【中考数学二轮复习】_专题研究二__二次函数性质综合题类型二二次项系数不确定型

中考数学复习_专题 题型研究题型二 二次函数性质综合题 类型二 二次项系数不确定型针对演练1. (2013杭州)已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A 、B (点A 、B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且点A 、C 在一次函数y 2＝43x ＋n的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围．2. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2－2mx －2(m ≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B .(1)求点A ，B 的坐标；(2)若抛物线在－2≤x ≤3的区间上的最小值为－3，求m 的值； (3)设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，且该抛物线在－2＜x ＜－1这一段位于直线l 的上方，在2＜x ＜3这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式．第2题图3. 已知二次函数y＝kx2＋(3k＋2)x＋2k＋2.(1)若二次函数图象经过直线y＝x－1与x轴的交点，求此时抛物线的解析式；(2)点A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数图象上的两个点，若满足x1＋x2＝－3，试比较y1和y2的大小关系．4. (2012杭州)在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1，k)和点B(－1，－k)．(1)当k＝－2时，求反比例函数的解析式；(2)要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；(3)设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．考向2) 函数类型不确定型(杭州：2015.20，2014.23，2012.18)针对演练1. (2012杭州)当k分别取－1，1，2时，函数y＝(k－1)x2－4x＋5－k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由，若有，请求出最大值．2. (2015杭州)设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．(1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；(2)根据图象，写出你发现的一条结论；(3)将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y 3的图象，求函数y3的最小值．第2题图3. (2011杭州)设函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1(k为实数)．(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，画出这两个特殊函数的图象；(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明；(3)对任意负．实数k，当x＜m时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值．4. 已知函数y＝(k－1)x2＋x－k＋2(k为常数)．(1)求证：不论k为何值，该函数的图象与x轴总有交点；(2)当k为何值时，函数图象过原点，并指出此时函数图象与x轴的另一个交点；(3)试问该函数是否存在最小值－3？若存在，求出此时的k值；若不存在，请说明理由．5. 已知关于x 的函数y ＝kx 2＋(2k －1)x －2(k 为常数)． (1) 试说明：无论k 取什么值，此函数图象一定经过(－2，0)； (2) 在x >0时，若要使y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；(3) 若该函数图象为抛物线，将其向上平移2个单位后，平移前后图象、对称轴和y 轴围成的图形面积为4，求此时k 的值．6. 关于x 的函数y ＝2kx 2＋(1－k )x －1－k (k 是实数)，探索发现了以下四条结论：①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点； ②当k ＝－3时，函数图象的顶点坐标是(13，83)；③当k>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32；④当k ≠0时，函数图象总经过两个定点． 请你判断四条结论的真假，并说明理由．答案1. 解：∵点C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段OC 长为8，∴n ＝±8，①当n ＝8时，一次函数为y 2＝43x ＋8，当y ＝0时，x ＝－6，求得点A 的坐标为A (－6，0)，∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A ，B (点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且线段AB 长为16，∴这时抛物线开口向下，B (10，0)； 如解图①所示，抛物线的对称轴是x ＝2，由图象可知：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x ≥2；第1题解图①②当n ＝－8时，一次函数为y 2＝43x －8，当y ＝0时，x ＝6，求得点A 的坐标为(6，0)，∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A ，B (点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且线段AB 长为16，∴这时抛物线开口向上，B (－10，0)，如解图②所示，抛物线的对称轴是x ＝－2，由图象可知：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x ≤－2；第1题解图②综合以上两种情况可得：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x ≥2或x ≤－2.2. 解：(1)当x ＝0时，y ＝－2， ∴A (0，－2)，∵抛物线的对称轴为直线x ＝－－2m2m ＝1，∴B (1，0)；(2)易知抛物线y ＝mx 2－2mx －2的对称轴为x ＝1， 当m ＞0时，抛物线开口向上，∵－2≤x ≤3，∴y 最小值在x ＝1处取得，y 最小值＝－m －2， ∴－m －2＝－3，∴m ＝1， 当m ＜0时，抛物线开口向下，y 最小值在x ＝－2处取得，即8m －2＝－3，∴m ＝－18. 故m 的值为1或－18.(3)易得A 点关于对称轴直线x ＝1的对称点A ′(2，－2)， 则直线l 经过A′、B ，设直线l 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)， 则⎩⎨⎧2k ＋b ＝－2k ＋b ＝0， 解得⎩⎨⎧k ＝－2b ＝2，∴直线l 的解析式为y ＝－2x ＋2； ∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线在2＜x ＜3这一段与在－1＜x ＜0这一段关于对称轴对称， 则抛物线在－2＜x ＜－1这一段位于直线l 的上方，在－1＜x ＜0这一段位于直线l 的下方，∴抛物线与直线l 的交点的横坐标为－1，当x＝－1时，y＝－2×(－1)＋2＝4，∴抛物线过点(－1，4)，当x＝－1时，m＋2m－2＝4，解得m＝2，∴抛物线的解析式为y＝2x2－4x－2.3. 解：(1)∵直线y＝x－1与x轴的交点为(1，0)，y＝kx2＋(3k＋2)x＋2k ＋2经过点(1，0)，∴0＝k＋3k＋2＋2k＋2，∴6k＋4＝0，即k＝－2 3.∴抛物线的解析式为y＝－23x2＋23.(2)∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)是二次函数图象上两个点，∴y1＝kx21＋(3k＋2)x1＋2k＋2，y2＝kx22＋(3k＋2)x2＋2k＋2，两式相减，得y1－y2＝[kx21＋(3k＋2)x1＋2k＋2]－[kx22＋(3k＋2)x2＋2k＋2]＝k(x1＋x2)(x1－x2)＋(3k＋2)(x1－x2)＝－3k(x1－x2)＋(3k＋2)(x1－x2)＝2(x1－x2)，当x1＞x2时，y1＞y2；当x1＝x2时，y1＝y2；当x1＜x2时，y1＜y2；4. 解：(1)∵点A(1，k)在反比例函数图象上，∴设反比例函数为y＝k x，∵k＝－2，∴y＝－2 x；(2)要使得反比例函数是y随着x的增大而增大，∴k<0.而对于二次函数y＝kx2＋kx－k，其对称轴为x＝－1 2，要使二次函数满足上述条件，在k<0的情况下，则x必须在对称轴的左边，即x<－12时，才能使得y随着x的增大而增大；综上所述，则k<0，且x<－12时，反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大；(3)由(2)可得Q(－12，－54k)；第4题解图∵A点与B点关于原点对称，∴原点O平分AB.又∵直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半，∴OQ＝OA＝OB.作AD⊥OC，QC⊥OC，OQ＝CQ2＋OC2＝2516k2＋14.而OA＝AD2＋OD2＝1＋k2，∴14＋2516k2＝1＋k2，则k＝233或k＝－233.考向2 函数类型不确定型针对演练1. 解：k只有取－1时，才有最大值，当k＝1，函数为y＝－4x＋4，是一次函数，一次函数无最值，当k＝2，函数为y＝x2－4x＋3，为二次函数，而此函数开口向上，则无最大值；当k＝－1，函数为y＝－2x2－4x＋6，为二次函数，此函数开口向下，有最大值，变形为y＝－2(x＋1)2＋8，则当x＝－1时，y max＝8.2. 解：(1)当k＝0时，y＝－(x－1)(x＋3)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，则此函数为二次函数，它的图象与x轴交于点(1，0)、(－3，0)，与y轴的交点为(0，3)，顶点为(－1，4)，利用描点法所画函数的图象如解图：第2题解图(2)①图象都经过点(1，0)和点(－1，4)；②图象总交x轴于点(1，0)；③k取0和2时的函数图象关于点(0，2)中心对称；(答案不唯一，写出一条即可)(3)k＝2时，函数y2＝(x－1)2，此函数图象的顶点坐标为(1，0)，向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3图象的顶点坐标为(－3，－2)，则y3＝(x＋3)2－2，∴当x＝－3时，函数的最小值等于－2.3. 解：(1)如两个函数为y＝x＋1，y＝x2＋3x＋1，画出函数图象如解图，第3题解图(2)不论k取何值，函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的图象必过定点(0，1)，(－2，－1)，且与x轴至少有1个交点.证明如下：由y＝kx2＋(2k＋1)x＋1，得k(x2＋2x)＋(x－y＋1)＝0.当x2＋2x＝0且x－y＋1＝0，即x＝0，y＝1或x＝－2，y＝－1时，上式对任意实数k都成立，所以函数的图象必过定点(0，1)，(－2，－1)．又因为当k＝0时，函数y＝x＋1的图象与x轴有一个交点；当k≠0时，∵Δ＝(2k＋1)2－4k＝4k2＋1>0，所以函数图象与x轴有两个交点．所以函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的图象与x轴至少有1个交点.(3)只要写出m≤－1的数都可以.∵k<0，∴函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的图象在对称轴x＝－2k＋12k的左侧时，y随x的增大而增大.4. (1)证明：若k＝1时，函数为一次函数，与x轴有交点，若k≠1时，函数为二次函数y＝(k－1)x2＋x－k＋2Δ＝1－4(k－1)(2－k)＝(2k－3)2≥0，∴不论k为何值，该函数的图象与x轴总有交点；(2)解：∵函数y＝(k－1)x2＋x－k＋2过原点，∴－k＋2＝0，∴k＝2，∴y＝x2＋x，令y＝x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1，∴函数图象与x轴的另一个交点为(－1，0)；(3)解：①k－1＝0即k＝1时，函数y＝x＋1为一次函数，无最小值．②当k－1＞0即k＞1时函数有最小值，且最小值在函数顶点处取得．即4（k－1）（2－k）－14（k－1）＝－3，解得k＝3±152，均符合题意．故此时k的值为3±15 2.5. 解：(1)将x＝－2代入，得y＝k(－2)2＋(2k－1)·(－2)－2＝0，故不论k取何值，此函数图象一定经过点(－2，0).(2)①若k＝0，此函数为一次函数y＝－x－2，当x＞0时，y随x的增大而减小，∴k＝0符合题意．②若k≠0，此函数为二次函数，而图象一定经过(－2，0)、(0，－2)，∴要使当x＞0时，y随x的增大而减小，开口向下，需满足k＜0即可．综上，k的取值范围是k≤0.(3)由题意可知2×|2k－1－2k|＝4.解得k＝－12或k＝16.故此时k的值为－12或16.第5题解图6. 解：①假命题；理由：当k＝0时，y＝x－1为一次函数，与坐标轴只有两个交点；②真命题；理由：当k＝－3时，y＝－6x2＋4x＋2＝－6(x－13)2＋83，∴顶点坐标是(13，83)；③真命题；理由：当k>0时，令y＝0得：Δ＝(1－k)2－4×2k(－1－k)＝(3k＋1)2，∴x＝k－1±（3k＋1）4k，∴x1＝1，x2＝－12－12k，∵|x1－x2|＝32＋12k>32，∴函数图象截x轴所得的线段长度大于3 2；④真命题；理由：当k≠0时，y＝2kx2＋(1－k)x－1－k＝(2x2－x－1)k＋x－1，当2x2－x－1＝0时，y的值与k无关，此时x1＝1，x2＝－1 2；当x1＝1时，y1＝0；当x2＝－12时，y2＝－32，∴函数图象总经过两个定点(1，0)，(－12，－32)．。