3线性规划
3第三章线性规划应用
资金 X1+X2+X3+X4+X5 ≤100,000 行业 X1+X2 ≤50,000
X3+X4 ≤50,000 债券 X5 ≥0.25(X3+X4) 太平洋石油 X2 ≤ 0.6(X1+X2) 非负性约束X1≥0 X2≥0 X3≥0 X4≥0 X5≥0
精品课件
护士的最少人数 60 70 60 50 20 30
28
6、人员安排
设第j时段开始上班的人数为Xj,j=1,2,…,6,
目标函数：min Z=x1+x2+x3+x4+x5+x6
约束条件： x1+x2 ≥70
x2+x3 ≥60
x3+x4 ≥ 50
x4+x5 ≥20
x5+x6 ≥30
x6+x1 ≥60
护士的最 少人数 60
70
60
50
20
30
30
序号1时段上班的人（3元）：3X1+3 X6 序号2时段上班的人（ 3元）：3X1+3X2 序号3时段上班的人（ 3元）：3X2+3X3 序号4时段上班的人（4元）：4X3+4X4 序号5时段上班的人（4元）：4X4+4X5 序号6时段上班的人（5元）：5X5+5X6
时间
11-12 12-13 13-14 14-15 15-16 16-17 17-18 18-19 19-20 20-21 21-22
需要的 总人数
第三章线性规讲义划模型
Min W= Yb
YA - YS= C Y,YS≥0
➢ 若两个互为对偶问题之一有最优解，则另一个必有最优解， 且目标函数值相等(Z*=W*)，最优解满足CX*=Y*b。
第三章 线性规划模型
▪ 线性规划问题的提出 ▪ 线性规划问题的建模 ▪ 典型特征和基本条件 ▪ 一般模型和标准模型 ▪ 线性规划的图解方法 ▪ 影子价格与敏感分析 ▪ 线性规划模型的应用
第三章 线性规划模型
• 对偶问题的提出
某厂生产甲、乙两 种产品，消耗A、B两 种原材料 。生产一件 甲产品可获利2元，生 产乙产品获利3元。问 在 以 下条件下如何安 排生产？
设备 A 设备 B 设备 C 利润（元/件）
产品 产品 产品 产品 甲乙丙丁 1.5 1.0 2.4 1.0 1.0 5.0 1.0 3.5 1.5 3.0 3.5 1.0 5.24 7.30 8.34 4.18
设备能力 （小时）
2000 8000 5000
第三章 线性规划模型
▪ 建立的模型如下：
z=12737.06（元）
▪ 请注意最优解中利润率最高的产品丙在最优生产计 划中不安排生产。说明按产品利润率大小为优先次 序来安排生产计划的方法有很大局限性。尤其当产 品品种很多，设备类型很多的情况下，用手工方法 安排生产计划很难获得满意的结果。另外，变量是 否需要取整也是需要考虑的问题。
第三章 线性规划模型
用线性规划制订使总利润最大的生产计划。
每件产品占用的 产品 产品 产品 产品 设备能力
机时数（小时/件） 甲 乙 丙 丁 （小时）
设备 A
1.5 1.0 2.4 1.0
2000
设备 B
1.0 5.0 1.0 3.5
运筹学基础-线性规划(3)
minZ= 10x1 +8x2 +7 x3 2x1 + x2 ≥ 6 S.t. x1 + x2 + x3 ≥ 4 x1 , x2 , x3≥0
化线性规划模型为标准型
maxZ’= －10x1－ 8x2 － 7x3 +0x4－Mx5 +0x6－Mx7 2x1 + x2 － x4 + x5 = 6 x 1 + x 2 + x 3 － x 6 + x 7= 4 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ≥0
Cj CB 0 0 XB
标准化
Max z=2x1+4x2+ 0x3+ 0x4+ 0x5+ 0x6 2x1+2x2 + x3 =12 x1+2x2+ x4 =8 4x1 +x5 =16 4x2 +x6=12 x1, …, x6≥0
2 4 x2 0 x3 0 x4 0 x5 0 x6 x1
b
12 8 16 12 0
线性规划
～
0 0 -Z -Z’
1 0 0 -10
1/2 1/2 0 -8
0 1 0 -7
-1/2 1/2 0 0
1/2 -1/2 -1
0 -1 0
0 1 -1
3 1
0
σj<0
第一阶段规划最优
0 1 -1
～
0
0 -Z’
1
0 0 1 0 0
1/2 1/2 1/2
0 1 0
0
1 0 -1 2 -1
-1/2
9
线性规划
接上表
0
0
期末复习三 线性规划 均值不等式
期末复习三 线性规划 均值不等式 线性规划1．若点（1，3）和（-4，-2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m 的取值范围是 （ ） A.m ＜-5或m ＞10 B.m=-5或m=10 C.-5＜m ＜10 D.-5≤m ≤10 2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是()3.已知点A （1，-1），B （5，-3），C （4，-5），则表示△ABC 的边界及其内部的约束条件是 .答案 ⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤++01340132012y x y x y x4.已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x ＋2y －4的最大值； (2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (3)z ＝2y ＋1x ＋1的范围．5.若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-,,0,22,0a y x y y x y x 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ）A.a ≥34B.0＜a ≤1C.1≤a ≤34D. 0＜a ≤1或a ≥346．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．27.设x ，y 满足约束条件，若目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（ ）A ． B ． C ． D ．48.当点M(x,y)在如图所示的三角形ABC内(含边界)运动时,目标函数z＝kx+y取得最大值的一个最优解为(1,2),则实数k的取值范围是( )A.(-∞,-1］∪［1,+∞)B.［-1,1］C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,1) 均值不等式应用题1、围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。
线性规划3
§4 .3 简单的线性规划的应用主备人：王猛 审核人：高二数学组一、学习目标1.明确线性规划的意义，能根据条件建立线性目标函数2.能将实际问题转化为线性规划问题，并通过最优解的判断予以解决1. 激情投入，获得学习数学的快乐.二、学习重点、难点重点：将实际问题转化为线性规划问题难点：根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。
三、学法指导：认真阅读教材，结合“导学案”提出的要求，作好充分预习，课堂展示等准备工作。
四、学习过程：<一>自主学习1.弄清题意，设好_____________,建立关于未知量的______________及______________2.求目标函数by ax z +=的最大值或最小值，首先作出直线0=+by ax ，再将该直线___________移动，使直线和可行域有公共点，再观察在可行域中使)0()0( a a z b b z 或最大或最小时所经过的点，该点的坐标就是____________解。
<二>合作交流1.阜阳市人民医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每10g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元；若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质，试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？2.要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要、、三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？3. 某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？<三>拓展交流4.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6000元，运费不超过2000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？5.某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t，需耗A种矿石10 t、B种矿石5 t、煤4 t；生产乙种产品需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t.每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过360 t、B种矿石不超过200 t、煤不超过300 t，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t），能使利润总额达到最大？<四>自我总结我学到了什么?我有哪些问题与老师交流?五：作业布置1、教材P109习题1，2 ；2、《三维设计》六：课后反思。
第三章 线性规划及其对偶问题
第三章 线性规划及其对偶问题线性规划是最优化问题的一种特殊情形，也是运筹学的一个重要分支，它的实质是从多个变量中选取一组适当的变量作为解，使这组变量满足一组确定的线性式，而且使一个线性目标函数达到最优（最大或最小）．线性规划的应用极为广泛，自1949年美国数学家G. B. Dantzing 提出一般线性规划问题求解的方法——单纯形法之后，线性规划无论在理论上、计算方法和开拓新的应用领域中，都获得了长足的进步，线性规划从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划和管理决策等领域都有广泛的发展和应用．本章主要从线性规划的基本概念、数学模型、单纯形法、对偶理论、灵敏度分析等方面进行介绍．§3.1 线性规划数学模型基本原理一、线性规划的数学模型满足以下三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型：（1）每一个问题都用一组决策变量T n x x x ][21，，， 表示某一方案；每一组值就代表一个具体方案．（2）有一个目标函数，可用决策变量的线性函数来表示，按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化．（3）有一组约束条件，可用一组线性等式或不等式来表示． 线性规划问题的一般形式为1211221111221121122222112212max(min)()()()..()0n n n n n n n m m mn n m n f x x x c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b x x x =++++++≤=≥⎧⎪+++≤=≥⎪⎪⎨⎪+++≤=≥⎪⎪≥⎩，，，，，，，，，，，，，．这里，目标函数中的系数n c c c ，，， 21叫做目标函数系数或价值系数，约束条件中的常数m b b b ，，， 21叫做资源系数，约束条件中的系数；，，，m i a ij 21(= )21n j ，，， =叫做约束系数或技术系数．二、线性规划问题的标准形式所谓线性规划问题的标准形式，是指目标函数要求min ，所有约束条件都是等式约束，且所有决策定量都是非负的，即1211221111221121122222112212min ()..0n n n n n n n m m mn n mn f x x x c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b x x x =++++++=⎧⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎪≥⎩，，，，，，，，，，，或简写为11min ()12..012nj j j nij ji j jf X c x a x b i m s t x j n ===⎧==⎪⎨⎪≥=⎩∑∑，，，，，，，，，，． 可以规定各约束条件中的资源系数0(12)i b i n ≥=，，，，否则等式两端乘以“1-”．线性规划问题的矩阵表示为min ()..0f X CX AX b s t X ==⎧⎨≥⎩，，，其中12[]n C c c c =，，，，12[]T n X x x x =，，，，11121212221212n n n m m mn a a a a a a A P P P a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦［，，，］，12[]T n b b b b =，，，． 任意的线性规划模型都可以转化为标准形式：（1）若目标函数是求最大值的问题，这时只需将所有目标函数系数乘以“－1”，求最大值的问题就变成了求最小值的问题，即)](min[)(max X f X f --=．求其最优解后，把最优目标函数值反号即得原问题的目标函数值．（2）若约束条件为不等式，这里有两种情况：一种是“≤”不等式，则可在“≤”不等式的左端加入一个非负的新变量（叫松驰变量），把不等式变为等式；另一种是“≥”不等式，则可在“≥”不等式的左端减去一个非负松驰变量（也叫剩余变量），把不等式变为等式．松驰变量在目标函数中对应的系数为零．（3）若存在取值无约束的变量k x ，可令k k k x x x ''-'=，其中k x '，0≥''k x ． 例3.1 将下列线性规划问题化为标准形式123123123123123max ()2372.3250f X x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++≤⎧⎪-+≥⎪⎨-++=⎪⎪≥⎩，，，，，，为无约束． 解 将目标函数变为)](min[X f -，令543x x x -=，其中450x x ≥，，在第一个约束不等式中加入松驰变量6x ，在第二个约束不等式中减去剩余变量7x ，则可得标准形式12456712456124571245124567min[()]23()00()7()2.32()5,,,,,0f X x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x -=-+--++++-+=⎧⎪-+--=⎪⎨-++-=⎪⎪≥⎩，，，，．三、线性规划的解的概念和基本定理 考虑线性规划标准形式的约束条件0AX b X =≥，，其中A 为n m ⨯矩阵，m n >，b 是m 维向量．假定增广矩阵,A b ［］的秩=矩阵A 的秩m =，把矩阵A 的列进行可能的重新排列，使,A B N =［］．这里B 为m m ⨯矩阵，且有逆矩阵存在，即0||≠B ，称B 为该线性规划问题的一个基．不失一般性，设111211212,,,m m m m mm a a a B PP P a a a ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦［］， 称(12)j P j m =，，，为基向量，与基向量对应的变量(12)j x j m =，，，称为基变量，记为12T B m X x x x =［，，，］，其余的变量称为非基变量，记为12T N m m n X x x x ++=［，，，］．令m n -个非基变量均为0，并用高斯消元法，可得一个解12[][00]T T T T B N m X X X x x x ==，，，，，，，，称X 为该约束方程组的基解，其中b B X B 1-=．满足非负约束条件0≥X （基解的非零分量都0≥）的基解称为基可行解．对应于基可行解的基称为可行基．基可行解的非零分量个数小于m 时，称为退化解．线性规划的解的基本定理：引理3.1 线性规划问题的可行解12[]T n X x x x =，，，为基可行解的充要条件是X 的正分量所对应的系数列向量是线性无关的．证 必要性由基可行解的定义可知．下证充分性若向量组k P P P ，，，21线性无关，则必有m k ≤；当m k =时，它们恰构成一个基，从而12[00]T k X x x x =，，，，，，为相应的基可行解．当m k <时，则一定可以从其余的列向量中取出k m -个与k P P P ，，，21构成最大的线性无关向量组，其对应的解恰为X ，所以它是基可行解． 定理3.1 线性规划问题的基可行解X 对应于可行域D 的顶点． 证 不失一般性，假设基可行解X 的前m 个分量为正，故∑==mj jj b xP 1．（3.1）现在分两步来讨论，分别用反证法．（1）若X 不是基可行解，则它一定不是可行域D 的顶点．根据引理3.1，若X 不是基可行解，则其正分量所对应的系数列向量m P P P ，，， 21线性相关，即存在一组不全为零的数12i i m α=，，，，，使得02211=+++m m P P P ααα （3.2）用一个0>μ的数乘式（3.2），再分别与式（3.1）相加和相减，得到111222()()()m m m x P x P x P b μαμαμα-+-++-=，111222()()()m m m x P x P x P b μαμαμα++++++=．现取11122[()()()00]T m m X x x x μαμαμα=---，，，，，，，21122[()()()00]T m m X x x x μαμαμα=+++，，，，，，，由21X X ，可得121122X X X =+，即X 是21X X ，连线的中点．另一方面，当μ充分小时，可保证012i i x i m μα±≥=，，，，，即21X X ，是可行解，这证明了X 不是可行域D 的顶点．（2）若X 不是可行域D 的顶点，则它一定不是基可行解．因为X 不是可行域D 的顶点，故在可行域D 中可找到不同的两点，(1)(1)(1)112[]T nX x x x =，，，，T nx x x X ][)2()2(2)2(12，，， =，使12(1)01X X X ααα=+-<<，．设X 是基可行解，对应向量组m P P P ，，， 21线性无关，当m j >时，有0)2()1(===j j j x x x ，由于21X X ，是可行域的两点，应满足∑∑====mj mj jj j j b xP b x P 11)2()1(,．将这两式相减，即得∑==-mj j j jx xP 1)2()1(0)(．因21X X ≠，所以上式系数)()2()1(j j x x -不全为零，故向量组m P P P ，，， 21线性相关，与假设矛盾，即X 不是基可行解．定理3.2 若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在其可行域的顶点上达到最优．证 设k X X X ，，， 21是可行域的顶点，若0X 不是顶点，且目标函数在0X 处达到最优*0()f X CX =（标准形式是*()min ()f X f X =）．因0X 不是顶点，所以它可以用D 的顶点线性表示为01101kki i i i i i X X ααα===≥=∑∑，，．因此011k ki i i i i i CX C X CX αα====∑∑．（3.3）在所有的顶点中必然能找到某一个顶点m X ，使m CX 是所有i CX 中最小者，并且将m X 代替式（3.3）中的所有i X ，得到∑∑===≥ki ki m m i ii CX CX CX11αα，由此得到m CX CX ≥0．根据假设，0CX 是最小值，所以只能有m CX CX =0，即目标函数在顶点m X 处也达到最小值．§3.2 线性规划迭代算法单纯形法是求解线性规划问题的迭代算法．一、单纯形法的计算步骤单纯形法的基本思路是：从可行域中某个基可行解（一个顶点）开始，转换到另一个基可行解（顶点），直到目标函数达到最优时，基可行解即为最优解．单纯形法的基本过程如图3.1所示．为计算方便，通常借助于单纯形表来计算，从初始单纯形表3.1开始，每迭代一步构造一个新单纯形表．单纯型表中B X 列中填入基变量m x x x ，，， 21；B C 列中填入基变量的价值系数m c c c ，，， 21；b 列中填入约束方程组右端的常数；j θ列的数字是在确定换入变量后，按θ规则计算填入；最后一行称为检验数行，对应各非基变量j x 的检验数是∑=-=-=mi j j ij i j j z c a c c 1σ，1j m n =+，，（这里令∑==mi ijj j ac z 1）．（1）找出初始可行基，确定初始基可行解，建立初始单纯形表． （2）检验各非基变量j x 的检验数∑=-=-=mi j j iji j j z c ac c 1σ（1j m n =+，，）．若所有0≥j σ，则已得到最优解，停止计算．否则转入下一步．（3）在0(1)j j m n σ<=+，，，中，若所有0≤jk a ，则此问题无最优解，停止计算．否则转入下一步．（4）根据min{|0}j j k σσσ<=，确定k x 为换入变量．按θ规则计算min 0i l ik ik lkb ba a a θ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭， 可确定l x 为换出变量，转入下一步．（5）以lk a 为主元素进行迭代（用高斯消元法），把k x 所对应的列向量120010k k k lk mk a a P l a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−→⎢⎥⎢⎥←⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦变换成第行， 将B X 列中的l x 换为k x ，得到新的单纯形表，重复步骤（2）—步骤（5），直到终止．单纯形法的流程图如图3.2所示．若目标函数要求实现最大化，一方面可将最大化转换为最小化，另一方面也可在上述计算步骤中将判定最优解的0≥j σ改为0≤j σ，将换入变量的条件min{|0}j j k σσσ<=改为max{|0}j j k σσσ>=．二、初始可行基的确定 （1） 若线性规划问题是11min ()12..012nj j j nij ji j jf X c x a x b i m s t x j n ===⎧==⎪⎨⎪≥=⎩∑∑，，，，，，，，，，， 则从(12)j P j n =，，，中一般能直接观察到存在一个初始可行基12100010[,,,]001m B P P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦．（2）对所有约束条件是“≤”形式的不等式，可以利用化标准形式的方法，在每个约束条件的左端加入一个松驰变量，经过整理重新对j x 及ij a 进行编号，可得下列方程组．，，m n mn m m m m n n m m n n m m b x a x a x b x a x a x b x a x a x =+++=+++=+++++++++ 11,2211,221111,11显然得到一个m m ⨯单位矩阵B 可作为初始可行基12100010[,,,]001m B P P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦． （3）对所有约束条件是“≥”形式的不等式及等式约束情况，若不存在单位矩阵时，可采用人工变量，即对不等式约束减去一个非负的剩余变量后，再加入一个非负的人工变量；对等式约束再加入一个非负的人工变量，总可得到一个单位矩阵作为初始可行基．例3.2 求解线性规划问题12121212max ()2328416..4120f X x x x x x s t x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩，，，，，． 解：将线性规划问题化为标准形式12345123142512345min[()]2300028416..4120f X x x x x x x x x x x s t x x x x x x x -=--+++++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥⎩，，，，，，，，．作初始单纯形表，按单纯形法计算步骤进行迭代，结果如下（表3.2）．表3.2最后一行的检验数均为正，这表示目标函数值已不可能再减小，于是得到最优解*42004T X =［，，，，］，目标函数值14)(*=X f ．三、单纯形法的有关说明对线性规划问题min ()..0f X CX AX b s t X ==⎧⎨≥⎩，，，（3.5） 若系数矩阵中不含单位矩阵，没有明显的基可行解时，常采用引入非负人工变量的方法来求初始基可行解．下面分别介绍常用的“大M 法”和“两阶段法”．（一）大M 法在约束条件式（3.5）中加入人工变量，人工变量在目标函数中的价值系数为M ，M 为一个很大的正数．在迭代过程中，将人工变量从基变量中逐个换出，如果在最终表中当所有检验数0≥j σ时，基变量中不再含有非零的人工变量，这表示原问题有解，否则无可行解．例3.3 求解线性规划问题12312312313123min ()3211423..210f X x x x x x x x x x s t x x x x x =-++-+≤⎧⎪-++≥⎪⎨-+=⎪⎪≥⎩，，，，，，． 解：将原问题化为标准形式并引入人工变量，得12345671234123561371234567min ()300211423..210f X x x x x x Mx Mx x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =-++++++-++=⎧⎪-++-+=⎪⎨-++=⎪⎪≥⎩，，，，，，，，，，．用单纯形法计算，得表3.3．根据表 3.3的最后一行的检验数均0≥，得最优解*4190000T X =［，，，，，，］，最优值2)(*-=X f ，由于人工变量的值均为零，故得原问题的最优解*419T X =［，，］，最优值为2)(*-=X f ．（二）两阶段法两阶段法是把线性规划问题的求解过程分为两个阶段：第一阶段，给原问题加入人工变量，构造仅含价值系数为1的人工变量的目标函数且要求实现最小化，其约束条件与原问题相同，即11111111211221112min ()00..0n n m n n n n nn n n m mn n n m m n m g X x x x x a x a x x b a x a x x b s t a x a x x b x x x ++++++=++++++++=⎧⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎪≥⎩，，，，，，，． 然后用单纯形法求解上述问题，若得到0)(=X g ，这说明原问题存在基可行解，可进入第二阶段计算，否则原问题无可行解，停止计算．第二阶段，将第一阶段计算得到的最终表，除去人工变量，将目标函数行的系数换为原问题的目标函数系数，作为第二阶段计算的初始单纯形表进行计算．例3.4 用两阶段法求解线性规划问题12312312313123min ()3211423.210f X x x x x x x x x x s t x x x x x =-++-+≤⎧⎪-++≥⎪⎨-+=⎪⎪≥⎩，，，，，，． 解 第一阶段，标准化并引入人工变量，得如下的线性规划=)(min X g 76x x +，1234123561371234567211423.210x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++-+=⎪⎨-++=⎪⎪≥⎩，，，，，，，，，． 用单纯形法计算该线性规划（见表 3.4），最优解为*[011120000]T X =，，，，，，，，最优值0)(*=X g ．表3.4由于人工变量076==X X ，所以得原问题的基可行解为[011120]T X =，，，，．于是进入第二阶段计算（见表3.5），最优解为*[41900]T X =，，，，，最优值2)(*-=X f ，于是原问题的最优解为*[419]T X =，，，最优值为2)(*-=X f ．§3.3 对偶问题的基本原理一、对偶问题的提出对偶性是线性规划的重要内容之一，每一个线性规划问题必然有与之相伴而生的另一个线性规划问题，我们称一个叫原问题，另一个叫对偶问题，这两个问题有着非常密切的关系，让我们先分析一个实际的线性规划模型与其对偶线性规划问题的经济意义．例3.5 某工厂计划在下一生产周期生产3种产品1A ，2A ，3A ，这些产品都要在甲、乙、丙、丁4种设备上加工，根据设备性能和以往的生产情况知道单位产品的加工工时，各种设备的最大加工工时限制，以及每种产品的单位利润（单位：千元），如表3.6所示，问如何安排生产计划，才能使工厂得到最大利润？解 设321x x x ，，分别为产品321A A A ，，的产量，构造此问题的线性规划模型为1231231231312123max ()8102237042280..3152250,,0f X x x x x x x x x x s t x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪+≤⎨⎪+≤⎪⎪≥⎩，，，，，．现在从另一个角度来讨论该问题．假设工厂考虑不安排生产，而准备将所有设备出租，收取租费．于是，需要为每种设备的台时进行估价．设4321y y y y ，，，分别表示甲、乙、丙、丁4种设备的台时估价．由表3.6可知，生产一件产品1A 需用各设备台时分别为h h h h 2342，，，，如果将h h h h 2342，，，不用于生产产品1A ，而是用于出租，那么将得到租费43212342y y y y +++．当然，工厂为了不至于蚀本，在为设备定价时，保证用于生产产品1A 的各设备台时得到的租费，不能低于产品1A 的单位利润8千元，即823424321≥+++y y y y ．按照同样分析，用于生产一件产品2A 的各设备台时h 1，h 2，0，h 2所得的租费，不能低于产品2A 的单位利润10千元，即1022421≥++y y y ．同理，还有223321≥++y y y ．另外，价格显然不能为负值，所以01234iy i ≥=，，，，． 企业现在设备的总以时数为70h ，80h ，15h ，50h ，如果将这些台时都用于出租，企业的总收入为422150158070)(y y y y Y g +++=．企业为了能够得到租用设备的用户，使出租设备的计划成交，在价格满足上述约束的条件下，应将设备价值定得尽可能低，因此取)(Y g 的最小值，综合上述分析，可得到一个与例3.5相对应的线性规划，即123412341231231234min ()70801550243282210..3220g Y y y y y y y y y y y y s t y y y y y y y =++++++≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩，，，，，，，．称后一个规划问题为前一个规划问题的对偶问题，反之，也称前一个规划问题是后一个规划问题的对偶问题．二、原问题与对偶问题的表达形式和关系在线性规划的对偶理论中，把如下线性规划形式称为原问题的标准形式11221111221121122222112212min ()..0n n n n n n m m mn n mn f X c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b x x x =++++++≥⎧⎪+++≥⎪⎪⎨⎪+++≥⎪⎪≥⎩，，，，，，，． 而把如下线性规划形式称为对偶问题的标准形式11221111221121122222112212max ()..0n n m m m m n n mn m nm g Y b y b y b y a y a y a y c a y a y a y c s t a y a y a y c y y y =++++++≥⎧⎪+++≥⎪⎪⎨⎪+++≥⎪⎪≥⎩，，，，，，，． 若用矩阵形式表示，则原问题和对偶问题分别可写成如下形式：原问题min ()..0f X CX AX b s t X =≥⎧⎨≥⎩，，．（3.6）对偶问题max ()..0g Y Yb YA C s t Y =≤⎧⎨≥⎩，，．（3.7）原问题与对偶问题的关系见表3.7．例3.6 求下面线性规划问题的对偶问题123412341342341234min ()23535224..600f X x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x =+-++-+≥⎧⎪+-≤⎪⎨++=⎪⎪≤≥⎩，，，，，，，无约束． 解：根据表3.7可直接写出上述问题的对偶问题12312131********max ()546223..325100g Y y y y y y y y s t y y y y y y y y y =+++≥⎧⎪+≤⎪⎪-++≤-⎨⎪-+=⎪⎪≥≤⎩，，，，，，，无约束． 三、对偶理论定理3.3（弱对偶定理） 对偶问题（max ）的任何可行解︒Y ，其目标函数值总是不大于原问题（min ）任何可行解︒X 的目标函数值．证 由定理所设及问题（3.6）和问题（3.7）容易看出︒︒︒︒≤≤CX AX Y b Y ．定理3.4（对偶定理） 假如原问题或对偶问题之一具有有限的最优解，则另一问题也具有有限的最优解，且两者相应的目标函数值相等．假如一个问题的目标函数值是无界的，则另一问题没有可行解．证明从略．定理3.5（互补松驰定理） 假如︒X 和︒Y 分别是原问题（3.6）和对偶问题（3.7）的可行解，︒U 是原问题剩余变量的值，︒V 是对偶问题松驰变量的值，则︒X 、︒Y 分别是原问题和对偶问题最优解的充要条件是0=+︒︒︒︒X V U Y ．证 由定理所设，可知有0AX U b X U ︒︒︒-=︒≥，，，（3.8） 0Y A V C Y V ︒︒︒︒︒+=≥，，．（3.9）分别以︒Y 左乘式（3.8），以︒X 右乘式（3.9），两式相减，得b Y CX X U U Y ︒︒︒︒︒︒-=+．若0=+︒︒︒︒X V U Y ，根据弱对偶定理知CX b Y CX Yb ≤=≤︒︒．这说明︒X ，︒Y 分别是原问题和对偶问题最优解，反之亦然．根据互补松驰定理和决策变量满足非负条件可知，在最优解时，︒︒U Y 和︒︒X V 同时等于0，所以有)21(000n j x v j j ，，， ==， )21(000m i u y i i ，，， ==． 于是，互补松驰定理也可以这样叙述：最优化时，假如一个问题的某个变量取正数，则相应的另一个问题的约束条件必取等式；或者一个问题中的约束条件不取等式，则相应于另一问题中的变量必为零．例3.7 已知线性规划问题123451234512445min ()23523234.2330125jf X x x x x x x x x x x s t x x x x x x j =++++⎧++++≥⎪-+++≥⎨⎪≥=⎩，，，，，，，．已知其对偶问题的最优解为5)(5/35/4**2*1===Y g y y ，，，试用对偶理论找出原问题的最优解．解：先写出它的对偶问题12121212121212max ()4322(1)3(2)235(3)..2(4)33(5)0g Y y y y y y y y y s t y y y y y y =++≤⎧⎪-≤⎪⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎪≥⎪⎩，，，，，，，．将*2*1y y ，的值代入约束条件，得（2），（3），（4）为严格不等式，由互补松驰定理得***2340x x x ===，因021≥y y ，，原问题的两个约束条件应取等式，故有**1534x x +=， **1523x x +=．求解后得到**1511x x ==，，故原问题的最优解为 **10001()5TX f X ==［，，，，］，．四、对偶问题的迭代算法对偶单纯形法是对偶问题的迭代算法，其基本思想是：从原问题的一个基本解出发，此基本解不一定是可行解，但它对应着对偶问题的一个可行解；然后检验原问题的基本解是否可行，即是否有负的分量．如果有小于零的分量，则进行迭代，求另一个基本解，此基本解对应着另一个对偶可行解．如果得到的基本解的分量皆非负，则该基本解为最优解．也就是说，对偶单纯形法在迭代过程中始终保持对偶解的可行解，使原问题的基本解由不可行逐步变为可行．当同时得到对偶问题与原问题的可行解时，便得到原问题的最优解．对线性规划问题的标准形式min ()..0f X CX AX b s t X =≥⎧⎨≥⎩，，．对偶单纯形法的计算步骤如下：(1)找出原问题的一个基，构成初始对偶基可行解，使所有检验数0≥j σ，构成初始对偶单纯形表．(2)若所有0≥i b ，则当前的解是最优解，停止计算，否则计算min{|0}l i i b b b =<，则l 行为主行，该行对应的基变量为换出变量．(3)若所有0≥lj a ，则对偶问题无界，原问题无解，停止计算，否则计算min |0j k lj lj lka a a σσθ⎧⎫⎪⎪=<=⎨⎬--⎪⎪⎩⎭，则k 列为主列，该列对应的基变量为换入变量．(4)以lk a 为主元素进行迭代，然后转回步骤(2)． 对偶单纯形法的流程图如图3.3所示．例3.8 用对偶单纯形法求解下述线性规划问题123123123123min ()23423..2340f X x x x x x x s t x x x x x x =++++≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，，，，，．解：首先将“≥”约束条件两边反号，再加入松驰变量，可得原问题的一个基123451234123512345min ()2340023..2340f X x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =++++---+=-⎧⎪-+-+=-⎨⎪≥⎩，，，，，，，．图3.3从表3.8看出，所有检验数0≥j σ，则对应对偶问题的解是可行的，因b 列数字为负，需进行迭代，计算min 344--=-｛，｝．所以5x 为换出变量．又因为24min 123θ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭，，，所以1x 为换入变量，以换入、换出变量所在行列交叉处元素“－2”为主元素，按单纯形法计算步骤进行迭代，得表3.9．由表3.9的最后一行看出，所有检验数0≥j σ，故原问题的最优解为*[11/52/50]T X =，，．若对应两个约束条件对偶变量为1y ，2y ，则可得对偶问题的最优解为*[8/51/5]T Y =，．§3.4 线性规划问题灵敏度在建立实际的线性规划模型时，所收集到的数据不是很精确；另一方面在实际应用中，各种信息瞬息万变，已形成的数学模型中的某些数据需要随之而变．因此，对于一个线性规划问题，研究当数据发生变动时解的变化情况是很重要的．下面仅介绍两种数据变化而导致解的变化的情况，这就是灵敏度分析问题．一、价值系数的变化假设只有一个系数k C 变化，其它系数保持不变 ，k C 的变化只影响检验解而不影响解的非负定性，下面分别就k C 是非基变量系数和基变量系数两种情况进行讨论．（1）k C 是非基变量的系数由于B C 不变，因而j Z 对任何j 都不变．这时非基变量的系数k C 的变化只影响与k C 有关的一个检验数k σ的变化，而对其它j σ没有影响，设系数从k C 变化到k C '，这时检验数k k k Z C -=σ被k k kZ C -'='σ所代替，在当前解是原问题的最优解时，有0≥-=k k k Z C σ，假如()(k k k k k k C Z C Z C σ'''=-=-+)0k C -<，则k X 必须引进基，单纯形法继续进行，否则原解仍是k C 变化后的新问题的最优解，最优解不变相当于k C '变化的界限为)(k k k kZ C C C --≥'． （2）k C 为基变量的系数当k C 被k C '所代替时，j Z 变成j Z '，j j Z C '-可计算为kj k kj j j j a C C Z C Z C )(-'--='-． （3.10）特别是当k j =时，0=-k k Z C ，且1=kk a ，因此k k k k C C Z C -'='-，仍为零．由式（3.10）知，基变量k x 的价值系数k C 的变化会引起整个价值系数行的变化，变化值为)(k k C C -'-乘以最终表相应该基变量k x 所在的k 行的数值kj a ．k 列本身则调整为0='-'k k Z C ．由式（3.10）可看出，当对某个非基变量j x ，式（3.10）为负时会引起基的变化，若要保持最优解不变，分析变化值)(k k C C -'且大于或小于零以及kj a 值是正或负的情况，得出会保持最优解不变的k C '的变化界限为max 0min 0j j j j k kj k k kj j jkj kj C Z C Z C a C C a a a ⎧⎫⎧⎫--⎪⎪⎪⎪'+<≤≤+>⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭．例3.8 以例3.2的最终表为例，设基变量2x 的系数2C 变化2C ∆，在原最优解不变条件下，确定2C ∆的变化范围．解 此时例3.2的最终表便成为表3.10为了保持原最优解不变，则2x 的检验数应当为零，进行行初等变换，得表3.11．从表（3.11）可得02232≥∆-C 且08812≥∆+C ． 由此可得2C ∆的变化范围为312≤∆≤-C ，即2x 的价值系数2C 可以在[0，4]之间变化，而不影响原最优解．二、资源系数的变化假设资源系数k b 变化为k b '，k b 的变化将会影响解的可行性，但不会引起检验数的符号变化．根据基可行解的矩阵表示可知，b B X B 1-=，所以只要k b 变化必定会导致最优解的数值发生变化，最优解的变化分为两类：一类是保持01≥-b B ，最优基B 不变；另一类是b B 1-中出现负分量，这将使最优基B 变化，若最优基不变，则只需将变化后的k b 代入B X 的表达式重新计算即可；若b B 1-中出现负分量，则要通过迭代求解新的最优基和最优解．设系数k b 变化到k k k b b b ∆+='，而其它系数都不变，这样使最终表中原问题的解相应变化为11111100k B k k k k m mk m b a b X B b b B b B b b b a b ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥'⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=+∆=+∆=+∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 其中B X 为原最优解，i b '为B X 的第i 个分量，ik a 为1-B 的第i 行第k 列元素，为了保持最优基不变，应使0≥'B X ，即110k k m mk a b b b a '⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+∆≥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦． 由此可得到保持最优基不变时，资源系数的变化界限为max 0min 0i i k ik k k ik ik ik b b b a b b a a a ⎧⎫⎧⎫''--⎪⎪⎪⎪'+>≤≤+<⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭．例3.9 若例3.2的第二个约束条件中2b 变化为22b b ∆+，在最优解不变的条件下，求2b ∆的变化范围．解 计算⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡≥∆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∆+--000812141244002211b b B b B可得2224/(1/4)164/(1/2)82/(1/8)16b b b ∆≥-=-∆≥-=-∆≤--=，，．所以2b ∆的变化范围是（－8，16）．显然2b 的变化范围是（8，32）．。
线性规划3
xi 为整数 按模式2切割 根 按模式 切割15根， 切割 按模式5切割 切割5根 按模式 切割 根， 按模式7切割 根， 按模式 切割5根 切割 共25根，余料 米 根 余料35米
最优解： 最优解：x2=15, x5=5, x7=5, 其余为0； 其余为 ； 最优值： 。 最优值：25。
按模式2切割 根 按模式5切割 切割15根 余料27米 按模式 切割12根,按模式 切割 根，余料 米 切割
目标2（总根数） 目标 （总根数） Min Z2 = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 约束条 4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 + x5 ≥ 50 件不变 x2 + 2 x4 + x5 + 3x6 ≥ 20
5
∑x
i =1
ij
= 1, j = 1, L 4
模型求解
输入LINDO求解 输入 最优解： 最优解：x14 = x21 = x32 = 其它变量为0; x43 = 1, 其它变量为 成 绩 为 253.2(秒)=4’13”2 ( ’ ” 自由泳、 蝶泳、 甲~ 自由泳、乙~ 蝶泳、 仰泳、 蛙泳. 丙~ 仰泳、丁~ 蛙泳.
决策 变量 xij--第i 种货物装入第 个货舱的重量(吨） --第 种货物装入第j 个货舱的重量( i=1,2,3,4, j=1,2,3 (分别代表前、中、后仓 分别代表前、 后仓) 分别代表前
货机装运
模型建立
xij--第i 种货物装入第 个货舱的重量 --第 种货物装入第j 目标 Max Z = 3100( x11 + x12 + x13 ) + 3800( x21 + x22 + x23 ) 函数 + 3500( x + x + x ) + 2850( x + x + x ) 31 32 33 41 42 43 利润) (利润 x11 + x21 + x31 + x41 ≤ 10 货舱 10； 16； 8； ； ； ； 6800 8700 5300 重量 x12 + x22 + x32 + x42 ≤ 16 x13 + x23 + x33 + x43 ≤ 8 约束 条件 480x11 + 650x21 + 580x31 + 390x41 ≤ 6800 货舱 480x + 650x + 580x + 390x ≤ 8700 12 22 32 42 容积 480x13 + 650x23 + 580x33 + 390x43 ≤ 5300
线性规划知识点
线性规划知识点一、什么是线性规划线性规划是一种数学优化方法，用于解决在给定约束条件下的线性目标函数的最优化问题。
线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，因此可以通过线性代数的方法进行求解。
线性规划在实际问题中有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
二、线性规划的基本要素1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，通常表示为Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ，其中 Z 为目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ 为系数，x₁,x₂, ..., xₙ 为决策变量。
2. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，通常表示为x₁, x₂, ..., xₙ。
决策变量的取值决定了目标函数的值。
3. 约束条件：约束条件限制了决策变量的取值范围。
约束条件可以是等式约束或不等式约束，通常表示为 a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁，a₂₁x₁ +a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂，...，aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ，其中 a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ 为系数，b₁, b₂, ..., bₙ 为常数。
4. 非负约束：线性规划中通常要求决策变量的取值非负，即 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, ...,xₙ ≥ 0。
三、线性规划的解法线性规划可以通过不同的方法进行求解，常见的方法包括图形法、单纯形法和内点法。
1. 图形法：图形法适用于二维或三维的线性规划问题。
首先将目标函数和约束条件转化为几何形式，然后在坐标系中绘制约束条件的图形，最后通过图形的分析找到最优解点。
2. 单纯形法：单纯形法是一种通过迭代寻找最优解的方法。
该方法从一个可行解开始，通过不断移动到相邻的可行解来逐步接近最优解。
单纯形法的核心是单纯形表，通过表格的变换和计算来确定下一个迭代点，直到找到最优解。
3. 内点法：内点法是一种通过迭代寻找最优解的方法。
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线性规划
（一）不含参的线性规划
题型一 求线性目标函数的取值范围
1.设变量,x y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。
2.若,x y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的取值范围是（ ）
A.[2,6]
B.[2,5]
C.[3,6]
D.（3,5]
3.(12山东理)设y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ，则目标函数y x z -=3的取值范围是（ ）
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,23 (B) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,23 (C) []6,1- (D) ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-23,6 4.（12全国理）若,x y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩
，则3z x y =-的最小值为_________
题型二 求可行域的面积
1.不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤-⎩
，表示的平面区域的面积为（ ）
A.4
B.1
C.5
D.无穷大
2.在平面直角坐标系中，不等式组20
200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
表示的平面区域的面积是（ ）
A ．42 B.4 C. 22 D.2
☀3.（12北京理）设不等式组⎩⎨
⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 A.
4π B.22π- C.6π D.44π-
题型三 求可行域中整点问题
1.满足||||2x y +≤的点
(,)x y 中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A.9个 B.10个 C.13个 D.14个
2.某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大
值是（ ）
A.80
B. 85
C. 90
D.100
题型四 求非线性目标函数的最值
（1）距离问题：当出现平方和的问题时，常利用圆转化成到某点的距离问题来解决。
1. 已知,x y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩
，则22z x y =+的最大值和最小值分别是（ ）
A.13，1
B.13，2
C.13，
45 D.13，255 （2）比值问题：当目标函数形如y b z x a
-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q a b 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
1. 已知变量,x y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则y x 的取值范围是（ ） A.9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.9
(,][6,)5-∞⋃+∞ C.(,3][6,)-∞⋃+∞ D.[3，6] 2.已知4435151,2x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥≥-⎩，则12y z x -=+的最大值为 。
（较难）3.在平面直角坐标系中,对于点(,x y ),满足: 0||||1xy x y ≥+≤且,目标函数2221y z x -=
+,那么满足2z =-的解 (,x y )有( )
A. 0个
B. 1个
C.2个
D. 无数个 （较难）4.已知实数系数方程2(1)10x m x m n +++++=的两个实根分别为12,x x ,且1201,1x x <<>,则n m
的取值范围是 ( ) A. 1(2,)2- B. 1(2,)2-- C. 1
(1,)2-- D. (2,1)--
(3)截距问题
（二）含参的线性规划
题型一 求线性目标函数中参数的取值范围
1.已知实数,x y 满足012210x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩
，若目标函数(0)z ax y a =+≠取得最小值时的最优解有无数个，则
实数a 的值为
2.已知变量,x y 满足约束条件23033010x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪-≤⎩
，若目标函数z y ax =-仅在点（-3,0）处取到最大值，则实
数a 的取值范围为 。
3.（08山东理）设二元一次不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+0142,080192y x y x y x ，所表示的平面区域为M ，使函数
(0,1)
x y a a a =>≠的图象过区域M 的a 的取值范围是（ ） A.[1,3] B. 2,10⎡⎤⎣⎦ C.[2,9] D.10,9⎡⎤⎣⎦
（较难）4.（09山东理） 设,x y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的
最大值为12，则
23a b
+的最小值为( ) A.625 B.38 C. 311 D. 4 。
5.若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩
所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是（ ） A.73 B. 37 C.43 D. 34
练习题
1.已知实数,x y满足约束条件
10
240
x
y x
y x
≥
⎧
⎪
-+≤
⎨
⎪-+≥
⎩
，若z y a x
=-取得最大值时的最优解(,)
x y有无数个，则a
的值为
2.已知,x y满足以下
约束条件
5
50
3
x y
x y
x
+≥
⎧
⎪
-+≤
⎨
⎪≤
⎩
，使(0)
z x ay a
=+>取得最小值的最优解有无数个，则a的值为。
题型二 求约束条件中参数的取值范围
1.设2z x y =+，其中,x y 满足000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩
，若z 的最大值为6，则k 的值为 ；z 的最小值为 。
2.若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩
，则实数m 的最大值为（ ）
A.-1
B.1
C.
32
D.2
3.已知,x y 满足140x x y x by c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩
，记目标函数2z x y =+的最大值为7，最小值为1，则,b c 的值为（ ）
A. -1，-4
B. -1，-3
C. -2，-1
D. -1，-2
4.已知|2|3x y m -+<表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是（ ）
A 、（-3,6）
B 、（0,6）
C 、（0,3）
D 、（-3,3）
5.若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ）
A ．
21 B ．1 C ．23 D ．2
4.已知O 为坐标原点，点(1,0)A ，若点(,)M x y 为平面区域111x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩
上的一动点，则OA OM + 的最小
值为 。
（错题？）
练习题
1.已知,x y 满足420x y ax by a +≤⎧⎨+-≤⎩
，且目标函数2z x y =+的最大值为7，则a b += 。
线性规划应用题
1.某厂拟生产甲、乙两种试销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元．甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A、B上加工一件甲所需工时分别为1工时、2工时，加工一件乙所需工时分别为3工时、1工时，A、B两种设备每月有效使用台时数为450，问两种产品各生产多少时，月收入最大值？最大值是多少？
2.某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示．
用煤（吨）用电（千瓦）产值（万元）
甲产品7 20 8
乙产品 3 50 12
但国家每天分配给该厂的煤、电有限，每天供煤至多56吨，供电至多450千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值大？最大日产值为多少？
3.某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，求所需租赁费最少为多少元？。