厦门大学 大学物理B 第08章 变化的电磁场(2)

当导体为一闭合回路（L）时：
i
பைடு நூலகம்
L
Ei dl
按麦克斯韦假设：
B i Ei dl dS L S t d d B dS dt S dt
—— 与法拉第电磁感应定律相符合
计算感生电动势的方法：
1）感生电场 感生电动势
复习：
电磁感应现象
d 法拉第电磁感应定律： i dt
动生电动势：磁场不变，导体运动
感生电动势：导体回路不动，磁场变化 动生电动势：
楞次定律
ab
b
a
b Ek dl (v B) dl
a
计算动生电动势： (1) 由非静电性场强 E k (2) 由法拉第电磁感应定律
磁场随时间变化且具柱对称性
感生电场为柱对称分布！



B(t )
例 空间均匀的磁场限制在半径为 R 的圆柱体内， 磁感应强度的方向平行柱轴，且有dB/dt = const。 B(t ) 求：感生电场分布 解：设场点距轴心为 r，根据对称性， 取以 O 为圆心，过场点的圆周环路 L
dI L L dt
— 自感电动势正比于回路中的电流变化率。
1.2 自感现象的应用
dI L L dt
自感在日光灯电路中的应用:
水银蒸气
起动器（氖气放电辉光, U形动触片,静触片）
1.3 自感系数的计算
1）利用自感定义式：
I
B
L I

2）利用自感电动势定义式：
dI L L dt
1.自感
1.1 自感现象

i
线圈
线圈具有反抗电流变化的能力（电惯性）
i
K合上，B先亮，A后亮； K打开，B先暗，A后暗；
当通过回路中电流发生变化时，引起穿过自身 的磁通量发生变化，从而在自身回路中产生感生电 动势的现象称为“自感现象”。所产生的电动势称 为“自感电动势”。
对一固定线圈，由毕奥-萨伐尔定律 ：
L L
dI dt
例 长为 l 的螺线管，横断面为 S，线圈匝数密度 为 n ，管中磁介质的磁导率为 ，求自感系数。 解： B nI
S l
Ψ NBS N nIS
Ψ L NnS I
线圈匝数 : N nl
线圈体积 : V lS
Ln V
2
例 有一电缆，由两个“无限 长”的同轴圆桶状导体组成， 其间充满磁导率为 的磁介 质，电流 I 从内桶流进，外
Φ l R2 L ln I 2 R1
R1 R2
作业：
习题8-6： 一截面为长方形的环式螺线管（共 N 匝），其 尺寸如图所示，求此螺线管的自感系数。
习题8-7： 一长直螺线管，当线圈中通有10.0 A的恒定电流 时，通过每匝线圈的磁通量是20 μWb，当电流以4.0 A/s的速率变化时，产生的自感电动势为3.2 mV。求 此螺线管的自感系数与总匝数。
电磁炉
涡电流 用于金属零件淬火
点击视频
用涡电流的热效应进行冶炼
dB I Ei dt
热功率 : P
2
涡电流的热效应的危害：
3.3 涡电流的电磁阻尼效应





作业：
习题8-5： 图示的大圆内各点磁场强度B的大小为0.5 T，方 向垂直于纸面向里，且每秒钟平均减少0.1 T 。大圆 内有一半径为R=0.10 m的同心圆环，求（1）圆环上 任一点感应电场的大小和方向；（2）整个圆环上的 感应电动势的大小；（3）圆环中的感应电流（设圆 环电阻为 2 Ω）；（ 4 ）圆上任意两点 a 、 b 间的电势 差；（5）若环在某处被切断，两端分开很小一段距 离时，求两端电势差。
a a
Fk qEi
（感生电动势定义式） 当导体为一闭合回路（L）时：
i
L
Ei dl
按麦克斯韦假设：
B i Ei dl dS L S t d d B dS dt S dt
—— 与法拉第电磁感应定律相符合
2）法拉第电磁感应定律 感生电动势
2.3 感生电场与感生电动势的计算 B 1）原则： L Ei dl S t dS 2）感生电场具有较高对称性才能给出解析式
如：空间均匀的磁场被限制在圆柱体内，磁感 应强度平行柱轴（长直螺线管内部的场）。
S

我们知道，与电动势相对应，必然存在某种 非静电力场（具有电场的性质）
2.1 感生电场
B i dS S t
1861年，麦克斯韦提出 感生电场假设。（第一假设）
当空间的磁场分布随时间发生变化时，会在空间 激发一种 感生电场，满足：
B L Ei dl S t dS
l r dr
桶流出。设内、外桶半径分
别为 R1 和 R2 ，求长为 l 的 一段电缆的自感系数。
R1 R2
求长为 l 的一段导线的 自感系数 解：
dΦ B dS BdS Bl dr
Φ
R2 R1
I B 2 r
( R1 r R2 )
l r dr
I Il R2 ldr ln 2 r 2 R1
解：方法一
r dB Ek Ei 2 dt
i
b
b
a
Ek dl
Ei cos dl a b r dB R 2 L2 / 4 dl a 2 dt r L dB R 2 L2 / 4 2 dt
B O R b a dl

§8-2 动生电动势 感生电动势
2. 感生电场与感生电动势
当线圈不动时，由于磁场随时间变化而 产生电动势。
B B( r , t )
d i dt
d B i B dS dS S t dt S
B dS
S
L
S 是以 L 为边界的任意曲面，方向满足右手规则 导体中这一电流的产生就是这一电场作用于导体 中自由电子的结果。 Fk qEi —非静电力
B 讨论： L Ei dl S dS t 1）变化的磁场可以激发电场。
2）楞次负号。 3）感生电场的环流不等于零， 表明该电场为涡旋场， 所以又称为“涡旋电场”。
Oa 0, bO 0
O R b a


2 L L dB 2 ab R 2 4 dt
同样对如图所示 ab 棒：
BS 扇形
d i dt i Oa ab bO
解：
AB
i1 0
B
A
Ei dl 0
CD 0
i2 0
3.涡电流 电磁阻尼
3.1 涡电流的产生 当大块导体放在 变化的磁场中，在导 体内部会产生感应电 流，由于这种电流在 导体内部自成回路， 故称为涡电流。
dB dt
导体
3.2 涡电流的热效应
涡电流的热效应的应用：

O r
dB L Ei dl S dt dS


dB dB 2 Ei 2r dS r ( r R ) S dt dt
r dB Ei (r R) 2 dt
r dB Ei (r R) 2 dt
讨论：
R dB (r R) Ei 2r dt r dB Ei (r R) 2 dt
2
1） dB / dt 只存在于 r < R 的区域，但整个空间 都有感生电场存在！ dB
2）感生电场总是与磁场 的变化的方向垂直。
dt
Ei
例 半径为 R 的圆柱体空间区域内充满了均匀磁场， 已知 磁感应强度随时间的变化率为 dB / dt 大于零且为恒量。 棒 ab 上长 L，位置如图所示。求棒上的感生电动势。
dB dt
Ei
4）感生电场对任意闭合曲面的通量等于零

S
Ei dS 0
表明感生电场为无源场。（感生电场的高斯定理）
2.2 感生电动势 当一段导体（ab）处于感生电场中，自由电 子将受到非静电力
非静电性电场 E F / q E k k i b b i Ek dl Ei dl
Oa 0, bO 0


B R O



ab S扇形
dB dt
a
b
* 亦可用感生电动势的定义求解
思
问： AB , i1 , CD , i2 为何？
考
如图均匀变化磁场 B，导体 AB=2R，CD=2R，
BI
LI
B
L称自感系数，简称自感 自感系数 L 取决于回路线圈自身的性质： （1）回路大小；（2）形状；（3）周围介质
根据法拉第电磁感应定律： 自感电动势:
LI
d d ( LI ) dI dL i ( L I ) dt dt dt dt
如果回路自身性质不随时间变化，L 为常量。
Ek Ek
Ek
方法二：
补上两个半径Oa、Ob与ab构成回路OabO
L L 2 B R 2 4 2 d L L dB 2 i R dt 2 4 dt B