高等数学期末复习-曲线积分与曲面积分
高等数学第五版下册第十一章曲线积分与曲面积分复习知识点及例题
高等数学第五版下册第十一章曲线积分与曲面积分复习知识点及例题第11章曲线积分与曲面积分一(曲线积分1.对弧长的曲线积分 (第一类), f(x,y)ds,f[,(t),,(t)],'(t)，,'(t)dt(,,,),,L,典型例题,x,acost (1)圆周0,t,1 {y,asint2,222n222n222n，1 (，)ds,(cost，asint)(acos't)，(asin't)dt,2,ayax,,L0(x，y)ds(2)线段:把线段表示出来 L是(1，0)到(0,1)的直线段 ,L1(x，1,x)x，1dx,2,0 原式= 直线为:y=1-x22x，yeds (3)圆弧的整个边界(分段) ,La,a222,，xyxa22a42e1dx，e(acos't)，(asin't)dt，e1，1dx,e(2，a),2 ,,,0004(4)参数方程 (公式)2xyzds(5)利用折线围成的封闭图形 (坐标分段) A(0,0,0) B(0,0,2) C(1,0,2) D(1,3,2) ,,3322,0,0,1y20，1，0dy,y,9AB: BC: CD: ,,,,ABBC0CD0？,，，,9 ,,,,,ABBCCD2.对坐标的曲线积分 (第二类),P(x,y)dx，Q(x,y)dy,{P[,(t),,(t)],'(t)，Q[,(t),,(t)],'(t)dt ,,L,典型例题x,acost222xydx0,t,1(1)圆周圆周及x轴在一(x,a)，y,a(a,0){,Ly,asint xaacost,，x,x:(0,t,1),:象限逆时针 {{LL12yasint0,y,2a,3a(1cost)asint(aacost)'dt0dxa,，,，，，,, ,,,,120LLL21222(2)直线: 写出函数关系从(0,0)到(2,4) x-ydx，L:y,x,L25624 原式=x-xdx- (),,015,(3)圆弧 L: x=rcost,y=rsint上对应t从0到的一段弧 ydx，xdy，,L2(4)参数方程 (公式)(5)利用折线围成的封闭图形dx-dy，ydz ，A(1,0,0) B(0,1,0) C(0,0,1) ABCA封闭图形 ,,=01131[1(1)][(1)'(1)']121 ，，,,,zdx，,,z，,zzdz，dx,,，，,,,,,,,ABBCCA10022二(格林公式,Q,P(-)dxdy,Pdx，Qdy1. ,,,L,x,yD1A,xdy-ydx2.面积 ,L2,,PQ3.曲线积分;pdx，dy,, 与路径无关Q,L,y,xP(x，y)dx，Q(x，y)dy同上Pdx，Qdy与路径无关,存在u(x，y)使du,Pdx，Qdy4. ,Lxy u(x,y),p(x,y)dx，Q(x,y)dy0,,xy00典型例题22xyxyyedxxedyL(,)，(3，):，,1的正向(1) 22,Lab,p,Q,1,3？,2dxdy,2,ab，解: ,,,L,y,xD(2)验证整个xoy面内存在u(x，y)使2232ydu= (3xy，8xy)dx，(x，8xy，12ye)dy并求u(x，y),p,Q2,,3x，16xy，？存在解: ,y,xxy32y322yU(x，y),0dx，(x，8xy，12ye)dy，c,xy，4xy，12(y,1)e，c ,,002三(曲面积分1.对面积的曲面积分 (第一类)22 f(x，y,z)ds,f[x,y,z(x,y)]1，z，zdxdyxy,,,,Dxy典型例题221，4zds,其中,是z,x，y上z,1的曲面部分(1)球面。
曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分一、 知识要点 1、定义、定理(1)定理1(格林公式)：设分段光滑的有向闭曲线L 为有界闭区域D 的正向边界，函数P(x,y)，Q(x,y)在D 上具有一阶连续偏导数，则有：⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L DQdy Pdx dxdy yPx Q )((2) 定理2(曲线积分与路径无关的充要条件) ：设G 为平面单连通开区域，函数),(y x P ，),(y x Q 在G 内具有连续的一阶偏导数，那么曲线积分⎰+LQdy Pdx 与路径无关xQ yP ∂∂≡∂∂⇔在G 内成立。
(3) 定理3 ：设函数),(),,(y x Q y x P 在开区域G 内具有一阶连续偏导，则曲线积分()()dy y x Q dx y x P ,,+ 在G内为某一函数()y x u ,的全微分的充要条件是等式()()x y x Q y y x P ∂∂=∂∂,,在G 内恒成立。
（4）定理4（高斯公式）：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数()z y x P ,,、()z y x Q ,,、()z y x R ,,在Ω上具有一阶连续偏导数，则有⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdxdz Pdydz dv z Ry P x Q )(或()⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=∂∂+∂∂+∂∂dS R Q P dv z R y P x Q γβαcos cos cos )(,其中，γβαcos ,cos ,cos 为外法向量的方向余弦。
（5）定理4（斯托克斯公式）：设L 为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以L 为边界的分片光滑的有向曲面，L 的正向与∑的侧符合右手规则，函数()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,、、在包含∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有⎰⎰⎰++=∂∂∂∂∂∂∑L Rdz Qdy Pdx R Q P z y x dxdy dzdx dydz ，或⎰⎰⎰++=∂∂∂∂∂∂∑L Rdz Qdy Pdx dS RQ P z y x γβαcos cos cos 2、 公式(1)对弧长的曲线积分的计算公式：(ψϕ,在相应区间上具有一阶连续导数)①若)( )()(:βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x L ，则dt t t t t f ds y x f L ⎰⎰'+'=βαψϕψϕ)()()](),([),(22 )(βα<②若)( )(:b x a x y L ≤≤=ϕ，则⎰⎰'+=b aL dx x x x f ds y x f )(1)](,[),(2ϕϕ)(b a < ③若)( )(:d y c y x L ≤≤=ψ，则⎰⎰+'=d cL dy x y y f ds y x f 1)()]),([),(2ψψ )(d c <(2)对坐标的曲线积分的计算公式：(ψϕ,在相应区间上具有一阶连续导数)①若):( )()(:βαψϕ→⎩⎨⎧==∧t t y t x AB ，则dt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P AB⎰⎰'+'=+∧βαψψϕϕψϕ)}()](),([)()](),([{),(),( ②若):( )(:b a x x y AB →=∧ϕ，则⎰∧+ABdy y x Q dx y x P ),(),(⎰'+=ba dx x x x Q x x P )}()](,[)](,[{ϕϕϕ ③若):( )(:d c y y x AB →=∧ψ，则⎰∧+ABdy y x Q dx y x P ),(),(()()⎰+'=dcdy y y Q y y y P ]},[)(],[{ψψψ(3)两类曲线积分的转换公式：①()⎰⎰+=+LLds Q P dy y x Q dx y x P βαcos cos ),(),(，其中，()()y x y x ,,βα、为有向曲线弧L 上点()y x ,处的切线向量的方向角。
曲线积分与曲面积分复习
偏导数 , 则有
P Q R
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
(
x
y
z
)dv
的方向取外侧.
或
(
P x
Q y
R z
)dx
dydz
(P cos Q cos R cos )dS.
例19 计算I x3dydz y3dzdx z3dxdy,其中 是
L
P
d
x
Qd
y
D
Q x
P y
d
xd
y
(2) L是D的正向边界曲线——沿着边界走，区域在左手.
Q P
加负号：L 沿Pd着x 边 Q界d走y ，区D 域在x 右手y ，d记xd得y 添负号。
(3) L必须是封闭的平面曲线.
添边：构成闭区域，具有连续一阶偏导数.
第一类曲面积分的计算
f ( x, y, z)dS f [x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy
“一投，二代，Dxy 三换，投影，换元看方程”
例12 计算I (x2 y2 z2)dS ,其中为球面
x2 y2 z2 R2
例13 计算I (x2 y2 z2 )dS ，其中为
x y
Q P
L
Pd
x
Qd
y
D
x
y
d
xd
y
3.路径无关：选择简单路径，积分.
(完整版)曲线积分与曲面积分期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
第十章 曲线积分与曲面积分答案一、选择题 1．曲线积分()sin ()cos xL f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数，且(0)0f =，则()f x = BA.1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- C. 1()2x x e e -+ D.0 2．闭曲线C 为1x y +=的正向，则Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ C A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C 为2241x y +=的正向，则224Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ D A.2π- B. 2π C.0 D. π 4．∑为YOZ 平面上221y z +≤，则222()xy z ds ∑++=⎰⎰ DA.0B. πC.14π D. 12π 5．设222:C x y a +=，则22()Cx y ds +=⎰Ñ CA.22a πB. 2a πC. 32a πD. 34a π 6. 设∑为球面2221x y z ++=，则曲面积分∑[ B ]A.4πB.2πC.πD.12π7. 设L 是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分⎰=Lyds [ C ]A. 21B. 21- C. 22 D. 22-8. 设I=⎰Lds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,则I=[D ]A.655 B.1255 C.6155- D. 12155- 9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ，那么 σ 是（ D ） A.⎰-l ydy xdx 21； B. ⎰-l xdx ydy 21；C.⎰-l xdy ydx 21； D. ⎰-lydx xdy 21。
10．设2222:(0)S x y z R z ++=≥，1S 为S 在第一卦限中部分，则有 CA.14SS xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.14SS yds yds =⎰⎰⎰⎰C.14SS zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.14SS xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰二、填空题1. 设L 是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分⎰=+-L y dy x eydx )(2-22.S 为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(03.⎰=++-12222y x yx xdyydx =π2-4．曲线积分22()Cx y ds +⎰Ñ，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π 5．设∑为上半球面)0z z =≥，则曲面积分()222ds y x z ∑++⎰⎰= 32π6. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-⎰Ñ 2π .7. 设C 是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分⎰=+C ds )yx (8. 设∑为上半球面z=，则曲面积分∑的值为 83π。
曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分是微积分中重要的概念和计算方法，它们在物理、工程和其他科学领域中的应用广泛。
本文将重点介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法和应用。
一、曲线积分曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算的方法。
它可以用来计算曲线上的物理量或者曲线周围的环量。
曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。
1. 第一类曲线积分第一类曲线积分也叫标量场的曲线积分，是对曲线上函数的积分。
设曲线C为参数方程r(t) = {x(t), y(t), z(t)}，函数f(x, y, z)在曲线C上有定义，则第一类曲线积分的计算公式为：∫[C]f(x, y, z)ds = ∫[a,b]f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|dt其中ds表示曲线上的长度元素，|r'(t)|表示参数方程的导数的模。
2. 第二类曲线积分第二类曲线积分也叫矢量场的曲线积分，是对曲线上的矢量场进行积分。
设曲线C为参数方程r(t) = {x(t), y(t), z(t)}，矢量场F(x, y, z)在曲线C上有定义，则第二类曲线积分的计算公式为：∫[C]F(x, y, z)•dr = ∫[a,b]F(x(t), y(t), z(t))•r'(t)dt其中•表示矢量的点积运算。
二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分运算的方法。
曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。
1. 第一类曲面积分第一类曲面积分也叫标量场的曲面积分，是对曲面上函数的积分。
设曲面S为参数方程r(u, v) = {x(u, v), y(u, v), z(u, v)}，函数f(x, y, z)在曲面S上有定义，则第一类曲面积分的计算公式为：∬[S]f(x, y, z)dS = ∬[D]f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))|ru × rv|dudv其中dS表示曲面上的面积元素，D为参数化区域，ru和rv分别为参数方程r(u, v)对u和v的偏导数，ru × rv表示它们的叉积。
曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)
⎰ ⎪⎩2 L f ( x, y)ds⎰ P( x, y)dx = ⎨ 2⎰ P( x , y)dy⎪⎩L⎰ Q( x, y)dy = ⎨ 2⎰ Q( x , y)dy Q 对x 为奇函数⎪⎩ L⎰ ⎪⎩2 L f ( x, y)ds⎰ P( x, y)dx = ⎨ 2⎰ P( x , y)dy⎪⎩L⎰ Q( x, y)dy = ⎨ 2⎰ Q( x , y)dy Q 对y 为偶函数⎪⎩ L第十一章解题方法归纳一、曲线积分与曲面积分的计算方法1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下 ：(1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分.(2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分.2. 在具体计算时，常用到如下一些结论：（1）若积分曲线 L 关于 y 轴对称，则⎰ L ⎧⎪ 0 f ( x , y)ds = ⎨1f 对x 为奇函数f 对x 为偶函数⎧⎪0P 对x 为奇函数 LP 对x 为偶函数 1⎧⎪0 Q 对x 为偶函数L1其中 L 是 L 在右半平面部分.1若积分曲线 L 关于 x 轴对称，则⎰ L ⎧⎪ 0 f ( x , y)ds = ⎨1f 对y 为奇函数f 对y 为偶函数⎧⎪0P 对y 为偶函数 LP 对y 为奇函数 1⎧⎪0 Q 对y 为奇函数L1其中 L 是 L 在上半平面部分.1（2）若空间积分曲线 L 关于平面 y = x 对称，则⎰Lf ( x )ds = ⎰ f ( y)ds .Lf ( x, y , z)dS = ⎨2⎰⎰ R( x , y , z)dS f 对z 为偶函数 ⎩ ∑1 ⎰⎰ R( x, y , z)dxdy = ⎨ 2⎰⎰ R( x , y , z)dxdy R 对z 为奇函数⎩ ∑1 ⎪ f ( x, y , z)dS = ⎨2⎰⎰ R( x , y , z)dS f 对x 为偶函数 ⎩ ∑1 ⎩ ∑1 ⎪ ⎨ f ( x, y , z)dS = ⎨2⎰⎰ R( x , y , z)dS f 对y 为偶函数 ⎩ ∑1 ⎰⎰ Q( x, y , z)dzdx = ⎨ 2⎰⎰ Q ( x , y , z)dzdx Q 对y 为奇函数⎩ ∑1 ⎪ 若空间曲线弧 Γ : ⎨ y = y(t ) (α ≤ t ≤ β ) ，则 ⎪ z = z(t ) （3）若积分曲面 ∑ 关于 xOy 面对称，则⎰⎰∑⎧0 f 对z 为奇函数 ⎪⎪⎧0 R 对z 为偶函数⎪ ∑其中 ∑ 是 ∑ 在 xOy 面上方部分.1若积分曲面 ∑ 关于 yOz 面对称，则⎰⎰∑⎧0 f 对x 为奇函数 ⎪⎪⎧0 P 对x 为偶函数 ⎰⎰ P( x, y , z)d y d z = ⎪2⎰⎰ P( x , y , z)dy d zP 对x 为奇函数∑其中 ∑ 是 ∑ 在 yOz 面前方部分.1若积分曲面 ∑ 关于 zOx 面对称，则⎰⎰∑⎧0 f 对y 为奇函数 ⎪⎪⎧0 Q 对y 为偶函数⎪ ∑其中 ∑ 是 ∑ 在 zOx 面右方部分.1⎧ x = x(t )（4）若曲线弧 L : ⎨ (α ≤ t ≤ β ) ，则⎩ y = y(t )⎰Lf ( x , y)ds = ⎰ β f [x(t ), y(t )] x '2 (t ) + y '2 (t )dtα(α < β )若曲线弧 L : r = r (θ ) (α ≤ θ ≤ β ) （极坐标），则⎰Lf ( x , y)ds = ⎰ βf [r (θ )cos θ , r (θ )sin θ ] r 2 (θ ) + r '2 (θ )d θα⎧ x = x(t )⎪⎩（5）若有向曲线弧 L : ⎨(t : α → β ) ，则 y = y(t )若空间有向曲线弧 Γ : ⎨ y = y(t ) (t : α → β ) ，则 ⎪ z = z(t )⎰Γf ( x , y , z)ds = ⎰ β f [x(t ), y(t ), z(t )] x '2 (t ) + y '2 (t ) + z '2 (t )dt (α < β )α⎧ x = x(t ) ⎩⎰LP( x , y)dx + Q( x , y)dy = ⎰β{P [x(t ), y(t )]x '(t ) + Q [x(t ), y(t ) ]y '(t )}dtα⎧ x = x(t )⎪⎩⎰P( x , y , z)dx + Q( x , y , z)dy + R( x , y , z )dzΓ= ⎰β{P [x(t ), y(t ), z (t )]x '(t ) + Q [x(t ), y(t ), z (t )]y '(t ) + R [x(t ), y(t ), z (t ) ]z '(t )}dtα（6）若曲面 ∑ : z = z ( x , y) (( x , y) ∈ D ) ，则xy⎰⎰ f ( x , y , z)dS = ⎰⎰ f [x, y , z( x , y)] 1 + z ' 2( x , y) + z ' 2( x , y)dxdyxy∑D xy其中 D 为曲面 ∑ 在 xOy 面上的投影域.xy若曲面 ∑ : x = x( y , z ) (( y , z) ∈ D ) ，则yz⎰⎰ f ( x , y , z)dS = ⎰⎰ f [x( y , z), y , z ]∑D yz其中 D 为曲面 ∑ 在 yOz 面上的投影域.yz若曲面 ∑ : y = y( x , z ) (( x , z ) ∈ D ) ，则zx⎰⎰ f ( x , y , z)dS = ⎰⎰ f [x, y( x , z), z ]1 + x '2 ( y , z) + x '2 ( y , z)dydzy z1 + y '2 ( y , z) + y ' 2 ( y , z)d zdxz x∑Dzx其中 D 为曲面 ∑ 在 zOx 面上的投影域.zx（7）若有向曲面 ∑ : z = z( x , y) ，则⎰⎰ R( x , y , z)dx dy = ± ⎰⎰ R[ x , y , z( x , y)]dx dy （上“+”下“-”）∑D xy其中 D 为 ∑ 在 xOy 面上的投影区域.xy若有向曲面 ∑ : x = x( y , z) ，则⎰⎰ P( x , y , z)dydz = ± ⎰⎰ P[ x ( y , z), y , z]dydz （前“+”后“-”）∑D yz其中 D 为 ∑ 在 yOz 面上的投影区域.yz⇔ ∂ P L ⎝ ∂x ∂y ⎭Ò⎰⎰ P( x, y , z)dy dz + Q( x, y , z)dzdx + R( x, y , z)dxdy = ⎰⎰⎰⎛ ∂P + ∂Q + ∂R ⎫⎪dv⎰ ⎰ ⎪ Ò⎰⎰ (P cos α + Q cos β + R cos γ )dS = ⎰⎰⎰⎛ ∂P + ∂Q + ∂R ⎫⎪dv⎰ 若有向曲面 ∑ : y = y( x , z) ，则⎰⎰ Q ( x , y , z)dzdx = ± ⎰⎰ Q[ x , y( x , z ), z ]dzdx （右“+”左“-”）∑Dzx其中 D 为 ∑ 在 zOx 面上的投影区域.zx（8） ⎰ P d x + Q d y 与路径无关 ⇔ ÑP d x + Q d y = 0 （ c 为 D 内任一闭曲线）Lc⇔ du ( x , y) = Pdx + Qdy （存在 u ( x , y) ）∂Q=∂ y ∂ x其中 D 是单连通区域， P( x , y), Q ( x , y) 在 D 内有一阶连续偏导数.（9）格林公式ÑP( x , y)dx + Q( x , y)dy = ⎰⎰ ⎛ ∂Q - ∂P ⎫dxdy D其中 L 为有界闭区域 D 的边界曲线的正向， P( x , y), Q ( x , y) 在 D 上具有一阶连续偏导数.（10）高斯公式⎝ ∂x ∂y ∂z ⎭ ∑ Ω或∑ Ω ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎭其中 ∑ 为空间有界闭区域 Ω 的边界曲面的外侧， P( x , y , z), Q ( x , y , z), R( x , y , z) 在Ω 上具有一阶连续偏导数， cos α ,cos β ,cos γ 为曲面 ∑ 在点 ( x , y , z) 处的法向量的方向余弦.（11）斯托克斯公式d y d z dzdx dx dy ÑPdx + Qdy + Rdz = ⎰⎰ ∂ ∂x∂ ∂y ∂∂zΓ ∑P Q R其中 Γ 为曲面 ∑ 的边界曲线，且 Γ 的方向与 ∑ 的侧（法向量的指向）符合右手螺旋法则， P , Q , R 在包含 ∑ 在内的空间区域内有一阶连续偏导数.1. 计算曲线积分或曲面积分的步骤：= ⎰ = ⎰ + ⎰⎰ ⎰ （1）计算曲线积分的步骤：1）判定所求曲线积分的类型（对弧长的曲线积分或对坐标的曲线积分）； 2）对弧长的曲线积分，一般将其化为定积分直接计算；对坐标的曲线积分：① 判断积分是否与路径无关，若积分与路径无关，重新选取特殊路径积分；② 判断是否满足或添加辅助线后满足格林公式的条件，若满足条件，利用格林公式计算（添加的辅助线要减掉）；③ 将其化为定积分直接计算.④ 对空间曲线上的曲线积分，判断是否满足斯托克斯公式的条件，若满足条件，利用斯托克斯公式计算；若不满足，将其化为定积分直接计算.（2）计算曲面积分的步骤：1）判定所求曲线积分的类型（对面积的曲面积分或对坐标的曲面积分）； 2）对面积的曲面积分，一般将其化为二重积分直接计算；对坐标的曲面积分：① 判断是否满足或添加辅助面后满足高斯公式的条件，若满足条件，利用高斯公式计算（添加的辅助面要减掉）；② 将其投影到相应的坐标面上，化为二重积分直接计算.例 1 计算曲线积分 I = ⎰ L dx + dy x + y + x 2，其中 L 为 x + y = 1取逆时针方向.解I = ⎰Ldx + dy dx + dy dx dyx + y + x 2 L 1 + x 2 L 1 + x 2 L 1 + x 2由于积分曲线 L 关于 x 轴、 y 轴均对称，被积函数 P = Q =函数，因此1 1 + x 2对 x 、 y 均为偶dx L 1 + x2= 0 ,dy L 1 + x 2= 0故I = ⎰Ldx + dy x + y + x 2= 0『方法技巧』对坐标的曲线积分的对称性与对弧长的曲线积分对称性不同，记清楚后再使用.事实上，本题还可应用格林公式计算.dS = ⎰⎰ y dS = ⎰⎰ z 3⎰⎰ ( x= R 2 ⎰⎰ dS + 4π R 2n 2 = 4π R 2[ (a 2 + b 2 + c 2 ) + n 2 ]⎰⎰ ⎰⎰ ( 2⎰⎰ (⎰⎰ ⎰⎰x 2 + y 2，其中 L 为圆周 x 2 + y 2 = a 2 (a > 0) 的逆⎰例 2计 算 曲 面 积 分 I = ⎰⎰ (ax + by + cz + n)2 dS ， 其 中 ∑ 为 球 面∑x 2 + y 2 + z 2 = R 2 .解I = ⎰⎰ (ax + by + cz + n)2 dS∑= ⎰⎰ (a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 + n 2 + 2abxy + 2acxz + 2bcyz + 2anx + 2bny + 2cnz)dS∑由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知⎰⎰ xydS = ⎰⎰ xzdS = ⎰⎰ yzdS = ⎰⎰ xdS = ⎰⎰ ydS = ⎰⎰ zdS = 0∑∑∑∑∑∑又由轮换对称性知⎰⎰ x 222dS∑∑∑故I = a 2 ⎰⎰ x 2dS + b 2 ⎰⎰ y 2dS + c 2 ⎰⎰ z 2dS + n 2 ⎰⎰ dS∑∑∑∑= (a 2 + b 2 + c 2 )⎰⎰ x 2dS + n 2 ⎰⎰ dS∑∑=a 2 +b 2 +c 22+ y 2 + z 2 )dS + 4π R 2n 2∑a 2 +b 2 +c 2R2 3 3∑『方法技巧』 对面积的曲面积分的对称性与对坐标的曲面积分的对称性不同，理解起来更容易些.若碰到积分曲面是对称曲面，做题时可先考虑一下对称性.例 3 计算曲面积分 Ò ( x 2 + y 2 + z 2 )dS ，其中 ∑ 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = 2ax .∑解乙 x + y 2+ z 2)dS =∑⎰⎰ 2axdS = 2a 乙x - a)dS + 2a 2⎰⎰ dS∑ ∑ ∑= 0 + 2a 2 Ò d S = 2a 2 g 4π a 2 = 8π a 4∑『方法技巧』 积分曲面 ∑ 是关于 x - a = 0 对称的，被积函数 x - a 是 x - a 的奇函数，因此 Ò ( x - a)dS = 0∑例 4 计算曲线积分 Ñ L xy 2dy - x 2 ydxÑxy dy-x⎰⎛1π31π⎫1=8a3⎰2(sin2θ-sin4θ)dθ=8a3 g-g g⎪=πa3蜒xy dy-x⎰a⎰Ñxy dy-x⎰⎰dθ⎰aρ2gρdρ=1πa3⎪⎪n gn-2gL⎪n-1gn-3g Lg n为奇数g g g n为偶数时针方向.解法1直接计算.将积分曲线L表示为参数方程形式⎧x=a cosθL:⎨⎩y=a sinθ(θ:0→2π)代入被积函数中得22ydx L x2+y2=a3⎰2π[cosθsin2θcosθ-cos2θsinθ(-sinθ)]dθ0=2a3⎰2πsin2θcos2θdθ=2a3⎰2πsin2θ(1-sin2θ)dθ00π0⎝22422⎭2解法2利用格林公式22ydx L x2+y2=1Lxy2dy-x2ydx=1a⎰⎰(x2+y2)dxdyD其中D:x2+y2≤a2，故22ydx L x2+y2=12πa02『方法技巧』本题解法1用到了定积分的积分公式：⎧n-1n-3π⎰2sin nθdθ=⎨⎪⎩n n-22331π422解法2中，一定要先将积分曲线x2+y2=a2代入被积函数的分母中，才能应用格林公式，否则不满足P,Q在D内有一阶连续偏导数的条件.例5计算曲线积分⎰(x+y)dx-(x-y)dy，其中L为沿y=πcos x由点L x2+y2A(-π,π)到点B(-π,-π)的曲线弧.解直接计算比较困难.由于P=x+y-x+y,Q=x2+y2x2+y2，∂P x2-y2-2x y∂Q==∂y(x2+y2)2∂x因此在不包含原点O(0,0)的单连通区域内，积分与路径无关.取圆周x2+y2=2π2上从A(-π,π)到点B(-π,-π)的弧段L'代替原弧段L，⎪⎩y=2πsinθ(θ:-=⎰4[(cosθ+sinθ)(-sinθ)-(cosθ-sinθ)cosθ]dθ3=-⎰4dθ=-π2(D xy 0(1-x-y)2dy=⎰(1-x)4dx其参数方程为：L⎧⎪x=2πcosθ':⎨π4→5π4)，代入被积函数中得⎰L (x+y)dx-(x-y)dy1=x2+y22π2⎰L'(x+y)dx-(x-y)dy5ππ-45ππ-4『方法技巧』本题的关键是选取积分弧段L'，既要保证L'简单，又要保证不经过坐标原点.例6计算曲面积分⎰⎰xdydz+ydzdx+zdxdy，其中∑为x+y+z=1的法∑向量与各坐标轴正向夹锐角的侧面.解由于曲面∑具有轮换对称性，⎰⎰xdydz=⎰⎰ydzdx=⎰⎰zdxdy，∑投影到xOy面的区域D={x,y)xy∑∑∑x+y≤1}，故⎰⎰xdydz+ydzdx+zdxdy=3⎰⎰zdxdy=3⎰⎰(1-∑∑∑x-y)2dxdy=3⎰⎰(1-x-y)2dxdy=3⎰1d x⎰(1-1t=1-x-⎰0t4(1-t)d t=301x)21120『方法技巧』由于积分曲面∑具有轮换对称性，因此可以将dy d z,dzdx直接转换为dx dy，∑只要投影到xOy面即可.例7计算曲面积分⎰⎰(x-y2)dy dz+(y-z2)dzdx+(z-x2)dxdy，其中∑为锥∑面z2=x2+y2在0≤z≤h部分的上侧.解利用高斯公式.添加辅助面∑:z=h(x2+y2≤h2)，取下侧，则1⎰⎰(x-y∑2)dy dz+(y-z2)dzdx+(z-x2)dxdy=⎰⎰(x-y2)d y d z+(y-z2)d zdx+(z-x2)dxdy∑+∑1( = -3g π h 2 g h + h ⎰⎰ dxdy - ⎰⎰ ( x 2 + y 2 )dxdy= -π h 3 + h g π h 2 - ⎰ d θ ⎰ h ρ 3d ρ = - 1 π h 4Ñ( z - y)dx + ( x - z)dy + ( x - y)dz ，其中 L : ⎧⎨ x例 8 计算曲线积分 ⎰ 0( ⎰-⎰⎰ ( x - y 2 )d y d z + ( y - z 2 )dzdx + ( z - x 2 )dxdy∑1= -⎰⎰⎰ 3d x dy dz - ⎰⎰ (h - x 2 )dxdy = -3⎰⎰⎰ d xdy dz + ⎰⎰ (h - x 2 )dx dyΩ ∑1ΩD xy其中 Ω 为 ∑ 和 ∑ 围成的空间圆锥区域，D 为 ∑ 投影到 xOy 面的区域，即1xyD = { x , y) x 2 + y 2 ≤ h 2}，由 D 的轮换对称性，有xy xy⎰⎰ x 2dxdy = 1⎰⎰ ( x2D xyD xy2+ y 2 )dxdy故⎰⎰ ( x - y 2 )dy dz + ( y - z 2 )dzdx + ( z - x 2 )dxdy∑1 13 2D xyD xy1 2π2 0 4『方法技巧』 添加辅助面时，既要满足封闭性，又要满足对侧的要求 .本题由于积分锥面取上侧（内侧），因此添加的平面要取下侧，这样才能保证封闭曲面取内侧，使用高斯公式转化为三重积分时，前面要添加负号.2 + y 2 = 1L ⎩ x - y + z = 2从 z 轴的正向往负向看， L 的方向是顺时针方向.解 应用斯托克斯公式计算. 令 ∑ : x - y + z = 2 ( x 2 + y 2 ≤ 1)取下侧，∑ 在 xOy面的投影区域为 D = { x, y) x 2 + y 2 ≤ 1}，则xydy dz dzdx dx dyÑ( z - y)dx + ( x - z)dy + ( x - y)dz = ⎰⎰L∑∂ ∂x z - y ∂ ∂y x - z ∂∂z x - y= ⎰⎰ 2dx dy = -2 ⎰⎰ dx dy = -2π∑D xy『方法技巧』 本题用斯托克斯公式计算比直接写出曲线 L 的参数方程代入要简单，所有应用斯托克斯公式的题目，曲面 ∑ 的选取都是关键， ∑ 既要简单，又要满足斯托克斯的条件，需要大家多加练习.二、曲线积分与曲面积分的物理应用⎰ ρ ( x , y)ds⎰ ρ ( x , y)ds⎰ ρ ( x , y)ds,⎰ ρ ( x , y)ds,z =⎰ ρ ( x , y)ds⎰⎰ρ ( x , y , z)dS ⎰⎰ ρ ( x , y , z)dS⎰⎰ ρ ( x , y , z)dSLLx yL1.曲线积分与曲面积分的物理应用归纳如下 ：(1) 曲线或曲面形物体的质量.(2) 曲线或曲面的质心（形心）. (3) 曲线或曲面的转动惯量. (4) 变力沿曲线所作的功. (5) 矢量场沿有向曲面的通量. (6) 散度和旋度.2. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1）平面曲线形物体M = ⎰ ρ ( x , y)dsL空间曲线形物体 M = ⎰ ρ ( x , y , z)dsL曲面形构件M = ⎰⎰ ρ ( x , y , z)dS∑（2） 质心坐标平面曲线形物体的质心坐标：x =⎰ x ρ ( x , y)dsL,y =⎰ y ρ ( x , y)dsLLL空间曲线形物体的质心坐标：x =⎰ x ρ( x , y , z )ds LLy =⎰ y ρ( x , y , z )d s LL⎰z ρ ( x , y , z )ds L L曲面形物体的质心坐标：⎰⎰ x ρ ( x , y , z)dS⎰⎰ y ρ ( x , y , z)dS⎰⎰ z ρ ( x , y , z)dSx =∑ , y =∑ , z =∑ ∑∑∑当密度均匀时，质心也称为形心.（3） 转动惯量平面曲线形物体的转动惯量： I = ⎰ y 2 ρ ( x , y)ds , I = ⎰ x 2 ρ( x , y)dsx y空间曲线形物体的转动惯量：I=⎰(x2+y2)ρ(x,y,z)ds z10/13曲面形物体的转动惯量：I x (y2z2)(x,y,z)dS,Iy(z2x2)(x,y,z)dSIz(x2y2)(x,y,z)dS其中(x,y)和(x,y,z)分别为平面物体的密度和空间物体的密度.（4）变力沿曲线所作的功平面上质点在力F P(x,y)i+Q(x,y)j作用下，沿有向曲线弧L从A点运动到B点，F所做的功W P(x,y)dx Q(x,y)dyAB空间质点在力F P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k作用下，沿有向曲线弧L从A点运动到B点，F所做的功W P(x,y,z)dx Q(x,y,z)dy R(x,y,z)dzAB（2）矢量场沿有向曲面的通量矢量场A P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k通过有向曲面指定侧的通量P(x,y,z)dydz Q(x,y,z)dzdx R(x,y,z)dxdy（3）散度和旋度矢量场A P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k的散度div A P Q R x y z矢量场A P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k的旋度rotA(R Qy zP R Q P)i()j+()kz x x yx P iyQj kzR1.曲线积分或曲面积分应用题的计算步骤：例 9 设质点在场力 F = k{ y , - x }的作用下，沿曲线 L : y = cos x 由 A(0, )移动到 B( ,0) ，求场力所做的功.（其中 r = x 2+ y 2, k 为常数）» r oBx»AB r 2 ，则 = = ∂ y r 4 ∂ x ( x + y ≠ 0) W = k ⎰ dx - dy = k ⎰ 0-(sin 2θ + cos 2 θ )d θ = kL 1 r 2r 2 2（1）根据所求物理量，代入相应的公式中；（2）计算曲线积分或曲面积分.ππ r 2 2 2π2解 积分曲线 L 如图 11.7 所示. 场力所做的功为yW = ⎰ABAP( x, y)dx + Q( x, y)dy L L 1= k ⎰y xdx - dy2令 P = y x ∂ P k ( x 2 - y 2 ) ∂Q , Q =- 22 r 2 r 2图 11.7即在不含原点的单连通区域内，积分与路径无关. 另取由 A 到 B 的路径：L : x = 1 π π πcos θ , y = sin θ (θ : → 0) 2 2 2y x π π 2『方法技巧』 本题的关键是另取路径 L ，一般而言，最简单的路径为折线1路径，比如 AO U OB ，但不可以选取此路径，因为 P , Q 在原点处不连续. 换句话说，所取路径不能经过坐标原点，当然路径 L 的取法不是唯一的.1例 10设密度为 1 的流体的流速 v = xz 2 i + sin x k ，曲面 ∑ 是由曲线⎧⎪ y = 1 + z 2⎨⎪⎩ x = 0(1≤ z ≤ 2) 饶 z 轴旋转而成的旋转曲面，其法向量与 z 轴正向的夹角为锐角，求单位时间内流体流向曲面 ∑ 正侧的流量 Q .解 旋转曲面为 ∑ : x 2 + y 2 - z 2 = 1 (1≤ z ≤ 2) ，令∑ 为平面 z = 1 在 ∑ 内的部分1取上侧， ∑ 为平面 z = 2 在 ∑ 内的部分取下侧，则 ∑ + ∑ + ∑ 为封闭曲面的内侧，2 12故Q = ⎰⎰ P( x , y , z)dy dz + Q( x , y , z)dzdx + R( x , y , z)dxdy∑= ⎰⎰ xz 2dy dz + sin xdxdy∑= -⎰⎰⎰ z 2dx dy dz - ⎰⎰ s in xdxdy - ⎰⎰ s in xdxdy=⎰⎰ xz 2d y d z + sin xdxdy - ⎰⎰ xz 2d y d z + sin xdxdy - ⎰⎰ xz 2d y dz + sin xdxdy∑+∑1 +∑ 2 ∑1∑2Ω∑1 ∑2= -⎰ 2 z 2dz⎰⎰ dx dy -⎰⎰ sin xdxdy +⎰⎰ sin xdxdy1x 2 + y 2 ≤1+ z 2x 2 + y 2 ≤2x 2 + y 2 ≤5= -π ⎰ 2z 2 (1+ z 2 )dz - 0 + 0 = -1128 15π『方法技巧』 本题的关键是写出旋转曲面 ∑ 的方程，其次考虑封闭曲面的侧，以便应用高斯公式，最后用截痕法计算三重积分，用对称性计算二重积分.。
高等数学复习-曲线积分与曲面积分
高等数学复习-曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分的物理意义？曲线形构件的质量f(x,y)为线密度ds为弧微分长度二、对弧长的曲线积分的性质？（1）数乘与加减性（2）分段性（3）比较性三、对弧长的曲线积分的计算法？（1）确定谁是谁的函数（2）函数对自变量求导（3）仅用自变量代换因变量（4）仅用自变量代换弧微分（5）将曲线积分转化为对自变量的定积分四、对坐标的曲线积分的物理意义？变力沿曲线做功五、对坐标的曲线积分的性质？（1）数乘与可加性（2）分段性（3）方向性六、对坐标的曲线积分的计算法？（1）找到P与Q；（2）确定x与y的参数方程（也可以是以x、y其中一个为参数）；（3）将x、y全部换成参数方程；（4）转化为对参数的定积分（注意参数的范围）。
七、两类曲线积分的转化？八、格林公式的物理意义？再平面闭区域D上的二重积分可以通过沿闭区域D的边界曲线L 上的曲线积分来表达。
若给出的是二重积分形式（1）找到Q对x的偏导，P对y的偏导按顺序作差后的值；（2）反推出P与Q（注意合理分配P与Q，例如可令其中一个为零）；（3）转化为坐标的曲线积分（令P、Q其中一个为零比较好计算）；（4）若给出的是对坐标的曲线积分（1）找到P与Q；（2）计算出Q对x的偏导，P对y的偏导（若两个偏导相等，则积分为零）；（3）两个偏导数按计算时的顺序作差；（4）转化为二重积分；（5）确定X（Y）型区域；（6）确定x的固定范围；（7）任取x确定y的变动范围；（8）转化为线对y的变上限积分再对x的定积分九、利用格林公式计算曲线积分？十、对曲面积分的物理意义？流向曲面一侧的流量（单位时间内流向制定曲面一侧流体的质量）十一、对曲面积分的计算法？（1）确定题目给出的是哪侧；（2）确定外侧还是内侧（外侧取正，内侧取负）；（3）确定需不需要分块（上前左取正，下后右取负）；（4）转化为二重积分。
十二、对坐标的曲面积分的物理意义？十三、对坐标的曲面积分的计算法？十四、两类曲面积分的转化？十五、高斯公式的物理意义？十六、利用高斯公式计算曲面积分？。
高数期末复习题 第十一章 曲线积分与曲面积分
第十一章 曲线积分与曲面积分试题一．填空题（规范分值3分）11.1.1.2 设在xoy 平面内有一分布着质量的曲线L ，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧对x 轴的转动惯量I x =。
ds y x y L),(2μ⎰11.1.2.2 设在xoy 平面内有一分布着质量的曲线L ，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧的质心坐标x =；y =。
x =⎰⎰LLds y x ds y x x ),(),(μμ；y =⎰⎰LLdsy x ds y x y ),(),(μμ 11.1.3.1在力),,(z y x F F =的作用下，物体沿曲线L 运动。
用曲线积分表示力对物体所做的功=W 。
d z y x L⋅⎰),,(11.1.4.2 有向曲线L 的方程为⎩⎨⎧≤≤==βαt t y y t x x )()(，其中函数)(),(t y t x 在[]βα,上一阶导数连续，且[][]0)()(22≠'+'t y t x ，又),(),,(y x Q y x P 在曲线L 上连续，则有：[]ds y x Q y x P dy y x Q dx y x P LL⎰⎰+=+βαcos ),(cos ),(),(),(，那么αcos =；βcos =。
αcos =[][]22)()()(t y t x t x '+''βcos =[][]22)()()(t y t x t y '+''11.1.5.1 设L 为xoy 平面内直线a x =上的一段，则曲线积分⎰Ldx y x P ),(=。
011.1.6.2 设L 为xoy 平面内，从点(c,a )到点(c,b )的一线段，则曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(可以化简成定积分：。
dy y Q ba),0(⎰11.1.7.2 第一类曲线积分ds y x L⎰+)(22的积分值为。
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23、设 为锥面 z ( (A) ).
x 2 y 2 介于平面 z 0 和 z 1 之间的部分，则 ( x 2 + y 2 )d S
2 (D) 4 z 2 z 2 2 2 2 2 2 2 解： ( x +y )dS ( x +y ) 1 [ ] [ ] dxdy 2 ( x +y )dxdy x y D D
a 2 2
(B)
a； 2
(C)
解： L 的参数方程为： x a cos t , y a sin t , 0 t
L
e
x2 y 2
ds 2 e a
0
所以，选 C。 （内容要求 2）
，所以， 2 a 2 cos 2 t a 2 sin 2 tdt ae a 2
L
(2 x y ) (2 y x) ]dxdy 0 ，所以，选 A。 （内容要 x y
19、 L 为 y x 与 y x 所围闭域的正向边界，则
2 2
解：符合二型积分与路径无关的条件，或由格林公式，所以，填 0。 （内容要求 7） 20、 设曲钱积分路径为 C 的正方向， C : x y a ，则由格林公式可求得
7、 xds =( A.
)，其中 L 是连接(1,0)及(0,1)的直线段 B.
1 2
2 2
C.
2 2
D. 2
解：如图所示，L 所在直线方程参数为 y 1 x, x x, 0 x 1 ，
L
xds x ( x ) 2 [(1 x )]2 dx
0
1
x 2dx
3
f ( x, y, z )dy ，其中 为 R
3
f ( x, y, z )dz ，其中 为 R
2 L
3
解：由第一类曲线积分的表示，选 A。 （内容要求 1） 2、
(x
y 2 )ds =(
B.
)，其中 L 是圆周 x cos t , y sin t (0 t 2 ) C. 2 D.
2
L
2 c
2
2
ydx =
解：由格林公式，
( xy 2 ) ( x 2 y ) xy dy x ydx [ ]dxdy [x 2 y 2 ]dxdy x y c D D
2
d 3 d
a
所以，填
2
0
8 3 a。 （内容要求 2） 3
8 3 t dt a 3
2
6、 L 为曲线 x cos t , y sin t 上 t 0 到 t 解：
的一段弧，则 y d s 2 L
yds
L
L
2 0
sin tdt 1 ，所以，填 1。 （内容要求 2）
10、会用坐标投影法求二型曲面积分 11、会用高斯公式求封闭曲面二型曲面积分和简化二型曲面积分计算
二、例题习题 1、下列为第一类曲线积分的是( A． B． C． D． )；
3
f ( x, y, z )ds ，其中 为 R
中的光滑曲线 中的光滑曲线 中的光滑曲线 中的光滑曲线
f ( x, y, z )dx ，其中 为 R
2 2 0 0
A. 4 解：
L
2
( x 2 y 2 )ds (cos 2 t sin 2 t ) [cos t ]2 [sin t ]2 dt dt 2
所以，选 C。 （内容要求 2） 3、 L 为曲线 x cos t , y sin t 上 t 0 到 t 的一段弧，则
( x y )ds
L
(
)；
A. 解：
1
B. 0
0
C. 1
0
D. 2
( x y)ds
L 2
(cos t sin t ) [cos t ] 2 [sin t ] 2dt (cos t sin t )dt 2
所以，选 D。 （内容要求 2） 4、设 L 是圆周 x y a 在第一象限内的弧段,则 (A) e ；
A． (2 2 1) B． C． 所以，选 A。 （内容要求 3）
1 3
2 2 3
9、设 C 是由直线 x 0, y 0, x 4, y 2 所构成的矩形回路，则 (A) 22 （B）23 (C)
2 0
C
xyds =（
）
24
4 0
(D)
25
解：作图可知，
C
（内容要求 3） xyds 4 ydy 2 xdx 24 ，所以，选 C。
(3,0)
( 2, 1)
( x 4 4 xy 3 )dx (6 x 2 y 2 5 y 4 )dy ( x 4 4 x)dx (54 y 2 5 y 4 )dy 62
2 1
3
0
（内容要求 8）
22、
ydS (
),其中 为平面 x y z 2 在第一卦限的部分。
( xe xy x) ( ye xy y ) ]dxdy 2 dxdy 4 x y D
17、设 L : x y 4 ，取逆时针方向，则 ydx xdy ( (A) (B) 2
L
L
).
(C) 0
解：由格林公式， 18、 L 为 y A． 0 解：由格林公式， 求 7）
10、设 L 为 x 6,0
y
3 2 0
3 ，则 4ds 2 L
4dy 6 ，所以，填 6。 （内容要求 3）
解：作图可知， 11、 L 为 y
4ds
L
1 0
x 上从 x 0 到 x 1 的直线段，则 y d s
L
解：
yds
L
x 2 dx
0
1
所以，选 B。 （内容要求 3） 8、 L 为曲线 y
2 2
1 2 x 上 x 0 到 x 1 的一段弧，则 xds ( 2 L
)；
2 4 (2 2 1) 2 D． 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 1 x d s x 1 [ y ] dx x 1 x dx (1 x ) | 0 (2 2 1) 解： 0 0 3 3 L
0 0
2
a
所以，填
21、证明下面曲线积分与路径无关, 并求所给积分的值:
4 （内容要求 7） a 。 2
4 a 2
(3,0)
( 2, 1)
( x 4 4 xy 3 )dx (6 x 2 y 2 5 y 4 )dy
证：因为
(6 x 2 y 2 5 y 4 ) ( x 4 4 xy 3 ) ，所以，曲线积分与路径无关。 12 xy 2 x y
(B)
2 2
2
(C)
2 d 3 d
0 0
2
1
所以，选 A。 （内容要求 9）
2 2
2 2
24、抛物面 z x y 夹在平面 z 0 ， z 1 之间的曲面面积为( A. 解：
)
( 5 1) 6
D
dS
1 0
5 5 (5 5 1) C. D. 6 3 6 z z 1 [ ] 2 [ ] 2 dxdy 1 4( x 2 y 2 ) dxdy x y D
(C) e x 1
x
x
+y )dy 与路径无关，所以
(e x +y ) y ( f ( x)+x) x y x x 即 e f ( x )+x ，故 f ( x ) e -x ，所以，选 A。 （内容要求 6）
15、下列第二类曲线积分与路径无关的是( )；
A． C．
B.
2
d
0
2
所以，选 B。 （内容要求 9）
2 2
3 1 2 2 2 2 1 1 4 d 1 4 d (1 4 ) (1 4 ) | 0 (5 5 1) 0 4 6 6
(C)
4 3
1 2
(D)
选 C。 （内容要求 4）
13、设 C 是抛物线 y x 上，从点 (1,1) 到点 (1,1) 的一段弧，则 xydx =（ (A)
2
1 2
(B)
4 5
c
c
）
(C)
2
1
(D)
0
1 3
解：由画图形易得， xydx 容要求 5） 14、已知曲线积分
0
1
x ( x )dx x xdx 2 x 2dx
0 0
4 ，所以，选 B。 （内 5
f ( x) ( x (A) e x
y f ( x) x dx (e
L
x
+y )dy 与路径无关，其中函数 f ( x ) 可微，则
(D) 1 x
).
解：因为曲线积分
y f ( x) x dx (e
L
(B) e
x
2
（内容要求 7） ydx xdy [ x y ]dxdy 0 ，所以，选 C。
D
x
y
(D) 3
2 2 x 与 y x 所围闭域的正向边界，则 2 xy dx 2 x ydy (