新课标版2019年全国各地中考真题分类详解 ——二次函数代数方面的应用
2019年中考真题 二次函数几何方面的应用分类汇编(PDF版含解析)
第一批
一、选择题
1. （2019·乐山）如图，抛物线 y 1 x2 4 与 x 轴交于 A 、 B 两点， P 是以点 C （0,3）为圆心，2 4
为半径的圆上的动点， Q 是线段 PA的中点，连结 OQ .则线段 OQ 的最大值是（ ）
A． 3
FH 1 m
在 Rt△BFH 中，由 BH 2 FH 2 =BF 2 得 (k 2)2 (1 m)2 m2
m k2 4k 5 2
FH =1 m k2 4k 3 2
tan BFH
BH FH
4 2k k2 4k 3
3 2
x
)＝
3
3
10
50 3
50
10
5 25
－ 2 x2+10x＝ 2 m2,当 x＝ 3 时,mn 取得最大值为 3 ,∴ 2 m2＝ 3 ,∴m 最大＝ 3 ,∴m+n＝ 2 m＝ 3 .
3. （2019·凉山）如图，正方形 ABCD 中，AB=12, AE = 1 AB，点 P 在 BC 上运动 （不与 B、C 重合）， 4
3
7
所以当 M，D，N，F 为顶点的四边形周长最小时， F (0, 5) ， N ( 5 , 0) ．
3
7
（3）解：本题的答案为 9 2 15 ．
解题分析：如图（2），当两点 A、B 距离是定值，直线 CD 是一条固定的直线，点 P 在
直线 CD 上移动，由下图可以看出只有当过 A、B 的圆与直线 CD 相切时 APB 最大．
∵ k 0 k 2
当 OA=OB 时即 5 4 (k 2)2
新课标版2019年全国各地中考真题分类详解 - ——二次函数在实际生活中应用
新课标版2019年全国各地中考真题分类详解二次函数在实际生活中应用一、选择题9．（2019·山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点,拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米,(即AB＝90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,则次抛物线型钢拱的函数表达式为( )A.y＝26675x2 B.y＝26675-x2 C.y＝131350x2D.y＝13 1350 -x2第9题图【答案】B【解析】设二次函数表达式为y＝ax2,由题可知,点A坐标为(－45,－78),代入表达式可得:－78＝a(－45)2,解得a＝26675-,∴二次函数表达式为y＝26675-x2,故选B.三、解答题22．（2019年浙江省绍兴市，第22题，12分）.有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB=AE=6，BC=5，∠A=∠B=90°，∠C=135°，∠E＞90°.要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在AE上，并使所截矩形的面积尽可能大.（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积；（2）能否截出比（1）中面积更大的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值，如果不能，请说明理由.【解题过程】24．（2019·嘉兴）某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图1，当10≤t≤25时可近似用函数p＝t﹣刻画；当25≤t≤37时可近似用函数p＝﹣（t﹣h）2+0.4刻画．（1）求h的值．（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p满足函数关系：①请运用已学的知识，求m关于p的函数表达式；②请用含t的代数式表示m．（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w （元）与大棚温度t （℃）之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．【解题过程】（1）把（25,0.3）的坐标代入21()0.4160p t h =--+，得h =29或h =21. ∵h >25，∴h =29.（2）①由表格可知m 是p 的一次函数，∴m=100p-20.②当1025t ≤≤时，p=11505t -，∴m=11100()20505t --=2t-40. 当2537t ≤≤时，21(29)0.4160p t =--+.∴m=21100[(29)0.4)]20160t --+-=25(29)208t --+（3）（I ）当2025t ≤≤时，由（20，200），（25，300），得20200w t =-∴增加利润为600m+[200×30-w （30-m ）]= 2406004000t t --. ∴当t=25时，增加利润的最大值为6000元. （II ）当2537t ≤≤时，300w =. 增加利润为600m+[200×30-w （30-m ）]= 25900()(29)150008t ⨯-⨯-+=21125(29)150002t --+ ∴当t=29时，增加利润的最大值为15000元.综上所述，当t=29时，提前上市20天，增加利润的最大值为15000元. 22．（2019山东省青岛市，22，10分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求该商品每天的销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w （元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？【解题过程】解：（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y kx b =+， 将点(30,100)、(45,70)代入一次函数表达式得：100307045k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：2160k b =-⎧⎨=⎩，故函数的表达式为：2160y x =-+；（2）由题意得：2(30)(2160)2(55)1250w x x x =--+=--+，20-<，故当55x <时，w 随x 的增大而增大，而3050x 剟， ∴当50x =时，w 由最大值，此时，1200w =，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元； （3）由题意得：(30)(2160)800x x --+…， 解得：70x …，∴每天的销售量216020y x =-+…， ∴每天的销售量最少应为20件．22．（2019·武汉）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y （件）是售价x （元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w （元）的三组对应值如下表：注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）（1） ① 求y 关于x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）② 该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元（2） 由于某种原因，该商品进价提高了m 元/件（m ＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m 的值【解题过程】（1）设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，依题意有，501006080k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得，k＝－2，b ＝200，y 与x 的函数关系式是y ＝－2x ＋200；（2）将售价50，周销售量100，周销售利润1000，带入周销售利润＝周销售量×（售价－进价）得到，1000＝100×（50－进价），即进价为40元/件；周销售利润w ＝（x －40）y ＝（x －40）（－2x ＋200）＝－2（x －70）2＋1800，故当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元，故答案为40，70，1800；（3）依题意有，w ＝（－2x ＋200）（x －40－m ）＝－2x 2＋（2m ＋280）x －8000－200m ＝221401260180022m x m m +⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭ ∵m ＞0，∴对称轴140=702m x +>， ∵－2＜0，∴抛物线开口向下， ∵x ≤65，∴w 随x 的增大而增大，∴当x ＝65时，w 有最大值（－2×65＋200）（65－40－m ）， ∴（－2×65＋200）（65－40－m ）＝1400， ∴m ＝5．24．（2019·黄冈）某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社，负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红.经市场调研发现，草莓销售单价y (万元)与产量x (吨)之间的关系如图所示(0≤x ≤100)，已知草莓的产销投人总成本p (万元)与产量x (吨)之间满足P ＝x ＋1.(1)直接写出草莓销售单价y (万元)与产量x (吨)之间的函数关系式； (2)求该合作社所获利润w (万元)与产量x (吨)之间的函数关系式；(3)为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户，为确保合作社所获利润w ＇不低于55万元，产量至少要达到多少吨?【解题过程】1. （2019·衢州市）某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为80间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170～240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数（间）与每间标准房的价格x （元）的数据如下表：（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象。
2019年全国各地数学中考试题分类汇编 二次函数
第12课时 二次函数基础知识回放考点1 二次函数的解析式1．二次函数的定义形如=ax 2+bx+c (a≠0，a 、b 、c 为常数)的函数叫做二次函数．特别当a≠0，b=c=0时，y=ax 2是二次函数的特例。
规律总结：判断一个函数是不是二次函数的方法与步骤：① 先将函数进行整理，使其右边是含自变量的式子，左边是因变量；② 判断右边的自变量是否是整式；③ 判断含自变量的最高项次数是否为2；④ 判断二次项系数是否为0。
2．二次函数的解析式(1)一般式：y=ax 2+bx+c (a≠0，a 、b 、c 为常数)；(2)顶点式：y=a(x －h)2+k(a≠O ，a 、k 、h 为常数，其中h ，k 分别为顶点的横坐标、纵坐标)；(3)交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0，a 、x 1、x 2为常数)；其中x 1、x 2为抛物线与x 轴的交点横坐标。
(4)顶点式←−−−配方一般式←−−−−因式分解交点式． 温馨提示：对于一般式，只要试题中出现3个已知条件就能求出二次函数的解析式，但是对于顶点式、交点式要根据实际操作中来确定不同的解析式。
如果题目中出现或隐含着抛物线的顶点坐标一般采用顶点式；如果出现抛物线与x 轴的交点坐标宜采用交点式。
所以在求解析式中要依据三种解析式各自的优点，合理选择，才能使解析过程简捷明了． 考点2 二次函数的图象及其性质1．二次函数的图象是一条① ．2．求二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0，a 、b 、c 为常数)最大值或最小值的一般方法：⑴ 配方法：y=ax 2+bx+c=a （x 2+b a x ）+c= a （x 2+b ax+ ② ）－a· ③ +c= = a （x 2+b ax+ ④ ）+ ⑤ = a （x+ ⑥ ）2+ ⑦ 所以当x= ⑧ 时，y 最值= ⑨ 。
⑵ 公式法：当x= ⑩ 时，y 最值=○11。
3．二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0，a 、b 、c 为常数)通过配方可得y=a(x －h)2+k(a≠O ，a 、k 、h 为常数)，其顶点坐标为○12，对称轴方程为直线x=○13． 4．当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸；在对称轴左侧(即x<－b 2a)时，y 随x 的增大而○14；在对称轴右侧(即x>－b 2a )时，y 随x 的增大而○15；当x=－b 2a时，函数有极小值y =4ac-b 24a ；当a<0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸；在对称轴左侧(即x< －b 2a)时，y 随x 的增大而○16 ；在对称轴右侧(即x> －b 2a )时，y 随x 的增大而 ○17 ；当x= －b 2a是时，函数有极大值y =4ac-b 24a. 5．对称轴：x=○18，对称轴在原点左侧⇔a ，b 同号；对称轴在原点右侧⇔a ，b 异号；对称轴与y 轴重合⇔b=0．6．顶点坐标M(－b 2a ， 4ac-b 24a)，点M 在x 轴上方⇔a,△异号；点M 在x 轴上方⇔a,△同号；点M 在x 轴上⇔△=0．（其中△=b 2－4ac ）7．抛物线与M 轴的交点：抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴交于点(0，c)；若方程ax 2+bx+c=0有根x 1，x 2，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点(x 1，，0)(x 2，0)．8．抛物线y=ax 2+bx+c 中a ，b ，c 的作用．(1)a 决定开口方向及开口大小．a>0，抛物线开口向上；a ○190，抛物线开口○20，|a|越大，抛物线的开口越○21 ，|a|越小，抛物线的开口越○22. (2)a 和b 共同决定抛物线对称轴的位置．由于抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x=－b 2a ，故：b=0时，对称轴为y 轴；b a >0时，对称轴在y 轴左侧；b a<0时，对称轴在y 轴右侧． (3)c 的大小决定抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴交点的位置，当x=0时，y=c ，所以抛物线与y 轴有且只有一个交点(O ，c)．c=0，抛物线经过原点；c>0，抛物线与y 轴交于正半轴；c<0，抛物线与y 交于负半轴．温馨提示：以上三点中，当结论与条件互换时，仍成立．(4)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴是否有交点由a ，b ，c 联合决定．当△=b 2－4ac>O 时，抛物线与x 轴有两个交点；当△= b 2－4ac =0时，抛物线与x 轴有一个交点；当△= b 2－4ac<0时，抛物线与x 轴无交点．温馨提示：画抛物线时点取的越多图象越精确，但一般采用五点法作抛物线．①找顶点(－b 2a ,4ac-b 24a )，画对称轴；②找图象上关于直线x= －b 2a对称的四个点(一般找与坐标轴的交点及y=c 的点)；③把上述五个点用光滑的曲线连接起来．9．二次函数的图象与性质附图如下： 函数的图象 图象特点 函数性质①当a>O 时向上无限伸展； 当a<O 时向下无限伸展． ①自变量x 的取值范围是全体实数．②a>O 时开口向上； a<O 时开口向下；顶点为(－a b 2,a b ac 442-)． ②a>O 时，当x=－a b 2时，y 有最小值为a b ac 442-；a<O 时，当x=－a b 2时，y 有最大值为a b ac 442-． ③对称轴为x=－a b 2，a>O 时，对称轴左侧图象从左到右下降，对称轴右侧图象从左到右上升；a<O 时，对称轴左侧图象从左到右上升，对称轴右侧图象从左到右下降． ③a>O 时，当x<－ab 2时，y 随x 的增大而减小；当x>－a b 2时，y 随x 的增大而增大；a<O 时，当x<－a b 2时，y 随x 的增大而增大；当x>－ab 2时，y 随x 的增大而减小．10．二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象的平移由于抛物线的开口方向与开口大小均由二次项系数a 确定，所以两个二次函数如果a 相等，那么其中一个函数的图象可以由另一个函数的图象平移得到，所以形如y=ax 2，y=ax 2+k ，y=a(x －h)2+k(a≠O ，a 、k 、h 为常数)形式的函数图象可以相互平移得到，而具体平移方式一般由各函数的顶点坐标来确定．平移方式如下图：任意抛物线y=ax 2+bx+c 可以由抛物线y=ax 2经过适当地平移得到，具体平移方法下图所示：注意：上述平移的规律是：“h值正、负，右、左移；k值正、负，上、下移”实际上有关抛物线的平移问题，不用死记硬背平移规律，只要先将其解析式化为顶点式，然后根据它们的顶点的位置关系，确定平移方向和平移的距离非常简便．例如，要研究抛物线L1：y=x2－2x+3与抛物线L2：y=x2的位置关系，可将y=x2－2x+3通过配方变成顶点式y=(x－1)2+2，求出其顶点M1(1，2)，因为L2的顶点为M2(O，0)，根据它们的顶点的位置，容易看出：由L2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即得L1；反之，由L1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，即得L2．温馨提示：以y=a(x－h)2+k(a≠O，a、k、h为常数)为例，函数y=ax2的顶点坐标为A(O，0)，而y=a(x－h)2+k(a≠O，a、k、h为常数)的顶点坐标为B (－b2a，4ac-b24a)只要正确说出由点A到点B的平移方式，也就是函数y=ax2平移到函数y=a(x－h)2+k(a≠O，a、k、h为常数)的方式．10．二次函数与一元二次方程、二元一次不等式的联系．(1) y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c)等号左边是函数y，右边是自变量x的二次三项式，若函数值y=0(即图象上的点在x轴上)，函数即转化为一元二次方程ax2+bx+c =0；方程是否有解即为抛物线与x轴是否有交点；方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标．(2)函数和不等式的联系：若函数y>0(或)y<0)即得到一元二次不等式(或ax2+bx+c <0)，此时确定不等式的解集就转化为抛物线相应点横坐标的取值集合．温馨提示：理解变量x，y双重含义．代值计算时：x——自变量；y—一函数值；在函数图象中：x——图象上点的横坐标；y——图象上点的纵坐标．参考答案：①抛物线、②b24a2、③b24a2、④b24a2、⑤4ac-b24a、⑥b2a、⑦4ac-b24a⑧－b2a、⑨4ac-b24a、⑩－b2a、○114ac-b24a、○12（h，k）、○13x=h、○14减小、○15增大、○16增大、○17减小、○18－b2a、○19<、○20向下、○21小、○22大.中考热点难点突破例 1 反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象，如图所示，它们的解析式可能分别是( )(A) y=k x ，y=kx 2－x (B)y=k x，y=kx 2+x (C)y=－k x , y=kx 2+x (D)y=－k x, y=kx 2－k ， 分析：采用排除法.先通过反比例函数的图象可知，在A 中，k<0，则开口向下，对称轴x<0，这与图象不符合，同理B 中，k<0，对称轴x>0，这与图象符合；C 中，k>O ，对称轴x<0，这与图象不符合．D 中，k>O ，对称轴x<0，这与图象不符合，所以选择B ．【点拨】解决此题的关键是能通过图象确定系数。
2019年全国中考数学真题分类二次函数概念、性质和图象(精品文档)
2019年全国中考数学真题分类二次函数概念、性质和图象一、选择题9．（2019·温州）已知二次函数y=x2-4x+2，关于该函数在-1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值-1，有最小值-2 B．有最大值0，有最小值-1C．有最大值7，有最小值-1 D．有最大值7，有最小值-2【答案】D【解析】∵二次函数y=x2-4x+2=(x-2)2-2，∴该函数在-1≤x≤3的取值范围内，当x=2时，y有最小值-2；当x=-1时，y有最大值7．故选D.7．（2019·绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线)3)(y经过变换后得到抛物线=xx+5(-+=xy，则这个变换可以是 ( )x(-)5)(3A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位【答案】B【解析】y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），故选B．10．（2019·嘉兴）小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．其中错误结论的序号是（）A．①B．②C．③D．④【答案】C【解析】二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）,①∵顶点坐标为（m，﹣m+1）且当x＝m时，y＝﹣m+1,∴这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上,故结论①正确；②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,令y＝0，得﹣（x﹣m）2﹣m+1＝0，其中m≤1，解得：x＝m﹣，x＝m+，∵顶点坐标为（m，﹣m+1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,∴|﹣m+1|＝|m﹣（m﹣）|,解得：m＝0或1,∴存在m＝0或1，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结论②正确；③∵x1+x2＞2m,∴,∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）的对称轴为直线x＝m,∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离,∵x1＜x2，且﹣1＜0,∴y1＞y2,故结论③错误；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，且﹣1＜0,∴m的取值范围为m≥2．故结论④正确．故选C．10．（2019·杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M 个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M=N-1或M=N+1 B．M=n-1或M=N+2 C．M=N或M=N+1 D．M=N或M=N-1【答案】A【解析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．∵y=（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+1，∴（a+b）2-4ab=（a-b）2＞0，∴函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，∴M=2，∵函数y=（ax+1）（bx+1）=abx2+（a+b）x+1，∴当ab≠0时，（a+b）2-4ab=（a-b）2＞0，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N=2，此时M=N；当ab=0时，不妨令a=0，∵a≠b，∴b≠0，函数y=（ax+1）（bx+1）=bx+1为一次函数，与x 轴有一个交点，即N=1，此时M=N+1；综上可知，M=N 或M=N+1．故选C ．11．（2019·烟台）已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：04x <<时，0y >；④抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4；⑤若1(,2)A x ，2(,3)B x 是抛物线上两点，则12x x <． 其中正确的个数是（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解题过程】先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线，由图象可以看出抛物线开口向上，所以结论①正确，由图象（或表格）可以看出抛物线与x 轴的两个交点分别为（0,0），（4,0），所以抛物线的对称轴为直线2x =且抛物线与x 轴的两个交点间的距离为4，所以结论②和④正确，有抛物线的图象可以看出当04x <<时，0y <，所以结论③错误，由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时，对于的点均有两个，若1(,2)A x ，2(,3)B x 是抛物线上两点，既有可能12x x <，也有可能12x x >，所以结论⑤错误．7．（2019·绍兴 ）在平面直角坐标系中，抛物线)3)(5(-+=x x y 经过变换后得到抛物线)5)(3(-+=x x y ，则这个变换可以是 ( )A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位 【答案】B【解析】y ＝（x +5）（x ﹣3）＝（x +1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y ＝（x +3）（x ﹣5）＝（x ﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y ＝（x +5）（x ﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝（x +3）（x ﹣5），故选B ．10．（2019·益阳）已知二次函数c bx ax y ++=2如图所示，下列结论:①ae ＜0，②b-2a ＜0，③ac b 42-＜0，④a-b+c ＜0，正确的是（ ）A. ①②B.①④C.②③D.②④第10题图【答案】A【解析】∵抛物线开口向下，且与y 的正半轴相交，∴a ＜0，c ＞0，∴ac ＜0，故①正确； ∵对称轴在-1至-2之间，∴122---＜＜ab，∴4a ＜b ＜2a ，∴b-2a ＜0，故②正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△=ac b 42-＞0，∴③错误； ∵当x=-1时，y=a-b+c ＞0，∴④错误. ∴正确的说法是①②.故选A.11．（2019·娄底） 二次函数2y ax bx c =++的图象如图（5）所示，下列结论中正确的有（ ）① abc<0 ② 240b ac -<③ 2a b > ④ ()22a c b +<A ． 1个B ． 2个C ．3个D ． 4个【答案】A【解析】解：①由抛物线的开口方向向下知a<0，对称轴在y 轴的左侧得a 、b 同号，抛物线与y 轴交于正半轴得c>0,所以abc>0；故结论①错误；②由抛物线与x 轴有两个交点得240b ac ->，故结论②错误； ③由图象知对称轴12b x a =->-得12ba<；由a<0，结合不等式的性质三可得 b>2a,即2a<b ；故结论③错误； ④由图象知：当x ＝1时，y<0即a+b+c<0；当x ＝－1时，y>0即a －b+c>0； ∴()()0a b c a b c ++-+<，即()220a c b +-<；∴()22a c b +<．故结论④正确．故答案A 正确．1. （2019·济宁）将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）A ．y ＝(x －4)2－6B ．y ＝(x －1)2－3C ．y ＝(x －2)2－2D ．y ＝(x －4)2－2 【答案】D【解析】y ＝x 2－6x ＋5＝ (x －3) 2－4，把向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后， 得y ＝ (x －3－1) 2－4＋2，即y ＝(x －4)2－2．2. (2019·巴中)二次函数y ＝ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,下列结论①b2>4ac,②abc<0,③2a+b －c>0,3. ④a+b+c<0,其中正确的是( ) A.①④B.②④C.②③D.①②③④第10题图 【答案】A【解析】①:因为图象与x 轴有两个不同的交点,所以b 2－4ac>0,即b 2>4ac,故①正确;②:图象开口向下,故a<0,图象与y 轴交于正半轴,故c>0,因为对称轴为x ＝－1,所以12ba-=-,所以2a ＝b,故b<0,所以abc>0,②错误;③:a<0,b<0,c>0,所以2a+b －c<0,③错误;④当x ＝1时,y ＝a+b+c,由图可得,x ＝－3时,y<0,由对称性可知,当x ＝1时,y<0,即a+b+c<0,故④正确.综上所述,①④正确,故选A.3. （2019·达州）如图，边长都为4的正方形ABCD 和正三角形EFG 如图放置， AB 与EF 在一条直线上，点A 与点F 重合.现将△EFG 沿AB 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F 与点B 重合时停止，在这个运动过程中正方形ABCD 和△EFG 重叠部分的面积S 与运动时t 的函数图像大致是( )【答案】C【思路分析】可分两种情况，第一种情况重合部分为三角形，第二种情况重合部分为四边形，分别求出对应的函数关系式即可.【解题过程】运动过程中，当顶点G 在正方形外部时，重合部分为三角形，设运动时间为t ，面积S 与t 的函数关系式为232t y =，函数图像为开口向上的二次函数，当顶点G 在正方形内部时，重合部分为四边形，设运动时间为t ，面积S 与t 的函数关系式为343423-2-+=t t y ，函数图像为开口向下的二次函数，故选C.4. （2019·凉山）二次函数y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示，有以下结论：①3a –b=0；②b2-4ac ＞0；③5a-2b+c ＞0； ④4b+3c ＞0,其中错误结论的个数是（ ▲ ） A. 1B. 2C. 3D. 4第12题图【答案】A【解析】根据对称轴232-=-a b 得b =3a ，故可得3a –b =0，所以结论①正确；由于抛物线与x 轴xxx有两个不同的交点，所以b 2-4ac ＞0，结论②正确；根据结论①可知b =3a ，∴5a -2b +c =5a -6a +c =-a +c ，观察图像可知a ＜0,c ＞0，∴5a -2b +c =-a +c ＞0，结论③正确；根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的右交点在原点与（1，0）之间（不含这两点），所以当x =1时，y =a +b +c ＜0，∵a =b 31，∴b 34+c ＜0，∴4b +3c ＜0，所以结论④错误.故选 A.5. （2019·攀枝花）在同一坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与一次函数y ＝bx －a 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】据参数符号可排除A 、D 选项，联立两函数解析式所得方程无解，则两函数图象无交点，故选C ．【知识点】二次函数的图象；一次函数的图象6.（2019·天津）二次函数y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当12x =-时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：（1）abc>0；(2)-2和3是关于x 的方程ax 2+bx+c=t 的两个根；（3）0<m+n<203，其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】(1)因为当12x =-时，与其对应的函数值y>0，由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可以判断对称轴左侧y 随x 的增大而减小，图像开口向上，a>0;由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可得对称轴为直线21=x ，所以b<0;x=0时，y=-2,所以c=-2<0,故abc>0（1）正确；（2）由于对称轴是直线21=x ，-2和3是关于对称轴对称的，所以（2）正确；（3）由对称轴是直线21=x 可得a+b=0,因为x=0时，y=-2，可知c=-2，当21-=x 时，与其对应的函数值y>0可得38>a ，当x=-1时，m=a-b-2=2a-2>310,因为-1和2关于对称轴对称，可得m=n ，所以m+n>320，故（3）错误，故选C.【知识点】二次函数图像的性质.7. （2019·衢州）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（A ） A. （1.3） B.（1，-3） C.（-1.3） D.（-1.-3）【答案】A【解析】本题考查二次函数顶点坐标的确定，二次函数y=a （x-h ）2+k 的顶点坐标为（h ，k ），所以y=（x-1）2+3的顶点坐标是（1.3），故选A.8. （2019·重庆B 卷）物线y ＝的对称轴是（ ）A.直线B.直线C.直线D.直线 【答案】Ｃ【解析】设二次函数的解析式是y=， 则二次函数的对称轴为直线y ＝的对称轴是直线 .故选Ｃ．263-2++x x 2=x 2-=x 1=x 1-=x c bx ax ++2263-2++x x 1=x9.（2019·自贡）一次函数y=ax+b与反比例函数y=c的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的x大致图象是（）【答案】A.【解析】∵双曲线y=c经过一、三象限，x∴c＞0.∴抛物线与y轴交于正半轴.∵直线y=ax+b经过第一、二和四象限，∴a＜0，b＞0，即−b＜0.2a∴抛物线y=ax2+bx+c开口向下，对称轴在y轴的右侧.故选A.9.（2019·遂宁）二次函数y=x2-ax+b的图像如图所示，对称轴为直线x=2，下列结论不正确的是( )A. a=4B.当b= -4时，顶点的坐标为（2，-8）C.当x= -1 时，b> -5D.当x>3时，y随x的增大而增大【答案】C【解析】选项A,由对称轴为直线x=2可得22a--=，∴a=4，正确；选项B,∵a=4,b= -4 ∴代入解析式可得，y=x 2-4x-4，当x=2时，y=-8,∴顶点的坐标为（2，-8），正确；选项C ，由图像可知，x=-1时，y=0，代入解析式得B=-5，∴错误；选项D 由图像可以看出当x>3时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，正确，故选C.二、填空题14. （2019·遂宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 落在坐标原点，点A,点C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，G 为线段OA 上一点，将△OCG 沿CG 翻折，O 点恰好落在对角线AC 上的点P 处，反比例函数xy 12=经过点B ，二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像经过C （0,3），G 、A 三点，则该二次函数的解析式为（填一般式）【答案】3411212+-=x x y 【解析】∵矩形OABC ，C （0,3）∴B 点的纵坐标为3，∵反比例函数x y 12=经过点B ，∴B(4,3），A （4,0），∴OA=4，∵C （0,3），∴OC=3，∴Rt △ACO 中，AC=5.设G （m,0)则OG=m ∵翻折∴GP=OG=m,CP=CO=3,∴AP=2，AG=4-m,∴Rt △AGP 中，m 2+22=(4-m)2,∴m=23,∴G(23,0），∵A （4,0）C （0,3）G(23,0）∴解析式为3411212+-=x x y15．(2019·广元)如图,抛物线y ＝ax 2+bx+c(a ≠0)过点(－1,0),(0,2),且顶点在第一象限,设M ＝4a+2b+c,则M 的取值范围是________.第15题图 【答案】－6<M<6【解析】∵y ＝ax 2+bx+c 过点(－1,0),(0,2),∴c ＝2,a －b ＝－2,∴b ＝a+2,∵顶点在第一象限,∴2ba>0,∴a<0,b>0,a+2>0,a>－2,∴－2<a<0,M ＝4a+2b+c ＝4a+2(a+2)+2＝6a+6,∴－6<M<6.18．（2019·衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2的图象如图所示．已知点A 坐标为（1，1），过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4…，依次进行下去，则点A 2019的坐标为 ．【答案】（－1010，10102）【解析】A （1，1），A 1（－1，1），A 2（2，4），A 3（－2，4），A 4（3，9），A 5（－3，9），…，A 2019（－1000，1000 2）．11．（2019·株洲）若二次函数2y ax bx =+的图像开口向下，则a 0（填“＝”或“＞”或“＜”）． 【答案】＜【解析】二次函数开口向下，则a<0。
2019年全国各地中考数学真题试卷解析分类汇编：二次函数解答题(word版)
2019年全国各地中考数学真题试卷解析分类汇编：二次函数解答题1.（2019▪湖北黄石▪10 分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c 经过点A（﹣1，0）、B（5，0）．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点M 的坐标；（2）若点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为8，求四边形AMBC 的面积；（3）定点D（0，m）在y 轴上，若将抛物线的图象向左平移2 个单位，再向上平移3 个单位得到一条新的抛物线，点P 在新的抛物线上运动，求定点D 与动点P 之间距离的最小值d（用含m 的代数式表示）【分析】（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5），即可求解；（2）S 四边形AMBC＝AB（y C﹣y D），即可求解；（3）抛物线的表达式为：y＝x2，即可求解．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝x2﹣x ﹣，点M 坐标为（2，﹣3）；（2）当x＝8 时，y＝（x+1）（x﹣5）＝9，即点C（8，9），S 四边形AMBC＝AB（y C﹣y D）＝×6×（9+3）＝36；（3）y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝（x﹣2）2﹣3，抛物线的图象向左平移 2 个单位，再向上平移3 个单位得到一条新的抛物线，则新抛物线表达式为：y＝x2，则定点D 与动点P 之间距离PD＝＝，∵，PD 有最小值，当x2＝3m﹣时，PD 最小值d＝＝．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图形平移、面积的计算等知识点，难度不大．2.（2019▪贵州毕节12 分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产每袋成本10 元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：若日销售量y 是销售价x 的一次函数，试求：（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式即可（2）利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．【解答】解：（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y ＝kx+b 得，解得故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y＝﹣x+40（2）依题意，设利润为w 元，得w＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x+400整理得w＝﹣（x﹣25）2+225∵﹣1＜0∴当x＝2 时，w 取得最大值，最大值为225故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25 元，每日销售的最大利润是225 元．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，根据每天的利润＝一件的利润× 销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．3 （2019•山东省滨州市•14分）如图①，抛物线y ＝﹣x2+ x+4 与y 轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D．（1）求直线AD 的函数解析式；（2）如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离；②当点P 到直线AD 的距离为时，求sin∠PAD 的值．【考点】二次函数【分析】（1）根据抛物线y＝﹣x2+ x+4 与y 轴交于点A，与x 轴交于点B，C，可以求得点A.B.C 的坐标，再根据将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D，可以求得点D 的坐标．从而可以求得直线AD 的函数解析式；（2）①根据题意，作出合适的辅助线，然后根据二次函数的性质即可求得点P 到直线AD 的距离最大值，进而可以得到点P 的坐标；②根据①中关系式和题意，可以求得点P 对应的坐标，从而可以求得sin∠PAD 的值．【解答】解：（1）当x＝0 时，y＝4，则点A 的坐标为（0，4），当y＝0 时，0＝﹣x2+x+4，解得，x1＝﹣4，x2＝8，则点B 的坐标为（﹣4，0），点C 的坐标为（8，0），∴OA＝OB＝4，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∵将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°得到直线AD，∴∠BAD＝90°，∴OAD＝45°，∴∠ODA＝45°，∴OA＝OD，∴点D 的坐标为（4，0），设直线AD 的函数解析式为y＝kx+b，，得，即直线AD 的函数解析式为y＝﹣x+4；（2）作PN⊥x 轴交直线AD 于点N，如右图①所示，设点P 的坐标为（t，﹣t2+t+4），则点N 的坐标为（t，﹣t+4），∴PN＝（﹣t2+ t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+ t，∴PN⊥x 轴，∴PN∥y 轴，∴∠OAD＝∠PNH＝45°，作PH⊥AD 于点H，则∠PHN＝90°，∴PH＝＝（﹣t2+ t）＝t＝﹣（t﹣6）2+ ，∴当t＝6 时，PH 取得最大值，此时点P 的坐标为（6，），即当点P 到直线AD 的距离最大时，点P 的坐标是（6，），最大距离是；②当点P 到直线AD 的距离为时，如右图②所示，则t＝，解得，t1＝2，t2＝10，则P1 的坐标为（2，），P2 的坐标为（10，﹣），当P1 的坐标为（2，），则P1A＝＝，∴sin∠P 1AD＝＝；当P2 的坐标为（10，﹣），则P2A＝＝，∴sin∠P2AD＝＝；由上可得，sin∠PAD 的值是或．【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．4.(2019，四川成都，12 分）如图，抛物线y＝ax2 +bx +c经过点A（-2，5），与x 轴相交于B（-1，0），C（3，0）两点，（1）抛物线的函数表达式；（2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将△ BCD 沿沿直线BD 翻折得到△ B C'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D 的坐标；（3）设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，当△ CPQ 为等边三角形时，求直线BP 的函数表达式。
2019全国中考数学真题分类汇编之33：二次函数的实际应用(含解析)
2019年全国中考数学真题分类汇编：二次函数的实际应用一、选择题1. （2019年湖北省襄阳市）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为s．【考点】二次函数的实际应用【解答】解：依题意，令h＝0得0＝20t﹣5t2得t（20﹣5t）＝0解得t＝0（舍去）或t＝4即小球从飞出到落地所用的时间为4s故答案为4．二、填空题1. （2019年四川省广安市）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离（米）之间的关系为y＝﹣2+ +，由此可知该生此次实心球训练的成绩为米．【考点】二次函数的应用、自变量与函数的实际意义【解答】解：当y＝0时，y＝﹣2++＝0，解得，＝2（舍去），＝10．故答案为：10．三、解答题1. （2019年四川省攀枝花市）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市。
某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y （千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系。
（1）某天这种芒果售价为28元/千克。
求当天该芒果的销售量（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式。
如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？【考点】一次函数、二次函数、一元二次方程的解法【解答】解：（1）设该一次函数解析式为y kx b =+则25352238k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：160k b =-⎧⎨=⎩ ∴60y x =-+（1540x ≤≤）∴当28x =时，32y =∴芒果售价为28元/千克时，当天该芒果的销售量为32千克（2）由题易知(10)m y x =-(60)(10)x x =-+- 270600x x =-+-当400m =时，则270600400x x -+-=整理得：27010000x x -+= 解得：120x =，250x =∵1540x ≤≤ ∴20x =所以这天芒果的售价为20元2. （2019年山东省青岛市）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y （件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量y 与销售单价之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w （元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？【考点】一次函数、二次函数、一元二次方程的解法【解答】解：（1）设y 与销售单价之间的函数关系式为：y ＝+b ，将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y ＝﹣2+160；（2）由题意得：w＝（﹣30）（﹣2+160）＝﹣2（﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，故当＜55时，w随的增大而增大，而30≤≤50，∴当＝50时，w由最大值，此时，w＝1200，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；（3）由题意得：（﹣30）（﹣2+160）≥800，解得：≤70，∴每天的销售量y＝﹣2+160≥20，∴每天的销售量最少应为20件．3. （2019年湖北省十堰市）某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/g．设第天的销售价格为y（元/g），销售量为m（g）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤≤30时，y＝40；当31≤≤50时，y与满足一次函数关系，且当＝36时，y＝37；＝44时，y＝33．②m与的关系为m＝5+50．（1）当31≤≤50时，y与的关系式为；（2）为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/g，求a的最小值．【考点】待定系数法、一次函数的性质、二次函数的性质【解答】解：（1）依题意，当＝36时，y＝37；＝44时，y＝33，当31≤≤50时，设y＝+b，则有，解得∴y与的关系式为：y＝+55（2）依题意，∵W＝（y﹣18）•m∴整理得，当1≤≤30时，∵W随增大而增大∴＝30时，取最大值W＝30×110+1100＝4400当31≤≤50时，W＝2+160+1850＝∵＜0∴＝32时，W取得最大值，此时W＝4410综上所述，为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元（3）依题意，W＝（y+a﹣18）•m＝∵第31天到第35天的日销售利润W（元）随的增大而增大∴对称轴＝＝≥35，得a≥3故a的最小值为3．4. （2019年甘肃省天水市）天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【考点】待定系数法、二次函数的应用、二次函数的性质【解答】解：（1）设y与的函数解析式为y＝+b，将（10，30）、（16，24）代入，得：，解得：，所以y与的函数解析式为y＝﹣+40（10≤≤16）；（2）根据题意知，W＝（﹣10）y＝（﹣10）（﹣+40）＝﹣2+50﹣400＝﹣（﹣25）2+225，∵a＝﹣1＜0，∴当＜25时，W随的增大而增大，∵10≤≤16，∴当＝16时，W取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．5. （2019年湖北省鄂州市）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为元（为正整数），每月的销售量为y条．（1）直接写出y与的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？【考点】二次函数的应用【解答】解：（1）由题意可得：y＝100+5（80﹣）整理得y＝﹣5+500；（2）由题意，得：w＝（﹣40）（﹣5+500）＝﹣52+700﹣20000＝﹣5（﹣70）2+4500∵a＝﹣5＜0∴w有最大值即当＝70时，w最大值＝4500∴应降价80﹣70＝10（元）答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；（3）由题意，得：﹣5（﹣70）2+4500＝4220+200解之，得：1＝66，2 ＝74，∵抛物线开口向下，对称轴为直线＝70，∴当66≤≤74时，符合该网店要求而为了让顾客得到最大实惠，故＝66∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．6. （2019年湖北省随州市）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格（元/千克）满足函数关系式p=1+8，从市场反馈的信息发现，该半2成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：已知按物价部门规定销售价格不低于2元/千克且不高于10元/千克．（1）直接写出q与的函数关系式，并注明自变量的取值范围；（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．①当每天的半成品食材能全部售出时，求的取值范围；②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当为______元/千克时，利润y 有最大值；若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则应定为______元/千克．【考点】二次函数的应用【解答】解：（1）由表格的数据，设q与的函数关系式为：q=+b根据表格的数据得，解得故q与的函数关系式为：q=-+14，其中2≤≤10（2）①当每天的半成品食材能全部售出时，有p≤q即+8≤-+14，解得≤4又2≤≤10，所以此时2≤≤4②由①可知，当2≤≤4时，y=（-2）p=（-2）（+8）=2+7-16当4＜≤10时，y=（-2）q-2（p-q）=（-2）（-+14）-2[+8-（-+14）]=-2+13-16即有y=（3）当2≤≤4时，y=2+7-16的对称轴为===-7∴当2≤≤4时，除的增大而增大∴=4时有最大值，y==20当4＜≤10时y=-2+13-16=-（-）2+，∵-1＜0，＞4∴=时取最大值即此时y有最大利润要使每天的利润不低于24百元，则当2≤≤4时，显然不符合故y=-（-）2+≥24，解得≤5故当=5时，能保证不低于24百元故答案为：，57. （2019年辽宁省本溪市）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价y（元）与一次性批发量（件）（为正整数）之间满足如图所示的函数关系．（1）直接写出y与之间所满足的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用、一次函数的应用【解答】解：（1）当0＜≤20且为整数时，y＝40；当20＜≤60且为整数时，y＝﹣+50；当＞60且为整数时，y＝20；（2）设所获利润w（元），当0＜≤20且为整数时，y＝40，∴w＝（40﹣16）×20＝480元，当0＜≤20且为整数时，y＝40，∴当20＜≤60且为整数时，y＝﹣+50，∴w＝（y﹣16）＝（﹣+50﹣16），∴w＝﹣2+34，∴w＝﹣（﹣34）2+578，∵﹣＜0，∴当＝34时，w最大，最大值为578元．答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元．8. （2019年内蒙古包头市）某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨．据统计，淡季该公司平均每天有10辆货车未出租，日租金总收入为1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4000元．（1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？（2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？【考点】二次函数的应用、分式方程的应用【解答】解：（1）该出租公司这批对外出租的货车共有辆，根据题意得，，解得：＝20，经检验：＝20是分式方程的根，∴1500÷（20﹣10）＝150（元），答：该出租公司这批对外出租的货车共有20辆，淡季每辆货车的日租金150元；（2）设每辆货车的日租金上涨a元时，该出租公司的日租金总收入为W元，根据题意得，W＝[a+150×（1+）]×（20﹣），∴W＝﹣a2+10a+4000＝﹣（a﹣100）2+4500，∵﹣＜0，∴当a＝100时，W有最大值，答：每辆货车的日租金上涨100元时，该出租公司的日租金总收入最高．9. （2019年内蒙古通辽市）当今，越越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a（0＜a≤6）元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．【考点】二次函数的应用【解答】解：（1）根据题意得，y＝250﹣10（﹣25）＝﹣10+500（30≤≤38）；（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w元．w＝（﹣20﹣a）（﹣10+500）＝﹣102+（10a+700）﹣500a﹣10000（30≤≤38）对称轴为＝35+a，且0＜a≤6，则30a≤38，则当＝35+a时，w取得最大值，∴（35+a﹣20﹣a）[﹣10（35+a）+500]＝1960 ∴a1＝2，a2＝58（不合题意舍去），∴a＝2．。
2019年全国中考试题解析版分类汇编-二次函数的代数应用
2019年全国中考试题解析版分类汇编-二次函数的代数应用注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！1.〔2017•西宁〕西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如下图的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是〔〕A、B、C、D、考点：二次函数的应用。
分析：根据二次函数的图象，喷水管喷水的最大高度为3米，此时喷水水平距离为米，由此得到顶点坐标为〔，3〕，所以设抛物线的解析式为y=a〔x﹣〕2+3，而抛物线还经过〔0，0〕，由此即可确定抛物线的解析式、解答：解：∵一支高度为1米的喷水管喷水的最大高度为3米，此时喷水水平距离为米，∴顶点坐标为〔，3〕，设抛物线的解析式为y=a〔x﹣〕2+3，而抛物线还经过〔0，0〕，∴0=a〔〕2+3，∴a=﹣12，∴抛物线的解析式为y=﹣12〔x ﹣〕2+3、应选：C 、点评：此题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是正确理解题意，然后根据题目隐含的条件得到待定系数所需要的点的坐标解决问题、2.〔2017山东济南，13，3分〕竖直向上发射的小球的高度h 〔m 〕关于运动时间t 〔s 〕的函数表达式为h =at 2+bt ，其图象如下图，假设小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，那么以下时刻中小球的高度最高的是〔〕A 、第3秒B 、第3.5秒C 、第4.2秒D 、第6.5秒 考点：二次函数的应用。
专题：数形结合。
分析：根据题中条件求出函数h =at 2+bt 的对称轴t =4，四个选项中的时间越接近4小球就越高、解答：解：由题意可知：h 〔2〕=h 〔6〕， 即4a +2b =36a +6b ， 解得b =﹣8a ， 函数h =at 2+bt 的对称轴42bt a=-= 故在t =4s 时，小球的高度最高，题中给的四个数据只有C 第4.2秒最接近4秒， 故在第4.2秒时小球最高 应选C 、点评：此题主要考查了二次函数的实际应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键，属于中档题、3.〔2017•株洲8,3分〕某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x 2+4x 〔单位：米〕的一部分，那么水喷出的最大高度是〔〕A 、4米B 、3米C 、2米D 、1米考点：二次函数的应用。
2019年全国各地中考数学解析汇编20二次函数的应用
2019年全国各地中考数学解析汇编20二次函数的应用 注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！〔2018北海,7，3分〕7、二次函数y ＝x 2－4x ＋5的顶点坐标为：〔 〕 A 、〔－2，－1〕 B 、〔2，1〕 C 、〔2，－1〕 D 、〔－2，1〕 【解析】二次函数的顶点坐标公式为〔ab ac a b 44,22--〕，分别把a ，b ，c 的值代入即可。
【答案】B【点评】此题考查的是二次函数顶点公式，做题时要灵活把握，求纵坐标时，也可以把横坐标的值代入到函数中，求y 值即可，属于简单题型。
〔2018山东省滨州，1，3分〕抛物线234y x x =--+ 与坐标轴的交点个数是〔 〕A 、3B 、2C 、1D 、0【解析】抛物线解析式234x x --+，令x=0，解得：y=4，∴抛物线与y 轴的交点为〔0，4〕，令y=0，得到2340x x --+=，即2340x x +-=，分解因式得：(34)(1)0x x +-= ，解得：143x =- , 21x =， ∴抛物线与x 轴的交点分别为〔43-，0〕，〔1，0〕， 综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3、【答案】选A【点评】此题考查抛物线的性质，需要数形结合，解出交点，即可求出交点的个数、此题也可用一元二次方程根的判别式判定与x 轴的交点个数，与y 轴的交点就是抛物线中C 的取值、 ( 2018年四川省巴中市,8,3)对于二次函数y=2(x+1)〔x-3〕以下说法正确的选项是〔 〕A.图象开口向下B.当x ＞1时,y 随x 的增大而减小C.x ＜1时，y 随x 的增大而减小D.图象的对称轴是直线x= - 1【解析】y=2(x+1)〔x-3〕可化为y=(x －1)2-8,此抛物线开口向上,可排除A,对称轴是直线x=1可排除D,根据图象对称轴右侧部分, y 随x 的增大而减小,即x ＜1时,应选C.【答案】C【点评】此题考查将二次函数关系式化成顶点式的方法及图象性质.12、〔2018湖南衡阳市，12，3〕如图为二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕的图象，那么以下说法：①a ＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c ＞0 ④当﹣1＜x ＜3时，y ＞0其中正确的个数为〔 〕A 、1B 、2C 、3D 、4解析：由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c ＞0，然后根据对称轴推出2a+b 与0的关系，根据图象判断﹣1＜x ＜3时，y 的符号、答案：解：①图象开口向下，能得到a ＜0；②对称轴在y 轴右侧，x==1，那么有﹣=1，即2a+b=0；③当x=1时，y ＞0，那么a+b+c ＞0；④由图可知，当﹣1＜x ＜3时，y ＞0、应选C 、点评：此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用、〔2018呼和浩特，9，3分〕:M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线12y x=上，点N 在直线y=x+3上，设点M 的坐标为〔a,b 〕，那么二次函数y = –abx 2+(a+b)xA . 有最大值，最大值为 –92B . 有最大值，最大值为92C . 有最小值，最小值为92D . 有最小值，最小值为 –92 【解析】M (a ,b )，那么N (–a ,b )，∵M 在双曲线上，∴ab =12；∵N 在直线上，∴b =–a +3,即a +b =3；∴二次函数y = –abx 2+(a+b)x= –12x 2+3x = –12(x –3)2+92，∴有最大值，最大值为92【答案】B【点评】此题考查了轴对称的性质，利用点在函数图象上，把点代入的解析式中求得ab 和a +b 的值。
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新课标版2019年全国各地中考真题分类详解二次函数代数方面的应用一、选择题1. （2019·潍坊）抛物线y =x 2＋bx +3的对称轴为直线x =1．若关于x 的一元二次方程x 2＋bx +3－t =0（t 为实数）在－1＜x ＜4的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．2≤t ＜11 B ．t ≥2 C ．6＜t ＜11 D ．2≤t ＜6 【答案】A【解析】由题意得：12b-=，b =－2，抛物线解析式为y =x 2－2x +3，当－1＜x ＜4时，其图象如图所示：从图象可以看出当2≤t ＜11时，抛物线y =x 2－2x +3与直线y =t 有交点，故关于x 的一元二次方程x 2＋bx +3－t =0（t 为实数）在－1＜x ＜4的范围内有实数根，则t 的取值范围是2≤t ＜11，故选择A ． 方法二：把y =x 2－2x +3－t （－1＜x ＜4）的图象向下平移2个单位时图象与x 轴开始有交点，向下平移11个单位时开始无交点，故2≤t ＜11，故选择A ．2. （2019·淄博）将二次函数24y x x a =-+的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，若得到的函数图象与直线y ＝2有两个交点，则a 的取值范围是 （ ） A.3a ＞ B.3a ＜ C.5a ＞ D.5a ＜【答案】D.【解析】∵224(2)(4)y x x a x a =-+=-+-，向左平移一个单位，再向上平移一个单位后的解析式为2(1)(3)y x a =-+-，令22(1)(3)x a =-+-，即2240x x a -+-=， 由⊿44(4)0a =--＞，得5a ＜.3. （2019·湖州）已知a ，b 是非零实数，a b>，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2＋bx 与一次函数y2＝ax ＋b 的大致图象不可能是（ ）【答案】D ．【解析】由2y ax b y ax bx =+⎧⎨=+⎩，解得111x y a b =⎧⎨=+⎩，220b x a y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故直线与抛物线的两个交点坐标分别为(1，a ＋b )和 (－ba，0)．对于D 选项，从直线过第一、二、四象限可知：a ＜0，b ＞0．∵a b >，∴a ＋b ＜0．从而(1，a ＋b )在第四象限，因此D 选项不正确，故选D ．二、填空题 14．（2019·安徽）在平面直角坐标系中，垂直于x 轴的直线l 分别与函数y=x ﹣a+1和y=x 2﹣2a x 的图像相交于P ，Q 两点，若平移直线l ，可以使P ，Q 都在x 轴的下方，则实数a 的取值范围是 . 【答案】a ＞1或a ＜－1【解析】本题主要考查了一次函数图象及性质，二次函数图象及性质，平移的性质，以及数形结合，解题的关键是结合题意，画出图象，利用数形结合分析问题. 本题问题的实质是自变量x 在某个范围内，两个函数的值都小于0，即两个函数交点中较小的值小于0.假设该两个函数的交点位于x 轴上，则x －a ＋1＝0，x ＝a －1，代入二次函数的表达式中，得：(a －1)2－2a(a －1)＝0，解得：a ＝1或a ＝－1.当a ＞1 时，随着a 的变大，直线向右平移运动，抛物线向右、向下平移运算，如图，此时直线与抛物线的最底交点位于第四象限；当a ＜－1时，随着|a|的变大，直线向左平移运动，抛物线向左、向下平移运算，此时直线与抛物线的最底交点位于第三象限.综上所述，a 的取值范围为a ＞1或a ＜－1.A ．B ．C ．D ．y=x+1与抛物线y=x2－4x＋5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点．当△PAB的周长最小时，S△PAB= ．【答案】125【解析】解方程组2145y xy x x=+⎧⎨=-+⎩，得：1112xy=⎧⎨=⎩，2245xy=⎧⎨=⎩．∴A（1，2）, B（4，5）,作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P．则A′（－1，2）.设直线A′B解析式为y=kx+b，则245k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得：3,5135kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线A ′B ：31355y x =+． ∴当△PAB 的周长最小时，点P 的坐标为（0，135）． 设直线AB 与y 轴的交点为C ，则C （0，1） ∴S △PAB =S △PCB －S △PCA=113113(1)4(1)12525⨯-⨯-⨯-⨯ =125.2. （2019·乐山） 如图，点P 是双曲线C ：x y 4=（0>x ）上的一点，过点P 作x 轴的垂线交直线AB ：221-=x y 于点Q ，连结OP ，OQ .当点P 在曲线C 上运动，且点P在Q 的上方时，△POQ 面积的最大值是 .【答案】3【解析】∵点P 是双曲线C ：xy 4=（0>x ）上的一点，∴可设点P 坐标为（m ，4m ），∵P Q ⊥x 轴，Q 在221-=x y 图像上，∴Q 坐标为（m ，122m -），PQ =4m -(122m -)，∴△POQ 面积 =12×m ×[4m -(122m -]=()21234m --+，当m =2时，△POQ 面积的最大值为3.三、解答题22. （2019浙江省杭州市，22，12分）(本题满分12分) 设二次函数y=(x-x 1)(x-x 2)( x 1,x 2是实数)（1）甲求得当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；乙求得当x=12时，y=-12.若甲求得的结果都正确·你认为乙求得的结果正确吗?说明理由.(2)写出二次函数图像的对称轴，并求该函数的最小值.(用含x 1,x 2的代数式表示). (3)已知二次函数的图象经过(0，m)和(1，n)两点(m ，n 是实数)，当0＜x 1＜x 2＜1时. 求证: 0＜mn ＜116. 【解题过程】（1）当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；∴二次函数经过点（0，0），（1，0）， ∴x 1=0，x 2=1，∴y=x （x-1）=x 2-x ， 当x=时，y=-，∴乙说点的不对；（2）对称轴为x=，当x=时，y=-是函数的最小值；（3）二次函数的图象经过（0，m ）和（1，n ）两点，∴m=x 1x 2，n=1-x 1-x 2+x 1x 2， ∴mn=[-][-] ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴0≤-≤，0≤-≤14， ∴0＜mn ＜116． 26．（2019·淮安）如图，已知二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，D 为顶点，其中点B 的坐标为(5，0)，点D 的坐标为(1，3). (1)求该二次函数的表达式；(2)点E 是线段BD 上的一点，过点E 作x 轴的垂线，垂足为F ，且ED=EF ，求点E 的坐标； (3)试问在该二次函数图像上是否存在点G ，使得△ADG 的面积是△BDG 的面积的53？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由.第26题图 第26题备用图【解题过程】解：（1）∵二次函数的顶点D 的坐标为(1，3)，且函数图象过点B(5，0)，∴设函数解析式为3)1(2+-=x a y ，则03)15(2=+-a ，∴163-=a ， ∴该二次的数的解析式为3)1(1632+--=x y ，即1625831632++-=x x y . （2）如图所示，第26题答图 1∵DC ⊥x 轴，EF ⊥x 轴， ∴△BEF ∽△BDC ，∴DCEFBD BE =， 设EF=ED=m ，则355mm =-，∴m=815，∴BF=2581534=⨯，25255=-=OF ，∴E （2525，）（3）根据题意知A 、B 两点直线DG 的距离之比为5:3，分两种情形： ①A 、B 两点在直线DG 的同旁，如图2，则有53=BM AN ，第26题答图 2由△HAN ∽△HBN 得BMANBH AH =， ∴AH=12，∴H(-15，0)， 又∵D 的坐标为(1，3).设DH 的解析式为：y=kx+b ，则⎩⎨⎧=+=+-3015b k b x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==1645163b k ，∴DH 的解析式为1645163+=x y . ∵点G 为直线DH 与抛物线1625831632++-=x x y 的另个交一个交点， ∴由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+=16258316316451632x x y x y 得⎪⎩⎪⎨⎧==16450y x 或⎩⎨⎧==31y x ， ∴G(0，1645). ②A 、B 两点在直线DG 的两旁，如图3，则有53=BM AN ，第26题答图3∵53=OB OA ， ∴直线DG 经过点O ，其解析为y=3x.∴由⎪⎩⎪⎨⎧++-==16258316332x x y xy 得⎩⎨⎧-=-=4515y x 或⎩⎨⎧==31y x ， ∴G(-15，-45).综上所述，存在符合条件的点G ，其坐标为(0，1645)或(-15,-45). 26．(2019·泰州) 已知一次函数y 1＝kx ＋n (n ＜0)和反比例函数y 2＝mx (m ＞0,x ＞0)．(1)如图1,若n ＝－2,且函数y 1、y 2的图像都经过点A(3,4)． ①求m 、k 的值;②直接写出当y 1＞y 2时x 的范围;(2)如图2,过点P(1,0)作y 轴的平行线l 与函数y 2的图像相交于点B,与反比例函数y 3＝nx (x ＞0)的图像相交于点C ．①若k ＝2,直线l 与函数y 1的图像相交于点D ．当点B 、C 、D 中的一点到另外两点的距离相等时,求m －n 的值;②过点B 作x 轴的平行线与函数y 1的图像相交于点E ．当m －n 的值取不大于1的任意实数时,点B 、C 间的距离与点B 、E 间的距离之和d 始终是一个定值．求此时k 的值及定值．第26题图【解题过程】(1)∵y 2＝m x (m >0,x>0),过点A(3,4),∴4＝3m,∴m ＝12,∴反比例函数表达式为y 2＝12x.又∵点A(3,4)y 1＝kx+n 的图象上,且n ＝－2,∴4＝3k －2,∴k ＝2,所以一次函数表达式为y 1＝2x －2.②由图像可知,两个函数图象交点A 的坐标为(3,4),所以当x>3时,y 1>y 2.(2)①因为k ＝2,所以一次函数表达式为y ＝2x+n,∵直线l 过点P(1,0),∴D(1,2+ n),B(1,m),C(1, n),又∵点B 、C 、D 中的一点到另外两点的距离相等,∴BD ＝BC 或BD ＝DC 或BC ＝CD,∴2+ n ﹣m ＝m ﹣n;或m ﹣(2+ n)＝2+ n ﹣n,或m －n ＝n －(2+n),∴可得m ﹣n ＝1或m ﹣n ＝4或m －n ＝－2;②由题意可知,B(1,m),C(1, n),当y 1＝m 时,kx+n ＝m,∴x ＝k n m -即点E 的横坐标为knm -∴d ＝BC+BE ＝k n m n m --+-1＝1)11)((+--k n m ,∵m －n 的值取不大于1的任意实数时, d 始终是一个定值,∴011=-k,∴k ＝1,从而d ＝1.26．（2019·株洲）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++>．（1）若a ＝l ，b ＝﹣2，c ＝﹣1．①求该二次函数图像的顶点坐标；②定义：对于二次函数2(0)y px qx r p =++≠，满足方程y x =的x 的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数2y ax bx c =++有两个不同的“不动点”． （2）设b ＝312c ，如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴分别相交于不同的两点A(1x ，0)，B(2x ，0)，其中1x ＜0，2x >0，与y 轴相交于点C ，连结BC ，点D 在y 轴的正半轴上，且OC ＝OD ，又点E 的坐标为(1，0)，过点D 作垂直于y 轴的直线与直线CE 相交于点F ，满足∠AFC ＝∠ABC ．FA 的延长线与BC 的延长线相交于点P ，若PC PA =，求该二次函数的表达式．【解题过程】解：（1）①∵a ＝l ，b ＝﹣2，c ＝﹣1∴y=x 2-2x-1=（x-1)2-2 ∴顶点坐标为（1，-2）；②当y=x 时，x=x 2-2x-1, ∴x 2-3x-1=0， ∴△=9+4=13>0∴有两个不相同的实数根，即有两个“不动点”。