2.3.4圆与圆的位置关系
2.3.4+圆与圆的位置关系(同步课件)(人教B版2019选择性必修第一册)
的距离为 d=
1+(-2)2
=3 5,
∴公共弦长为 l=2 21 -2 =2 50-45=2 5.
方法二:设两圆相交于点 A,B,则 A,B 两点满足方程组
-2 + 4 = 0,
= -4,
= 0,
解得
或
=0
= 2,
2 + 2 + 2 + 2-8 = 0,
∴|AB|= (-4-0)2 + (0-2)2 =2 5,
(0 − 2)2 +(0 − 1)2 = 5,
又因为2 − 1 < 5 < 2 + 1，所以1 与2 相交.
解方程组
2 + 2 = 4
( − 2)2 +( − 1)2 = 1
可得
=
=2
或
=0
=
6
5
8
5
6
5
8
5
，因此两圆的交点为（2，0），（ ， ），从而可以求得交点所
在的直线方程为2 + − 4 = 0.
又因为2 − 2 < 2 < 2 + 2，所以1 − 2 < < 1 + 2 ，从而两个圆相交.
（2）将两圆的方程化为标准方程，分别为
2 + ( − 1)2 = 1, ( − 3)2 + 2 = 9,
由此可知圆1 的圆心为(0,1)，半径1 = 1；圆2 的圆心为( 3,0)，半径2 = 3.
∴|C1C2|=2 5,r 1+r 2=5 2 + 10,
|r1-r2|=|5 2 − 10|,
∴|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2,∴两圆相交.
4、圆与圆的位置关系
匚J Sf" 源于名校，成就所托、知识梳理:1圆与圆的五种位置关系：（1）外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离。
（2）外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切。
（3）相交：两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交。
（4）内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切。
（5）内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含。
2、圆与圆位置关系的数量描述：如果两圆的半径为r1?r2，圆心距为d,那么（1）两圆外离：二d ■ r1 r2；（2）两圆外切二d = 口• $ ；（3）两圆相交 u * - r2c d c * + r2；（4）两圆内切二d = A -r2；（5）两圆内含二；（当d=0时，两圆同心）3、相交两圆连心线的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
4、相切两圆连心线的性质：相切两圆的连心线经过切点。
二、例题精讲：例1、（ 1 ）已知两圆的半径分别为5和2,且圆心距为3,那么这两个圆的位置关系是_____________（2）___________________________________________________________________ 已知两圆的半径是8和4,圆心距为3,这两个圆的位置关系是________________________________________________（3）_______________________________________________________________________________________________ 如果两个圆的圆心距为7,且这两个圆的直径分别为6和8，那么这两个圆的位置关系是__________________________ （4）_____________________________________________________________ 直径为10和8,且圆心距为10的两个圆的位置关系是_______________________________________________________（5）已知一个圆的半径为4，另一个圆的直径为6，而圆心距为5,这两个圆的位置关系是—（6）___________________________________________________________ 直径为8与6的两个圆相切，这两个圆的圆心距等于_______________________________________________________例2、解下列各题：（1）已知两圆内切，圆心距为2，一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径是多少？（2）已知两个圆的圆心距为10, —个圆的半径为8,要使这两个圆外离，那么另一个圆的半径r的取值范围是怎样？（3）已知两圆外切，一个圆的半径为5,而圆心距为乙那么另一个圆的半径是多少？轡立方教冃、古宀丄亠源于名校，成就所托(4) 已知相切两圆的圆心距为 7，一个圆的半径为 6，试求另一个圆的半径。
圆与圆位置关系
圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系：两圆(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)与(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)圆心距d ＝(a 1－a 2)2＋(b 1－b 2)2 d >r 1＋r 2⇔两圆__外离__；d ＝r 1＋r 2⇔两圆__外切__；|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆__相交__；d ＝|r 1－r 2|⇔两圆__内切__；0<d <|r 1－r 2|⇔两圆__内含__，d ＝0时为同心圆．2．两圆的公切线条数：当两圆内切时有__一条__公切线；当两圆外切时有__三条__公切线；相交时有__两条__公切线；相离时有__四条__公切线；内含时__无__公切线．随堂练习1．圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系是 ( C )A ．相切B ．外离C ．内含D ．相交[解析] 圆x 2＋y 2＝1的圆心O 1(0,0)，半径r 1＝1，圆x 2＋y 2＝2的圆心O 2(0,0)，半径r 2＝2则d ＝|O 1O 2|＝0，|r 2－r 1|＝2－1∴d <|r 2－r 1|，∴这两圆的位置关系是内含．2．圆x 2＋y 2＝4与圆(x －4)2＋(y －7)2＝1公切线的条数为 ( D )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 圆x 2＋y 2＝4的圆心O 1(0,0)，半径r 1＝2，圆(x －4)2＋(y －7)2＝1的圆心O 2(4,7)，半径r 2＝1，则d ＝|O 1O 2|＝(4－0)2＋(7－0)2＝65>r 1＋r 2＝3．∴这两圆的位置关系是外离．有4条公切线，故选D ．3．若圆x 2＋y 2＝m 与圆x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0内切，则m ＝__1或121__.[解析] 圆x 2＋y 2＝m 的半径r 1＝m 圆x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0的圆心坐标为(－3,4)，半径r 2＝6．∵两圆相内切，两圆心距离d ＝5∴6－m ＝5，或m －6＝5∴m ＝1或m ＝121．4．已知圆C 与圆x 2＋y 2－2x ＝0相外切，并且与直线x ＋3y ＝0相切于点Q (3，－3)，求圆C 的方程.[解析] 圆心C (a ，b )在过点Q (3，－3)与直线x ＋3y ＝0垂直的直线y ＝3x －43上，∴b ＝3a －43．圆心C 到C 1(1,0)和Q (3，－3)距离的差为1可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝0或⎩⎨⎧a ＝0b ＝－43．∴⊙C 的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36． 命题方向1 ⇨两圆位置关系的判断1 、判断圆x 2＋y 2＋6x －7＝0与圆x 2＋y 2＋6y －27＝0的位置关系.[解析] 解法一：圆x 2＋y 2＋6x －7＝0的圆心为C 1(－3,0)，半径r 1＝4，圆x 2＋y 2＋6y －27＝0的圆心为C 2(0，－3)，半径为r 2＝6，则两圆的圆心距d ＝|C 1C 2|＝[0－(－3)]2＋(－3－0)2＝32∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2，即两圆相交．解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋6x －7＝0x 2＋y 2＋6y －27＝0，得2x 2＋383x ＋379＝0 Δ＝⎝⎛⎭⎫3832－4×2×379＝1 4849－2969＝1 1889>0∴两圆相交． 2.两圆C 1：x 2＋y 2－2x －3＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0的位置关系是( C )A．相离B．相切C．相交D．内含[解析]把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x－1)2＋y2＝4(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以两圆圆心为C1(1,0)，C2(2，－1)，半径为r1＝2，r2＝2，则连心线的长|C1C2|＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，故r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，两圆相交．命题方向2⇨由圆与圆的位置关系求参数的值或取值范围1. 实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？[解析]将两圆的一般方程化为标准方程，得C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C1：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k．则圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k，k<50．∴|C1C2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5．当1＋50－k＝5，即k＝34时，两圆外切；当|50－k－1|＝5，即k＝14时，两圆内切；当14<k<34时，4<50－k<6则r2－r1<|C1C2|<r2＋r1，此时，两圆相交；当k<14时两圆内含，当34<k<50时，两圆相离．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时：(1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含．[解析]对于圆C1与圆C2的方程，经配方后C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9．圆心C1(m，－2)，半径r1＝3．C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4．圆心C2(－1，m)，半径r2＝2．(1)当两圆相外切时，|C1C2|＝r1＋r2∴(m＋1)2＋(－2－m)2＝5，∴m2＋3m－10＝0解得m＝－5或2．(2)当两圆相内含时，0<|C1C2|<|r1－r2|∴(m＋1)2＋(－2－m)2<1∴m2＋3m＋2<0，∴－2<m<－1．命题方向3⇨两圆的公共弦问题1. 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．[解析](1)将两圆方程配方化为标准方程C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10．则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝52；圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝10．又|C1C2|＝25，r1＋r2＝52＋10，r1－r2＝52－10．∴r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0．(3两方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0两式相减得x －2y ＋4＝0，即两圆相交弦所在直线的方程； 由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50其圆心为C 1(1，－5)，半径r 1＝52．圆心C 1到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝35 ∴两圆的公共弦长为2r 2－d 2＝250－45＝2 5.2.圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦所在的直线方程是__4x ＋3y －2＝0__，公共弦长为__10__．[解析] 已知圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，①圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，② ①－②得24x ＋18y －12＝0即4x ＋3y －2＝0．把圆C 1，圆C 2化成标准方程分别为圆C 1：(x －6)2＋(y －1)2＝50，圆心为(6,1)r 1＝52圆C 2：(x ＋6)2＋(y ＋8)2＝125，圆心为(－6，－8)，r 2＝55则连心线的长|C 1C 2|＝(6＋6)2＋(1＋8)2＝15从而r 2－r 1＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2．故两圆相交．所以两圆公共弦所在的直线方程是4x ＋3y －2＝0．圆C 1的圆心到直线的距离d ＝|4×6＋3×1－2|42＋32＝5故公共弦长为2r 21－d 2＝250－25＝10． 基础测试1．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －3)2＝25，圆C 2与圆C 1关于点(2,1)对称，则圆C 2的方程是 ( B )A ．(x －3)2＋(y －5)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋1)2＝25C ．(x －1)2＋(y －4)2＝25D ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝25[解析] 设⊙C 2上任一点P (x ，y )，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y )在⊙C 1上，∴(x －5)2＋(y ＋1)2＝25．2．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为 ( A )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0[解析] 解法一：线段AB 的中垂线即两圆的连心线所在直线l ，由圆心C 1(1,0)，C 2(－1,2)，得l 方程为x ＋y －1＝0． 解法二：直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此线段AB 的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y ＝－(x －1)，故选A ．3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b 应满足的关系式是 ( B )A ．a 2－2a －2b －3＝0B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0[解析] 利用公共弦始终经过圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a ＋2)x ＋(2b ＋2)y －a 2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0．4．设r >0，两圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝r 2与x 2＋y 2＝16可能 ( C )A ．相离B ．相交C ．内切或内含或相交D ．外切或外离[解析] ∵两圆圆心坐标为(1，－3)，(0,0)，∴两圆的圆心的距离为(0－1)2＋(0＋3)2＝10<4，半径分别为4，r ，∴当|4－r |<10<4＋r 时，两圆相交，当4－r ＝10时，两圆相切，当4－r <10时，两圆内含，故选C ．5．两圆x 2＋y 2＝16与(x －4)2＋(y ＋3)2＝r 2(r >0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝ ( C )A ．5B ．4C ．3D ．22[解析] 设一个交点P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝16，(x 0－4)2＋(y 0＋3)2＝r 2，∴r 2＝41－8x 0＋6y 0∵两切线互相垂直∴y 0x 0·y 0＋3x 0－4＝－1，∴3y 0－4x 0＝－16．∴r 2＝41＋2(3y 0－4x 0)＝9，∴r ＝3． 6．半径长为6的圆与y 轴相切，且与圆(x －3)2＋y 2＝1内切，则此圆的方程为 ( D )A ．(x －6)2＋(y －4)2＝6B ．(x －6)2＋(y ±4)2＝6C ．(x －6)2＋(y －4)2＝36D ．(x －6)2＋(y ±4)2＝36[解析] 半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则a ＝6，再由b 2＋32＝5可以解得b ＝±4，故所求圆的方程为(x －6)2＋(y ±4)2＝36．7．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程.[解析] 解法一：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0 相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0．再由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0x 2＋y 2－12x －2y －13＝0 联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为 12(5＋1)2＋(－6－2)2＝5． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25．。
2.3.4圆与圆的位置关系教案教师版
2.3.4圆与圆的位置关系【学习要求】1．理解圆与圆的五种位置关系，掌握它的位置关系的判定方法．2．会利用圆与圆的位置关系求解与圆有关的问题，了解圆系的使用方法．【学法指导】通过观察图形，探究出两圆的位置关系与圆心距与两圆的半径和与差的大小关系，归纳出判断两圆位置关系的方法，培养数形结合的思想.填一填：知识要点、记下疑难点1．几何法判断圆与圆的位置关系：设两圆的圆心距为d，两圆半径分别为r1，r2.(1)当d>r1＋r2时，圆C1与圆C2外离；(2)当d＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切；(3)当|r1－r2|<d<r1＋r2时，圆C1与圆C2相交；(4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；(5)当d<|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．2．代数法判断圆与圆的位置关系：将两个圆方程联立，消去其中的一个未知数y或x，得关于x或y的一元二次方程. 若方程中Δ>0 ，则两圆相交；若方程中Δ＝0 ，则两圆相切；若方程中Δ<0 ，两圆外离或内含.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]同学们一定观看过“日食”现象，那么月亮与太阳的圆形轮廓有哪几种位置关系？又如何判断它们的位置关系呢？本节就来探讨这个问题．探究点一圆与圆的位置关系问题1圆与圆的位置关系有几类？答：有内含、内切、相交、外切、外离五种．问题2如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？答：根据两圆的方程，求出两圆心的坐标及两圆的半径R，r，利用两点间的距离公式求出两圆的圆心距d，然后利用若d<|R－r|，则两圆内含；若d＝|R－r|，则两圆内切；若|R－r|＜d＜R＋r，则两圆相交；若d＝R＋r，则两圆外切；若d＞R＋r，则两圆外离.问题3已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，判断两个圆位置关系的步骤如何？答：(1)将两圆的方程化为标准方程；(2)求两圆的圆心坐标和半径R、r；(3)求两圆的圆心距d;(4)比较d与|R－r|，R＋r的大小关系作出结论．例1判断下列两圆的位置关系：(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0.解：(1)两圆的方程分别变形为(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2.所以两个圆心的坐标分别为(1,0)和(2，－1)，半径分别为r1＝2，r2＝2，两圆的圆心距d＝|C1C2|＝－2＋－2＝2，r1＋r2＝2＋2，所以r1－r2<d<r1＋r2.因此这两个圆相交．(2)两圆的方程分别变形为x2＋(y－1)2＝12，(x－3)2＋y2＝32.所以两个圆心的坐标分别为(0,1)和(3，0)，半径分别为r1＝1，r2＝3，则两圆的圆心距d＝32＋12＝2，所以d＝r2－r1.因此这两个圆内切．小结：跟判断直线与圆的位置关系一样，判断两圆的位置关系也可以用代数法求方程组解的组数，但由于解两个二元二次方程组通常计算量较大，较为麻烦，而且当无解或是一解时往往还得重新用几何法来讨论，不如直接运用几何法简便．跟踪训练1a为何值时，两圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0：(1)外切；(2)内切．解 将两圆方程写成标准方程，得(x －a)2＋(y ＋2)2＝9，(x ＋1)2＋(y －a)2＝4.设两圆的圆心距为d ，则d 2＝(a ＋1)2＋(－2－a)2＝2a 2＋6a ＋5.(1)当d ＝3＋2＝5，即2a 2＋6a ＋5＝25时，两圆外切，此时a ＝－5或2.(2)当d ＝3－2＝1，即2a 2＋6a ＋5＝1时，两圆内切，解得a ＝－1或a ＝－2.探究点二 两圆公共弦问题例2 已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．解 设两圆交点为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则A 、B 两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0 ①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0 ②的解， ①－②得3x －4y ＋6＝0，∵A 、B 两点坐标都满足此方程，∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．易知圆C 1的圆心(－1,3)，半径r ＝3.d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋42＝95. ∴|AB|＝2r 2－d 2＝232－⎝⎛⎭⎫952＝245.即两圆的公共弦长为245. 小结： 求两相交圆的公共弦的方程及公共弦长时，一般不用求交点的方法，常用两方程相减法消去二次项，得到公共弦的方程，再由勾股定理求弦长．跟踪训练2 判断两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与C 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系．若相交，求其公共弦长．解： ∵C 1(1,0)，C 2(0,2)，r 1＝1，r 2＝2，∴d ＝|C 1C 2|＝5<r 1＋r 2＝3，5>r 2－r 1＝1，故两圆相交．如图所示：设两圆的公共弦OA 与连心线C 1C 2交于M 点，则C 1M ⊥OA ，|OA|＝2|AM|.∵C 1(1,0)，|AC 1|＝1.由两圆的方程，得直线OA 的方程为x －2y ＝0.从而|C 1M|＝|1－2×0|12＋－2＝15.于是|OA|＝2|AM|＝2|AC 1|2－|C 1M|2＝212－⎝⎛⎭⎫152＝455. 综上所述，圆C 1、圆C 2相交，公共弦长为455.探究点三 求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程问题1 若两圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，M(x 0，y 0)为一个交点，则点M(x 0，y 0)在直线(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0上吗？为什么？答： M(x 0，y 0)在直线(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0上．因为M(x 0，y 0)为两圆的交点，所以M(x 0，y 0)既适合圆C 1的方程也适合圆C 2的方程，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＋D 1x 0＋E 1y 0＋F 1＝0， ①x 20＋y 20＋D 2x 0＋E 2y 0＋F 2＝0. ②由①－②，得(D 1－D 2)x 0＋(E 1－E 2)y 0＋F 1－F 2＝0，这个方程说明了M(x 0，y 0)在直线(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0上．问题2 若两圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，它们的交点弦所在的直线方程是什么？为什么？答： 它们的交点弦所在的直线方程为：(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.设两圆的两个交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由问题1知点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)都在直线(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0上，而两点确定一条直线，所以过A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)的直线方程即为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0，也即两圆的公共弦所在的直线方程． 例3 求过直线x ＋y ＋4＝0与圆x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0的交点且与y ＝x 相切的圆的方程．解： 设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋4x －2y －4＋λ(x ＋y ＋4)＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x x 2＋y 2＋4x －2y －4＋＋y ＋＝0， 得x 2＋(1＋λ)x ＋2(λ－1)＝0.因为圆与y ＝x 相切，所以Δ＝0.即(1＋λ)2－8(λ－1)＝0，则λ＝3.故所求圆的方程为x 2＋y 2＋7x ＋y ＋8＝0.小结： 过直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0交点的圆的方程可设为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ (Ax ＋By ＋C)＝0；过两圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆的方程，可设为：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0.跟踪训练3 求过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0与x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点，且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程． 解 方法一 依题意所求的圆的圆心在已知两圆的圆心的连心线上，又已知两圆的圆心分别为(－3,0)和(0，－3)． 则连心线的方程是x ＋y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋3＝0x －y －4＝0解得⎩⎨⎧ x ＝12y ＝－72.所以所求圆的圆心坐标是⎝⎛⎭⎫12，－72. 设所求圆的方程是x 2＋y 2－x ＋7y ＋m ＝0，由三个圆有同一条公共弦，x 2＋y 2＋6x －4－(x 2＋y 2＋6y －28)＝0，得x －y ＋4＝0，x 2＋y 2＋6x －4－(x 2＋y 2－x ＋7y ＋m)＝0，得x －y －4＋m 7＝0，所以－4＋m 7＝4，即m ＝－32. 故所求方程是x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.方法二 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0，整理得：x 2＋y 2＋6x 1＋λ＋6λy 1＋λ－4＋28λ1＋λ＝0，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－31＋λ，－3λ1＋λ， 因圆心在直线x －y －4＝0上，所以有－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－7. 所以所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．两圆x 2＋y 2＝9和x 2＋y 2－8x ＋6y ＋9＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切解析 圆x 2＋y 2－8x ＋6y ＋9＝0的圆心为(4，－3)，半径为4.两圆心之间的距离为5，∵|3－4|<5<3＋4，∴两圆相交． 2．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2－1＝0相内切，则a ＝________.解析 两圆的圆心和半径分别为O 1(0,0)，r 1＝2，O 2(a,0)，r 2＝1，由两圆内切可得d(O 1，O 2)＝r 1－r 2，即|a|＝1， 所以a ＝±1.3．圆x 2＋y 2＝1与圆(x －1)2＋y 2＝1的公共弦所在的直线方程为________．解析 设两圆相交于A 、B 两点，则A 、B 两点满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，－2＋y 2＝1.两式相减得－2x ＋1＝0，即x ＝12. 课堂小结：1．判断两圆的位置关系的方法：(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用．(2)依据连心线的长与两圆半径长的和或两半径的差的绝对值的大小关系．2．若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x 2和y 2就得到两圆的公共弦所在的直线方程．3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长．。
2.3.4圆与圆的位置关系课件高二上学期数学人教B版选择性
解析：因为圆 O : x2 y2 4 ，所以圆心O(0, 0) ，半径为 R 2 ，因为圆 M : x2 y2 4x 2 y 4 0 ，可化为 (x 2)2 ( y 1)2 1 ，所以圆心 M (2,1) ，半 径为 r 1.对于 A，两圆的方程作差得 4x 2y 4 4 ，即 y 2x 4 ，所以两圆 公共弦所在的直线方程为 y 2x 4 ，故 A 错误；
由此可知圆 1 的圆心为 (0,1) ，半径 1 = 1 ；
圆 2 的圆心为
，半径 2 = 3 .
因此两圆的圆心距 = (0 − 3)2 + (1 − 0)2 = 2 ，
又因为 3 − 1 = 2 ，所以 2 − 1 = ，从而可知两圆内切.
例 2 判断圆 1: 2 + 2 = 4 与圆 2:( − 2)2 + ( − 1)2 = 1 的位置关系， 如果相交，求出它们交点所在的直线的方程.
法一：在平面直角坐标系中作出圆 C1 与圆 C2， 如图所示，可以看出它们有两个公共点，因此圆 C1 与圆 C2 相交.
法二：对于圆
1 与圆
2，因为方程组
2
(
+ −
2 = 2, 2)2 + 2
=
1的第一式减去第二
式可得 4 − 4 = 2 − 1，从而可知 x 5 ，将此代入圆 4
1
的方程可得
5 4
8.已知圆C1 : (x a)2 y2 36 与圆C2 : x2 ( y 2)2 4 内切，则a _________.
解析：由圆 C1 : (x a)2 y2 36 知，圆心为C1(a, 0) ，半径为 r1 6 ，由圆 C2 : x2 ( y 2)2 4 知，圆心为 C2 (0, 2) ，半径为 r2 2 ，因为两圆内切，故 C1C2 r1 r2 ，即 a2 4 4 ，解得 a 2 3 .
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系知识要点：1．圆与圆的位置关系设两圆半径为R和r，圆心距为d，则两圆的位置关系如下：2．分切线定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线。
当两圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线；当两圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。
公切线长：公切线上的两个切点间的距离叫做公切线的长。
定理：两圆的两条外分切线长相等，两圆的两条内公切线长也相等。
外公切线的长为；内公切线的长为。
3．相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
4．相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点。
1．圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为R和r，同心距为d）（1）两圆外离d＞R+r；（2）两圆外切d=R+r；（3）两圆相交R－r＜d＜R+r；（4）两圆内切d=R－r；（5）两圆内含d＜R－r。
（同心圆（6）是一种内含的特例）2．有关性质：（1）连心线：通过两圆圆心的直线。
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。
（2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
（3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。
两个圆在公切线同旁两个圆在公切线两旁3．已知两圆半径分别为R、r，同心距为d，填定下表：名称公共点数圆心距半径关系公切线条数内外外离d=R+r相交d=R－r内含一星级题：1．如果两圆有且只有两条公切线，那么这两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含2．如果两圆半径分别为3㎝和5㎝，圆心距为2㎝，则两个圆的位置关系为（）。
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切3．已知⊙O1和⊙O2内切，它们的半径分别为2㎝和3㎝，则两圆圆心距O1O2= ㎝。
4．半径分别为3㎝和4㎝的两圆外切，那么这两圆的圆心距为㎝。
5．已知半径为R的两个等圆的圆心距为d，那么当两圆外切时，d与R满足的关系式是。
6．已知两圆半径分别为5㎝和2㎝，它们的圆心距为7㎝，则两圆位置关系为。
7．已知：两圆⊙O1与⊙O2的圆心距O1O2=5㎝，两圆的半径分别为㎝和㎝，则这两圆的位置关系是。
高中数学第二章平面解析几何圆与圆的位置关系课后习题新人教B版选择性必修第一册
2.3.4 圆与圆的位置关系A级必备知识基础练1.设r>0,圆(x-1)2+(y+3)2=r2与圆x2+y2=16的位置关系不可能是( )A.内切B.相交C.内切或内含D.外切或外离2.两圆C1:x2+y2=16,C2:x2+y2+2x+2y-7=0,则两圆公切线条数为( )A.1B.2C.3D.43.圆x2+y2=4与圆x2+y2+2y-6=0的公共弦长为( )A.1B.2C.√3D.2√34.过点M(2,-2)以及圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是( )A.x2+y2-154x-12=0B.x2+y2-154x+12=0C.x2+y2+154x-12=0D.x2+y2+154x+12=05.若圆x2+y2=r2与圆x2+y2+2x-4y+4=0有公共点,则r满足的条件是( )A.r<√5+1B.r>√5+1C.|r-√5|≤1D.|r-√5|<16.已知两圆(x+2)2+(y-2)2=4和x2+y2=4相交于M,N两点,则|MN|= .7.若圆x2+y2-2ax+a2=2和圆x2+y2-2by+b2=1外离,则a,b满足的条件是 .8.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值为 .9.已知圆O1:x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心O2(2,1).若圆O2与圆O1交于A,B两点,且|AB|=2√2,求圆O2的方程.10.已知圆x2+y2-2x-6y-1=0和圆x2+y2-10x-12y+m=0.(1)m取何值时两圆外切?(2)m取何值时两圆内切?(3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.B级关键能力提升练11.已知圆C的方程为(x-3)2+y2=1,若y轴上存在一点A,使得以A为圆心,半径为3的圆与圆C有公共点,则A的纵坐标可以是( )A.1B.-3C.5D.-712.(多选题)圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,则有( )A.公共弦AB所在直线的方程为x-y=0B.线段AB中垂线的方程为x+y-1=0C.公共弦AB的长为√22D.P为圆O1上一动点,则P到直线AB距离的最大值为√22+113.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:x2+y2=8与圆C2:x2+y2+2x+y-a=0相交于A,B两点.若圆C1上存在点P,使得△ABP为等腰直角三角形,则实数a的值组成的集合为 .14.已知点P(t,t-1),t∈R,点E是圆x2+y2=14上的动点,点F是圆(x-3)2+(y+1)2=94上的动点,则|PF|-|PE|的最大值为 .15.与圆C1:(x-1)2+y2=1,圆C2:(x-4)2+(y+4)2=4均外切的圆中,面积最小的圆的方程是 .16.已知圆C1:x2+y2=5与圆C2:x2+y2-4x+3=0相交于A,B两点.(1)求过圆C1的圆心与圆C2相切的直线方程;(2)求圆C1与圆C2的公共弦长|AB|.C级学科素养创新练17.已知圆方程C1:f(x,y)=0,点P1(x1,y1)在圆C1上,点P2(x2,y2)不在圆C1上,则方程f(x,y)-f(x1,y1)-f(x2,y2)=0表示的圆C2与圆C1的关系是( )A.与圆C1重合B.与圆C1同心圆C.过P1且与圆C1圆心相同的圆D.过P2且与圆C1圆心相同的圆18.(多选题)设有一组圆C k:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*).下列四个结论中正确的有( )A.存在一条定直线与所有的圆均相切B.存在一条定直线与所有的圆均相交C.存在一条定直线与所有的圆均不相交D.所有的圆均不经过原点2.3.4 圆与圆的位置关系1.D 两圆的圆心距为d=√(1-0)2+(-3-0)2=√10,两圆的半径之和为r+4,因为√10<r+4,所以两圆不可能外切或外离,故选D.2.B 两圆C1:x2+y2=16,圆心C1(0,0),半径为4,C2:x2+y2+2x+2y-7=0,其标准方程为(x+1)2+ (y+1)2=9,圆心C2(-1,-1),半径为3,圆心距|C1C2|=√2,|4-3|<√2<|4+3|,即两圆相交,所以公切线恰有两条.3.D 两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为y=1,圆x2+y2=4的半径R=2,圆心(0,0)到直线y=1的距离d=1,则弦长l=2√R2-d2=2√3.故选D.4.A 设经过圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是x2+y2-5x+λ(x2+y2-2)=0,λ≠-1,再把点M(2,-2)代入可得4+4-10+λ(4+4-2)=0,求得λ=13,故要求的圆的方程为x2+y2-154x-12=0.5.C 由x2+y2+2x-4y+4=0,得(x+1)2+(y-2)2=1,两圆圆心之间的距离为√(-1)2+22=√5.∵两圆有公共点,∴|r-1|≤√5≤r+1,∴√5-1≤r≤√5+1,即-1≤r-√5≤1,∴|r-√5|≤1.6.2√2 由题意可知直线MN的方程为(x+2)2+(y-2)2-x2-y2=0,即l MN:x-y+2=0,圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,则圆心(0,0)到x-y+2=0的距离d=2√=√2,所以|MN|=2√r2-d2=2×22-(√2)2=2√2.7.a2+b2>3+2√2 由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a,0),√2和(0,b),1.因为两圆外离,所以√a2+b2>√2+1,即a2+b2>3+2√2.8.43 ∵圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,整理得(x-4)2+y2=1,即圆C是以(4,0)为圆心,1为半径的圆.又直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,∴圆C':(x-4)2+y2=4与直线y=kx-2有公共点.设圆心C(4,0)到直线y=kx-2的距离为d,则d=√2即3k2≤4k,∴0≤k≤43,故可知参数k的最大值为43.9.解设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r22,因为圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,将两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB所在的直线方程为4x+4y+r22-8=0,作O1H⊥AB,H为垂足,图略,则|AH|=12|AB|=√2,所以|O1H|=√r12-|AH|2=√4-2=√2.由圆心O1(0,-1)到直线4x+4y+r22-8=024√2√2,得r22=4或r22=20,故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.10.解两圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,圆心分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为√11和√61-m.两圆圆心之间的距离d=√(5-1)2+(6-3)2=5.(1)当两圆外切时,5=√11+√61-m,解得m=25+10√11.(2)当两圆内切时,因定圆的半径√11小于两圆圆心间距离5,故只有√61-m−√11=5,解得m=25-10√11.(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0,∴公共弦长为2√(√11)2-|4×1+3×3-23|√222=2√7.11.A 圆C 的方程为(x-3)2+y 2=1,则圆心C (3,0).设y 轴上一点A (0,b ),当以A 为圆心,半径为3的圆与圆C 有公共点时,满足3-1≤|CA|≤3+1,即2≤√(0-3)2+(b -0)2≤4,所以2≤√9+b 2≤4,化简得b 2≤7,∴-√7≤b ≤√7,∴A 的纵坐标可以是1.12.ABD 对于A,由圆O 1:x 2+y 2-2x=0与圆O 2:x 2+y 2+2x-4y=0的交点为A ,B ,两式作差可得4x-4y=0,即公共弦AB 所在直线方程为x-y=0,故A 正确;对于B,圆O 1:x 2+y 2-2x=0的圆心为(1,0),又k AB =1,则线段AB 中垂线的斜率为-1,即线段AB 中垂线的方程为y-0=-1×(x-1),整理可得x+y-1=0,故B 正确;对于C,圆O 1:x 2+y 2-2x=0,圆心O 1(1,0)到直线x-y=0的距离d=√√22,半径r=1,所以|AB|=2√1-(√22)2=√2,故C 不正确;对于D,P 为圆O 1上一动点,圆心O 1(1,0)到直线x-y=0的距离为d=√22,半径r=1,即P 到直线AB距离的最大值为√22+1,故D 正确.13.{8,8-2√5,8+2√5} 由题知,直线AB 为2x+y+8-a=0.当∠PAB=90°或∠PBA=90°时,设C 1到AB 的距离为d.因为△ABP 为等腰直角三角形,所以d=12|AB|,即d=√8-d 2,所以d=2,所以|8-a |√222,解得a=8±2√5.当∠APB=90°时,AB 经过圆心C 1,则8-a=0,即a=8.14.4 ∵P (t ,t-1),∴P 点在直线y=x-1上,作E关于直线y=x-1的对称点E',且圆O:x2+y2=14关于直线y=x-1对称的圆O1的方程为(x-1)2+(y+1)2=14,所以E'在圆O1上,∴|PE|=|PE'|,设圆(x-3)2+(y+1)2=94的圆心为O2,∴|PE'|≥|PO1|-|E'O1|,|PF|≤|PO2|+|FO2|,∴|PF|-|PE|=|PF|-|PE'|≤(|PO2|+|FO2|)-(|PO1|-|E'O1|)=|PO2|-|PO1|+2≤|O1O2|+2=4,当P,E',F,O1,O2五点共线,E'在线段PO1上,O2在线段PF上时等号成立.因此,|PF|-|PE|的最大值为4.15.(x-115)2+(y+85)2=1 当三圆圆心在一条直线上时,所求圆面积最小.设所求圆的圆心坐标为(a,b),已知两圆圆心之间的距离为d=√(1-4)2+(0+4)2=5,所以所求圆半径为1.由已知可知a-14-1=25,所以a=115,b-0-4-0=25,所以b=-85,所以所求圆的方程为(x-115)2+(y+85)2=1.16.解(1)已知圆C1:x2+y2=5的圆心坐标为(0,0),半径为√5,圆C2:x2+y2-4x+3=0的圆心坐标为(2,0),半径为1.若过圆C1的圆心(0,0)与圆C2相切的直线斜率存在,则可设直线方程为y=kx,则圆心(2,0)到直线kx-y=0的距离d=√21,整理得3k2=1,解得k=±√3 3,所以直线方程为y=±√3 3x.若直线斜率不存在,直线不与圆C2相切.综上所述,直线方程为y=±√3 3x.(2)圆C1:x2+y2=5与圆C2:x2+y2-4x+3=0相交于A,B两点,则过点A和B的直线方程为4x-3=5,即x=2.所以(0,0)到直线x=2的距离d=2,所以|AB|=2(√5)2-22=2.17.D 由题意,圆方程C1:f(x,y)=0,点P1(x1,y1)在圆C1上,点P2(x2,y2)不在圆C1上,∴f(x1,y1)=0,f(x2,y2)≠0,由f(x,y)-f(x1,y1)-f(x2,y2)=0,得f(x,y)=f(x2,y2)≠0,它表示过P2且与圆C1圆心相同的圆.18.BD 根据题意得,圆心(k-1,3k),圆心在直线y=3(x+1)上,故存在直线y=3(x+1)与所有圆都相交,选项B正确;考虑两圆的位置关系,圆C k:圆心(k-1,3k),半径为r=√2k2,圆C k+1:圆心(k-1+1,3(k+1)),即(k,3k+3),半径为R=√2(k+1)2,两圆的圆心距d=√(k-k+1)2+(3k+3-3k)2=√10,两圆的半径之差R-r=√2(k+1)2-√2k2=2√2 k+√2,任取k=1或2时,(R-r>d),C k含于C k+1之中,选项A错误;若k取无穷大,则可以认为所有直线都与圆相交,选项C错误;将(0,0)代入圆的方程,则有(-k+1)2+9k2=2k4,即10k2-2k+1=2k4(k∈N*),因为左边为奇数,右边为偶数,故不存在k使上式成立,即所有圆均不过原点,选项D正确.。
圆与圆的位置关系的判断方法
圆与圆的位置关系的判断方法：
（1）利用圆心距和两圆半径比较大小（几何法）已知两圆
的圆心距为
d，则位置关系表示如下：
（2）利用两圆的交点进行判断（代数法）
设由两圆的方程组成的方程组为
由此方程组得：有两组不同的实数解则两圆相交；有两组相同的实数解则两圆相切；无实数解则两圆相离．
两圆公切线条数的确定：
两圆的公切线的条数是由两圆的位置关系确定的，设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为
则当时，两圆外离，此时有四条公切线；
当时，两圆外切，连心线过切点，此时有三条公切线，有外公切线两条，内公切线一条；
当时，两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当时，两圆内切，连心线过切点，此时只有一条公切线；
当时，两圆内含，此时没有公切线。
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∴ C1的圆心(−1,−4), 半径为r1 = 5 C2的圆心(2,2), 半径为r2 = 10
∴ 连心线长为 (−1 − 2) + (−4 − 2) = 3 5
2 2
| r1 + r2 |= 5 + 10
| r1 − r2 |= 5 − 10
x − 2x − 3 = 0
2
(4)
则 ∆ = (−2) − 4 ×1× (−3) = 16 > 0
2
所以，方程 有两个不相等的实数根 有两个不相等的实数根x 所以，方程(4)有两个不相等的实数根 1,x2， 分别代入方程(3)，得到y 把x1,x2分别代入方程 ，得到 1,y2. 因此圆C 与圆C 因此圆 1与圆 2有两个子不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2).
代数方法
(x − a)2 + ( y −b)2 = r2 Ax + By + C = 0
消去y（或x） 消去y
px2 + qx + t = 0
d < r : 相交 d = r : 相切 d > r : 相离
∆ > 0: 相交 ∆ = 0: 相切 ∆< 0: 相离
圆与圆的 五 种 位置关系
G S
R O1 r O2 R O1 r O2
P
R O相交
O1O2>R+r
R
O1O2=R+r
R
R-r<O1O2<R+r
R
O1 O r 2
O1 O
r
2
O 1O 2r
内切
内含
同心圆
(一种特殊的内含) 一种特殊的内含
O1O2=R-r
0≤O1O2<R-r
O1O2=0
∴ C、 N 、 C ' 三 点 共 线
① kCN = kC ' N 在直线CN上 ②点C’在直线 上 在直线 C B x N C’
作业
思考题
例 .求经过两圆C1 : x2 + y2 + 2x + 8y −8 = 0, C2 : x2 + 2 y2 − 4x − 4y − 2 = 0交点的直线 方程 .
各有何优劣，如何选用？ 各有何优劣，如何选用？
（1）当∆=0时，有一个交点，两圆位置关系如何？ ） 时 有一个交点， 内切或外切 （2）当∆<0时，没有交点，两圆位置关系如何？ ） 时 没有交点， 内含或相离 几何方法直观， 求出交点； 几何方法直观，但不能 求出交点； 直观 代数方法能求出交点 能求出交点， 代数方法能求出交点，但∆=0， ∆<0时，不能判 ， 时 圆的位置关系。 圆的位置关系。
消去y（或x） 消去y
圆心距d 圆心距 （两点间距离公式） 两点间距离公式）
px2 + qx + r = 0
比较d和 比较 和r1，r2的 大小， 大小，下结论
∆ > 0: 相交 ∆ = 0:内切或外切 ∆< 0: 相离或内含
小结： 小结：两圆相切的性质
C、C’为圆心，N为切点 、 为圆心 为圆心， 为切点 y
若两圆x 若两圆 2+y2=9与x2+y2-4ax-2y+4a2-3=0 与 相切，求实数a的值 的值. 相切，求实数 的值
+6x-2y+1=0， 点M在圆心为C1的方程：x2+y2+6x-2y+1=0， 在圆心为C 的方程： 在圆心为C 的方程x +2x+4y+1=0， 点N在圆心为C2的方程x2+y2+2x+4y+1=0， |MN|的最大值 的最大值. 求|MN|的最大值.
解析几何
2.3.4圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系
直线和圆的位置关系
C d l l C d l C
r
d
相交： 相交：d
2 2
<r
相切： 相切：d
2
=r
相离： 相离：d
>r
弦长 r = d + 2
判断直线和圆的位置关系
几何方法
求圆心坐标及半径r 求圆心坐标及半径 配方法） （配方法） 圆心到直线的距离d 圆心到直线的距离 点到直线距离公式） （点到直线距离公式）
练2.求过两圆 1 : x2 + y2 + 2x +8y −8 = 0, C2 : x2 + y2 C − 4x − 4y − 2 = 0的交点 且圆心在 , 直线 x + 2y +1 = 0 2 上 的圆 方程 .
例. C 圆 3已知圆 与 C1 : x2 + y2 − 2x = 0相切 并 , 且与直 线 : x + 3y = 0相切 l 于点P(3,− 3), 求圆 的 C 方程 .
+2x+8y-8=0和 例1、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和 已知圆C 4x-4y-2=0，试判断圆C 与圆C 圆C2 ：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2 的位置关系. 的位置关系.
而5 − 10 < 3 5 < 5 + 10 即 | r1 − r2 |< 3 5 < | r1 + r2 |
x + y 2 + 10 x + 10 y = 0 1.求半径为 3 2 ，且与圆 求半径为
问题探究2
切于原点的圆的方程。 切于原点的圆的方程。
C (−5, −5)
y
A(a, b)
∵ C 、 A、 O 三 点 共 线
∴ k CO = k AO
A O C B x
−5 − 0 b − 0 = −5 − 0 a − 0
所以圆C 与圆C 相交，它们有两个公共点A 所以圆C1与圆C2相交，它们有两个公共点A，B.
+2x+8y-8=0和 例1、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和 已知圆C 4x-4y-2=0，试判断圆C 与圆C 圆C2 ：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2 的位置关系. 的位置关系. 与圆C 的方程联立， 解法二：圆C1与圆C2的方程联立，得 2 2 x + y + 2x + 8 y − 8 = 0 2 2 x + y − 4x − 4 y − 2 = 0 (1)-(2)，得 ，
a=b
| AO |= 3 2
a 2 + b2 = 3 2
2.求经过点 求经过点M(3,-1) ,且与圆 x 2 + y 2 + 2 x − 6 y + 5 = 0 求经过点 且与圆 切于点N(1,2)的圆的方程。 的圆的方程。 切于点 的圆的方程
y 求圆G的圆心和半径 求圆 的圆心和半径r=|GM| 的圆心和半径 圆心是CN与 圆心是 与MN中垂线的交点 中垂线的交点 两点式求CN方程 两点式求 方程 式求中垂线DG方程 点(D)斜(kDG) 式求中垂线 斜 方程 O M C N D G x
圆与圆的位置关系: 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 交点情况 没有交点 一个交点 两个交点 一个交点 没有交点
圆 距 与 , r关 心 d R 系
d > R+r d = R+r R−r < d < R+ r d = R−r d < R−r
反思
判断两圆位置关系
几何方法 代数方法
问题探究
中 点公式求D, kDG ⋅ kMN = −1
kMN = ( yM − yN )/(xM − xN )
小结： 小结：判断两圆位置关系
几何方法
两圆心坐标及半径 配方法） （配方法）
代数方法
(x − a1)2 + ( y −b )2 = r 2 1 1 (x − a2 )2 + ( y −b2 )2 = r22
(1) (2)
x − 2 y +1 = 0
1− x y= 2
(3)
代入(1), 整理得
由(3)得
+2x+8y-8=0和 例1、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和 已知圆C 4x-4y-2=0，试判断圆C 与圆C 圆C2 ：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2 的位置关系. 的位置关系.
+2x+8y-8=0和 例1、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和 已知圆C 4x-4y-2=0，试判断圆C 与圆C 圆C2 ：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2 的位置关系. 的位置关系. 把圆C C2的方程化为标准方程 把圆 和圆C2的方程化为标准方程： 解法一： C1和圆C2的方程化为标准方程： 2 2 2 C1 : ( x + 1) + ( y + 4) = 5