构造完全平方式
完全平方公式教案【优秀3篇】
完全平方公式教案【优秀3篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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完全平方公式一鼎数学
完全平方公式一鼎数学
完全平方公式是指一个二次三项式可以表示为一个完全平方的形式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c，如果可以写成形式(a ± b)^2，那么它就是一个完全平方。
完全平方公式可以用来因式分解一元二次方程，也可以用来求解一元二次方程的根。
完全平方公式可以表示为，(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2。
这个公式可以帮助我们将一个二次三项式写成一个完全平方，从而更容易地进行因式分解或求解方程。
从代数的角度来看，完全平方公式是二次多项式的一个重要性质。
它可以帮助我们理解二次多项式的因式分解和根的性质。
当我们遇到一个二次多项式时，可以通过完全平方公式来判断它是否可以因式分解为两个一次多项式的平方。
从几何的角度来看，完全平方公式可以帮助我们理解平方的几何意义。
一个完全平方可以表示为一个正方形的面积，其中边长为(a ± b)。
这有助于我们直观地理解完全平方的概念，以及它在代数中的应用。
从应用的角度来看，完全平方公式在物理、工程等领域也有广
泛的应用。
例如，在物理学中，完全平方公式可以用来分析二次函数的最值和零点，从而帮助我们理解物体的运动规律和力学性质。
总的来说，完全平方公式是代数中一个重要的概念，它不仅可以帮助我们理解二次多项式的性质，还可以应用到实际问题中去。
通过多个角度的理解和应用，我们可以更好地掌握完全平方公式的概念和用法。
完全平方公式详解
完全平方公式详解考虑一般形式的二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b 和 c 是已知系数，x 是未知变量。
首先，为了方便计算，我们将二次项系数a除以2，得到x^2+(b/2a)x+c/a=0。
接下来，我们将表达式的前两项平方，即(x+b/2a)^2展开这个平方，得到(x+b/2a)^2=x^2+(b/2a)x+(b/2a)^2将这个平方形式代入原二次方程，得到(x+b/2a)^2+(b/2a)^2+c/a=0。
右侧的和式可以化简为[(b/2a)^2+c/a]，这是一个常数项。
现在，可以将公式用来解二次方程了。
我们只需要求出常数项[(b/2a)^2+c/a]，然后通过对其取负号平方根，得到两个解。
举例说明：考虑二次方程3x^2+4x+1=0。
首先，将其转化为标准形式，得到x^2+(4/3)x+1/3=0。
然后，我们计算常数项[(4/3)/2]^2+1/3=1/4+1/3=7/12接下来，我们取负号平方根，得到两个解：(4/3+√(7/12))和(4/3-√(7/12))。
除了解二次方程外，完全平方公式还常用于因式分解和简化表达式。
例如，考虑一个二次三项式x^2-8x+16这个三项式可以因式分解为完全平方的形式(x-4)^2通过使用完全平方公式，我们可以直接得到x-4=0，因此x=4是原方程的解。
此外，考虑另一个二次三项式x^2-2x+1这个三项式是一个完全平方的形式(x-1)^2通过使用完全平方公式，我们可以直接得到x-1=0，因此x=1是原方程的解。
总结：完全平方公式是解二次方程的一种常用方法，它通过变量的平方构造一个完全平方的二次多项式。
它的应用不仅限于解二次方程，还可以用于因式分解和简化表达式。
完全平方公式的推导过程相对简单，只需要将二次项平方并展开，然后代入原方程，化简即可求解。
乘法公式(完全平方公式)
04 完全平方公式应用举例
一元二次方程求解
完全平方公式可以帮助我们将一 元二次方程化为完全平方的形式，
从而更容易地求解。
例如，对于方程 $x^2 + 2x - 3 = 0$，我们可以将其化为
$(x+1)^2 - 4 = 0$，进而求解 得到 $x = -3$ 或 $x = 1$。
通过完全平方公式，我们还可以 判断一元二次方程是否有实数解，
03
利用完全平方公式解二元一次方程组，如 $begin{cases} x + y = 5 xy = 6 end{cases}$ 可化为 $(x - 3)(y - 2) = 0$，解得 $begin{cases} x = 3 y = 2 end{cases}$ 或 $begin{cases} x = 2 y = 3 end{cases}$。
立方和公式
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$。
立方差公式
$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$。
高阶乘法公式的应用
在处理涉及高次幂的代数问题时，高阶乘法公式能够提供简化的计算方法。同时，在解决一些复杂的几 何问题时，高阶乘法公式也能发挥重要作用。
完全平方公式的应用
在解决涉及一个二项式与自身相乘的问题时，可以直接套用 完全平方公式进行计算，如求解平方差、计算方差等。同时 ，在解决一些最优化问题时，完全平方公式也可以用于构造 目标函数或约束条件。
06 总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结
1 2
完全平方公式的基本形式
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
因式分解—配方法和拆添项法参考答案
第 1 页 共6 页 因式分解的配方法和拆添项法参考答案知识要点：拆项或添项是将原多项式配上某些需要的项，创造能因式分解的条件。
配方法则是通过拆项或添项，把一个式子写成完全平方式或几个完全平方式和的形式。
A 卷一、填空题1、分解因式：_______________893=+-x x .（拆项法） 答案：()()812-+-x x x解析：原式()()()()()=---+=---=+--=18111818823x x x x x x x x x x ()()812-+-x x x提示：本题的关键是将x 9-拆为x -和x 8-.2、分解因式：_______________12224=-+++a ax x x .（添项法） 答案：()()1122++--++a x x a x x解析：原式()()=--+=-+-++=22222241212a x x a ax x x x ()()1122++--++a x x a x x提示：本题的关键是将通过添加2x ，构造完全平方公式，进而利用平方差公式分解。
，构造完全平方公式，进而利用平方差公式分解。
3、分解因式：____________________15=++x x .（添项法） 答案：()()11232+-++x x x x解析：原式()()()()()111111222232225+++++-=+++-=+++-=x x x x x x x x x x x x x x ()()11232+-++=x x x x提示：本题的关键是将通过添加2x ，构造立方差公式，进而提取公因式分解。
，构造立方差公式，进而提取公因式分解。
4、（第15届“希望杯”初二试题）分解因式：_____________232432234=++++b ab b a b a a . 答案：()222ab b a ++解析：原式()()=+++++=22334224222b a ab b a b b a a ()()()=++++22222ab b a ab ba()222ab b a++提示：本题的关键是将通过拆项223b a ，构造完全平方公式。
完全平方公式的五种变式
完全平方公式的五种变式《完全平方公式的五种变式》完全平方公式可以让我们更轻松地解算出方程，它的表达形式是a^2+2ab+b^2=c^2，在几何学中被广泛应用。
它是研究直角三角形内比例数学关系、特别是勾股定理和其他定理的基础。
完全平方公式有五种不同的变式，这些变式拥有不同的应用。
首先，原式完全平方形式。
它的正式表达是a^2+2ab+b^2，它展示了两个乘积的累加，这也就是它的名字。
它被用于错角比方程中，由错角定理可知，一个错角必有三个对边，这三个对边可由它推出。
其次，一元二次函数形式。
它是最常用的变式，表达式如下：y=ax^2+2bx+c，其中a、b、c为实数。
它常被用于物理领域，特别是电磁领域，比如连接变压器、引力等等。
下一个变式是极坐标变形。
它的表达式是r=a(cosθ+sinθ)，其中r是极坐标原点，θ是极角，a是椭圆的长半轴。
它可以用来表示二维坐标系内的椭圆，因为椭圆是由它来表达的。
第四种变式是矩阵形式。
它可以用矩阵表达式来构造。
举例来说，可以表示为A^2+2AB+B^2=C^2，这里A、B、C是一组矩阵。
它常用于矩阵的运算，用于求解方程组。
最后，齐次二次方程变形。
它的表达式是ax^2+2bx+c=0，其中a、b、c是常数。
由此可知，这种变形主要用于求解二元齐次方程，可以非常有效的解决二元的齐次方程。
总之，完全平方公式的五种变式是非常重要的，它们可以用于不同的应用领域，比如研究三角形内比例数学关系、一元二次函数、极轴变形、矩阵运算和齐次二次方程求解等。
中考数学复习知识点专题讲解41---完全平方公式的运用
例3
已知
x2
−
3x
+1
=
0
，求
x4
x2 + x2
+1
的值.
1
1
分析
由条件变形为:
x
+
x
=
3 ，由结论变形为
x2
+
1 x2
，再由完全平方公式变形 +1
2/7
1 为 (x + 1 )2 +1 ，就可以求出结论.
x
解 Q x2 − 3x +1 = 0 ,
∴x+ 1 =3. x
Q
x4
x2 + x2源自= +1四、完全平方公式在因式分解及求位中的运用
例 4 已知 a + b = 1，求 1 a2 + ab + 1 b2 的值.
2
2
分析 本题要求代数式的值，先求出 a 、 b 的值是很难的，而运用完全平方公式，
将结论变形为 1 (a + b)2 ，就可以轻松求出结果. 2
解
Q
1 a2 2
+ ab +
1 b2 2
=
1 (a2 2
+ 2ab + b2 )
=
1 (a + b)2 2
∴原式 = 1 ×12 = 1 .
2
2
注
也有学生对条件变形求解:
Q
a
+
b
= 1,∴ a
=1−
b
，再代入
1 2
a2
+
ab
+
1 2
b2
，就可
七年级数学下册 2.2 乘法公式 构造”完全平方公式”解题素材 (新版)湘教版
构造”完全平方公式”解题完全平方公式是初中代数公式中重中之重的公式，在许多数学解题中若能根据题目的结构特点，构造出完全平方公式解题，往往能使求解简捷.现举例说明.一、处理有关比较复杂的有理数的计算问题例1 计算：1.345×0.345×2.69－1.3453－1.345×0.3452.简析 1.345×0.345×2.69－1.3453－1.345×0.3452＝－1.345(1.3452+0.3452－0.345×2.96)＝－1.345[(1.345－0.345)2+2×1.345×0.345－0.345×2.96]＝－1.345×12＝－1.345. 说明 在有关复杂的数字计算中，如能抓住数字特点，巧用完全平方公式的变形式，可简化运算过程，提高运算效率，培养良好的数学素质.本题计算时，先逆用乘法的分配律，将－1.345移到外面，再巧妙地运用完全平方公式.二、处理有关比较复杂的代数式求值问题例2 已知a +b +c ＝0，a 2+b 2+c 2＝4，试求：a 4+b 4+c 4的值.简析 乍看待求式和已知条件毫无关系，但细细琢磨一下，可将c 视为已知数，对a 、b 构造完全平方公式.即由已知条件，得a +b ＝－c ，a 2+b 2＝4－c 2.而ab ＝21[(a +b )2－(a 2+b 2)]＝21[(－c )2－(4－c 2)]＝c 2－2，所以a 4+b 4＝(a 2+b 2)2－2a 2b 2＝(4－c 2)2－2(c 2－2)2＝8－c 4.所以a 4+b 4+ c 4＝8.说明 利用完全平方变形式可以巧妙、灵活的求出较复杂的代数式的值.三、确定最大或最小值问题例3 试求多项式x 2+4y 2－8x +12y +5的最小值.简析 由于x 2+4y 2－8x +12y +5＝x 2－8x +16+4y 2+12y +9－20＝(x －4)2+(2y +3)2－20.而(x －4)2≥0，且(2y +3)2≥0，所以(x －4)2+(2y +3)2－20的最小值为－20，即多项式x 2+4y 2－8x +12y +5的最小值是－20.说明 学习了完全平方公式，配方则灵活运用完全公式行之有效的一种途径，所以同学们应熟练记忆一些有关完全平方公式的一些变形等式.如，（1）a 2+b 2＝(a +b )2－2ab ＝(a －b )2+2ab ； （2）ab ＝21[(a +b )2－(a 2+b 2)]＝41[(a +b )2－(a －b )2]＝2222⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a ； （3）(a +b )2+(a －b )2＝2a 2+2b 2；（4）a 2+b 2+c 2－ab －bc －ca ＝21[(a －b )2+(b －c )2+(c －a )2].等等.四、解特殊结构特点的方程2 例4 解方程：x 2+y 2+z 2－21x +6y －10z +31116＝0. 简析 将原方程变形为：x 2－21x +116+y 2+6y +9+z 2－10z +25＝0.所以(x －14)2+( y +3)2+( z －5)2＝0，此时由非负数的性质“若干个非负数的和为零，这几个非负数均为零”，得(x －14)2＝0，( y +3)2＝0，( z －5)2＝0，解得x ＝14，y ＝－3，z ＝5.所以原方程的解是：x ＝14，y ＝－3，z ＝5.说明 一个方程含有几个未知数，要求其解，一般只有通过智取，不能强攻，通常想到利用配方，运用非负数的性质等等知识求解.另外，遇到此类问题，一般一些常数的分解规律：5＝1+4，10＝1+9，13＝4+9，34＝9+25，等等，即一般分解成两个或几个完全平方数即可.。
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一、构造完全平方式
4ห้องสมุดไป่ตู้3)
若三项式kx2+24xy+9y2是完全平方式，则k的值
16 是=___ 若三项式kx2-24xy+9y2是完全平方式，则k的值 16 是=___ 若三项式k2x2+24xy+9y2是完全平方式，则k的 ±4 值是=___
a2+2ab+b2 =(a+b)2≥0 a2-2ab+b2 =(a-b)2≥0
a2+2ab+b2 =(a+b)2≥0 a2-2ab+b2 =(a-b)2≥0
一、构造完全平方式
一、构造完全平方式
4(2)
±12 若三项式9x2+mx+4是完全平方式，则m的值是___ ±12 若三项式9x2-mx+4是完全平方式，则m的值是___
a2+2ab+b2 =(a+b)2≥0
a2-2ab+b2 =(a-b)2≥0
构造完全平方式
a2+2ab+b2 =(a+b)2≥0 a2-2ab+b2 =(a-b)2≥0
一、构造完全平方式
1、① x2+10x+25=(____) x+5 2 3x-5y 2 ② 9x2-30xy+25y2=(_____)
32 3 2 2、① x2+6x+___=(x+__) 5 2 5 2 2 ( ) ② x -5x+____=(x-_____) 2 2 ±4 2 ③ x2+(±8) x+16=(x____)
3、4x2+(±12 )x+9=( 2x±3 )2
a2+2ab+b2 =(a+b)2≥0
a2-2ab+b2 =(a-b)2≥0
4(1) 若三项式x2+6x+k是完全平方式，则k的值是 9 =___ 若三项式x2- 6x+k是完全平方式，则k的值是 9 =____ 若三项式x2+6x+k2是完全平方式，则k的值是 ±3 =____
2、求代数式-4x2+4x-10的最值
a2+2ab+b2 =(a+b)2≥0
a2-2ab+b2 =(a-b)2≥0
a2+2ab+b2 =(a+b)2≥0
a2-2ab+b2 =(a-b)2≥0
三、构造完全平方式，求最值
2 2 1 1、① 当x=___时，(x-1) +2有最小值，最小值为___
∵(x-1)2≥0 ∴(x-1)2+2≥0+2 即(x-1)2+2≥2 ∴(x-1)2+2的最小值是2
1 时，x2-2x+3有最小值，最小值为___ 2 当x=___ -1 当x=___ -3 时，x2+6x+8有最小值，最小值为___
二、构造完全平方式，求值
例题：若a2+b2-2a-4b+5=0，求a，b的值 解：∵ a2+b2-2a-4b+5=0 ∴ (a2-2a+1)+(b2-4b+4)=0 即 (a-1)2+(b-2)2=0 ∵(a-1)2≥0,(b-2)2≥0 ∴(a-1)2=0,(b-2)2=0 ∴a-1=0,b-2=0 即a=1,b=2 练习：1、若4a2-4a+b2-2b+2=0,求2a+b的值 2、若2a2+b2-2ab-6a+9=0，求a+b的值