河南省开封市2017-2018学年高考数学二模试卷(文科) Word版含解析

河南省开封市2017-2018学年高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合U={1，2，3，4，5，6}，N={1，4，5}，M={2，3，4}，则N∩（∁U M）=( ) A．{1，4，5} B．{1，5} C．{4} D．{1，2，3，4，5}2．已知复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i（a∈R），则“a=1”是“z为纯虚数”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件3．若向量=（1，2），=（﹣3，4），则（•）•（+）等于( )A．20 B．（﹣10，30）C．54 D．（﹣8，24）4．过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是( )A．x﹣2y+3=0 B．2x+y﹣4=0 C．x﹣y+1=0 D．x+y﹣3=05．某几何体的三视图如图所示，侧视图、俯视图都是边长为1 的正方形，则此几何体的外接球的表面积为( )A．3πB．4πC．2πD．6．若，，，则cos （α+β）的值等于( )A．B．C．D．7．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位℃）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.2．则肯定进入夏季的地区有( )A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个8．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．49．若函数，则f（x）的最大值是( ) A．1 B．2 C．D．10．三棱锥S﹣ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB与AC所成的角为90°．②直线SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④点C到平面SAB的距离是a．其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．411．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为=1，双曲线C2的方程为=1，C1与C2的离心率之积为，则C1、C2的离心率分别为( )A．，3 B．C．，2 D．12．已知函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是( )A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设实数x、y 满足，则z=2x+3y﹣1的最大值是__________．14．若函数f（x）=1og a（x+﹣1）（a＞0且a≠1）的定义域为（0，+∞），则实数a的取值范围是__________．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C=π，sinA=，c﹣a=5﹣，则b=__________．16．已知，是单位向量，•=0，若向量与向量、共面，且满足|﹣﹣|=1，则||的取值范围是__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤17．等差数列{a n}中公差d≠0，a1=3，a1、a4、a13成等比数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设{a n}的前n项和为Sn，求：．18．某种产品按质量标准分成五个等级，等级编号x依次为1，2，3，4，5，现从一批产品中随机抽取20件，对其等级编号进行统计分析，得到频率分布表如下：x 1 2 3 4 5频率 a 0.3 0.35 b c（1）若所抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有2件，等级编辑为5的恰有4件，求a，b，c的值．（2）在（1）的条件下，将等级编辑为4的2件产品记为x1、x2，等级编辑为5的4件产品记为y1，y2，y3，y4，现从x1、x2，y1，y2，y3，y4，这6件产品中任取两件（假定每件产品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC．（Ⅰ）求证：AC⊥BB1；（Ⅱ）若P是棱B1C1的中点，求平面PAB将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成的两部分体积之比．撸啊．20．已知函数f（x）=[ax2+（a﹣1）2x+a﹣（a﹣1）2]e x（其中a∈R）．（Ⅰ）若x=0为f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，解不等式．21．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线于点M，当|FD|=2时，∠AFD=60°．（1）求证：△AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程；（2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，交直线l于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x1值．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D 是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣1|（Ⅰ）解不等式f（2x）+f（x+4）≥8；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：．河南省开封市2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合U={1，2，3，4，5，6}，N={1，4，5}，M={2，3，4}，则N∩（∁U M）=( ) A．{1，4，5} B．{1，5} C．{4} D．{1，2，3，4，5}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算求解即可．解答：解：∵U={1，2，3，4，5，6}，N={1，4，5}，M={2，3，4}，∴N∩（∁U M）={1，4，5}∩{1，5，6}={1，5}，故选：B点评：本题主要考查集合关系的应用，比较基础．2．已知复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i（a∈R），则“a=1”是“z为纯虚数”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：当a=1时，复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i=﹣i，是一个纯虚数；当z为纯虚数时，a=±1，不能推出a=1．解答：解：当a=1时，复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i=﹣i，是一个纯虚数．当复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i=﹣i是一个纯虚数时，a2﹣1=0 且a﹣2≠0，a=±1，故不能推出a=1．故“a=1”是“z为纯虚数”的充分非必要条件，故选A．点评：本题考查复数的基本概念，充分条件、必要条件的定义，是一道基础题．3．若向量=（1，2），=（﹣3，4），则（•）•（+）等于( )A．20 B．（﹣10，30）C．54 D．（﹣8，24）考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：根据所给的条件，首先要写出两个向量的数量积和两个向量的和的坐标，再进行数乘运算，本题是一个实数和一个向量的积的运算．解答：解：∵，，∴．故选B．点评：本题考查向量的数量积，考查向量的和的运算，考查向量的数乘运算，是一个基础题，没有易错点，是一个送分题目．4．过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是( )A．x﹣2y+3=0 B．2x+y﹣4=0 C．x﹣y+1=0 D．x+y﹣3=0考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：当直线AB与直线CM垂直时，∠ACB最小，由M与C的坐标求出直线CM的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线AB的斜率，由M坐标与求出的斜率即可得出此时直线l的方程．解答：解：将圆的方程化为标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，∴圆心坐标C为（3，4），∵M（1，2），∴k CM==1，∴k AB=﹣1，则此时直线l的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即x+y﹣3=0．故选：D．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系来判断，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r 时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．根据题意得出当直线AB与直线CM垂直时∠ACB最小是解本题的关键．5．某几何体的三视图如图所示，侧视图、俯视图都是边长为1 的正方形，则此几何体的外接球的表面积为( )A．3πB．4πC．2πD．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，该几何体是一个直三棱柱，其左侧面与底侧面都是边长为1的正方形且相互垂直，其外接球的直径2R=，即可得出．解答：解：如图所示，该几何体是一个直三棱柱，其左侧面与底侧面都是边长为1的正方形且相互垂直，其外接球的直径2R=，∴外接球的表面积S==3π．故选：A．点评：本题考查了三棱柱的三视图及其外接球的表面积，属于基础题．6．若，，，则cos （α+β）的值等于( )A．B．C．D．考点：两角和与差的余弦函数．分析：先根据α、β的范围确定、的范围，再由所给的三角函数值确定α+β的大小，进而可得答案．解答：解：由，则，，又，，所以，解得，所以cos（α+β）=，故选B．点评：本题主要考查求三角函数值的问题，这里一定要注意角的取值范围．7．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位℃）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.2．则肯定进入夏季的地区有( )A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：根据数据的特点进行估计出甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案．解答：解：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22，22，24，25，26．其连续5天的日平均温度均不低于22．②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24．当5个数据为19，20，27，27，27可知其连续5天的日平均温度有低于22，故不确定．③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，若有低于22，则取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22．则肯定进入夏季的地区有甲、丙三地．故选：C．点评：本题考查中位数、众数、平均数、方差的数据特征，简单的合情推理，解答此题应结合题意，根据平均数的计算方法进行解答、取特值即可．8．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4考点：选择结构．专题：图表型；分类讨论．分析：由已知的流程图，我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序，我们根据条件，分x≤2，2＜x≤5，x＞5三种情况分别讨论，满足输入的x值与输出的y值相等的情况，即可得到答案．解答：解：当x≤2时，由x2=x得：x=0，1满足条件；当2＜x≤5时，由2x﹣3=x得：x=3，满足条件；当x＞5时，由=x得：x=±1，不满足条件，故这样的x值有3个．故选C．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，我们要先分析流程图（或伪代码）判断其功能，并将其转化为数学问题，建立数学模型后，用数学的方法解答即可得到答案．9．若函数，则f（x）的最大值是( ) A．1 B．2 C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：先对函数f（x）=（1+tanx）cosx进行化简，再根据x的范围求最大值．解答：解：f（x）=（1+tanx）cosx=cosx+sinx=2sin（x+）∵0≤x，∴≤x+∴f（x）∈[1，2]故选B．点评：本题主要考查三角函数求最值问题．一般都是先将函数式进行化简再求值，这里一定要注意角的取值范围．10．三棱锥S﹣ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB与AC所成的角为90°．②直线SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④点C到平面SAB的距离是a．其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4考点：平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：由条件根据异面直线所成的角，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，平面和平面垂直的判定定理，判断各个选项是否正确，从而得出结论．解答：解：由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，故①正确；再根据SB⊥AC、SB⊥AB，可得SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，故②③正确；取AB的中点E，连接CE，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离a，④正确，故选：D．点评：本题主要考查异面直线所成的角，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，平面和平面垂直的判定定理的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．11．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为=1，双曲线C2的方程为=1，C1与C2的离心率之积为，则C1、C2的离心率分别为( )A．，3 B．C．，2 D．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程．解答：解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴=，∴（）2=，，则C1的离心率==则C2的离心率：==故选：B．点评：本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查．12．已知函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是( )A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b考点：函数单调性的性质；导数的运算；不等式比较大小．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，知f（x）为奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立，所以xf（x）为减函数，由此能判断a，b，c的大小关系．解答：解：∵当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，即：（xf（x））′＜0，∴xf（x）在（﹣∞，0）上是减函数．又∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，∴函数y=f（x）是定义在R上的奇函数∴xf（x）是定义在R上的偶函数∴xf（x）在（0，+∞）上是增函数．又∵30.3＞1＞log23＞0＞=﹣2，2=﹣，∴（﹣）f（﹣）＞30.3•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3），即（）f（）＞30.3•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3）即：c＞a＞b故选B．点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数性质的合理运用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设实数x、y 满足，则z=2x+3y﹣1的最大值是9．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y﹣1，得y=+，平移直线y=+，由图象可知当直线y=+，经过点B时，直线y=+截距最大，此时z最大．由，解得，即B（2，2）．此时z的最大值为z=2×2+3×2﹣1=9，故答案为：9．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．14．若函数f（x）=1og a（x+﹣1）（a＞0且a≠1）的定义域为（0，+∞），则实数a的取值范围是a＞，a≠1．考点：对数函数的图像与性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）=1og a（x+﹣1）（a＞0且a≠1）的定义域为（0，+∞）可化为x+﹣1＞0在（0，+∞）上恒成立；从而得到2＞1；从而解得．解答：解：由题意，x+﹣1＞0在（0，+∞）上恒成立，而x+≥2；（当且仅当x=，即x=时，等号成立）故2＞1；故a＞，a≠1；故答案为：a＞，a≠1．点评：本题考查了基本不等式的应用及恒成立问题，属于基础题．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C=π，sinA=，c﹣a=5﹣，则b=．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由已知可求得cosA，sinB，sinC，由正弦定理得=，又因为c﹣a=5﹣，从而可求得a，即可由正弦定理求b=的值．解答：解：因为C=π，sinA=，所以cosA==，由三角形内角和得B=，所以sinB=sin（）=sin cosA﹣cos sinA==，已知C=，所以sinC=，由正弦定理得=，又因为c﹣a=5﹣，所以c=5，a=，由sinB=，所以b===，故答案为：．点评：本题主要考查了正弦定理、两角差的正弦公式的应用，属于基本知识的考查．16．已知，是单位向量，•=0，若向量与向量、共面，且满足|﹣﹣|=1，则||的取值范围是[﹣1，+1]．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由，是单位向量，•=0．可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），由向量满足|﹣+|=1，可得（x﹣1）2+（y+1）2=1．其圆心C（1，﹣1），半径r=1．利用|OC|﹣r≤||=≤|OC|+r即可得出．解答：解：由，是单位向量，•=0，可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），∵向量满足|﹣+|=1，∴|（x﹣1，y+1）|=1，∴=1，即（x﹣1）2+（y+1）2=1．其圆心C（1，﹣1），半径r=1．∴|OC|=．∴﹣1≤||=≤+1．∴||的取值范围是[﹣1，+1]．故答案为：[﹣1，+1]．点评：本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤17．等差数列{a n}中公差d≠0，a1=3，a1、a4、a13成等比数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设{a n}的前n项和为Sn，求：．考点：数列的求和；等比数列的通项公式；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）a1、a4、a13成等比数列．可得，利用等差数列的通项公式可得（3+3d）2=3（3+12d），解出即可．（II）由（I）可得：S n==n（n+2），．利用“裂项求和”即可得出．解答：解：（I）∵a1、a4、a13成等比数列．∴，∴（3+3d）2=3（3+12d），化为d2﹣2d=0，d≠0，解得d=2．∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．（II）由（I）可得：S n==n（n+2），∴．∴=++…+=．=﹣．点评：本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了计算能力，属于基础题．18．某种产品按质量标准分成五个等级，等级编号x依次为1，2，3，4，5，现从一批产品中随机抽取20件，对其等级编号进行统计分析，得到频率分布表如下：x 1 2 3 4 5频率 a 0.3 0.35 b c（1）若所抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有2件，等级编辑为5的恰有4件，求a，b，c的值．（2）在（1）的条件下，将等级编辑为4的2件产品记为x1、x2，等级编辑为5的4件产品记为y1，y2，y3，y4，现从x1、x2，y1，y2，y3，y4，这6件产品中任取两件（假定每件产品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）由频率分布表得a+0.3+0.35+b+c=1，b==0.1，c==0.2，由此能求出结果．（2）从产品x1，x2，y1，y2，y3，y4中任取两件，所有可能的结果共15个，利用列举法能写出所有可能结果，设A表示“从x1、x2，y1，y2，y3，y4，这6件产品中任取两件这两件产品的等级编号恰好相同”A包含的基本事件7个，由此能求出结果．解答：解：（1）由频率分布表得a+0.3+0.35+b+c=1，即a+b+c=0.35，∵抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有2件，∴b==0.1，等级编号为5的恰有4件，∴c==0.2，∴a=0.35﹣b﹣c=0.05．故a=0.05，b=0.10，c=0.20．（2）从产品x1，x2，y1，y2，y3，y4中任取两件，所有可能的结果为：{x1，x2}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x1，y3}，{x1，y4}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x2，y3}，{x2，y4}，{y1，y2}，{y1，y3}，{y1，y4}，{y2，y3}，{y2，y4}，{y3，y4}，共15个．设A表示“从x1、x2，y1，y2，y3，y4，这6件产品中任取两件这两件产品的等级编号恰好相同”则A包含的基本事件为：{x1，x2}，{y1，y2}，{y1，y3}，{y1，y4}，{y2，y3}，{y2，y4}，{y3，y4}，共7个，故所求概率为：p=．点评：本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要注意列举法的合理运用．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC．（Ⅰ）求证：AC⊥BB1；（Ⅱ）若P是棱B1C1的中点，求平面PAB将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成的两部分体积之比．撸啊．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由已知得平面ABB1A1⊥平面ABC，从而AB⊥AC，进而AC⊥平面ABB1A1，由此能证明AC⊥BB1．（Ⅱ）设平面PAB与棱A1C1交于Q，连结AQ，PQ，将棱台C1PQ﹣ABC还原为棱锥S﹣ABC，由此能求出平面PAB将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成的两部分体积之比．解答：（Ⅰ）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵A1B⊥平面ABC，A1B⊂平面ABB1，∴平面ABB1A1⊥平面ABC，∵平面ABB1A1∩平面ABC=AB，AB⊥AC，∴AC⊥平面ABB1A1，∴AC⊥BB1．（Ⅱ）解：设平面PAB与棱A1C1交于Q，∵P为棱B1C1的中点，∴Q为棱A1C1的中点，连结AQ，PQ，设三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积为S，高为h，体积为V，则Sh=V，如图，将棱台C1PQ﹣ABC还原为棱锥S﹣ABC，解得=V，=V﹣=，∴平面PAB将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成的两部分体积之比为：=．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查两个几何体的体积之比的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．已知函数f（x）=[ax2+（a﹣1）2x+a﹣（a﹣1）2]e x（其中a∈R）．（Ⅰ）若x=0为f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，解不等式．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导f′（x）=[ax2+（a2+1）x+a]e x，从而可得a=0；（Ⅱ）当a=0时，不等式可化为（x﹣1）e x＞（x﹣1）（x2+x+1），即（x﹣1）（e x﹣（x2+x+1））＞0，令g（x）=e x﹣（x2+x+1），h（x）=g′（x）=e x﹣x﹣1，从而由导数解不等式．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=[ax2+（a﹣1）2x+a﹣（a﹣1）2]e x．∴f′（x）=[ax2+（a2+1）x+a]e x，∵x=0为f（x）的极值点，∴f′（0）=a•e0=0，∴a=0；经检验成立；（Ⅱ）当a=0时，不等式可化为（x﹣1）e x＞（x﹣1）（x2+x+1），即（x﹣1）（e x﹣（x2+x+1））＞0，令g（x）=e x﹣（x2+x+1），h（x）=g′（x）=e x﹣x﹣1，h′（x）=e x﹣1；当x＞0时，h′（x）=e x﹣1＞0，当x＜0时，h′（x）=e x﹣1＜0；故h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，所以h（x）＞h（0）=0；故g（x）在R上单调递增，且g（0）=0；故e x﹣（x2+x+1）＞0，x＞0；e x﹣（x2+x+1）＜0，x＜0；所以原不等式的解集为{x|x＜0或x＞1}．点评：本题考查了导数的综合应用及不等式的解法的应用，属于中档题．21．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线于点M，当|FD|=2时，∠AFD=60°．（1）求证：△AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程；（2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，交直线l于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x1值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设，则A处的切线方程为，即可得到得D，Q的坐标，利用两点间的距离公式即可得到|FQ|=|AF|．由点A，Q，D的坐标可知：D为线段AQ的中点，利用等腰三角形的性质可得FD⊥AQ，可得|AF|，利用两点间的距离概率及点A满足抛物线的方程即可得出．（2）设B（x2，y2）（x2＜0），则B处的切线方程为，与切线l1的方程联立即可得到点P的坐标，同理求出点M，N的坐标．进而得到三角形PMN的面积（h为点P到MN的距离），利用表达式及其导数即可得到最小值，即可得出x1的值．解答：解：（1）设，则A处的切线方程为，可得：，∴；∴△AFQ为等腰三角形．由点A，Q，D的坐标可知：D为线段AQ的中点，∴|AF|=4，得：∴p=2，C：x2=4y．（2）设B（x2，y2）（x2＜0），则B处的切线方程为联立得到点P，联立得到点M．同理，设h为点P到MN的距离，则==①设AB的方程为y=kx+b，则b＞0，由得到x2﹣4kx﹣4b=0，得代入①得：S△==，要使面积最小，则应k=0，得到②令，得=，则=，所以当时，S（t）单调递减；当时，S（t）单调递增，所以当时，S取到最小值为，此时，k=0，所以，解得．故△PMN面积取得最小值时的x1值为．点评：本题综合考查了利用导数的几何意义得到抛物线的切线的斜率、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、等腰三角形的性质、利用导数研究函数的单调性、极值与最值等知识与方法，熟练掌握其解题模式是解题的关键．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D 是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题；直线与圆．分析：（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM•AC+DM•AB成立．解答：解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD．又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．可得∠OED=∠OBD=90°，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．∵OH=，OD为△ABC的中位线，得DO=，∴，化简得2DE2=DM•AC+DM•AB．点评：本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．考点：参数方程化成普通方程．专题：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．分析：（1）将曲线C化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长．（2）运用圆的参数方程，设出M，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值．解答：解：（1）直线I的参数方程为（t为参数），消去t，可得，3x+4y+1=0；由于ρ=cos（θ+）=（），即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，则有x2+y2﹣x+y=0，其圆心为（，﹣），半径为r=，圆心到直线的距离d==，故弦长为2=2=；（2）可设圆的参数方程为：（θ为参数），则设M（，），则x+y==sin（），由于θ∈R，则x+y的最大值为1．点评：本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣1|（Ⅰ）解不等式f（2x）+f（x+4）≥8；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用；推理和证明．分析：（Ⅰ）依题意，f（2x）+f（x+4）=|2x﹣1|+|x+3|=，利用分段函数分段解不等式f（2x）+f（x+4）≥8，即可求得其解集．（Ⅱ）|a|＜1，|b|＜1，⇔f（ab）＞|a|f（）⇔|ab﹣1|＞|a﹣b|，要证该不等式成立，只需证明|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＞0即可．解答：（Ⅰ）解：f（2x）+f（x+4）=|2x﹣1|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣3x﹣2≥8，解得x≤﹣；当﹣3时，由﹣x+4≥8，解得x∈∅；当x≥时，由3x+2≥8，解得x≥2…4分所以，不等式f（2x）+f（x+4）≥8的解集为{x|x≤﹣或x≥2}…5分；（Ⅱ）证明：等价于f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|，因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以，|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立…10分．点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考运算及推理、证明能力，属于中档题．。