高考数学二轮专题检测40概率的两类模型

40 概率的两类模型
1．从标有1,2,3，…，7的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后把两数相加得和，则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是________．
答案 16
49
2．已知实数a ，b 满足⎩⎨⎧
0≤a ≤4，
0≤b ≤4，
x 1，x 2是关于x 的方程x 2－2x ＋b －a ＋3＝0
的两个实根，则不等式0<x 1<1<x 2成立的概率是________．
答案 3
32
解析 由题意，关于x 的方程x 2－2x ＋b －a ＋3＝0对应的一元二次函数f (x )＝x 2－2x ＋b －a ＋3满足f (0)>0，f (1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧
b －a ＋3>0，b －a ＋2<0，建立平面直角坐标系如
图．
满足题意的区域为图中阴影部分，故所求概率P ＝3
216＝3
32. 3．(2014·陕西改编)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．
答案 35
解析 取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，
概率为610＝3
5.
4．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．
答案 23
解析 设点P 到点O 的距离小于等于1的概率为P 1，由几何概型，则P 1＝
V 半球
V 圆柱
＝2π3×13π×12×2＝13
，故点P 到点O 的距离大于1的概率P ＝1－
13＝23.
5．在面积为S 的矩形ABCD 内随机取一点P ，则△PBC 的面积小于S
4的概率是________．
答案 12 解析
如图，M ，N 分别为AB ，CD 中点， 当点P 位于阴影部分时，
△PBC 的面积小于S
4，根据几何概型，其概率为P ＝S 矩形MBCN S 矩形ABCD
＝12.
6．已知点A 在坐标原点，点B 在直线y ＝1上，点C (3,4)，若AB ≤10，则△ABC 的面积大于5的概率是________．
答案 5
24
解析 设B (x,1)，根据题意知点D (3
4，1)，
若△ABC 的面积小于或等于5，则12×DB ×4≤5，即DB ≤5
2， 所以点B 的横坐标x ∈[－74，13
4]，而AB ≤10，
所以点B 的横坐标x ∈[－3,3]，所以△ABC 的面积小于或等于5的概率为
P ＝3－(－74)
6＝
19
24，
所以△ABC 的面积大于5的概率是1－P ＝5
24.
7．一个箱子中有9张标有1,2,3,4,5,6,7,8,9的卡片，从中依次取两张，在第一张是奇数的条件下，第二张也是奇数的概率是________．
答案 12
解析 方法一 设“第一张是奇数”记为事件A ， “第二张是奇数”记为事件B ，
P (A )＝A 15A 18A 29＝59，P (AB )＝A 25
A 29
＝518，
所以P (B |A )＝P (AB )P (A )
＝5
1859
＝1
2.
方法二 设“第一张是奇数”记为事件A ， “第二张是奇数”记为事件B ， 则n (A )＝5×8＝40，
n (AB )＝5×4＝20.
P (B |A )＝n (AB )n (A )＝2040＝1
2
.
8．(2013·课标全国Ⅱ)从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取
出的两数之和等于5的概率为1
14，则n ＝________. 答案 8
解析 由题意知，取出的两个数只可能是1与4,2与3这两种情况，∴在n 个数中任意取出两个不同的数的总情况应该是C 2n ＝
n (n －1)2＝2÷
1
14＝28，∴n ＝8.
9．(2013·江苏)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为______．
答案 2063
解析 P ＝4×57×9＝20
63
.
10．在日前举行的全国大学生智能汽车总决赛中，某高校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能移动一个单
位，沿x 轴正方向移动的概率是23，沿y 轴正方向移动的概率为1
3，则该机器人移动6次恰好移动到点(3,3)的概率为________．
答案 160729
解析 若该机器人移动6次恰好到点(3,3)，则机器人在移动过程中沿x 轴正方向移动3次、沿y 轴正方向移动3次，因此机器人移动6次后恰好位于点(3,3)的概率为
P ＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝
⎛
⎭⎪⎫1－233＝20×8729＝160729. 11．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．
(1)若x 、y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；
(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率． 解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；
由a·b＝－1有－2x＋y＝－1，
所以满足a·b＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；
故满足a·b＝－1的概率为3
36＝1 12.
(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x ≤6,1≤y≤6}；
满足a·b<0的基本事件的结果为
A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y<0}；
画出图形如图，
矩形的面积为S矩形＝25，
阴影部分的面积为S阴影＝25－1
2×2×4＝21，
故满足a·b<0的概率为21
25.
12．某同学参加省学业水平测试，物理、化学、生物成绩获得等级A和获得等级不是A的机会相等，且三个学科成绩获得等级A的事件分别记为W1，W2，W3，获得等级不是A的事件分别记为W1，W2，W3.
(1)试列举该同学在这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A的所有可能结果(如三科成绩均为A记为(W1，W2，W3))；
(2)求该同学参加这次水平测试获得两个A的概率；
(3)试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件，使该事件的概率大于85%，并说明理由．
解(1)该同学在这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A的可能结果有8种，分别为(W1，W2，W3)，(W1，W2，W3)，(W1，W2，W3)，(W1，W2，W3)，(W1，W2，W3)，(W1，W2，W3)，(W1，W2，W3)，(W1，W2，W3)．(2)由(1)，知有两个A的情况为(W1，W2，W3)，(W1，W2，W3)，(W1，W2，W3)，
共3种，从而所求概率为P＝3
8.
(3)方法一该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩不全为A的事件概率大于85%.
理由如下：该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩不全为A的事件有如下7种情况：(W1，W2，W3)，(W1，W2，W3)，(W1，W2，W3)，(W1，W2，
W3)，(W1，W2，W3)，(W1，W2，W3)，(W1，，W2，W3)，
故物理、化学、生物成绩不全为A的概率是P1＝7
8
＝0.875>85%.
方法二该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩至少一个为A的事件概率大于85%.
理由如下：该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩全不为A的事件有1
种情况，即(W1，W2，W3)，其概率为1
8
，则物理、化学、生物成绩至少一个
为A的概率为P2＝1－1
8＝7
8>85%.。