2018届高考数学(上海专用)总复习专题09圆锥曲线分项练习

第九章 圆锥曲线一．基础题组1. 【2017高考上海，6】设双曲线()22109x y b b2-=> 的焦点为12,F F ，P 为该双曲线上的一点.若15PF = ,则2PF = . 【答案】11.2. 【2014上海,理3】若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________. 【答案】2x =-.【解析】椭圆22195x y +=的右焦点为(2,0)，因此22p =，4p =，准线方程为2x =-. 【考点】椭圆与抛物线的几何性质.3. 【2013上海,理9】设AB 是椭圆Γ的长轴，在C 在Γ上，且∠CBA ＝4π.若AB ＝4，BCΓ的两个焦点之间的距离为______．【解析】 (如图)不妨设椭圆Γ的标准方程为2224x y b+＝1，于是可算得C (1,1)，得b 2＝43，2c .4. 【2013上海,文18】记椭圆22441x ny n ++＝1围成的区域(含边界)为Ωn (n ＝1，2，…)，当点(x ，y )分别在Ω1，Ω2，…上时，x ＋y 的最大值分别是M 1，M 2，…，则lim n n M →∞＝( )A ．0B ．14` C ．2D ．【答案】D5. 【2011上海,理3】设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线22=19y x m -的一个焦点，则m ＝______. 【答案】16 【解析】6. 【2010上海,理3】若动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则点P 的轨迹方程为_____________； 【答案】x y 82=【解析】由抛物线定义知：P 的轨迹为抛物线，易知焦参数4p =，所以点P 的轨迹方程为x y 82=.【点评】本题考查抛物线定义和轨迹方程的求法之——直接法，属基础概念题7. 【2010上海,理13】如图所示，直线2=x 与双曲线Γ：1422=-y x 的渐近线交于1E ，2E 两点，记11OE e =，22OE e =.任取双曲线Γ上的点P ，若12O P a e b e =+（a 、b R ∈），则a 、b 满足的一个等 式是 ； 【答案】41ab =【解析】设00(,)P x y ，易知1(2,1)e =，2(2,1)e =-，由12O P a eb e =+，得00(,)(2,1)(2,1)x y a b =+-，即00(,)(22,)x y a b a b =+-，∴022x a b =+，0y a b =-，代入1422=-y x 整理得41ab =，故答案为：41ab =. 【点评】本题考查双曲线的几何性质，向量的坐标运算，平面向量基本定理等知识，把向量与解几结合命题，是全国各地高考题中的主流趋势.8. 【2010上海,文13】在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为0)，e 1＝(2,1)、e 2＝(2，－1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P ，若OP ＝ae 1＋be 2(a 、b ∈R)，则a 、b 满足的一个等式是________． 【答案】4ab ＝1【解析】由题意知，双曲线两条渐近线的斜率分别为±12，可得双曲线方程为24x －y 2＝λ，即：24x λ－2y λ＝1.又∵双曲线的一个焦点坐标为0)，∴4λ＋λ＝5，解得λ＝1.∴双曲线的方程为24x －y 2＝1.而OP ＝ae 1＋be 2＝(2a ，a )＋(2b ，－b )＝(2a ＋2b ，a －b )， 又∵P 在双曲线上，∴2(22)4a b +－(a －b )2＝1.整理得4ab ＝1.9. (2009上海,理9)已知F 1、F 2是椭圆C:12222=+by a x (a ＞b ＞0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且21PF ⊥.若△PF 1F 2的面积为9,则b=______________. 【答案】3【解析】∵21PF ⊥,∴∠F 1PF 2=90°, ∴△F 1PF 2为直角三角形. ∴|PF 1|2+|PF 2|2=(2c)2. 又∵|PF 1|+|PF 2|=2a,∴|PF 1|2+|PF 2|2=(|PF 1|+|PF 2|)2-2|PF 1|·|PF 2|, 即(2c)2=(2a)2-4×21|PF 1|·|PF 2|,9||||212121=∙=∆PF PF S F PF . ∴4c 2=4a 2-4×9=0, ∴4b 2=4×9.∴b=3.10. (2009上海,理14)将函数2642--+=x x y (x ∈［0,6］)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(0≤θ≤α),得到曲线C.若对于每一个旋转角θ,曲线C 都是一个函数的图像,则α的最大值为_____________. 【答案】32arctan11. (2009上海,文9)过点A(1,0)作倾斜角为4π的直线,与抛物线y 2=2x 交于M 、N 两点,则|MN|=___________.【答案】62 【解析】斜率14tan==πk ,所以过点A(1,0)的直线方程为y=x-1.将其代入抛物线y 2=2x,得x 2-4x+1=0.因为判别式Δ=16-4＞0,所以可设其两根为x 1,x 2, 于是x 1+x 2=4,x 1x 2=1.故6241624)(1||212212=-∙=-++=x x x x kMN12. 【2008上海,文6】若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a =___． 【答案】-1【解析】直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点(1,0),F 则10 1.a a +=∴=-13. 【2008上海,文12】设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ ）A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】D【解析】 由椭圆的第一定义知12210.PF PF a +==14. 【2007上海,理8】已知双曲线22145x y -=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为_____15. 【2006上海,理7】已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．【答案】141622=+y x【解析】已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，即2a b =，∴22312c b ==，∴ 224,16b a ==，该椭圆的标准方程是141622=+y x ．16. 【2006上海,文7】已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是____________________.【答案】221916x y -= 【解析】已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x 轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为5:4，即:5:4c b =，解得5,4c b ==，则双曲线的标准方程是221916x y -=. 17. 【2005上海,理5】若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________.【答案】1922=-y x 【解析】由双曲线的渐近线方程为x y 3±=，知3=ab， 它的一个焦点是()0,10，知1022=+b a，因此3,1==b a双曲线的方程是1922=-y x 18. 【2005上海,理15】过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在 【答案】B19. 【2005上海,文7】若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()0,152，则椭圆的标准方程是__________.【答案】2218020x y +=【解析】由题意可知，2ab=，c =222a b c =+，解得2280,20a b ==， 所求椭圆的标准方程为2218020x y +=. 【解后反思】在求椭圆方程和研究性质时，要深刻理解确定椭圆的形状及大小的主要特征数，如a 、b 、c 、p 、e 的几何意义及它们的关系式，熟练运用这些公式解决有关问题. 二．能力题组20. 【2016高考上海理数】（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F 点或河边运走.于是，菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1,0），如图.（1）求菜地内的分界线C 的方程;（2）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为38.设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另有一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于1S 面积的经验值.【答案】（1）24y x =（02y <<）；（2）矩形面积为52，五边形面积为114，五边形面积更接近于1S 面积的“经验值”． 【解析】试题解析：（1）因为C 上的点到直线ΕΗ与到点F 的距离相等，所以C 是以F 为焦点、以ΕΗ为准线的抛物线在正方形ΕFG Η内的部分，其方程为24y x =（02y <<）．（2）依题意，点Μ的坐标为1,14⎛⎫⎪⎝⎭． 所求的矩形面积为52，而所求的五边形面积为114． 矩形面积与“经验值”之差的绝对值为581236-=，而五边形面积与“经验值”之差 的绝对值为11814312-=，所以五边形面积更接近于1S 面积的“经验值”． 【考点】抛物线的定义及其标准方程、面积计算【名师点睛】本题主要考查抛物线的实际应用，“出奇”之处在于有较浓的“几何味”，即研究几何图形的面积，解题关键在于能读懂题意.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力、数学的应用意识等.21．【2016高考上海理数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点.（1）若l 的倾斜角为π2，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b =l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=，求l 的斜率.【答案】（1）y =；（2）5±. 【解析】()110F ΑF ΒΑΒ+⋅=即10F ΜΑΒ⋅=，从而得到11F Μkk ⋅=-，进而构建关于k 的方程求解即可．试题解析：（1）设(),ΑΑΑx y ．由题意，()2,0F c，c ，()22241Αy b c b =-=，因为1F ΑΒ△是等边三角形，所以2Αc =，即()24413b b +=，解得22b =．故双曲线的渐近线方程为y =． （2）由已知，()12,0F -，()22,0F ．设()11,Αx y ，()22,Βx y ，直线:l ()2y k x =-．显然0k ≠．由()22132y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得()222234430k x k x k --++=． 因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()23610k ∆=+>．设ΑΒ的中点为(),ΜΜΜx y ．由11()0F A F B AB +⋅=即10F ΜΑΒ⋅=，知1F ΜΑΒ⊥，故11F Μk k ⋅=-． 而2122223Μx x k x k +==-，()2623ΜΜk y k x k =-=-，12323F Μk k k =-， 所以23123k k k ⋅=--，得235k =，故l的斜率为．【考点】双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、平面向量的数量积【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，利用,,,a b c e 的关系，确定双曲线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与双曲线（圆锥曲线）方程得到方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.22. 【2016高考上海文数】已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .【答案】14422=-y x 【解析】因为1C 的方程为1422=-y x ，所以1C 的一条渐近线的斜率211=k ，所以2C 的一条渐近线的斜率12=k ，因为双曲线1C 、2C 的顶点重合，即焦点都在x 轴上，设2C 的方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ，所以2==b a ，所以2C 的方程为14422=-y x . 【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.【名师点睛】在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．同时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线； (2)求已知渐近线的双曲线的方程； (3)渐近线的斜率与离心率的关系，如k ＝b a ＝c 2－a 2a ＝c 2a2－1＝e 2－1. 23.【2015高考上海文数】（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，设AOC ∆的面积为S .（1）设),(11y x A ，),(22y x C ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明||21221y x y x S -=；（2）设kx y l =:1，)33,33(C ，31=S ，求k 的值； （3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变. 【答案】（1）详见解析；（2）1-=k 或51-=k ；（3）21-=m .【解析】（1）直线1l 的方程为011=-y x x y ， 由点到直线的距离公式得点C 到1l 的距离为21211221||yx y x x y d +-=，因为2121||y x OA +=，所以||21||211221y x y x d OA S -=⋅=. （2）由⎩⎨⎧=+=1222y x kx y ，消去y 解得221211k x +=， 由（1）得2111221216|1|3|3333|21||21kk kx x y x y x S +-=-=-=由题意知31216|1|32=+-k k ，解得1-=k 或51-=k . （3）设kx y l =:1，则x kmy l =:2，设),(11y x A ，),(22y x C ， 由⎩⎨⎧=+=1222y x kxy ，的221211k x +=，同理2222222)(211m k k km x +=+=，由（1）知，||||||21||21||2121212111221x x k m k kx x k mx x y x y x S ⋅-⋅=⋅-⋅=-=22222212||mk k m k +⋅+-=，整理得0)18()2164()18(22222242=-++++-m S k m m S S k S ， 由题意知S 与k 无关，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=-021640182222m m S S S ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==21812m S . 所以21-=m . 【考点定位】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．当直线(斜率为k )与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，则|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|，而|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．24. 【2015高考上海理数】抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =． 【答案】2【考点定位】抛物线定义【名师点睛】标准方程中的参数p 的几何意义是指焦点到准线的距离；p ＞0恰恰说明定义中的焦点F 不在准线l 上这一隐含条件；参数p 的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p 的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．25.【2015高考上海理数】已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 ．【答案】y x = 【解析】由题意得：1C ：223,(0)x y λλ-=≠，设(,)Q x y ，则(,2)P x y ，所以2234x y λ-=，即2C的渐近线方程为y x = 【考点定位】双曲线渐近线【名师点睛】(1)已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分b m a =或am b=讨论． (2)与双曲线22221x y a b -=共渐近线的可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；(3)若渐近线方程为b y x a =±，则可设为2222(0)x y a bλλ-=≠；(4)相关点法求动点轨迹方程．26. 【2015高考上海理数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形CD AB 的面积为S .（1）设()11,x y A ，()22C ,x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明11212S x y x y =-；（2）设1l 与2l 的斜率之积为12-，求面积S 的值. 【答案】（1）详见解析（2）S =【解析】证明：（1）直线1:l 110y x x y -=，点C 到1l的距离d =2AB =OA =所以C 122112222S S d x y x y ∆AB ==⨯AB ⋅=-. 解：（2）设1:l y kx =，则2:l 12y x k=-.设 ()11,x y A ，()22C ,x y .由2221y kx x y =⎧⎨+=⎩，得212112x k =+. 同理2222212211122k x k k ==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 由()1，2121221211221222x x k S x y x y x kx x x k k⋅+=-=+⋅=⋅=整理得S .【考点定位】直线与椭圆位置关系【名师点睛】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式解决，往往会更简单．三角形面积公式的选用也是解题关键.27. 【2014上海,文22】（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔；⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分割线.【答案】(1)证明见解析；（2）11(,][,)22k ∈-∞-+∞；（3）证明见解析. 【解析】二次项系数为0和不为0分类，然后在曲线上找到两点位于直线y kx =的两侧．则可得到所求范围；（3）可直接设动点M 坐标为(,)x y ，代入已知条件即可求出轨迹E 的方程为1x =，化简为2221(2)x y x+-=，y 轴的方程为0x =，它显然与曲线E 无交点，又曲线E 上两点(1,2),(1,2)-一定在直线0x =两侧，故它是分隔线，结论得证． 试题解析：（1）由题得，2(2)0η=⋅-<，∴(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔. （2）由题得，直线y kx =与曲线2241x y -=无交点即222241(14)10x y k x y kx⎧-=⇒--=⎨=⎩无解 ∴2140k -=或221404(14)0k k ⎧-≠⎨∆=-<⎩，∴11(,][,)22k ∈-∞-+∞. 又对任意的11(,][,)22k ∈-∞-+∞，点(1,0)和(1,0)-在曲线2221x y -=上，满足20k η=-<，被直线y kx =分隔，所以所求k 的范围是11(,][,)22-∞-+∞．（3）由题得，设(,)M x y 1x =， 化简得，点M 的轨迹方程为222[(2)]1x y x +-⋅= 当过原点的直线斜率不存在时，其方程为0x =.因为对任意的0y R ∈，点0(0,)y 不是方程222[(2)]1x y x +-⋅=的解，所以直线0x =与曲线E 没有交点，又曲线E 上的两点(1,2),(1,2)-对于直线0x =满足110η=-⋅<，即点(1,2),(1,2)-被直线0x =分隔．所以直线y 轴是E 分隔线．【考点】新定义，直线与曲线的公共点问题.28. 【2013上海,理22】如图，已知双曲线C 1：22x －y 2＝1，曲线C 2：|y |＝|x |＋1.P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与C 1、C 2都有公共点，则称P 为“C 1C 2型点”．(1)在正确证明C 1的左焦点是“C 1C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程(不要求验证)；(2)设直线y ＝kx 与C 2有公共点，求证|k |＞1，进而证明原点不是“C 1C 2型点”； (3)求证：圆x 2＋y 2＝12内的点都不是“C 1C 2型点”． 【答案】(1) x＝y＝(k x ，其中|k|≥3. (2) 参考解析;(3)参考解析 【解析】(1)C 1的左焦点为(，写出的直线方程可以是以下形式：x＝y＝(k x ，其中|k|≥3(2)因为直线y ＝kx 与C 2有公共点， 所以方程组,||||1y kx y x =⎧⎨=+⎩有实数解，因此|kx |＝|x |＋1，得|k |＝1||x x +＞1.若原点是“C 1C 2型点”，则存在过原点的直线与C 1、C 2都有公共点． 考虑过原点与C 2有公共点的直线x ＝0或y ＝kx (|k |＞1)． 显然直线x ＝0与C 1无公共点．如果直线为y ＝kx (|k |＞1)，则由方程组22,12y kx x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩ 得x 2＝2212k-＜0，矛盾．所以直线y ＝kx (|k |＞1)与C 1也无公共点． 因此原点不是“C 1C 2型点”．因为l 与C 1有公共点，所以方程组22,12y kx b x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩有实数解，得(1－2k 2)x 2－4kbx －2b 2－2＝0. 因为|k |＞1，所以1－2k 2≠0，因此Δ＝(4kb )2－4(1－2k 2)(－2b 2－2)＝8(b 2＋1－2k 2)≥0， 即b 2≥2k 2－1.因为圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离d，所以221b k +＝d 2＜12，从而212k +＞b 2≥2k 2－1， 得k 2＜1，与|k |＞1矛盾． 因此，圆x 2＋y 2＝12内的点都不是“C 1C 2型点”． 29. 【2012上海,理22】在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1. (1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P ，Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ； (3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M ，N 分别是C 1，C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值． 【答案】(1)8;(2)参考解析; (3)参考解析 【解析】(1)双曲线C 1：22112x y -=，左顶点A(2-，0)，渐近线方程：y =.过点A与渐近线y =平行的直线方程为y x =，即1y +.解方程组,1y y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得1.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以所求三角形的面积为1||||2S OA y ==. (2)设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b . 因直线PQ 与已知圆相切，1=，即b 2＝2. 由22,21y x b x y =+⎧⎨-=⎩得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则122122,1.x x b x x b +=⎧⎨=--⎩ 又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，所以OP OQ ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝2， 则O 到直线MN当直线ON 不垂直于x 轴时， 设直线ON 的方程为y ＝kx (显然|k |＞2)， 则直线OM 的方程为1y x k=-. 由22,41y kx x y =⎧⎨+=⎩得222221,4,4x kk y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 所以2221||4k ON k +=+.同理2221||21k OM k +=-.设O 到直线MN 的距离为d ，因为(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2，所以22222111333||||1kd OM ON k+=+==+，即3d=.综上，O到直线MN的距离是定值．30. 【2012上海,文22】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若||MF=M的坐标；(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；(3)设斜率为k(|k|的直线l交C于P，Q两点，若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ.【答案】(1) M4; (3)参考解析由M点是右支上一点，知x≥，所以||2MF=+=得x=.所以M．(2)左顶点A(2-，0)，渐近线方程：y=.过点A与渐近线y=平行的直线方程为)2y x=+，即1y+.解方程组,1yy⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得41.2xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所求平行四边形的面积为S ＝|OA ||y |＝4. (3)设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋b . 因直线PQ与已知圆相切，故1=，即b 2＝k 2＋1.(*) 由22,21,y kx b x y =+⎧⎨-=⎩得(2－k 2)x 2－2kbx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则12221222,21.2kb x x k b x x k ⎧+=⎪⎪-⎨--⎪=⎪-⎩又y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )，所以OP OQ ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝2222222222(1)(1)21222k b k b b k b k k k +---+-++=---.由(*)知，0OP OQ ⋅=，所以OP ⊥OQ .31. 【2010上海,理23】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知椭圆Γ的方程为22221x y a b+=（0a b >>），点P 的坐标为（b a ,-）.（1）若直角坐标平面上的点M 、(0,)A b -，(,0)B a 满足1()2PM PA PB =+，求点M 的坐标；（2）设直线1l ：1y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线2l ：2y k x =于点E .若2122b k k a⋅=-，证明：E 为CD 的中点；（3）对于椭圆Γ上的点(cos ,sin )Q a b θθ（0θπ<<），如果椭圆Γ上存在不同的两个交点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=，写出求作点1P、2P 的步骤，并求出使1P 、2P 存在的θ的取值范围.【答案】（1）)2,2(b aM -;（2）参考解析;（3）(0,arcsin44π+因为直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点， 所以∆>0，即222210a k b p +->，设C (x 1,y 1)、D (x 2,y 2)，CD 中点坐标为(x 0,y 0)， 则212102221201022212x x a k px a k b b p y k x p a k b ⎧+==-⎪+⎪⎨⎪=+=⎪+⎩， 由方程组12y k x py k x =+⎧⎨=⎩，消y 得方程(k 2-k 1)x =p ，又因为2221b k a k =-，所以2102222112202221a k p px x k k a k b b p y k x y a k b ⎧==-=⎪-+⎪⎨⎪===⎪+⎩， 故E 为CD 的中点； (3) 求作点P 1、P 2的步骤：1︒求出PQ 的中点(1cos )(1sin )(,)22a b E θθ-+-， 2︒求出直线OE 的斜率2(1sin )(1cos )b k a θθ+=--，3︒由12PP PP PQ +=知E 为CD 的中点，根据(2)可得CD 的斜率2122(1cos )(1sin )b b k a k a θθ-=-=+， 4︒从而得直线CD 的方程：(1sin )(1cos )(1cos )()2(1sin )2b b a y x a θθθθ+---=++， 5︒将直线CD 与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P 1、P 2的坐标． 欲使P 1、P 2存在，必须点E 在椭圆内，所以22(1cos )(1sin )144θθ-++<，化简得1sin cos 2θθ-<，sin()4πθ-<又0<θ <π，即3444πππθ-<-<，所以44ππθ-<-<，故θ的取值范围是(0,4π+． 【点评】今年以解析几何为压轴题，意图与全国大多数考区的试卷接轨.本题是具有一定深度的探究题，然而从研究问题的一般方法入手，可以从具体到一般地层层深入，即可获得各小题的部分分值是我们对不少考生的期望．32. 【2010上海,文23】已知椭圆Γ的方程为22x a＋22y b ＝1(a ＞b ＞0)，A (0，b )，B (0，－b )和Q (a,0)为Γ的三个顶点．(1)若点M 满足AM ＝12(AQ ＋AB )，求点M 的坐标； (2)设直线l 1：y ＝k 1x ＋p 交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线l 2：y ＝k 2x 于点E .若k 1·k 2＝－22b a，证明：E 为CD 的中点；(3)设点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，如何构作过PQ 中点F 的直线l ，使得l 与椭圆Γ的两个交点P 1、P 2满足1PP ＋2PP ＝PQ ？令a ＝10，b ＝5，点P 的坐标是(－8，－1)，若椭圆Γ上的点P 1、P 2满足1PP ＋2PP ＝PQ ，求点P 1、P 2的坐标． 【答案】(1) (a 2，－b2); (2) 参考解析;(3) P 1(8,3)，P 2(－6，－4)【解析】(1)解：设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由题意可知AQ ＝(a ，－b )，AB ＝(0，－2b )，∴AM ＝12 (AQ ＋AB )＝(2a ，－32b )＝(x 0，y 0－b )， ∴点M 的坐标为(a2，－b2)．(2)证明：由122221y k x p x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得(b 2＋a 221k )x 2＋2a 2k 1px ＋a 2p 2－a 2b 2＝0，∴CD 中点坐标为(－212221a k p b a k +，22221b pb a k +)．∵k 1·k 2＝－22b a ，∴k 2＝－221b a k .由1221y k x pb y x a k =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 得l 1与l 2的交点E 的坐标为(－212221a k p b a k +，22221b p b a k +)． ∴l 1与l 2的交点E 为CD 的中点．(3)解：设OF 的斜率为k 1，过F 作斜率为k 2＝－21bk a的直线交椭圆于P 1、P 2两点． 由(2)可知，F 是P 1P 2的中点，四边形PP 1QP 2是平行四边形，所以1PP ＋2PP＝PQ ，直线P 1P 2即为所求．由a ＝10，b ＝5及点P (－8，－1)得PQ 中点为S (1，－12)，OS 的斜率k OS ＝－12. 过点S 且斜率k ＝－22510os k ＝12的直线l 的方程是y ＝12 (x －2)．记l 与Γ的交点为P 1、P 2，则1PP ＋2PP＝PQ . 由221100251(2)2x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得P 1(8,3)，P 2(－6，－4)．33. (本题满分16分)(2009上海,理21)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分8分.已知双曲线C:1222=-y x ,设过点A(23-,0)的直线l 的方向向量e =(1,k). (1)当直线l 与双曲线C 的一条渐近线m 平行时,求直线l 的方程及l 与m 的距离; (2)证明:当22>k 时,在双曲线C 的右支上不存在点Q,使之到直线l 的距离为6. 【答案】(1) 0232=+±y x; (2) 参考解析(2)证法一:设过原点且平行于l 的直线b:kx-y=0, 则直线l 与b 的距离21||23kk d +=,当22>k 时,6>d . 又双曲线C 的渐近线为02=±y x , ∴双曲线C 的右支在直线b 的右下方,∴双曲线C 右支上的任意点到直线l 的距离大于6.故在双曲线C 的右支上不存在点Q,使之到直线l 的距离为6. 证法二:假设双曲线C 右支上存在点Q(x 0,y 0)到直线l 的距离为6,则⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-)2(,22)1(,61|23|2020200y x kk y kxx 02-2y 02=2,(2)由(1),得2001623k k kx y +∙±+=,设21623k k t +∙±=, 当22>k 时,016232>+∙±=k k t ; 01312616232222>++-⨯=+∙-=kk k k k t .将y 0=kx 0+t 代入(2)得(1-2k 2)x 02-4ktx 0-2(t 2+1)=0,(*)∵22>k ,t ＞0,∴1-2k 2＜0,-4kt ＜0,-2(t 2+1)＜0. ∴方程(*)不存在正根,即假设不成立,故在双曲线C 的右支上不存在点Q,使之到直线l 的距离为6.34. (2009上海,文22)已知双曲线C 的中心是原点,右焦点为F(3,0),一条渐近线m:02=+y x ,设过点A(23-,0)的直线l 的方向向量e =(1,k). (1)求双曲线C 的方程;(2)若过原点的直线a ∥l,且a 与l 的距离为6,求k 的值;(3)证明:当22>k 时,在双曲线C 的右支上不存在点Q,使之到直线l 的距离为6. 【答案】(1) 1222=-y x ; (2) 22±=k ;(3)参考解析 【解析】(1)设双曲线C 的方程为x 2-2y 2=λ(λ＞0), ∴32=+λλ,解得λ=2.∴双曲线C 的方程为1222=-y x . (2)直线l:023=+-k y kx , 直线a:kx-y=0. 由题意,得61|23|2=+k k ,解得22±=k . (3)证法一:设过原点且平行于l 的直线b:kx-y=0, 则直线l 与b 的距离21||23kk d +=,当22>k 时,6>d . 又双曲线C 的渐近线为02=±y x , ∴双曲线C 的右支在直线b 的右下方.∴双曲线C 右支上的任意点到直线l 的距离大于6.故在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l 的距离为6. 证法二:假设双曲线C 右支上存在点Q （x 0,y 0)到直线l 的距离为6，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-②y x ①kk y kx ,22,61|23|2020200由①得2001623k k kx y +∙±+=,设21623k k t +∙±=, 当22>k 时，016232>+∙+=k k t ; 01312616232222>++-⨯=+∙-=kk k k k t .将y 0=kx 0+t 代入②得（1-2k 2)x 02-4ktx 0-2(t 2+1)=0.(*) ∵22>k ,t ＞0. ∴1-2k 2＜0,-4kt ＜0,-2(t 2+1)＜0. ∴方程（*）不存在正根，即假设不成立.故在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l 的距离为6.35. 【2008上海,理18】(6’+9’)已知双曲线22: 14x C y -=，P 为C 上的任意点。