三次函数的性质
高中数学：三次函数图像与性质
三次函数的图像和性质设三次函数为()32f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠），其基本性质有： 性质一：定义域为R ；性质二：值域为R ，函数在整个定义域上没有最大值、最小值； 性质三：单调性和图象。
（1）当a>0时，先看二次函数f ′（x ）=3ax 2+2bx+c ，Δ=4b 2-12ac=4（b 2-3ac ）① 当Δ=4b 2-12ac=4（b 2-3ac ）>0，即b 2-3ac >0时，f ′（x ）与x 轴有两个交点1x ，2x ，f （x ）形成三个单点区间和两个极值点1x ，2x ，图像如图1,2：② 当Δ=4b 2-12ac=4（b 2-3ac ）=0，即b 2-3ac=0时，f ′（x ）与x 轴有两个等根1x 2x ，f （x ）没有极值点，图像如图3,4：图1 图2 图3 图4 图5 图6 ③ 当Δ=4b 2-12ac=4（b 2-3ac ）＜0，即b 2-3ac ＜0时，f ′（x ）与x 轴没有交点，f （x ）没有极值点，图像如图5,6：（2）当a ＜0时，先看二次函数f ′（x ）=3ax 2+2bx+c ，Δ=4b 2-12ac=4（b 2-3ac ）① 当Δ=4b 2-12ac=4（b 2-3ac ）>0，即b 2-3ac >0时，f ′（x ）与x 轴有两个交点1x ，2x ，f （x ）形成三个单点区间和两个极值点1x ，2x ，图像如图7,8：图7 图8 图9 图10 图11 图12② 当Δ=4b 2-12ac=4（b 2-3ac ）=0，即b 2-3ac=0时，f ′（x ）与x 轴有两个等根1x 2x ，f （x ）没有极值点，图像如图9,10：③ 当Δ=4b 2-12ac=4（b 2-3ac ）＜0，即b 2-3ac ＜0时，f ′（x ）与x 轴没有交点，f （x ）没有极值点，图像如图11，12：性质四：三次方程f （x ）=0的实根个数对于三次函数()32f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠），其导数为f ′（x ）=3ax 2+2bx+c ，(1) 当b 2-3ac >0，其导数f ′（x ）=0有两个解 ， ，原方程有两个极值。
三次函数的性质和图像
投资决策分析：在金融领域，三次函数可以用于分析投资组合的风险和回 报，以及股票价格的预测。
资源分配问题：在资源分配问题中，三次函数可以用来解决如何将有限的 资源分配到各个领域，以最大化整体效益的问题。
在其他领域的应用
物理学：三次函数在描述物理现象和解决物理问题中有着广泛的应用，例如振动、波动、 热传导等。
经济学：三次函数在经济学中用于描述经济现象和预测经济趋势，例如预测股票价格、 消费需求等。
生物学：三次函数在生物学中用于描述生长曲线、繁殖率等，例如描述细菌生长、动物 繁殖等。
计算机科学：三次函数在计算机科学中用于图像处理、信号处理等，例如图像的缩放、 旋转和平移等。
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三次函数与其他函数的 比较
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单调性
单调递增：当导数大于0时，函数在对应区间内单调递增 单调递减：当导数小于0时，函数在对应区间内单调递减 单调性的判断：通过求导数并分析导数的符号来判断单调性 单调性的应用：利用单调性研究函数的极值、最值等问题
极值点
极值点的定义：三次函数图像上函数值发生变化的点 极值点的位置：函数图像上凹凸部分的分界点 极值点的求法：通过导数求出极值点的横坐标，再代入原函数求出纵坐标 极值点的性质：极值点处的函数值大于或小于其邻近点的函数值
与指数函数的比较
定义域：三次函数 定义域为全体实数， 而指数函数定义域 为正实数
函数值：三次函数 在定义域内连续且 可导，而指数函数 在定义域内连续但 不可导
单调性：三次函数 可以具有单调递增 、递减或先增后减 等变化趋势，而指 数函数在定义域内 单调递增
奇偶性：三次函数 既可能是奇函数也 可能是偶函数，而 指数函数是偶函数
三次函数的特性总结
三次函数的特性总结三次函数，也被称为三次方程或者三次方程函数，是指具有三次幂的多项式函数。
它的一般形式可以表示为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d其中，a、b、c、d为函数的系数，且a不等于0。
在本文中，我们将总结三次函数的几个主要特性。
1. 零点和因式分解三次函数的零点即为函数与x轴交点的横坐标。
为了求解零点，我们可以利用因式分解的方法。
对于一个三次函数f(x)，如果x=a是它的零点，那么(x-a)就是它的一个因式。
通过将函数进行因式分解，我们可以更方便地确定它的零点。
2. 对称性三次函数有两个常见的对称性质：关于y轴的对称和关于原点的对称。
对于一个三次函数f(x)，如果f(-x) = f(x)，则该函数具有关于y轴的对称性。
如果f(-x) = -f(x)，则该函数具有关于原点的对称性。
3. 变化趋势三次函数的变化趋势可以通过函数的导数和导数的二次项来判断。
函数的导数表示了函数的变化速率，导数的符号则表示了函数的增减性。
如果函数的导数大于0，那么函数在该点上升；如果导数小于0，则函数在该点下降。
其次，导数的二次项可以用来判断函数的拐点位置。
如果导数的二次项大于0，则函数有一个拐点，该拐点位于导数为0的点处。
4. 最值点对于三次函数而言，它可能存在最大值或最小值点。
为了找到函数的最值点，我们可以计算函数的导数，令导数为0，并求解对应的x值。
通过找到导数等于0的点，我们可以确定函数的局部最值点。
5. 图像特征三次函数的图像通常呈现出“S”形状曲线。
当a>0时，函数的图像开口向上，底部为最小值点；当a<0时，函数的图像开口向下，顶部为最大值点。
同时，函数可能经过x轴的一次或两次。
通过观察函数的图像特征，我们可以初步判断函数的性质和行为。
总结起来，三次函数作为一种多项式函数，具有许多独特的特性。
通过研究它的零点、对称性、变化趋势、最值点以及图像特征，我们可以更好地理解和利用三次函数的性质。
三次函数总结范文
三次函数总结范文三次函数，也称为三次多项式函数，是一个最高次数为3的多项式函数。
它的一般形式可以表示为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d其中，a、b、c、d是实数或复数常数，并且a不等于0。
三次函数具有许多重要的数学性质和应用。
在本文中，我将介绍三次函数的性质、图像、求解方法以及一些常见的应用场景。
一、三次函数的性质1.最高次项幂是3，次高项幂是2，因此，三次函数的图像是一个连续的曲线，没有角或尖点。
2.三次函数可以是奇函数也可以是偶函数。
如果三次函数关于y轴对称，则它是一个偶函数；如果关于原点对称，则它是一个奇函数；否则，它既不是奇函数也不是偶函数。
3.三次函数的导数是一个二次函数，其图像可以是一个抛物线。
导函数的零点可以帮助确定原函数的极值点和拐点。
4.三次函数的定义域是整个实数集，值域也是整个实数集。
二、三次函数的图像三次函数的图像通常呈现出S形状曲线，称为三次曲线。
根据三次函数的系数不同，曲线可能向上打开或向下打开。
具体来说：1.当系数a>0时，曲线开口向上。
这意味着当x趋近无穷大时，y的值也趋近无穷大；当x趋近负无穷大时，y的值也趋近负无穷大。
2.当系数a<0时，曲线开口向下。
这意味着当x趋近无穷大时，y的值趋近负无穷大；当x趋近负无穷大时，y的值趋近无穷大。
三、三次函数的求解方法三次函数的求解通常涉及找到函数的零点（也称为根或解）。
1.因式分解法：如果三次函数可以因式分解为一次因式和一个二次因式的乘积，那么可以通过解一元二次方程来求解零点。
2.直接求解法：当函数难以因式分解时，我们可以使用数值方法，如二分法、牛顿法等，来逼近零点。
四、三次函数的应用场景三次函数在许多领域和问题中有着广泛的应用，例如：1.物理：三次函数可以用来描述物体的加速度、位移、速度等物理量与时间的关系。
2.经济：三次函数可以用来建模经济增长、市场需求、价格变化等经济现象。
3.生物学：三次函数可以用来建模生物体的生长、衰退、繁殖等过程。
三次函数的性质
三次函数的性质
三次函数是指满足某一条件的函数，它是一类定义在实数域上的函数。
三次函数的标准形式则是 y=ax+bx+cx+d，其中a、b、c和d 为常数，x为变量。
下面就具体介绍下三次函数的性质。
1、首先，三次函数的最大和最小值，由于三次函数的曲线的形状受参数a的变化影响较大，当a>0时，函数准心在x轴上有1个极值点，它位于 f(x)=ax+bx+cx+d, x=-b/(3a)这个立方根上，由此可以知道，a>0时函数有1个极小值点；当a<0时，函数准心在x轴上有1个极大值点，它位于 f(x)=ax+bx+cx+d, x=-b/(3a)这个立方根上，由此可以知道，a<0时函数有1个极大值点。
2、其次，三次函数的翻转，由于三次函数的曲线的形状受参数a的变化影响较大，当a>0时，曲线上的点沿着y轴正方向递减；当a<0时，曲线上的点沿着y轴正方向递减，这就是三次函数的翻转。
3、再次，三次函数的对称，由于三次函数的曲线的形状受参数a的变化影响较大，当a=0时，三次函数具有对称性，即函数围绕x 轴对称。
4、最后，三次函数的拐角，由于三次函数的曲线的形状受参数a的变化影响较大，当a>0时，函数的拐点处的斜率由正数变为负数，拐点处的斜率由负数变为正数；当a<0时，函数的拐点处的斜率由正数变为负数，拐点处的斜率由负数变为正数，这就是三次函数的拐角。
综上所述，三次函数的形状受参数a的变化影响较大，它具有极值、翻转、对称和拐角等性质，是求解函数最重要的一类函数。
了解
三次函数的性质，对求解函数会有很大帮助。
三次函数的性质：单调区间和极值
基础自测 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数的最大值不一定是函数的极大值．( √ ) (2)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取 得．( × ) (3)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．( × )
2．函数y＝－x3＋6x2(x≥0)的最大值为( ) A．32 B．27 C．16 D．40
题型探究·课堂解透
提醒1 求三次函数的最值 例1 已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋b，若曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切 线方程为y＝－x＋1. (1)求a，b的值； (2)求函数y＝f(x)在[－2，2]上的最小值．
解析： (1)由已知可得f(0)＝b＝1. 又f′(x)＝3x2－2x＋a，所以f′(0)＝a＝－1. (2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋1，f′(x)＝3x2－2x－1， 令f′(x)>0，解得x<－13或x>1， 所以f(x)在[－2，－13)和[1，2]上单调递增，在[13，1)上单调递减． 又因为f(－2)＝－9，f(1)＝0，所以函数y＝f(x)在[－2，2]上的最小值为－9.
要点二 函数在区间[a，b]上最值的求法 一般地，求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的___极__值___； (2)求函数y＝f(x)在端点处的函数值f(a)，f(b)； (3) 将 函 数 y ＝ f(x) 的 各 __极__值____ 与 f(a) ， f(b) 比 较 ， 其 中 最 大 者 是 __最_大__值___，最小者是__最__小__值__．
方法归纳 与最值有关的恒成立问题的解题策略
若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以避免分类讨论．a>f(x)恒 成立⇔a>f(x)max，a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min.
三次函数的性质
三次函数的性质三次函数是一类重要的数学函数，它是利用一次函数、二次函数和多项式联立来构造的一类数学函数。
三次函数的性质多变，常用的有三次函数的单调性性质、最值性质、奇偶性质、对称性质、递增递减性质等。
一、三次函数的单调性性质三次函数满足单调性性质，即在函数定义域内函数值单调递增或单调递减，即“若y=f(x) 为某三次函数时，则若x在f(x)的定义域内，若x1<x2，则f(x1)≤f(x2)或f(x1)≥f(x2)”。
二、三次函数的最值性质三次函数满足最值性质，具体来说就是三次函数在定义域内只有一个极值点，这个极值点可以是函数的极大值点也可以是函数的极小值点，用数学符号表示为“若y=f(x) 为某三次函数，则若x为函数的极值点，有f(x)=0，其中f(x) 为函数的导数”。
三、三次函数的奇偶性质三次函数满足奇偶性质，即“当x为-x，函数值也变为它的相反数，即f(-x)=-f(x)，其中f(x) 为某三次函数”。
四、三次函数的对称性质三次函数满足对称性质，具体来说就是“若f(x) 为某三次函数，且a 为某实数，若x=af(x)=0，则f(x) 与x对称，即f(x)=0 且x=-a 也成立，即f(-a)=0”。
五、三次函数的递增递减性质三次函数满足递增递减性质，即“若y=f(x) 为某三次函数时，若x 位于f(x)定义域内，若f(x)>0，则若x0<x1<x2，有f(x0)<f(x1)<f(x2)；若f(x)<0，则若x0<x1<x2，有f(x0)>f(x1)>f(x2)”。
综上所述，三次函数的性质多变多样，它具有单调性性质、最值性质、奇偶性质、对称性质和递增递减性质，并且它们之间也有着相互联系。
所以要想理解三次函数这一重要的数学函数，就需要全面掌握它的这些性质。
三次函数在数学和科学上有着重要的应用，例如在数学归纳法中，通过分析三次函数的性质，可以更加有效地解决数学问题；在科学研究中，三次函数也可用来拟合一些曲线，从而进行有效的科学实验。
三次函数的性质及应用
三次函数的性质及应用
三次函数：性质及应用
三次函数是在数学领域中常用的函数之一，表达式常写为y=ax³+bx²+cx+d.
它是含有一个三次项的多项式函数，可以通过三次函数的性质可以得出曲线的性质。
三次函数的性质
首先，是函数的解析法则，例如，y=ax³+bx²+cx+d，其中a不等于0。
可以使
用贝塞尔公式将它补充完整，这样可以求出图形函数的所有有限点。
从图像上看，三次函数是一条弯曲的曲线，有一个极点。
极点可以通过使用微分计算法则求出，即可以使用f'(x)=0来求解出极点。
三次函数的应用
三次函数在日常生活中被很多人所使用，从制造汽车和飞机，到设计微型机器人，无不是这一函数的付出。
比如说道路的建造，一般采用的是“S形”的三次函数，它提高了由起点向终点的安全性和舒适性，同时可以增加隧道的速度、减少改变方向时的磨擦，从而节省能源和改善和加快交通流量。
此外，三次函数还广泛应用于无损检测与机器视觉技术，利用这种技术可以实
现精确检测及定位，应用广泛。
三次函数是一种高级函数形式，它不仅可以用来解决各种数学问题，而且在实
践中也有着广阔的用途，它在帮助社会有所作为的过程中也发挥了重要的作用。
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(-∞,-1) g(x) + x
-1
(-1,1)
0
极大值2-k
-
1 0
极小值-2-k
(1,+∞) +
g(x)
2 k 0 2 k 0
由上表可知,g(x)的极大值为2-k,极小值为-2-k,
2
3 u x 3x 2 12 3 x 2 x 2 u x 有两个零点x 2和x 2
当x变化时, f x , f x 变化如下表 :
(-∞,-2) f(x) + x
-2
(-2,2)
0
极大值
-
2 0
极小值
(2,+∞) +
新课引入:指出下列函数的单调区间和极值点
1 f x x3 2 x 2 2 x 7； g x 3x3 6 x 2 4 x 5 2 3 u x x3 12 x 8； h x 37 36 x 3x 2 2 x 3 4
依题意 : 4 a 1 6 5 a 7
即:实数a的取值范围为:[5,7]
★小结★
1.本节课主要学习了三次函数的有关性质 2.分析方法适用于其它可求导的函数.
3.三次函数与三次方程实根个数的关系:
作业：《课堂新坐标》32~33页
2.设a为实数，函数f x x 3 x 2 x a;(1)求f x 的极值； （2）当a在什么范围取值时，曲线y=f x 与x轴仅有一个交点？
例2. 如图，f(x)=ax3+bx2+cx+d,问：a、b、c、d中 有“0”吗？对于非零的数，它的符号是什么？
解：d=f(0)<0,a>0, f′(x)=3ax2+2bx+c,由图象知 f′(x)=0的两根为x1、x2， x1x2<0，x1+x2<0.
y
o x2 x1
c x1 x2 0, 3a 2b x1 x2 0 3a
x
a
f x x 3 3x 2 由f 1 0 a 0
当x变化时,f x , f 是否还有其它方法? x 变化如下表
f x 3x 2 3 令f x 0得 : x1 1或x2 1
o
x
(-∞,-1) f(x) + x
a
解 : 1 f x 3x 2 2ax 3
依题意有:
x , 2 , f x 0
4a 2 36 0
a x 2 3 f 2 0
9 a 4
例4. 已知函数 f ( x) x3 ax 2 3x ， （1）若 f ( x) 在 , 2上单调递增，求 的取值范围。 （2）若 f (1) 0 ,关于 的方程 f ( x) k 恒有3个不等实根， 求实数 k 的取值范围。 y
x
a
2 解法2：由f 1 0 a 0 f x x3 3x
令g x x3 3x k , 则：g x 3x 2 3, 令g x 0得 : x1 1或x2 1
当x变化时,g x , g x 变化如下表
f(x)
4 h x 36 6 x 6 x 2 6 x 2 x 3 h x 有两个零点x 3和x 2 列表(略) h x 在 , 3 上递减; 在 3, 2 上递增; 在 2, 上递减.
课程讲授
f(x)的导数为: f x 3ax 2 2bx c(a 0)
三次函数一般形式为: f x ax3 bx 2 cx d (a 0)
4b2 12ac
a 0 1 x R, f x 0 0 a 0 2 x R, f x 0 0
4 4 3 2 0
2
１ 分析: 求得f x 3x 2 4 x 2
x R, f x 0 f x 在 , 上递增.
2 求得g x 9 x 2 12 x 4 3x 2 0 g x 在 , 上递减
极小值 极大值 极小值 极大值
4 当a 0时，x , f x ; x , f x 当a < 0时，x +,f x ; x , f x
★范例讲解★
例1、求函数f(x)=x3 -4x 2 +4x+5在 -1,3 上的极值.
x
所以c<0，b>0，则a、b、c、d均不为0。
例3、已知f x x3 3x 2 9x a , ①求f x 的递减区间； ②若f x 在区间 -2,2 上的最大值为20，求它在该区间上的最小值
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
练习：已知a为实数，f x x 2 4 x a ①求导数f / x ； ②若f / -1 =0，求f x 在 -2,2 上的最值。
令f x 0得 : x1 1或x2 a 1
当a 1 1,即a 2时,
f x 在 1, 上是增函数,不合题意.
当a 1 1,即a 2时,
f x 在 ,1 , a 1, 上是增函数, 在 1, a 1 上是减函数.
2 k 2
1.讨论函数f x =x3 +ax+5的增减性 1 3 1 2 2.若函数f x x ax a 1 x 1在区间1, 4 内为减函数, 3 2 在区间 6,+ 为增函数, 试求实数a的取值范围.
解 : 函数f x 的导数为 : f x x 2 ax a 1
-1
(-1,1)
0
极大值2
-
1 0
极小值-2
(1,+∞) +
f(x)
由上表可知,f(x)的极大值为2,极小值为-2, 所以实数k的取值范围为:(-2,2) （若改为:若恒有2个根？1个根？则k的取值范围?）
例4. 已知函数 f ( x) x3 ax 2 3x ， （1）若 f ( x) 在 , 2上单调递增，求 的取值范围。 （2）若 f (1) 0 ,关于 的方程 f ( x) k 恒有3个不等实根， 求实数 k 的取值范围。
f x 在 , 上单调递增。 f x 在 , 上单调递减。
3 0 f x 有两个零点 : x x1和x x2 , 设x1 x2 若a 0,当x变化时,f x 和f x 的变化如下表: 0 x2 x1 , x2 x2 , x , x1 x1 f x + 0 + 0 + f x
达标检测
C
C D
B
A
-64 0
例4. 已知函数 f ( x) x3 ax 2 3x ， （1）若 f ( x) 在 , 2上单调递增，求 的取值范围。 （2）若 f (1) 0 ,关于 的方程 f ( x) k 恒有3个不等实根， 求实数 k 的取值范围。
x