2020高考数学(文)二轮专题课件：题型篇第一讲选修4-4 坐标系与参数方程

解得 θ＝π6；若π4≤θ≤34π，则 2sin θ＝ 3，解得 θ＝π3或 θ＝23π；
若34π≤θ≤π，则－2cos θ＝ 3，解得 θ＝56π.

综上，P 的极坐标为

3，π6或
3，π3或
3，23π或
3，56π.
2．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 y＝k|x|＋2.以坐标 原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的 极坐标方程为 ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求 C2 的直角坐标方程； (2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程． 解：(1)由 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 得 C2 的直角坐标方程为(x＋ 1)2＋y2＝4. (2)由(1)知 C2 是圆心为 A(－1,0)，半径为 2 的圆． 由题设知，C1 是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线．记 y 轴右边的射线为 l1，y 轴左边的射线为 l2. 由于点 B 在圆 C2 的外面，故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点 等价于 l1 与 C2 只有一个公共点且 l2 与 C2 有两个公共点，或 l2 与 C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点．
2．已知直线
l：xy＝＝12＋3t 12t，(t
为参数)，曲线
C1：xy＝＝scions
θ， θ (θ
为参数)． (1)设 l 与 C1 相交于 A，B 两点，求|AB|； (2)若把曲线 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标
缩短到原来的 23倍，得到曲线 C2，设 P 是曲线 C2 上的一
[集训冲关]
1．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
x＝2cos θ， y＝4sin θ (θ
为参数)，直线
l
的参数方程为xy＝＝21＋＋ttscions
α， α
(t 为参数)．
(1)求 C 和 l 的直角坐标方程；
(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求 l 的斜率． 解：(1)曲线 C 的直角坐标方程为x42＋1y62 ＝1.
l 的直角坐标方程为 2x＋ 3y＋11＝0.
(2)由(1)可设 C 的参数方程为xy＝＝2cosisnαα，(α 为参数，－π<α<π)． 则 C 上的点到 l 的距离为
|2cos α＋2
3sin 7
α＋11|＝4cosα－7π3＋11.
当 α＝－23π时，4cosα－π3＋11 取得最小值 7， 故 C 上的点到 l 距离的最小值为 7.
[解] (1)因为 M(ρ0，θ0)在曲线 C 上， 当 θ0＝π3时，ρ0＝4sinπ3＝2 3. 由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2. 设 Q(ρ，θ)为 l 上除 P 外的任意一点． 连接 OQ，在 Rt△OPQ 中，ρcosθ－π3＝|OP|＝2. 经检验，点 P2，π3在曲线 ρcosθ－π3＝2 上， 所以 l 的极坐标方程为 ρcosθ－π3＝2.
解：(1)由 ρ2＝6ρ(cos θ＋sin θ)－14， 得圆 C 的直角坐标方程为 x2＋y2＝6x＋6y－14， 即(x－3)2＋(y－3)2＝4. (2)将直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得 22t－12 ＋ 22t－32＝4， 即 t2－4 2t＋6＝0， 设两交点 A，B 所对应的参数分别为 t1，t2， 从而 t1＋t2＝4 2，t1t2＝6， 所以|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2＝2 2.
[解] (1)由直线 l 的参数方程为xy＝＝mt，t (t 为参数)，得直 线 l 的普通方程为 y＝mx，
由圆 C 的参数方程为xy＝＝1co＋s sαin，α (α 为参数)， 得圆 C 的普通方程为 x2＋(y－1)2＝1.
则圆心(0,1)到直线 l 的距离 d＝ m12＋1，
当 l1 与 C2 只有一个公共点时，点 A 到 l1 所在直线的距离为 2， 所以|－kk2＋＋21|＝2，故 k＝－43或 k＝0. 经检验，当 k＝0 时，l1 与 C2 没有公共点； 当 k＝－43时，l1 与 C2 只有一个公共点，l2 与 C2 有两个公共点． 当 l2 与 C2 只有一个公共点时，点 A 到 l2 所在直线的距离为 2， 所以 |kk＋2＋2|1＝2，故 k＝0 或 k＝43. 经检验，当 k＝0 时，l1 与 C2 没有公共点； 当 k＝43时，l2 与 C2 没有公共点． 综上，所求 C1 的方程为 y＝－43|x|＋2.
x＝12cos θ，
(2)由题意得，曲线 C2 的参数方程为 y＝
3 2 sin θ
(θ 为参数)，
则点
P
的坐标是12cos
θ，
3
l
的距离
d
＝

3 2 cos
θ－
3 2 sin 2
θ－
3 ＝
6 4
sinθ－π4＋
故相交弦长为 2
1－m21＋1，
所以 2 1－m21＋1≥ 2，解得 m≤－1 或 m≥1.
所以实数 m 的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
(2)设 P(cos α，1＋sin α)，Q(x，y)， 则 x＝12(cos α＋2)，y＝12(1＋sin α)， 消去 α，整理可得线段 PA 的中点 Q 的轨迹方程为 (x－1)2＋y－122＝14.
(2)设 P(ρ，θ)，在 Rt△OAP 中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ， 即 ρ＝4cos θ.
因为 P 在线段 OM 上，且 AP⊥OM， 所以 θ 的取值范围是π4，π2. 所以 P 点轨迹的极坐标方程为 ρ＝4cos θ，θ∈π4，π2.
[解题方略] 1．求曲线的极坐标方程的一般思路 曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角 坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极 坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键． 2．求解与极坐标有关的应用问题的基本方法 (1)直接法：直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想 配合使用． (2)间接法：转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结 果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．
1．(2019·湖南五市十校联考)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的
x＝2＋
参数方程为
y＝
2 2t
22t， (t
为参数)．以坐标原点
O
为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ρ2
＝6ρ(cos θ＋sin θ)－14. (1)写出圆 C 的直角坐标方程；
(2)设直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，求|AB|.
[解题方略] 极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略 (1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标方程， 然后求解． (2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再 作出判断． (3)求参数方程与极坐标方程综合的问题．一般是先将方 程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．
[集训冲关]
考点(二) 参数方程及其应用
[典例] 已知直线 l 的参数方程为xy＝＝mt，t (t 为参数)，圆 C 的参数方程为xy＝＝1co＋s sαin，α (α 为参数)．
(1)若直线 l 与圆 C 的相交弦长不小于 2，求实数 m 的取 值范围；
(2)若点 A 的坐标为(2,0)，动点 P 在圆 C 上，试求线段 PA 的中点 Q 的轨迹方程．
[集训冲关]
1．(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系 Ox 中，

A(2,0)，B

2，π4，C
2，34π，D(2，π)，
弧 AB，BC ，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，1，π2，(1，π)，
曲线 M1 是弧 AB，曲线 M2 是弧 BC ，曲线 M3 是弧CD.
2．与参数方程有关问题的求解方法 (1)过定点 P0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线参数方程的标准 形式为xy＝＝yx00＋＋ttscionsαα， (t 为参数)，|t|等于直线上的点 P 到点 P0(x0，y0)的距离．若直线上任意两点 P1，P2 对应的参数分别 为 t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2 的中点对应的参数为12(t1＋t2)． (2)解决与直线、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时， 要注意普通方程与参数方程的互化，主要是通过互化解决与 圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．
当 cos α≠0 时，l 的直角坐标方程为 y＝tan α·x＋2－tan α，
当 cos α＝0 时，l 的直角坐标方程为 x＝1.
(2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方 程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.① 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内， 所以①有两个解，设为 t1，t2，则 t1＋t2＝0. 又由①得 t1＋t2＝－421co＋s 3αc＋oss2iαn α， 故 2cos α＋sin α＝0， 于是直线 l 的斜率 k＝tan α＝－2.
y＝1＋4tt2 的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2ρcos θ ＋ 3ρsin θ＋11＝0.
(1)求 C 和 l 的直角坐标方程； (2)求 C 上的点到 l 距离的最小值．
[解] (1)因为－1<11－＋tt22≤1，且 x2＋2y2＝11－＋tt222＋1＋4t2t22＝1， 所以 C 的直角坐标方程为 x2＋y42＝1(x≠－1)，

2 ， 故 当

sinθ－π4＝－1 时，d 取得最小值，最小值为2
3－ 4
6 .
考点(三) 极坐标方程与参数方程的综合问题
[典例] (2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的 参数方程为x＝11－＋tt22，(t 为参数)．以坐标原点 O 为极点，x 轴