17.1.3勾股定理应用
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第3课时应用勾股定理解数学问题课件新版新人教版
出它的面积；
【解】△ABC如图①，S△ABC＝ .
探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为 a，2 a， a(a＞0)，请利
用图③中的正方形网格(每个小正方形的边长均为a)画出相
应的△ABC，并求出它的面积；
【解】△ABC如图②，可得
∵∠ABC＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°， ∵∠AOB＝90°，
∴OB＝ a，
∴OF＝OB＋BF＝ ，OA＝OC＝ .
∴AC＝CE＝ a.
易得∠PFO＝∠OEM＝90°.
∵点P的坐标为(－2 ，3)，
∴ ＝3，即a＝2.
∴OE＝OC＋CE＝
＝3
（ − ） + 的最小值.
【解】如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作
ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C.则AE的长
即为代数式 + ＋ （ − ） + 的最小值.
过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F，得到长方形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，∴EF＝ED＋DF＝3＋2＝5.
∴AE＝ ＋ ＝13，即 +
＋ （ − ） + 的最小值为13.
利用勾股定理探求格点三角形面积
11.[新考法 构图求面积法]问题背景：
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 ， ，
，求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个
∴∠CAD＝45°＝∠ACD.
∴AD＝CD＝2 cm.
人教版八年级数学下册17.1勾股定理(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
人教版八年级数学下册17.1勾股定理（教案）
一、教学内容
人教版八年级数学下册第十七章第一节：勾股定理。本节课主要内容包括：
1.勾股定理的概念：了解直角三角形的特性，理解勾股定理的含义，即直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方。
2.勾股定理的证明：通过数形结合的方法，引导学生掌握勾股定理的证明过程。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的概念和证明这两个重点。对于难点部分，我会通过具体的图形和计算步骤来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量并计算学校楼梯的斜边长度。
-难点1：为了帮助学生理解勾股定理的普遍性，可以通过展示不同大小的直角三角形，并证明它们都满足定理。
-难点2：在证明过程中，教师需要详细解释每一步的逻辑，如为什么两个相同大小的正方形拼接在一起时，其中一个正方形的面积等于两个直角三角形直角边的平方和，另一个正方形的面积等于斜边的平方。
-难点3：针对灵活运用，教师可以设计一些变式题，如隐藏直角三角形的直角，让学生通过计算判断是否满足勾股定理，或者给出斜边和一条直角边，让学生求另一条直角边的长度。
五、教学反思
人教版八年级数学下册课件：17.1勾股定理--1.3 勾股定理在几何中的应用
l
B
0 1 2 A•3 C 4
6
知识点一：利用勾股定理在数轴上表示实数
新知探究
1、利用同样的方法，可以在数轴上画出表示
7
知识点一：利用勾股定理在数轴上表示实数
新知探究
2、利用勾股定理，可以作出长为 ， ， …的线段.
1 12
34 5
8
知识点一：利用勾股定理在数轴上表示实数
学以致用
3.在每个小正方形的边长为1的网格图中，每个小正方形的顶
点称为格点，以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，
向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，
H都是格点，且四边形EFGB为正方形，我们把这样的图形称
为格点弦图，例如，在图①所示的格点
弦图中，正方形ABCD的边长为 时，
正方形 EFCH的面积的所有可能值
17
知识点二：利用勾股定理解决几何问题
归纳总结
利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法： 作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然 后利用勾股定理并结合已知条件，采用推理或列方程的 方法解决问题．
18
知识点二：利用勾股定理解决几何问题
学以致用
1. 如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，
A. B. C. D.
13
知识点一：利用勾股定理在数轴上表示实数
学以致用
4.如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上， 若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M， 则点M表示的数为( C )
A. 2 B. -1 C. -1 D.
14
知识点一：利用勾股定理在数轴上表示实数
数学人教版八年级下册17.1 (3) 数轴表示根号a 教学设计
优质资料---欢迎下载17.1.3 勾股定理的应用(3))a为正整数一、内容和内容解析1.内容勾股定理的应用(3))a为正整数.2．内容解析勾股定理是中学数学重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系.把三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三角形三边之间的“数”的关系，是数形结合的典范.勾股定理可以解决许多直角三角形中的计算、证明问题，它有着悠久的历史，在数学发展中起着重要的作用，在现实世界中有着广泛的应用.是初中数学教学内容的重点之一.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：会利用勾股定理在数轴上表示出一个无理数)a为正整数的点.二、目标和目标解析1.教学目标(1))a为正整数的点.(2)经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,发展合情推理的能力,体会数形结合、化归、对应等数学思想.2.目标解析目标(1) )a为正整数为一边的直角三角形，画出)a为正整数)a为正整数的点的目标.目标(2)要求学生在学习过程中，不断运用勾股定理，体会勾股定理的教育价值。
提高)a为正整数的点的方法的同一性和灵活性.三、教学问题诊断分析通过前面的数学学习，学生已经熟练掌握勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么222+=.)a b ca为正整数为斜边的直角三角学生应该)a为正整数为直角边的直角三角形学生不容易想到.这一阶段的学生能积极参与数学学习活动，对数学学习有较强的好奇心和求知欲，他们能探索具体问题中的数量关系和变化规律，也能较清楚地表达解决问题的过程及所获得的解题经验，他们愿意对数学问题进行讨论，并敢于对不懂的地方和不同的观点提出自己的疑问.)a为正整数为直角边的直角三角形的另外两条边长.四、教学支持条件分析根据本节课教材内容的特点，为了帮助学生更直观、形象的观察，借助flash动画和多媒体工具教学，化静为动，化抽象为具体.五、教学过程设计1．情景激趣问题1：请同学们看投影上的两幅图片，它们是？(海螺图)数学上也有这样一幅美丽的海螺型图案，我们称它为数学海螺图.第七届国际数学教育大会的会徽就是用的这个图案.这幅数学海螺图是如何画成的呢？这节课的最后我再为同学们揭晓答案.数学海螺图设计意图：通过联系生活中的实物，将数学几何图形与实际联系，激发学生学习数学的兴趣.2.复习引入我们知道，有理数和无理数统称为实数，实数和数轴上的点是一一对应的.请用数轴上的点表示下列各数（请学生上黑板指）问题2：这些数都是什么类型的实数？(有理数)我们能较容易的在数轴上找到它们对应的点.)a为正整数的无理数表示出来是我们这节课要学习的内.容.设计意图：通过在网格中发现可以沿网格线构造直角边为整数的直角三角形，所求线段为斜边，利用勾股定理求出相应线段的长.问题3：这里用什么方法求出线段AB、CD、EF的长？总结：构造直角三角形，利用勾股定理求得第三边.设计意图)a为正整数的线段.3.画图探究活动1.可以构造一个两条直角边长都为1的直角三角形，斜边长即为如图，在数轴上找出表示1的点A，则OA=1，过点A作直线l垂直OA，在l上取点B，使AB=1.活动2：练习.1、2、在数轴上画出对应的点.先独立完成，然后小组交流画法是否一样.问题5)a为正整数的方法？归纳：构造一个直角三角形，通过先作出其余两边，再运用勾股定理构造出第三边)a为正整数.4.能力提升请先独立思考，并尝试动手画一画，然后小组内进行交流讨论.可能出现的画法预设：3不能分成两个正整数的平方和，引导学生自己想方法构造设计意图.1不是定向思维只能把无理数作为斜边.种画法，并比较这两种画法.造一个直角三角形))a为正整数的点有一个更直观生动的认识，并能体会画图方法的灵活性.5.回归图形回到本节课的开始，数学海螺图是如何画成的呢？设计意图：前后呼应，让学生感受数学的图形之美，体会学习数学的价值.6.课堂小结(1)本节课你学到了什么知识？(2)这个知识是用什么方法研究的？设计意图)a为正整数的线段的方法.体会数形结合思想和化归思想.六、目标检测设计.1.a为正整数的线段这一运用的掌握情况.2.在数轴上画出表示8的点.设计意图：考查学生灵活运用所学知识的能力.。
17.1第3课时 利用勾股定理计算、作图课堂反馈10分钟
课堂反馈(九)
2．若正方形的面积是 4，则它的对角线长为__2___2___． 3．在平面直角坐标系中，点 P(8，－15)到原点的距离是 __1_7_____．
课堂反馈(九)
4．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(3，2)，B(－4，0)，
C(0，2)．
(1)在如图 D－9－2 所示的平面直角坐标系中描出 A，B，C 三点，
并画出△ABC；
(2)求 BC 的长；
(3)求△ABC 的面积．
(1)略 (2)2 5 (3)3
图D－9－2
谢 谢 观 看！
第十七章 勾股定理
课堂反馈(九)
17．1 第3课时 利用勾股定理计算、作图 (建议用时：10分钟)
课堂反馈(九)
1．如图 D－9－1，在数轴上找到点 A，使 OA＝3，作直线 l 垂直于 OA，在直线 l 上取点 B，使 AB＝2，以原点 O 为圆心，OB 为半径画弧，交数轴正半轴于点 C，则点 C 所表示的数是____1_3___．
八年级下册《17.1 勾股定理的应用》课件
A
D
E
B
FC
RtΔABC中,AB比BC多2,AC=6,如图折 叠,使C落到AB上的E处,求CD的长度,
C D
B
A
E
例5（1）已知直角三角形的两边长分别是3和4,
则第三边长为 5 或. 7
（2）三角形ABC中,AB=10,AC=17，BC边上的 高线AD=8,求BC 21 或9
8
6
15
A
8
17
10
如果梯子的顶端A沿墙
C
下滑0.5m,那么梯子底
端B也外移0.5m吗?
从题目和图形中， 你能得到哪些信息？
O
B
D
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火， 了 解 到 每 层 楼 高 3.5m ， 消 防 队 员 取 来 7.3m 长的云梯，若梯子的底部离墙基的水平距离 是4m，请问消防队员能否进入三楼灭火？
6
DB
C
15
练习5（1）已知直角三角形两边的长分别
是3cm和6cm，则第三边的长是
.
（2）△ABC中，AB=AC=2，BD是AC边 上的高，且BD与AB的夹角为300，求CD 的长.
A
D
A
D
B
CB
C
分类思想
1.直角三角形中，已知两边长,求第三边 时,应分类讨论。
2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
课前练习： （1）求出下列直角三角形中未知的边
ห้องสมุดไป่ตู้
10 6
8
4
8
2
2
30°
45°
23
2
在解决上述问题时,每个直角三角形需已知几个条件?
(完整版)八年级下册数学17.1第3课时利用勾股定理作图或计算》教学设计
第十七章 勾股定理17。
1 勾股定理第3课时 利用勾股定理作图或计算学习目标：1。
会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题; 2.灵活运用勾股定理进行计算,并会运用勾股定理解决相应的折叠问题. 重点:会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题。
难点：灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题。
一、知识回顾1.我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,-2.5的点吗？2.求下列三角形的各边长。
一、要点探究探究点1：勾股定理与数轴想一想 1.你能在数轴上表示出2的点吗？2 呢？(提示:可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点。
)2.长为13的线段能是这样的直角三角形的斜边吗，即是直角边的长都为正整数?3.13（1)在数轴上找到点A,使OA=______；课堂探究自主学习教学备注学生在课前完成自主学习部分配套PPT 讲授1.情景引入 （见幻灯片3-4）2.探究点1新知讲授（见幻灯片5-12）（2)作直线l____OA,在l上取一点B,使AB=_____;(3）以原点O为圆心，以______为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示______的点。
要点归纳：利用勾股定理表示无理数的方法：(1)利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边。
(2）以原点为圆心,以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点,在原点左边的点表示是负无理数,在原点右边的点表示是正无理数。
类似地，利用勾股定理可以作出长2,3,5为线段，形成如图所示的数学海螺.典例精析例1如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.易错点拨：求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长。
针对训练1。
如图，点A表示的实数是（）A. 3B. 5C. 3D.5--2。
如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上,若以点A为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴于点M,则点M表示的数为（)A.2B.5 1C.10 1D.53.你能在数轴上画出表示17的点吗？探究点2：勾股定理与网格综合求线段长典例精析例2 在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC 各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．教学备注配套PPT讲授3.探究点2新知讲授（见幻灯片13-17）第1题图第2题方法总结:勾股定理与网格的综合求线段长时,通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.例3 如图，在2×2的方格中,小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上,求AB边上的高.方法总结：此类网格中求格点三角形的高的题,常用方法是利用网格求面积,再用面积法求高。
17.1.3勾股定理应用2(数轴上表示无理数)
A
B
D
B
∴点C即为表示 13 的点
A
0
1
2
3 C 4
你能画出斜边为
的直角三角形吗？ 5
5
2
1
1、在数轴上表示 —
5
的点吗？
数学海螺图：
利用勾股定理作出长为
1,
2,
3,
4,
5 的线段.
17
1
1
2
3 4 5
6
2、在数轴上画出表示
的点 17 的点 20
3、在数轴上画出表示
小结：
•说说你的本节课的 收获？
35154545232312312345探索规律在数轴上表示的数右边的数总比左边的351535115
17.1勾股定理（3）
---在数轴上画出无理数
勾股定理（gou-gu theorem)
直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。
符号语言：
a
c
∵Rt△ABC中，∠C=90°
b
∴ a b c
2 2
如图，小颍同学折叠一个直角三 角形的纸片，使A与B重合，折痕为 DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你 B 能求出CE的长吗？
D
10-x
A
E
6
x C
2.矩形ABCD如图折叠，使点D落 在BC边上的点F处，已知AB=8， BC=10，求折痕AE的长。Aຫໍສະໝຸດ D EBF
C
3.RtΔABC中,AB比BC多2,AC=6, 如图折叠,使C落到AB上的E处, 求CD的长度, C
C
B D A
3、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬 了多少厘米？（小方格的边长为1厘米） G A
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A 20 60 C
《九章算术》：有一个水池， 水面是一个边长为10尺的正方 形，在水池正中央有一根芦 苇，它高出水面1尺，如果把 这根芦苇拉向水池一边的中 点，它的顶端恰好到达池边 的水面，请问这个水的深度 与这根芦苇的长度各是多少？
2 2
E
1
C
D
5
B
X X+1
A
2
X + 5 = (X+1)
几何画板演示
如图，池塘边有两 点A、B，无法直接测 量AB之间的距离，请 B 你运用所学过的知识 设计一种方法，来测 量AB间的距离。
要求：1、画出设计图
2、若涉及到角度，请直接标在设计图中 3、若涉及到长度，请用a、b、c等字母
A
比一比，哪位同学的方法是与BA 方向成直角的AC方向 B 上一点，现在测得 CB=60m，AC= 20m ， 请你求出A、B两点间 的距离。(结果保留整 数）
(3)若a=2，∠A=30° ，则 b =
3.5
(2)、(3)两题结果精确到0.1
a
C
c
b
A
a b c
2 2
2
小试身手 ： ☞ 如图，学校有一块长方形花园，有极少 数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走 出了一条“路”，仅仅少走了________步路, 却踩伤了花草。 （假设1米为2步）
小试身手 ： ☞ 如图，学校有一块长方形花园，有极少 数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走 出了一条“路”，仅仅少走了4 ________步路, 却踩伤了花草。 （假设1米为2步） 4 C B 5 3 “路” A
17.1.3 勾股定理应用
知识回忆 ： ☞
勾股定理及其数学语言表达式:
B
直角三角形两直角 边a、b的平方和等于斜 边c的平方。 a
c
b
A
a b c
2 2
2
C
知识回忆 ： ☞
在△ABC中，∠C=90°.
(1)若b=8，c=10，则a= (2)若a=5，b=10，则c =
6 11.2
; ; ;
B