八年级第一学期数学教案

八年级第一学期数学学案第十一章数的开方一、平方根1、平方根：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也称为二次方根。

记作“a ±”（ a ≥0），读作“正负根号a ” 或“a 的平方根”。

（1）求一个数的平方根的运算叫做开平方。

① a ＋b ）；±≠-22b a ±（a －b ）；±=+2)(b a ±（a ＋b ））② 求平方根的解题步骤：表示找平方开平方说明：求平方根的解题关键在于找平方，找平方前一定要把根号下的数表示成积的因式。

（2）平方根的性质：① 正数的平方根有2个。

如：∵±10的平方都等于100，∴100的平方根是±10． 说明：正数的两个平方根互为相反数。

② 0只有1个平方根，它是0本身。

如：∵0的平方都等于0，∴0的平方根是0． ③ 负数没有平方根。

如：∵任何数的平方都不等于负数，∴负数没有平方根． 例1、求下列各数的平方根（或将下列各数开平方）．（1）729（2）0.81 （3）0 （4）2(7)-说明：①求平方根时，往往将小数化为分数，将带分数化为假分数。

②记住：（±11）2＝121；（±12）2＝144；（±13）2＝169；（±14）2＝196；（±15）2＝225；（±16）2＝256；（±17）2＝289；（±18）2＝324； （±20）2＝400；（±24）2＝576；（±25）2＝625例2、已知2a －1的一个平方根是3，求2a －1的另一个平方根及a 的值。

例3、解方程：（1）7x 2－343＝0 （2）25（x －3）2＝（－16）22、算术平方根：（1）正数有两个平方根，其中正数的正的平方根叫做算术平方根。

记作“a ”（a ≥0），a ” 或“a 的算术平方根”。

如：4的平方根是2±，2叫做4的算术平方根，记作，－2叫做4的算术平方根的相反数。

（2）算术平方根的性质：① 正数的算术平方根有1个；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。

② 0≥；被开方数0a ≥。

③ )0(2≥=a a a ，)0(2≤-=a a a说明：平方根等于本身的数有0，算术平方根等于本身的数有0、1。

例1、下列式子正确的是（ ）．A ．0.6=-B 13=-C 6=±D ．5=-例20=，求x ＋y 的值．例3、已知y=x x -+-88+18，求代数式y x -的值。

【点击中考】1、一个正数的两个平方根的和是________． 一个正数的两个平方根的商是________2、已知21a -的平方根是3±，4是31a b +-的算术平方根，则2a b +的值是 。

3、化简：=-2)3(π 。

4、当______m 时，m -3有意义；当_______x 时，x -11有意义； 5、4的平方根是 。

6、下列说法中正确的是（ ）A ．9的平方根是3B 227、下列运算中，错误的是（ ）①1251144251= ②4)4(2±=- ③22222-=-=-④2095141251161=+=+ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个8、若a 、b 为实数，且471122++-+-=a a a b ，则b a +的值为（ ） A 1± B 4 C 3或5 D 59、计算：（1）0144.0-（2）232⎪⎭⎫ ⎝⎛±（3）410±（4）41613+-10、求下列各式的x 的值（1）22x －18＝0 （2）64(x-1)3＋125＝0 （3）()049121352=--x二、立方根1、如果一个数x 的立方等于a ，即x 3＝a ，则这个数x 叫做a 的立方根．记作“3a ”，读作“三次根号a ”， a 是被开方数，3是根指数。

2、立方根的性质：（1）任何数都有且只有一个立方根；（2）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；（3）33a a -=-。

3、求一个数的立方根的运算叫做开立方。

（1±（a ＋b ）；±≠-33b a ±（a －b ）；±=+3)(b a ±（a ＋b ））（2）求立方根的解题步骤：表示找立方开立方说明：①立方根等于本身的数有0、1、－1。

②平方根与立方根的区别：只有非负数有平方根，而任何数都有立方根；正数有两个平方根，而立方根只有一个。

例1、求下列各数的立方根（1）22710 （2）－0.512说明：①求立方根时，往往将小数化为分数，将带分数化为假分数。

②记住：（±2）3＝8 （±3）3＝27 （±4）3＝64 （±5）3＝125（±6）3＝216 （±10）3＝1000例2、求下列各式中的x（1）012583=+x （2）()343143=-x ； （3）02713=+x【点击中考】1、若某数的立方等于－0.027，则这个数的倒数是________．2、已知33y x -=，则x ＋y 的值为________．3、若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是________．4、若34x +=4＋x ，则x 的取值范围是 .5、36427--＋31613125.0+-6、一个正方体的体积变为原来的n 倍，它的棱长变为原来的_______倍?7、下列语句正确的是（ ）A ．64的立方根是2B ．－3是27的负立方根C ．216125的立方根是65± D ．2)1(-的立方根是1- 8、下列说法正确的是（ ）A ．一个数的立方根有两个，它们互为相反数B ．一个数的立方根与这个数同号C ．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根D ．一个数的立方根是非负数9、如果x 与3x 都有意义，则它们之间的关系是（ ）A ．3x x ＞ B.3x x ＜ C ．3x x ＞或3x x ＜ D ．以上都不对10、一个自然数a 的算术平方根为x ，那么a ＋1的立方根是（ ）A ．31+±aB ．32)1(+xC ．321+xD ．331+x11、求下列各式的x 的值（1）8)12(3-=-x （2）64(x －1)3＋125＝0三、实数1、实数按定义分：说明：常见的无理数有：（1）常数π；（2）开方开不尽的数，如2，34；（3）无限不循环小数，如0.1010010001…；（4）有理数加无理数等于无理数，如1－2；（5）一个无理数乘以一个不为0的有理数，如21π。

2、实数与数轴上点的关系：实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。

3、实数的性质（1）a ，b 互为相反数⇔a ＋b ＝0（2）a ，b 互为倒数⇔ab ＝1（3）任何实数的绝对值是非负数，即｜a ｜≥0；任何实数的平方是非负数，即a 2≥0；任何0≥。

例1 、在实数3.14，25，3.3333 0.412⋅⋅，0.10110111011110…，π，例2c ＋2｜＝c 的值为___________ 例3的值（ ）A 、是正数B 、是负数C 、是0D 、不能确定例4、已知实数 a 、b 在数轴上的位置如图所示：试化简：(a －b)2－｜a ＋b ｜＝________【点击中考】1、在下列各数：0.51525354…、10049、2.0 、π1、7、11131、327中，无理数的个数是 ( )A 、2B 、3C 、4D 、52、下列语句中正确的是（ ）A ．无理数是带根号的数，其根号下的数字开方开不尽；B ．8的立方根是±2；C ．实数与数轴上的点一一对应；D ．无限小数是无理数。

3、若03)2(12=-+-+-z y x ，则z y x ++＝ 。

4、化简：()()21212<<-+-x x x ＝ 。

5、若373-x 和343+y 互为相反数；试求x ＋y 的值．第十二章整式的乘除一、幂的运算1、同底数幂的乘法：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。

即：a m ²a n ＝a m ＋n2、幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即：（a m ）n ＝a mn3、积的乘方：先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。

即：（ab ）n =a n ³b n4、同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

即：a m ÷a n ＝a m －n （a ≠0）（1）零次幂的运算：任何一个不等于零的数的0次幂都等于1，即：)0(10≠=a a（2）负整数次幂的运算：任何不等于零的数的p -（p 是正整数）次幂，等于这个数的p 次幂的倒数。

即： pp a a 1=-（0≠a ）。

例1、m 16可以写成（ ）A ．m 8＋m 8B ．m 8²m 8C ．m 2²m 8D ．m 4²m 4例2、下列四个算式：①a 6²a 6＝2a 6；②m 3＋m 2＝m 5；③x 2²x ²x 8＝x 10；④y 2＋y 2＝y 4 ⑤a 3²a 3＝a 9 ⑥（a 3）2＝a 5 ⑦a 2＋a 3＝a 5 ⑧（a 2）3＝a 6．其中计算正确的有（• ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个例3、已知0(2)1x -=，则( ).A ．3x =B ．1x =C ．x 为任意数D ．2x ≠例4、比较大小：2100_______375．例5、计算：（1）（－a 2）5＋（－a 5）2（2）7x 4²x 5²（－x ）7＋5（x 4）4－（x 8）2（3）[（b －3a ）2]n+1²[－（3a －b ）2n+1]3（n 为正整数）（4）（x – y ）7 ÷（y – x ）6 +（– x – y ）3÷（x+y ）2例6、已知y x y x x a a a a +==+求,25,5的值．【点击中考】1、下列计算中，错误的是（ ）A ．5a 3－a 3＝4a 3B ．2m ²3n ＝6m ＋nC ．（a －b ）3²（b －a ）2＝（a －b ）5D ．－a 2²（－a ）3＝a 52、下列各式成立的是（ ）A ．（a 3）x ＝（a x ）3B ．（a n ）3＝a n+3C ．（a ＋b ）3＝a 3＋b 3D ．（－2a ）m ＝－2a m3、填空：（1）－22³（－2）2＝_______；（2）（x －y ）3²（y －x ）2²（y －x ）5＋[2（y －x ）9]2 ＝________.（3）已知２x ＋５y －３＝０，则4x ³32y ＝______；（4）（–2a ）5 ÷5（a 3）4－13（a 6）2÷(2a)3 ＝_______。