ==，所以||3||AB BC == .故答案为：3.14.已知实数0a >，对2x ∀>，()e 2ln 2xa a ax a +->恒成立，则a 的取值范围为____.【答案】()30,e 【解析】【分析】将不等式变形可得()()22ln2e 222e ln e e a x x ax a x ---⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭>，利用函数同构可令函数()e xf x x =，得出其单调性可判断得出222ln e x ax a -⎛-⎫⎪⎝⎭>，由参变分离可求得min e 2x a x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭<，利用导数求出函数()e 2xg x x =-的最小值即可得出a 的取值范围.【详解】根据题意将不等式()e 2ln 2xa a ax a +->变形可得()e ln 22xa ax a a -->，即()222e ln 2ln e ln e x ax a a ax a a -⎛⎫⎡⎤--=⎪⎣⎦⎝⎭>，所以222e 2ln e e e x a ax a ->，即2222e ln e e x a ax a --⎛⎫ ⎪⎝⎭>，又2x >，可得()()22222e2ln e e x a ax a x x --⎛⎫-- ⎪⎝⎭>，也即()()22ln2e 222e ln e e a x x ax a x ---⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭>；构造函数()e x f x x =，则()()1e xf x x '=+；不等式等价于()2l e 22n f f ax x a ⎛⎫- ⎪⎝-⎛⎫⎪⎝⎭⎭>，易知当22ln 0e ax a -⎛⎫⎪⎝⎭<时，原不等式显然成立；当22ln 0e ax a -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭时，易知()0f x ¢>在[)0,x ∈+∞上恒成立，即函数()e x f x x =在[)0,∞+上单调递增，所以222ln e x ax a -⎛-⎫ ⎪⎝⎭>，可得e 2xa x -<；令()e 2xg x x =-，则()()()23e 2xx g x x -'-=，所以可得()g x 在()2,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增，即()g x 在3x =处取得极小值，也是最小值()33e g =，因此可得30e a <<；即a 的取值范围为()30,e .故答案为：()30,e【点睛】方法点睛：在求解不等式恒成立问题时，常用的方法是将不等式通过合理变形并根据已知条件利用函数同构思想进行构造函数，利用导数判断出单调性求出相应最值即可得出结论.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知16a =，2n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是公差为2的等差数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若14n n n b a a +=，设数列{}n b 的前n 项和n T ，求证：11156n T ≤<．【答案】（1）42n a n =+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由2n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是公差为2的等差数列，求得2(2)n S n n =+，结合n a 和n S 的关系，即可求解；（2）由（1）知14114246n n n b a a n n +==-++，求得11646n T n =-+，结合11646n T n =-+关于n 单调递增，以及1046n >+，即可求解．【小问1详解】解：因为16a =，所以1621212S ==++，又因为2n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是公差为2的等差数列，所以2(1)222n S n n n =+-⨯=+，即2(2)n S n n =+，当2n ≥时，12(2)2(1)(1)42n n n a S S n n n n n -=-=+--+=+，又由16a =，适合上式，所以数列{}n a 的通项公式为42n a n =+．【小问2详解】证明：由（1）知144111114(42)(46)442464246n n n b a a n n n n n n +⎛⎫===⨯-=- ⎪++++++⎝⎭，所以1111111111610101414184246646n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又由1114046410(46)(410)n n T T n n n n +=-=>++++-，所以11646n T n =-+关于n 单调递增，所以1115n T T ≥=，又因为1046n >+，所以1116466n T n =-<+，所以11156n T ≤<．16.在平时的日常生活中游泳对锻炼身体有很多的好处，大致有以下几个方面：一、游泳可以让身体更加苗条，达到减肥的效果；二、游泳能够增加人体的肺活量，提高人体的呼吸系统能力，也可以预防心脑血管系统疾病，包括冠心病、不稳定型心绞痛以及脑血栓等疾病；三、游泳可以保护关节，让关节避免受到损伤．下面抽取了不同性别的高中生共100人，并统计了他们游泳的水平如下表：合格不合格合计男性1050女性20合计70100（1）根据此表依据0.05α=的独立性检验判断：是否可以认为高中生游泳水平与性别有关?（2）游泳教练从成绩不合格的高中生中抽取了2名女生和1名男生进行游泳示范指导．已知经过一段时间指导后，女生成绩合格的概率为23，男生合格的概率为12，求这3人经过指导后成绩合格总人数X的分布列和数学期望．参考公式：①相关性检验的临界值表：α0.100.050.10ax 2.706 3.8416.635②22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++．【答案】（1）高中生游泳水平与性别有关（2）分布列见解析，()11 6E X=．【解析】【分析】（1）完善22⨯列联表，计算出卡方，即可判断；（2）依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，根据相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.【小问1详解】完成表格如下：合格不合格合计男性401050女性302050合计7030100零假设0H：高中生游泳水平与性别无关，220.05100(40203010) 4.762 3.84170305050x χ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯，依据0.05α=的独立性检验，我们有充分的理由认为0H 不成立，即高中生游泳水平与性别有关．【小问2详解】依题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，2211(0)11,3218P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212221215(1)C 111,3323218P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2122212184(2)C 11,33232189P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯+⨯-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2212(3)329P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为：X0123P1185184929数学期望154211()01231818996E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.17.如图，在矩形纸片ABCD 中，4AB =，2BC =，沿AC 将ADC △折起，使点D 到达点P 的位置，点P 在平面ABC 的射影H 落在边AB 上.（1）求AH 的长度；（2）若M 是边PC 上的一个动点，是否存在点M ，使得平面AMB 与平面PBC 的夹角余弦值为34？若存在，求CM 的长度；若不存在，说明理由.【答案】（1）1（2）83【解析】【分析】（1）利用投影性质以及线面垂直性质可得AC EH ⊥，再利用三角形相似可求得1AH =；（2）建立空间直角坐标系，设[],0,1CM CP λλ=∈，并根据坐标分别求得平面AMB 与平面PBC 的法向量，由两平面夹角的余弦值列方程解得23λ=，可得83CM =.【小问1详解】作PE AC ⊥，垂足为E ，连接EH，如下图所示：由点P 在平面ABC 的射影H 落在边AB 上可得PH ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，所以PH AC ⊥，因为PH PE E ⋂=，且,PH PE ⊂平面PHE ，所以AC ⊥平面PHE ，又EH ⊂平面PHE ，所以AC EH ⊥，又因为ABCD 为矩形，AB BC ⊥，可得ABC AEH ，由4AB =，2BC =可得2,4,AP PC AC ===，所以5AP PC PE AC ⋅==，5AE ==；由ABC AEH 可得AE AB AH AC=，即25514AE AC AH AB ⨯⋅===；即AH 的长度为1.【小问2详解】根据题意，以点H 为坐标原点，以过点H 且平行于BC 的直线为y 轴，分别以,HB PH 所在直线为,x z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()(()()1,0,0,,3,0,0,3,2,0A P B C -，并设[],0,1CM CP λλ=∈，可得(()3,3,2CM CP λλλλ==--=--，所以()33,22M λλ--；易知()()4,0,0,3,22,AB MB λλ==-，(()3,0,,0,2,0PB BC ==，设平面AMB 的一个法向量为()111,,m x y z = ，所以()1111403220AB m x MB m x y z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，解得10x =，取1y =，则122z λ=-，即(),22m λ=-，设平面PBC 的一个法向量为()222,,n x y z =，所以2123020PB n x BC n y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，解得20y =，取21x =，则2z =，即(n =，因此可得cos ,4m nm n m n ⋅==，整理可得23840λλ-+=，解得2λ=（舍）或23λ=；因此23CM CP = ，即可得2833CM CP == .所以CM 的长度为83.18.已知平面上一动点P 到定点(01)F ,的距离比到定直线2024y =-的距离小2023，记动点P 的轨迹为曲线1C ．（1）求1C 的方程；（2）已知直线1(0)y kx k =+≠与曲线1C 交于M ，N 两点，T 是线段MN 的中点，点A 在直线1y =-上，且AT 垂直于x 轴．设点B 在抛物线22:1C y x =--上，BP ，BQ 是1C 的两条切线，P ，Q 是切点．若//AB MN ，且A ，B 位于y 轴两侧，求||||||||TM TN TP TQ 的值．【答案】（1）24x y=（2）||||1||||TM TN TP TQ =【解析】【分析】（1）根据题意，利用抛物线的定义，得到P 的轨迹是以定点(0,1)F 为焦点，定直线1y =-为准线的抛物线，即可求解；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立方程组，切点12124,4x x k x x +==-，得到(2,1)A k -，由//AB MN ，得到AB 的方程为221y kx k =--，联立方程组，求得()22,41B k k ---，再求得点()00,x y 处的切线方程00220x x y y --=，设()()3344,,,P x y Q x y ，得到()33,P x y 与()44,Q x y 处的切线方程，根据两条切线都过点B ，求得PQ 的方程2410kx y k +--=，再由()22,21T k k +，得到214TM TN MN =，联立方程组，结合TP TQ TP TQ =-⋅，列出方程，即可求解.【小问1详解】解：设(,)P x y 是所求轨迹1C 上的任意一点，因为点P 到定点(0,1)F 的距离比到定直线2024y =-的距离小2023，所以点P 到定点(0,1)F 的距离与到定直线1y =-的距离相等，由抛物线的定义可知，点P 的轨迹是以定点(0,1)F 为焦点，定直线1y =-为准线的抛物线，所以1C 的方程为24x y =．【小问2详解】解：设()()1122,,,M x y N x y ，联立方程组214y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2440x kx --=，则216160k ∆=+>且12124,4x x k x x +==-，所以()()2122121212242,116x x y y k x x k y y +=++=+==，所以()22,21T k k +，则(2,1)A k -，因为//AB MN ，所以直线AB 的方程为1(2)y k x k +=-，即221y kx k =--，联立方程组22211y kx k y x ⎧=--⎨=--⎩，整理得2220x kx k +-=，解得2x k =-或x k =，又因为,A B 两点位于y 轴两侧，可得()22,41B k k ---，设点()00,x y 在抛物线1C 上，又由24x y =，可得12y x '=，则001|2x x y x ='=，则在1C 点()00,x y 处的切线方程为()00012y y x x x -=-，整理得00220x x y y --=，设()()3344,,,P x y Q x y ，则1C 在()33,P x y 与()44,Q x y 处的切线方程分别为：33220x x y y --=与44220x x y y --=，又由两条切线都过点B ，则()233(2)24120x k k y -----=，()244(2)24120x k k y -----=，则直线PQ 的方程为()2(2)24120k x k y -----=，即2410kx y k +--=，由()22,21T k k +，点T 的坐标适合方程2410kx y k +--=，所以点T 在直线PQ 上，又由T 是线段MN 的中点，可得214TM TN MN =，因为()241MN k ==+，则()2241TM TN k =+，联立方程组224104kx y k x y⎧+--=⎨=⎩，整理得2241640x kx k +--=，可得280160k '∆=+>且234344,164x x k x x k +=-=--，()()2233442,212,21TP TQ TP TQ x k y k x k y k =-⋅=----⋅---()()()()223434222121x k x k y k y k =--------()()()()2234342222x k x k k kx k kx =------()()()()2222343412141k x x k k xx k k =-++++-+()()223434124k x x k x x k ⎡⎤=-+-++⎣⎦()()2222211642(4)441k k k k k k ⎡⎤=-+----+=+⎣⎦，所以1TM TN TP TQ=.【点睛】方法点睛：解决抛物线问题的方法与策略：1、涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．2、涉及直线与抛物线的综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用.19.已知函数()e sin xf x a x a =--．（注：e 2.718281=⋅⋅⋅是自然对数的底数）．（1）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当0a >时，函数()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一的极值点1x ．①求实数a 的取值范围；②求证：()f x 在区间()0,π内有唯一的零点0x ，且012x x <．【答案】（1）20x y -=（2）()0,1a ∈；证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可；（2）①利用导数研究函数的极值，分离参数计算函数的单调性计算即可求实数a 的取值范围；②结合①的结论先判定()f x 的单调性与最值，根据零点存在性定理即可判定零点个数，再根据函数的单调性结合构造函数来证明()120f x >即可证明结论.【小问1详解】当3a =时，()()3e sin 33e cos xxf x x f x x =--⇒=-'，所以()()00,02f f '==，即切点()0,0，故曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为：20x y -=；【小问2详解】①.函数()e sin xf x a x a =--，()e cos xf x a x '=-，（ⅰ）当1a ≥时，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e 1xa >，()cos 0,1x ∈，()0f x ∴'>，则()y f x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；（ⅱ）当01a <<时，设()e cos x x a x ϕ=-，则()e sin 0x x a x ϕ=+>'在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，所以()x ϕ在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，即()f x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，又()010f a -'=<，π2πe 02f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭'，所以()f x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一零点1x ，当()10,x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当1π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以函数()y f x =在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内有唯一极值点，符合题意，综上，a 的取值范围是()0,1．②由①知01a <<，当,ππ2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()e cos 0x f x a x =->'，当()10,x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()1,πx x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；所以()10,x x ∈时，()()00f x f <=，则()10f x <，又因为()()πππe e 10f a a a =-=->，所以()f x 在()1,πx 上有唯一零点0x ，即()f x 在()0,π上有唯一零点0x ．因为()12112e sin2x f x a x a =--，由①知()10f x '=，所以11cos x ae x =，则()1112111111cos 2e sin2e cos 2sin cos e x x x x f x a x a x x x =--=--11111cos e 2sin e x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭设()e 2sin e x x h x x -=--，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()e 2cos e x xh x x -=+'-，e e 2x x -+> ，2cos 2x <，所以()e e 2cos 0x x h x x -='+->()h x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增，又()00h =，所以()0h x >，又π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos 0x >，所以()1111112cos e 2sin 0e x x f x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭．所以()()1020f x f x >=．由前面讨论知112πx x <<，10πx x <<，()f x 在()1,πx 单调递增，所以012x x <．【点睛】1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。

山东省济南市2024届高三下学期高考针对性训练(5月模拟)数学试题含答案

绝密★启用并使用完毕前高考针对性训练数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设12i2iz -=+，则z =（）A ．iB ．i-C ．4i 5+D ．4i 5-2．若sin cos αα-=，则tan α=（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（）A ．5-B ．5C ．15D ．354．已知{}n a 是等比数列，且27844a a a a =-=-，则3a =（）A ．B ．C ．2-D ．2±5．某单位设置了a ，b ，c 三档工资，已知甲、乙、丙三人工资各不相同，且甲的工资比c 档高，乙的工资比b 档高，丙领取的不是b 档工资，则甲、乙、丙领取的工资档次依次为（）A ．a ，b ，cB ．b ，a ，cC ．a ，c ，bD ．b ，c ，a6．三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥．若该三棱锥的最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（）A B C ．18D ．367．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P在C 上，且2122PF PF a ⋅= ，PO = ，则C 的离心率为（）A B C ．3D ．28．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()yf x xf y xy x y -=-，则下列结论一定成立的是（）A ．()11f =B ．()f x 为偶函数C ．()f x 有最小值D ．()f x 在[]0,1上单调递增二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某同学投篮两次，第一次命中率为23．若第一次命中，则第二次命中率为34；若第一次未命中，则第二次命中率为12．记()1,2i A i =为第i 次命中，X 为命中次数，则（）A ．22()3P A =B ．4()3E X =C ．4()9D X =D ．123(|)4P A A =10．已知ABC △内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ．若1a =，且()sin sin sin A b B c b C -=+，则（）A ．3sin 2A =B ．ABC △面积的最大值为34C ．3R =D ．BC 边上的高的最大值为611．已知函数()sin ln f x x x =⋅，则（）A ．曲线()y f x =在πx =处的切线斜率为ln πB ．方程()2024f x =有无数个实数根C ．曲线()y f x =上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于1eD ．2()2x y f x =-在()1,+∞上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．数列{}n a 满足22n n a a +-=，若11a =，44a =，则数列{}n a 的前20项的和为______．13．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，4AB =，16AA =，M ，N 分别是AB ，AD 的中点，则平面1MNC 截该四棱柱所得截面的周长为______．14．已知抛物线22x y =与圆()()22240x y rr +-=>相交于四个不同的点A ，B ，C ，D ，则r 的取值范围为______，四边形ABCD 面积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．（1）根据散点图判断，y a bx =+和2y c dx =+哪一个适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）中的判断结果，建立y 关于x 的回归方程；（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．参考公式及数据；1221ˆni ii ni i x ynx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-，52155i i x ==∑，541979ii x ==∑，51390i i y ==∑，511221i i i x y ==∑，5214607.9i i i x y ==∑16．（本小题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ABC ⊥平面BCFE ，AF DE ⊥，45ABC CBF ∠=∠=︒，1AC AB >=．（1）求三棱台ABC DEF -的高；（2）若直线AC 与平面ABF 所成角的正弦值为155，求BC ．17．（本小题满分15分）已知函数()22xxf x a =+-，其中0a >且1a ≠．（1）若()f x 是偶函数，求a 的值；（2）若0x >时，()0f x >，求a 的取值范围．18．（本小题满分17分）已知点21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上，A 到E的两焦点的距离之和为．（1）求E 的方程；（2）过抛物线()2:1C y x m m =->上一动点P ，作E 的两条切线分别交C 于另外两点Q ，R ．（ⅰ）当P 为C 的顶点时，求直线QR 在y 轴上的截距（结果用含有m 的式子表示）；（ⅱ）是否存在m ，使得直线QR 总与E 相切．若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分17分）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域．设,y q ∈R ，*n ∈N ，记[]11n n q q-=++⋅⋅⋅+，[][][][]!11n n n =⨯-⨯⋅⋅⋅⨯，并规定[]0!1=．记1(,)()()()()n n q F x n x y x y x qy x q y -=+=++⋅⋅⋅+，并规定()0,0()1q F x x y =+=．定义[][][](,),0(,)11(),1,2,,kqn kq F x n k D F x n n n n k x y k n-=⎧⎪=⎨-⋅⋅⋅-++=⋅⋅⋅⎪⎩（1）若1y q ==，求(),2F x 和1(,2)q D F x ；（2）求[][]!(0,)!k qn k D F n n -；（3）证明：[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑．2024年5月济南市高三模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案ABACBCDC二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABDADBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．21013．14．4)；四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）2y c dx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：52211()115i i x x ===∑，511785i i y y ===∑，52215222221553905()4607.95317.9550.8537455()5()9795ˆ5i ii ii xy x ydx x ==-⨯-⨯⨯====⎛⎫-⨯-⨯ ⎪⎝⎭∑∑，239055()0.8568.655ˆ5ˆcy d x =-⨯=-⨯=，所以，268.65ˆ0.85y x =+．（3）令6x =，268.650.85699.25ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为99.25亿元．另解（此种解法酌情给分）：（1）y a bx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：1234535x ++++==，511785i i y y ===∑，()()515222151221537851 5.13ˆ555105i ii i i x yx ybx x==-⨯-⨯⨯====-⨯-⨯∑∑，()78 5.1362.7ˆˆa y b x =-⨯=-⨯=，所以，7ˆ62. 5.1yx =+．（3）令6x =，62.7 5.1693.3ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为93.3亿元．16．【解析】解：（1）作FO BC ⊥于点O ，因为平面ABC ⊥平面BCFE ，所以FO ⊥平面ABC ，FO 即为三棱台ABC DEF -的高．又因为AB ⊂平面ABC ，所以FO AB ⊥．连接AO ，因为AB DE ∥，AF DE ⊥，所以AB AF ⊥，FO AF F = ，所以AB ⊥平面AFO ，又AO ⊂平面AFO ，所以AB AO ⊥．45ABC CBF ∠=∠=︒，1AB =．所以1AO =，BO FO ==ABC DEF -．（2）以O 为原点，在面ABC 内，作OG BC ⊥，以OG ，OB ，OF 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B，F，,,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，FB =，设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =则022n FB n AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取()1,1,1n = ，设BC BO λ=，则22,022AC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线AC 与平面ABF 所成角为α，15sin cos ,5AC n α===，化简得281890λλ-+=，解得32λ=或34λ=（舍去，因为AC AB >，所以1λ>），所以BC =．17．【解析】（1）由题意，()()11f f -=，即112222a a +-=+-，解得，12a =或2a =-（舍）又经检验，12a =时，()f x 是偶函数．所以，a 的值为12．（2）当12a =时，0x ∀>，1()22202x xf x ⎛⎫=+->= ⎪⎝⎭成立；当12a >且1a ≠时，0x ∀>，1()22222xx x xf x a ⎛⎫=+->+- ⎪⎝⎭，又12202xx⎛⎫+-> ⎪⎝⎭已证，故此时符合题意；当102a <<时，()ln 2ln 2x xf x a a '=+，易知，此时()f x '在R 上单调递增，且(0)ln(2)0f a =<'．故存在00x >，使得当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，从而()f x 单调递减，所以，存在02x >，使得0(0)02x f f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故此时不合题意．综上所述，12a ≥且1a ≠．18．【解析】（1）由题意2a =，得a =又21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在E 上，得221112a b +=，从而1b =．故E 的方程为2212x y +=．（2）（ⅰ）当P 为C 的顶点时，()0,P m ，不妨设R 在第一象限，直线PR 的方程为y kx m =-，联立E 的方程为2212x y +=可得222(21)4220k x kmx m +-+-=．由22222Δ(4)4(21)(22)8(21)0km k m k m =-+-=-+=可得2221k m +=．联立直线PR 的方程y kx m =-与抛物线2:C y x m =-的方程可得x k =，则R 点的纵坐标为22212122R m m m y k m m ---=-=-=，由对称性知2212Q m m y --=，故直线QR 在y 轴上的截距为2212m m --．（ⅱ）要使（2）中的直线QR 与E 相切，必有22112m m b --==，即2230m m --=，解得3m =或1-（舍去）．设()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,R x y ，则2113y x =-，2223y x =-，2333y x =-．直线PQ 的方程为211121()y y y y x x x x --=--，即1212()3y x x x x x =+--．联立椭圆方程2212x y +=可得222121212122()14()(3)2(3)20x x x x x x x x x x ⎡⎤++-++++-=⎣⎦．由[]22212121212Δ4()(3)42()12(3)2x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=++-+++-⎣⎦⎣⎦22221212128(2228)0x x x x x x =+---=可得222212*********x x x x x x +---=，即121212250x x y y y y ++++=．同理可得131313250x x y y y y ++++=．因为直线1112(1)50x x y y y ++++=同时经过点QR ，所以QR 的直线方程为1112(1)50x x y y y ++++=．联立椭圆方程2212x y +=可得222111118(1)8(5)16480x y x x y x y ⎡⎤++++++=⎣⎦，于是[]2222211111111Δ8(5)48(1)(1648)64(1)(3)0x y x y y y x y ⎡⎤=+-+++=+--=⎣⎦．故直线QR 与椭圆相切，因此3m =符合题意．19．【解析】（1）若1y q ==，222(,2)()()(1)(1)F x x y x qy x q xy y x =++=+++=+，而[]11(,2)2()(1)()2(1)q q D F x x y q x y x =+=++=+．（2）当0k =时，[][](1)2!(0,)(0,)(0,)!n n k n q q n k D F n D F n F n q y n --===．当0k ≠时，由[][][](0,)11(0)kn kq qD F n n n k y -=-⋅⋅⋅++[][][][][]()(1)()(1)/22!11!n k n k n k n k n kn k n n n n k qyqy n k --------=-⋅⋅⋅-+=-，可得[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=．因此[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=，0,1,2,,k n = ．（3）要证[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑，只需证[][][][][]1()(1)/2(1)/200!!()()()![]!!!nnn n k n k n k kk k n k k k k n n x y x qy x qy q y x q x y n k k n k k -------==++⋅⋅⋅+==--∑∑．令1()()()()nn k k k G y x y x qy x q y a y -==++⋅⋅⋅+=∑，一方面，110101()()()()n nkkk k k n n k k k n k k x y G qy x y a q y xa xq a q a y a q y -+-==+=+=+++∑∑，另一方面，10101()()()()n nnnkn k n n k k k n k k x q y G y x q y a y xa xa q a y a q y +-==+=+=+++∑∑，当1q ≠且0x ≠时，由于()()()()nx y G qy x q y G y +=+，比较两式中ky 的系数可得111k k n k k k k xq a q a xa q a ---+=+，则[]1111(1)[]k n k k kk q n k a q q a x q x k ----+-==-⋅，由0na x =可知[][][](1)1120120!!!k k n k k k k k k n a a a a a q x a a a n k k -----=⋅⋅⋅⋅⋅=-．当1q =时，由[]11n n q qn -=++⋅⋅⋅+=，[]!!n n =可知()[][]00!C ![]!nn nn k k k n k kn k k n x y y x yx n k k --==+==-∑∑，此时命题也成立．当0x =时，[](1)/2(0,)(,)(0,)!k nq n n nk qk D F n F x n qy D F n x k -====∑也成立．综上所述，()()[]00,,!knq k k D F n F x n x k ==∑．。

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厦门市湖滨中学2018届高三5月适应性考试
理科数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，求出集合的补集，解方程化简集合，利用集合交集的定义进行计算即可.
详解：因为或，
所以
又因为，
所以，故选C.
点睛：本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.
2.的值为（）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
分析：逆用二倍角正弦公式即可得到结果.
详解：sin75°cos75°=sin75°cos75°=．
故选：A．
点睛：本题考查了二倍角正弦公式，属于基础题.
3.下列函数中，与函数的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
易知原函数的定义域为，单调递增，奇函数，所以A、C、D错误，B正确.故选B.
4.的展开式中的系数为（）
A. B. 84 C. D. 280
【答案】C
【解析】
由题意，根据二项式定理展开式的通项公式，得展开式的通项为
，则展开式的通项为，由，得，所以所求的系数为.故选C.
点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出，将的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.
5.设满足约束条件则的最大值为（）
A. B. 3 C. 9 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】
画出可行域，通过平移动直线求最大值.
【详解】可行域如图所示：
动直线平移到点时，取最大值.故选C.
【点睛】一般地，二元一次不等式组条件下的二元一次函数的最值问题，可用线性规划的方法求解.
6.已知斜率为3的直线与双曲线交于两点，若点是的中点，则双曲线的离心率等于（）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
设，
则，
所以，，
所以，得，所以，
所以。

故选A。

7.的值为，则判断框内应填入( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
流程图是判断何时，逐次计算即可.
【详解】第一次执行判断前，；第二次执行判断前，；
第三次执行判断前，，
以此类推，有，
故，，因此判断框应填，故选A.
【点睛】对于流程图的问题，我们可以从简单的情形逐步计算归纳出流程图的功能，在归纳中注意各变量的变化规律.
8.日晷是中国古代利用日影测得时刻的一种计时工具，又称“日规”.通常由铜制的指针和石制的圆盘组成，铜制的指针叫做“晷针”，垂直地穿过圆盘中心，石制的脚盘叫做“晷面”，它放在石台上，其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻.利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明，这项发明被人类沿用达几千年之久，下图是一位游客在故宫中拍到的一个日晷照片，假设相机镜头正对的方向为正方向，则根据图片判断此日晷的侧(左）视图可能为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
从左边看，圆盘的投影是椭圆，而晷针的投影是左虚右实，故可判断选项.
【详解】从左边看，圆盘在底面的投影为椭圆，
又晷针斜向下穿盘而过，故其投影为左虚右实，故选A.
【点睛】本题考察三视图，属于基础题.
9.在中，，，则角（）
A. B. C. 或 D.
【答案】D
【解析】
分析：在中，利用，结合题中条件，利用和差角公式可求得，利用正弦定理与二倍角的正弦即可求得结果.
详解：在中，因为，所以，所以，即，因为，所以，所以由正弦定理得，联立两式可得，即，，所以，所以，所以，故选D.
点睛：本题主要考查三角函数的计算以及正余弦定理的应用，最后求得之后，一定要抓住题中条件，最后确定出角的大小.
10.如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，其中侧棱长为，底面边长为，。