二次函数的图像和性质测试题
湘教版九年级下册数学二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质测试题
湘教版九年级数学下册测试题测试题湘教版初中数学1.2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数)0y的图象和性质ax(2>=a1.填空：（1）y＝x2的图像是；开口向；对称轴是；顶点坐标是；（2）在抛物线y＝x2的对称轴左侧y随x的减小而；而在对称轴的右侧是y随着x的增大而；此时函数y＝x2当x＝时的值最是.2.若点A（-5，y1）、B（2，y2）都在y=2x2上，则y____2y（填“>”1或“<”）3.关于函数2y=的性质的叙述,错误的是( )．3xA．对称轴是y轴 B．顶点是原点C．当0x时,y随x的增大而增大 D．y有最大值>4.已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=x与y=x2的图象有可能是（）A．B．C．D．5.已知正方形的边长为ccm，面积为Scm2.(1)求S与c之间函数关系式；(2)画出图象；(3)根据图象，求出S＝1cm2时，正方形的边长；(4)根据图象，求出c取何值时，S≥4cm2.6.已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（－3，m）．（1）求a、m的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；（4）求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积初中生提高做题效率的方法厚薄读书法：复习课本要厚薄结合著名数学家华罗庚先生说:“书要能从薄读到厚,还要能从厚读到薄。
”这就是厚薄读书法。
我们在复习功课时,也可以用这种方法,具体来说分为“由薄到厚”和“由厚读薄”两个部分由薄到厚第一步要“由薄到厚”地复习课本。
这就是说,我们在复习过程中对书本中的某些原理、定律、公式,不仅应该记住它的结论,而且还应该思考一下,这个定律是怎样发现的,这个公式是怎样推导的。
在阅读过程中对书中的每个概念、原理和观点要有自己的理解,对自己不懂的地方,还要查阅参考资料,通过充实书本的有关内容,使自己获得比书本上内容更为丰富、更为深刻的认识和见解,也就是把书“越读越厚”。
北师大版九年级数学下册二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质同步练习题
2.2 二次函数的图象与性质第2课时 二次函数y =ax 2和y =ax 2+c 的图象与性质1.抛物线y=-3x 2+5的开口向________,对称轴是_______,顶点坐标是________,顶点是最_____点,所以函数有最________值是_____.2.抛物线y=4x 2-1与y 轴的交点坐标是_________,与x 轴的交点坐标是_____.3.把抛物线y=x 2向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数关系式为_______.4.抛物线y=4x 2-3是将抛物线y=4x 2,向_____平移______个单位得到的.5.抛物线y=ax 2-1的图像经过(4,-5),则a=_________.6.抛物线y=－3(2x 2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.7.在同一坐标系中，二次函数y=－21x 2，y=x 2，y=－3x 2的开口由大到小的顺序是______. 8.在同一坐标系中，抛物线y ＝4x 2,y ＝41x 2,y ＝-41 x 2的共同特点是( )A.关于y 轴对称，抛物线开口向上;B.关于y 轴对称，y 随x 的增大而增大 B.关于y 轴对称，y 随x 的增大而减小;D.关于y 轴对称，抛物线顶点在原点. 9.如图，函数y ＝ax 2与y ＝-ax+b 的图像可能是( ).10.求符合下列条件的抛物线y=ax 2-1的函数关系式: (1)通过点(-3,2);(2)与y=12x 2的开口大小相同,方向相反; (3)当x 的值由0增加到2时,函数值减少4.11..已知抛物线y=mx 2+n 向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x 2-1,求m,n 的值.北师大版九年级数学上册期中测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是 A.1 B.12C.13D.142. 关于方程x 2-2＝0的理解错误的是A.这个方程是一元二次方程B.方C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D.这个方程可以用公式法求解 3.下列说法正确的个数是①菱形的对角线相等 ②对角线互相垂直的四边形是菱形;③有两个角是直角的四边形是矩形 ④正方形既是菱形又是矩形⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分 A.1 B.2 C.3 D.4 4.方程x 2-3x+6＝0的根的情况是A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..C.无实数根D.不能确定5.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.下面有三个推断:①某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则“钉尖向上”的频率是0.616;②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上＂”的频率一定是0.620.其中合理的是A.①②B.②③C.①③D.①②③ 6.将一张正方形纸片按如图所示步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是7.现有三张质地大小完全相同的卡片，上面分别标有数字-2，-1，1，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再任意抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..率是A.23B.12C.13D.498.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13，对角线AC ＝10，若过点A 作AE ⊥BC 垂足为E ，则AE 的长为 A.8 B.6013 C.12013 D.240139.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为 A.5 B.4 C.342D.3410.如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE ＝EC ，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论:①△ADG ≌△FDG:②GB ＝2AG:③3∠GDE ＝45°④S △BEF ＝725,在以上4个结论中，正确的有乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分) 11.将分别标有“柠”“檬”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球不放回，再随机摸出球，两次摸出的球上的汉字能组成“柠幪”的概率是________.12.如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝2∠A ，若对角线BD ＝3，则菱形ABCD 的周长为________.13.桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片(不放回)，其数字记为P ，再随机摸出一张卡片，其数字记为q ，则关于的方程x 2+px+q ＝0有实数根的概率是________.14.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下: 由此可以估计油菜籽发芽的概率约为________.(精确到乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..0.1)15.一个两位数，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的27，若设个位数字为x ，则列出的方程为________.16.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分別在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝1，BE 与AF 相交于点G ，点为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为________.三、解答题(本题共7小题，共66分) 17.(8分)解方程:(1)2x 2-4x+1＝0 (2)(x+8)(x+1)＝-12乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..18.(8分)甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示.游戏规定:转动两个转盘停止后，指针必须指到某数字，否则重转(1)请用画树状图法或列表法列出所有可能的结果; (2)若指针所指的两个数字都是方程x2-5x+6＝0的解，则甲获胜若指针所指的两个数字都不是方程x2-5x+6＝0的解，则乙获胜.问他们两人谁获胜的概率大?请分析说明19.(10分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件村衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件. (1)若商场平均每天要盈利1200元，且让顺客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元?乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..(2)商场平均每天可能盈利1700元吗?请说明理由.20.(10分)如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC ＝2，过对角线BD 的中点O 的直线分別交AB 、CD 边于点E 、F. (1)求证:四边形BEDF 是平行四边形; (2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长.21.(10分)如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆園成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，国成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.求:(1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米?(2)能围成面积为200平方米的鸡场吗?乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..22.(10分)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律. (1)求每月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式; (2)若某月该茶叶专卖店销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x.23.(10分)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F. (1)求证:△BDF 是等腰三角形;(2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FC 交BD 于点O①判断四边形BFDC 的形状，并说明理由; ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长.乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..。
专题1.3 二次函数的图象与性质(二)【八大题型】(举一反三)(浙教版)(解析版)
专题1.3 二次函数的图象与性质（二）【八大题型】【浙教版】【题型1 利用二次函数的图象与性质比较函数值的大小】 (1)【题型2 利用二次函数的图象特征求参数的值或取值范围】 (4)【题型3 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数的值】 (6)【题型4 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数取值范围】 (9)【题型5 根据二次函数的性质求最值】 (11)【题型6 二次函数的对称性的运用】 (13)【题型7 二次函数的图象与一次函数图象共存问题】 (16)【题型8 利用二次函数的图象与系数的关系判断结论】 (19)【题型1利用二次函数的图象与性质比较函数值的大小】【例1】（2023春·天津滨海新·九年级校考期中）已知点A(−2,y1)，B(1,y2)，C(5,y3)在二次函数y=−3x2+k 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A．y1<y2<y3B．y3<y2<y1C．y3<y1<y2D．y1<y3<y2【答案】C【分析】根据题意可得二次函数y=−3x2+k的图象的对称轴为y轴，从而得到点A(−2,y1)关于对称轴的对称点为(2,y1)，再由当x>0时，y随x的增大而减小，即可求解．【详解】解：∵二次函数y=−3x2+k的图象的对称轴为y轴，∴点A(−2,y1)关于对称轴的对称点为(2,y1)，∵−3<0，∴当x>0时，y随x的增大而减小，∵1<2<5，∴y3<y1<y2．故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【变式1-1】（2023春·九年级单元测试）若点C(x1,m)、D(x2,n)在抛物线y=−2(x−3)2的图象上，且x1>x2 >3，则m与n的大小关系为______．【答案】m<n【分析】根据二次函数解析式，求得二次函数的对称轴，开口方向，再根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：由抛物线y=−2(x−3)2可得，a<0，开口向下，对称轴为x=3，∴当x>3时，y随x的增大而减小，又∵x1>x2>3，∴m<n故答案为：m<n【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质．【变式1-2】（2023春·福建漳州·九年级统考期末）已知点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)都在二次函数y=ax2−2ax−3a(a≠0)的图像上，若−1<x1<0,1<x2<2,x3>3，则下列关于y1，y2，y3三者的大小关系判断一定正确的是（）A．y1可能最大，不可能最小B．y3可能最大，也可能最小C．y3可能最大，不可能最小D．y2不可能最大，可能最小【答案】B【分析】求出函数图像的对称轴，与x轴的交点，分a>0和a<0两种情况，根据已知三点与对称轴的距离，结合开口方向分析即可．【详解】解：在y=ax2−2ax−3a(a≠0)中，=1，对称轴为直线x=−−2a2a令ax2−2ax−3a=0，解得：x1=−1，x2=3，∴函数图像与x轴交于(−1,0)，(3,0)，∵−1<x1<0,1<x2<2,x3>3，∴(x3,y3)离对称轴最远，(x2,y2)离对称轴最近，当a>0时，开口向上，∴y3>y1>y2；当a<0时，开口向下，∴y3<y1<y2；∴y2和y3可能最大，也可能最小，故选B．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是根据表达式求出对称轴和与x轴交点，利用性质进行分析．【变式1-3】（2023·浙江温州·校考三模）已知二次函数y =x 2−2x 的图象过A (a,y 1),B (2a,y 2)两点，下列选项正确的是（ ）A ．若a <0，则y 1>y 2B ．若0<a <23，则y 1<y 2C ．若23<a <1，则y 1<y 2D ．若a >1，则y 1>y 2【答案】C【分析】根据根据二次函数的解析式得到对称轴为直线x =1，再利用二次函数的性质对各项判断即可解答．【详解】解：∵二次函数y =x 2−2x 的图象过A (a,y 1),B (2a,y 2)两点，∴二次函数的顶点式为：y =x 2−2x =(x−1)2−1，∴当x <1时，y 随x 的增大而减小，当x >1时，y 随x 的增大而增大；∵a <0，∴2a <0，∴a >2a ，∴y 1<y 2，故A 错误；∵二次函数的顶点式为：y =x 2−2x =(x−1)2−1，∴抛物线的对称轴为直线x =1，若a 2a 2=1，∴解得：a =23，∴当a =23时，a 和2a 关于x =1对称，∴当0<a <23时，y 1>y 2；当23<a <1时，y 1<y 2，故B 错误，C 正确；当a >1时，y 随x 的增大而增大，∵a <2a ，∴y 1<y 2，故D 错误；故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴，掌握二次函数的性质是解题的关键．【题型2利用二次函数的图象特征求参数的值或取值范围】【例2】（2023·江苏苏州·模拟预测）若二次函数y=x2−2x−3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为___________．【答案】4【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=1，顶点为(1,−4)，由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m=4．【详解】解：∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为(1,−4)，∴顶点到x轴的距离为4，∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，∴m=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意，掌握求二次函数对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．【变式2-1】（2023·江苏南通·统考二模）若抛物线y=−x2+4x−n的顶点在x轴的下方，则实数n的取值范围是______．【答案】n>4【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，再利用顶点在x轴下方，即可求出n的范围．【详解】解：y=−x2+4x−n，化为顶点式为：y=−(x−2)2+4−n，∵4−n<0，∴n>4，故答案为：n>4．【点睛】本题考查了抛物线的顶点式解析式，解题关键是理解当顶点纵坐标小于0时，顶点位于x轴下方．【变式2-2】（2023·黑龙江大庆·大庆一中校考模拟预测）二次函数y=kx2−x−4k（k为常数且k≠0）的图象始终经过第二象限内的定点A．设点A的纵坐标为m，若该函数图象与y=m在1<x<3内没有交点，则k 的取值范围是______．【答案】0<k<1或−1<k<0【分析】先计算二次函数过两个定点，确定m=2，根据函数图象与y=m在1<x<3内没有交点，分k>0和k<0两种情况列不等式即可解答．【详解】解：∵y=kx2−x−4k=k(x2−4)−x，∴x2−4=0，∴x=±2，当x=2时，y=−2，当x=−2时，y=2，∴二次函数y=kx2−x−4k（k为常数且k≠0）的图象始终经过定点−2，2，2，−2，∴m=2，∵函数y=kx2−x−4k的图象与y=2在1<x<3内没有交点，∴分两种情况：①当k>0时，x=3时，y<2，即9k−3−4k<2，∴k<1，∴0<k<1，②当k<0时，当x=1时，y<2，即k−1−4k<2，∴k>−1，∴−1<k<0，综上所述，k的取值范围是0<k<1或−1<k<0，故答案为：0<k<1或−1<k<0．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，计算定点A的坐标．【变式2-3】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象过点(−1,0)和(0,−1)，则a+b+c的取值范围是（）A ．−2<a +b +c <0B ．−2<a +b +c <−1C ．−32<a +b +c <0D ．−32<a +b +c <−1【答案】A【分析】由函数图象的开口方向可知a >0，由抛物线与y 轴的交点判断c 的值，当x =1时，二次函数的值小于零，由此可求出a 的取值范围，将a +b +c 用a 表示即可得出答案．【详解】由图象开口向上，可得a >0，∵图象过点(0,−1)，∴c =−1，∵图象过点(−1,0)，∴a−b−1=0，∴b =a−1，∵对称轴在y 轴的右侧，∴当x =1时，y =a +b +c =a +a−1−1=2a−2<0，∴a <1，∴0<a <1，∴−2<2a−2<0，即−2<a +b +c <0，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函表达式系数符号的确定，熟练掌握知识点是解题的关键．【题型3 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数的值】【例3】（2023春·九年级单元测试）二次函数y =ax 2−4x +1有最小值−3，则 a 的值为（ ）A ．1B ．−1C ．±1D ．2【答案】A【分析】把二次函数y =ax 2−4x +1变成顶点式，根据二次函数的图象性质，得出结论．【详解】∵y=ax2−4x+1∴y=ax2−4x+1=ax−−4a+1∵二次函数y=ax2−4x+1有最小值−3,∴a>0−4a+1=−3∴a=1故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，把二次函数的一般式变成顶点式，求二次函数的最值，熟练掌握二次函数图象的相关性质是解本题的关键．【变式3-1】（2023春·浙江·九年级校联考期中）已知函数y=−x2+bx−3（b为常数）的图象经过点(−6,−3)．当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，则m的值为（）A．−2或−3+B．−2或−4C．−2或D．【答案】C【分析】将点(−6,−3)代入y=−x2+bx−3即可求得b的值，进而求得抛物线的最大值，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可．【详解】把(−6,−3)代入y=−x2+bx−3，得b=−6，∴y=−x2−6x−3，∵y=−x2−6x−3=−(x+3)2+6∴当x=−3时，y有最大值为6；①当−3<x≤0时，当x=0时，y有最小值为−3，当x=m时，y有最大值为y=−m2−6m−3∵y的最大值与最小值之和为2，∴−m2−6m−3+(−3)=2，∴m=−2或m=−4(舍去)。
二次函数测试题及答案
二次函数测试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是二次函数的一般形式？A. y = x + 2B. y = x^2 + 3x + 1C. y = 2x^3D. y = 1/x答案：B2. 二次函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的顶点坐标是：A. (-b, a)B. (-b/a, c)C. (-b/2a, 4ac - b^2/4a)D. (-b/2a, 4ac + b^2/4a)答案：C3. 如果二次函数y = ax^2 + bx + c的图像与x轴有两个交点，那么a、b、c之间的关系是：A. b^2 - 4ac > 0B. b^2 - 4ac < 0C. b^2 - 4ac = 0D. b^2 - 4ac ≠ 0答案：A二、填空题4. 二次函数y = -3x^2 + 6x - 5的顶点坐标是______。
答案：(1, -2)5. 如果二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，那么a的值是______。
答案：> 0三、解答题6. 已知二次函数y = 2x^2 - 4x + 3，求其图像与x轴的交点。
解：令y = 0，得到方程2x^2 - 4x + 3 = 0。
通过求解这个方程，我们可以得到x的值。
首先计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 2 * 3 = 16 - 24 = -8。
因为Δ < 0，所以这个二次方程没有实数解，即二次函数的图像与x轴没有交点。
7. 已知二次函数y = 3x^2 + 6x - 5，求其图像的对称轴。
解：二次函数y = ax^2 + bx + c的对称轴是x = -b/(2a)。
将a= 3, b = 6代入公式，得到对称轴为x = -6 / (2 * 3) = -1。
四、应用题8. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 0.5x^2 - 100x + 1000，其中x表示产品的数量。
人教版数学教材九年级上册《二次函数的图象和性质》综合测试题
《二次函数的图象和性质》综合检测题附参照答案一．选择题（每题 4 分，共 40 分）1、抛物线 y=x2-2x+1 的对称轴是（）A．直线 x=1B．直线 x=-1C．直线 x=2D．直线 x=-22、（2008 年武汉市）以下命题：①若 a b c0 ，则b24ac 0 ；②若 b a c ，则一元二次方程ax2bx c0 有两个不相等的实数根；③若 b2a3c ，则一元二次方程ax2bx c 0 有两个不相等的实数根；④若 b24ac0 ，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.此中正确的选项是（）．A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有①④ D．只有②③④．3、对于y2(x 3)2 2 的图象以下表达正确的选项是（）A．极点坐标为 (－3， 2)B．对称轴为 y=3C．当 x 3 时y随x增大而增大D．当 x 3 时y随x增大而减小4、（2008 年湖北省仙桃市潜江市江汉油田）如图，抛物线y ax 2bx c(a 0)的对称轴是直线 x 1，且经过点P（ 3，0），则 a b c 的值为（）A．0B．－ 1C．1D．2y3P–1O 13 x5、函数 y=ax2(a≠ 0)的图象经过点 (a，8)，则 a 的值为（）A．±2B．－2C．2D．36、自由落体公式 h= 1gt2(g 为常量 )， h 与 t 之间的关系是（）2A．正比率函数B．一次函数C．二次函数D．以上答案都不对7、以下结论正确的选项是（）A． y=ax2是二次函数B．二次函数自变量的取值范围是全部实数C．二次方程是二次函数的特例D．二次函数的取值范围是非零实数8、以下函数关系中，能够看作二次函数2（ a0 ）模型的是（）y ax bx cA．在必定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B．我国人口年自然增加率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D．圆的周长与圆的半径之间的关系9、对于随意实数 m，以下函数必定是二次函数的是（）A．y (m 1)2x2B．y (m 1)2x2C．y (m21)x 2D．y (m21) x 210、二次函数y=x2图象向右平移 3 个单位，获取新图象的函数表达式是（）A． y=x2+3B．y=x 2-3C． y=（x+3）2D．y=（x-3）2第Ⅱ卷（非选择题，共80 分）二、填空题（每题 4 分，共 40 分）11、某工厂第一年的利润是20 万元，第三年的利润是y 万元，与均匀年增加率x之间的函数关系式是。
人教版数学九年级上册_22.1《二次函数的图像和性质》测试题(含答案及解析)
二次函数的图像和性质测试题时间：90分钟总分：100题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.若二次函数y=x2−6x+9的图象经过A(−1,y1)，B(1,y2)，C(3+√3,y3)三点.则关于y1，y2，y3大小关系正确的是()A. y1>y2>y3B. y1>y3>y2C. y2>y1>y3D. y3>y1>y22.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，有下面四个结论：①abc>0；②a−b+c>0；③2a+3b>0；④c−4b>0其中，正确的结论是()A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①③④3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①b<0，c>0；②a+b+c<0；③方程的两根之和大于0；④a−b+c<0，其中正确的个数是()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2−bx的图象可能是()A. B.C. D.5.将抛物线y=−3x2平移，得到抛物线y=−3(x−1)2−2，下列平移方式中，正确的是()A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c−m=0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2−4ac<0；②abc>0；③a−b+c<0；④m>−2，其中，正确的个数有()A. 1B. 2C. 3D. 47.若抛物线y=x2−2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为()A. y=(x−2)2+3B. y=(x−2)2+5C. y=x2−1D. y=x2+48.二次函数y=2x2−3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是()A. 抛物线开口向下B. 抛物线经过点(2,3)C. 抛物线的对称轴是直线x=1D. 抛物线与x轴有两个交点9.在二次函数y=−x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而减少，则x的取值范围是()A. x<1B. x>1C. x<−1D. x>−110.直线y=52x−2与抛物线y=x2−12x的交点个数是()A. 0个B. 1个C. 2个D. 互相重合的两个二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.已知抛物线y=x2−(k+2)x+9的顶点在坐标轴上，则k的值为______．12.二次函数y=−x2+2x+2图象的顶点坐标是______．13.函数y=x2+mx−4，当x<2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是______ ．14.抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−5,4)，且对称轴是直线x=−2，则a+b+c=______ ．15.二次函数y=−2(x−1)2+5的图象的对称轴为______ ，顶点坐标为______ ．16.如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0)，Q两点关于它的对称轴x=1对称，则Q点的坐标为______ ．17.如图，抛物线C1：y=12x2经过平移得到抛物线C2：y=12x2+2x，抛物线C2的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是______ ．18.已知(−3,y1)，(4,y2)，(−1,y3)是二次函数y=x2−4x上的点，则y1，y2，y3从小到大用“<”排列是______．19.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴是直线x=−1，点B的坐标为(1,0).下面的四个结论：①AB=4；②b2−4ac>0；③ab<0；④a−b+c<0，其中正确的结论是______ (填写序号)．20.如图，抛物线y=ax2+bx+c过点(−1,0)，且对称轴为直线x=1，有下列结论：①abc<0；②10a+3b+c>0；③抛物线经过点(4,y1)与点(−3,y2)，则y1>y2；④无论a，b，c取,0)；⑤am2+bm+何值，抛物线都经过同一个点(−caa≥0，其中所有正确的结论是______ ．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.已知：二次函数图象的顶点坐标是(3,5)，且抛物线经过点A(1,3)．(1)求此抛物线的表达式；(2)如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．22.已知二次函数y=(m−2)x2+(m+3)x+m+2的图象过点(0,5)．(1)求m的值，并写出二次函数的解析式；(2)求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．23.已知函数y=−x2+(m−1)x+m(m为常数)．(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是______．A.0B.1C.2D.1或2(2)求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上．(3)当−2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．24.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(−1,0)和点C(0,3)，对称轴为直线x=1．(1)求该二次函数的关系式和顶点坐标；(2)结合图象，解答下列问题：①当−1<x<2时，求函数y的取值范围．②当y<3时，求x的取值范围．四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25.如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出点C和点D的坐标；(3)若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP=4S△COE，求P点坐标．注：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(−b2a ,4ac−b24a)(m2+1)=0有实数根．26.已知关于x的一元二次方程x2−(m+1)x+12(1)求m的值；(m2+1)的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图(2)先作y=x2−(m+1)x+12形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；(3)在(2)的条件下，当直线y=2x+n(n≥m)与变化后的图象有公共点时，求n2−4n的最大值和最小值．答案和解析【答案】 1. A 2. C 3. B 4. C 5. D6. B7. C8. D 9. B 10. C11. 4，−8，−2 12. (1,3) 13. m ≤−4 14. 415. x =1；(1,5) 16. (−2,0) 17. 418. y 2<y 3<y 1 19. ①②④ 20. ②④⑤21. 解：(1)设抛物线的解析式为y =a(x −3)2+5， 将A(1,3)代入上式得3=a(1−3)2+5，解得a =−12， ∴抛物线的解析式为y =−12(x −3)2+5， (2)∵A(1,3)抛物线对称轴为：直线x =3 ∴B(5,3)，令x =0，y =−12(x −3)2+5=12，则C(0,12)， △ABC 的面积=12×(5−1)×(3−12)=5．22. 解：(1)把(0,5)代入y =(m −2)x 2+(m +3)x +m +2得m +2=5， 解得m =3所以二次函数解析式为y =x 2+6x +5； (2)因为y =x 2+6x +5=(x +3)2−4，所以此二次函数图象的顶点坐标为(−3,−4)，对称轴为直线x =−3． 23. D24. 解：(1)根据题意得{a −b +c =0c =3−b2a =1，解得{a =−1b =2c =3， 所以二次函数关系式为y =−x 2+2x +3，因为y =−(x −1)2+4，所以抛物线的顶点坐标为(1,4)；(2)①当x =−1时，y =0；x =2时，y =3； 而抛物线的顶点坐标为(1,4)，且开口向下， 所以当−1<x <2时，0<y ≤4；②当y =3时，−x 2+2x +3=3，解得x =0或2， 所以当y <3时，x <0或x >2．25. 解：(1)由点A(−1,0)和点B(3,0)得{−9+3b +c =0−1−b+c=0，解得：{b=2，(2)令x =0，则y =3， ∴C(0,3)，∵y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4， ∴D(1,4)；(3)设P(x,y)(x >0,y >0)，S △COE =12×1×3=32，S △ABP =12×4y =2y ，∵S △ABP =4S △COE ，∴2y =4×32， ∴y =3，∴−x 2+2x +3=3，解得：x 1=0(不合题意，舍去)，x 2=2， ∴P(2,3)．26. 解：(1)对于一元二次方程x 2−(m +1)x +12(m 2+1)=0，△=(m +1)2−2(m 2+1)=−m 2+2m −1=−(m −1)2， ∵方程有实数根， ∴−(m −1)2≥0， ∴m =1．(2)由(1)可知y =x 2−2x +1=(x −1)2， 图象如图所示：平移后的解析式为y =−(x +2)2+2=−x 2−4x −2．(3)由{y =2x +n y =−x 2−4x −2消去y 得到x 2+6x +n +2=0， 由题意∆≥0，∴36−4n −8≥0， ∴n ≤7，∵n ≥m ，m =1， ∴1≤n ≤7， 令，∴n =2时，y′的值最小，最小值为−4， n =7时，y′的值最大，最大值为21， ∴n 2−4n 的最大值为21，最小值为−4．1. 解：二次函数对称轴为直线x=−−62×1=3，3−(−1)=4，3−1=2，3+√3−3=√3，∵4>2>√3，∴y1>y2>y3．故选A．先求出二次函数的对称轴，再求出点A、B、C到对称轴的距离，然后根据二次函数增减性判断即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性以及增减性，确定出各点到对称轴的距离的大小是解题的关键．2. 解：∵抛物线开口向上，∴a>0；∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x=−b2a>0，∴b<0；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c<0，∴abc>0，所以①正确；∵x=−1时，y>0，∴a−b+c>0，所以②正确；∵x=−b2a =13，∴2a+3b=0，所以③错误；∵x=2时，y>0，∴4a+2b+c>0，把2a=−3b代入得−6b+2b+c>0，∴c−4b>0，所以④正确．故选：C．根据抛物线开口方向得到a>0；根据对称轴得到x=−b2a>0，则b<0；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c<0，则abc>0，可判断①正确；当自变量为−1时对应的函数图象在x轴上方，则a−b+c>0，可判断②正确；根据抛物线对称轴方程得到x=−b2a =13，则2a+3b=0，可判断③错误；当自变量为2时对应的函数图象在x轴上方，则4a+2b+c>0，把2a=−3b代入可对④进行判断．本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，当a>0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=--b2a；抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)．3. 解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线对称轴x>0，且抛物线与y轴交于正半轴，∴b>0，c>0，故①错误；>0，即x1+x2>0，故③正确；由对称轴x>0，可知x1+x22由可知抛物线与x轴的左侧交点的横坐标的取值范围为：−1<x<0，∴当x=−1时，y=a−b+c<0，故④正确．故选：B．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号与抛物线开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点是关键．4. 解：A、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a>0，b>0；而对于抛物线>0，应在y轴的右侧，故不合题意，图形错误；y=ax2−bx来说，对称轴x=b2aB、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a<0，b>0；而对于抛物线y=ax2−bx<0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误；来说，对称轴x=b2aC、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a>0，b>0；而对于抛物线y=ax2−bx>0，应在y轴的右侧，故符合题意；来说，图象开口向上，对称轴x=b2aD、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a>0，b>0；而对于抛物线y=ax2−bx 来说，图象开口向下，a<0，故不合题意，图形错误；故选：C．首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．5. 解：∵y=−3x2的顶点坐标为(0,0)，y=−3(x−1)2−2的顶点坐标为(1,−2)，∴将抛物线y=−3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y=−3(x−1)2−2．故选：D．找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．6. 解：如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2−4ac>0，故①错误；∵图象开口向上，∴a>0，∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号，∴b<0，∵图象与y轴交于x轴下方，∴c<0，∴abc>0，故②正确；当x=−1时，a−b+c>0，故此选项错误；∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标纵坐标为：−2，故二次函数y=ax2+bx+c向上平移小于2个单位，则平移后解析式y=ax2+bx+c−m与x轴有两个交点，此时关于x的一元二次方程ax2+bx+c−m=0有两个不相等的实数根，故④正确．故选：B．直接利用抛物线与x轴交点个数以及抛物线与方程之间的关系、函数图象与各系数之间关系分析得出答案．此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确把握二次函数与方程之间的关系是解题关键．7. 解：将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，这个相当于把抛物线向左平移有关单位，再向下平移3个单位，∵y=(x−1)2+2，∴原抛物线图象的解析式应变为y=(x−1+1)2+2−3=x2−1，故答案为C．思想判定出抛物线的平移规律，根据左加右减，上加下减的规律即可解决问题．本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是理解坐标系的平移和抛物线的平移是反方向的，记住左加右减，上加下减的规律，属于中考常考题型．8. 解：A、a=2，则抛物线y=2x2−3的开口向上，所以A选项错误；B、当x=2时，y=2×4−3=5，则抛物线不经过点(2,3)，所以B选项错误；C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；D、当y=0时，2x2−3=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D选项正确．故选D．根据二次函数的性质对A、C进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B进行判断；利用方程2x2−3=0解的情况对D进行判断．本题考查了二次函数的性质：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，它的顶点坐标是(−b2a ,4ac−b24a)，对称轴为直线x=−b2a，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质：当a>0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上，x<−b2a时，y随x的增大而减小；x>−b2a时，y随x的增大而增大；当a<0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下，x<−b2a 时，y随x的增大而增大；x>−b2a时，y随x的增大而减小．9. 解：y=−x2+2x+1=−(x−1)2+2，抛物线的对称轴为直线x=1，∵a=−1<0，∴当x>1时，y随x的增大而减少．故选B．先配方得到抛物线的对称轴为直线x=1，然后根据二次函数的性质求解．本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(−b2a ,4ac−b24a)，对称轴直线x=−b2a，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质：当a>0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上，x<−b2a时，y随x的增大而减小；x>−b2a 时，y随x的增大而增大；x=−b2a时，y取得最小值4ac−b24a，对称即顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下，x<−b2a 时，y随x的增大而增大；x>−b2a时，y随x的增大而减小；x=−b2a时，y取得最大值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最高点．10. 解：直线y=52x−2与抛物线y=x2−12x的交点求法是：令52x−2=x2−12x，∴x2−3x+2=0，∴x1=1，x2=2，∴直线y=52x−2与抛物线y=x2−12x的个数是2个．故选C．根据直线与二次函数交点的求法得出一元二次方程的解，即可得出交点个数．此题主要考查了一元二次方程的性质，根据题意得出一元二次方程的解的个数是解决问题的关键．11. 解：当抛物线y=x2−(k+2)x+9的顶点在x轴上时，△=0，即△=(k+2)2−4×9=0，解得k=4或k=−8；当抛物线y=x2−(k+2)x+9的顶点在y轴上时，x=−b2a =k+22=0，解得k=−2．故答案为：4，−8，−2．由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x轴上与y轴上两种情况进行讨论．本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．12. 解：∵y=−x2+2x+2=−(x2−2x+1)+3=−(x−1)2+3，故顶点的坐标是(1,3).故填空答案：(1,3)．此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出其顶点的坐标．求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．13. 解：∵x<2时，y随x的增大而减小，∴−m2×1≥2，∴m≤−4．故答案为：m≤−4．根据二次函数的性质，二次函数的顶点的横坐标不小于2列式计算即可得解．本题考查了二次函数的性质，熟记性质，根据顶点的横坐标列出不等式是解题的关键．14. 解：∵对称轴方程为x=−2，∴−b2a=−2，整理可得b=4a，∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−5,4)，∴4=25a−5b+c，把b=4a代入可得，4=25a−20a+c，解得c=4−5a，∴抛物线解析式为y=ax2+4ax+4−5a，当x=1时，则有a+b+c=a+4a+4−5a=4，故答案为：4．把A点坐标代入抛物线解析式结合对称轴方程可用a分别表示出b和c，则可用a表示出抛物线解析式，再令x=1代入可求得y的值，即a+b+c的值．本题主要考查二次函数的解析式，分别用a表示出b和c，得出抛物线解析式是解题的关键．15. 解：∵y=−2(x−1)2+5，∴抛物线顶点坐标为(1,5)，对称轴为x=1，故答案为：x=1，(1,5)．由抛物线解析式可求得其顶点坐标及对称轴．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−ℎ)2+k中，对称轴为x=ℎ，顶点坐标为(ℎ,k)．16. 解：∵抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0)，Q两点关于它的对称轴x=1对称，∴P，Q两点到对称轴x=1的距离相等，∴Q点的坐标为：(−2,0)．故答案为：(−2,0)．直接利用二次函数的对称性得出Q点坐标即可．此题主要考查了二次函数的性质，正确利用函数对称性得出答案是解题关键．17. 解：抛物线C1：y=12x2的顶点坐标为(0,0)，∵y=12x2+2x=12(x+2)2−2，∴平移后抛物线的顶点坐标为(−2,2)，对称轴为直线x=−2，当x=−2时，y=12×(−2)2=2，∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积为：12×(2+2)×2=4，故答案为：4．确定出抛物线y=12x2+2x的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键．18. 解：y1=(−3)2+4×3=21，y2=42−4×4=0，y3=(−1)2+4×1=5，∴y2<y3<y1，故答案为：y2<y3<y1，可分别求出y1、y2、y3的值后，再进行比较大小．本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是求出各点的函数值，本题属于基础题型．19. 解：∵抛物线对称轴是直线x=−1，点B的坐标为(1,0)，∴A(−3,0)，∴AB=4，故选项①正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，故选项②正确；∵抛物线开口向上，∴a>0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，∴ab>0，故选项③错误；当x=−1时，y=a−b+c此时最小，为负数，故选项④正确；故答案为：①②④．利用二次函数对称性以及结合b2−4ac的符号与x轴交点个数关系，再利用数形结合分别分析得出答案．此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确判断a−b+c的符号是解题关键．20. 解：由图象可知，抛物线开口向上，则a>0，顶点在y轴右侧，则b<0，抛物线与y轴交于负半轴，则c<0，∴abc>0，故①错误；∵抛物线y=ax2+bx+c过点(−1,0)，且对称轴为直线x=1，∴抛物线y=ax2+bx+c过点(3,0)，∴当x=3时，y=9a+3b+c=0，∵a>0，∴10a+3b+c>0，故②正确；∵对称轴为x=1，且开口向上，∴离对称轴水平距离越大，函数值越大，∴y1<y2，故③错误；当x=−ca 时，y=a⋅(−ca)2+b⋅(−ca)+c=c2−bc+aca=c(a−b+c)a，∵当x=−1时，y=a−b+c=0，∴当x=−ca 时，y=a⋅(−ca)2+b⋅(−ca)+c=0，即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点(−ca,0)，故④正确；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=1对应的函数值为y=a+b+c，又∵x=1时函数取得最小值，∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，∵b=−2a，∴am2+bm+a≥0，故⑤正确；故答案为：②④⑤．由开口方向、对称轴及抛物线与y轴交点位置可判断①；由x=3时的函数值及a>0可判断②；由抛物线的增减性可判断③；由当x=−ca 时，y=a⋅(−ca)2+b⋅(−ca)+c=c(a−b+c)a且a−b+c=0可判断④；由x=1时函数y取得最小值及b=−2a可判断⑤．本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．21. (1)设顶点式y=a(x−3)2+5，然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；(2)利用抛物线的对称性得到B(5,3)，再确定出C点坐标，然后根据三角形面积公式求解．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．22. (1)把已知点的坐标代入y =(m −2)x 2+(m +3)x +m +2可求出m 的值，从而得到抛物线解析式；(2)把(1)中的解析式配成顶点式，从而得到二次函数图象的顶点坐标和对称轴．本题考查了在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.也考查了二次函数的性质．23. 解：(1)∵函数y =−x 2+(m −1)x +m(m 为常数)，∴△=(m −1)2+4m =(m +1)2≥0，则该函数图象与x 轴的公共点的个数是1或2，故选D ；(2)y =−x 2+(m −1)x +m =−(x −m−12)2+(m+1)24， 把x =m−12代入y =(x +1)2得：y =(m−12+1)2=(m+1)24， 则不论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数y =(x +1)2的图象上；(3)设函数z =(m+1)24，当m =−1时，z 有最小值为0；当m <−1时，z 随m 的增大而减小；当m >−1时，z 随m 的增大而增大，当m =−2时，z =14；当m =3时，z =4，则当−2≤m ≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤z ≤4．(1)表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；(2)将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可；(3)根据m 的范围确定出顶点纵坐标范围即可．此题考查了抛物线与x 轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．24. (1)把A 点和C 点坐标代入y =ax 2+bx +c 得到两个方程，再加上对称轴方程即可得到三元方程组，然后解方程组求出a 、b 、c 即可得到抛物线解析式，再把解析式配成顶点式即可得到顶点坐标；(2)①先分别计算出x 为−1和2时的函数值，然后根据二次函数的性质写出对应的函数值的范围；②先计算出函数值为3所对应的自变量的值，然后根据二次函数的性质写出y <3时，x 的取值范围．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.也考查了二次函数的性质．25. (1)将A 、B 的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b 、c 的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；(2)令x =0，可得C 点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C 的坐标；(3)设P(x,y)(x >0,y >0)，根据题意列出方程即可求得y ，即得D 点坐标．此题主要考查了二次函数解析式的确定、抛物线的顶点坐标求法，图形面积的求法等知识，根据S△ABP=4S△COE列出方程是解决问题的关键．26. (1)由题意△≥0，列出不等式，解不等式即可；(2)画出翻折.平移后的图象，根据顶点坐标即可写出函数的解析式；(3)首先确定n的取值范围，利用二次函数的性质即可解决问题；本题考查抛物线与x轴的交点、待定系数法、翻折变换、平移变换、二次函数的最值问题等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．。
(完整版)二次函数的图像和性质测试题
二次函数的图像和性质测验姓名：___________得分：__________一、选择题（每小题3分，共45分）：1、下列函数是二次函数的有（ ）12)5(;)4();3()3(;2)2(;1)1(222+=++=-==-=x y c bx ax y x x y xy x y (6) y=2(x+3)2－2x 2A 、1个；B 、2个；C 、3个；D 、4个 2. y=(x －1)2＋2的对称轴是直线（ ）A ．x=－1B ．x=1C ．y=－1D ．y=1 3. 抛物线()12212++=x y 的顶点坐标是（ ）A ．（2，1）B ．（-2，1）C ．（2，-1）D ．（-2，-1） 4. 函数y=-x 2-4x+3图象顶点坐标是（ ）A.（2，-1）B.（-2，1）C.（-2，-1）D.（2， 1）5．已知二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ）A ． 0或2B ． 0C ． 2D ．无法确定6．函数y=2x 2-3x+4经过的象限是（ ）A.一、二、三象限B.一、二象限C.三、四象限D.一、二、四象限7．已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图5所示，有下列结论： ①0abc >；②a+b+c>0③a-b+c<0；；其中正确的结论有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、已知二次函数213x y -=、2231x y -=、2323x y =，它们的图像开口由小到大的顺序是（ ）A 、321y y y <<B 、123y y y <<C 、231y y y <<D 、132y y y <<9、与抛物线y=－12x 2+3x －5的形状、开口方向都相同，只有位置不同的抛物线是（ ） (A) y = x 2+3x －5 (B) y=－12x 2+2x (C) y =12x 2+3x －5 (D) y=12x 210．正比例函数y ＝kx 的图象经过二、四象限，则抛物线y ＝kx 2－2x ＋k 2的大致图象是（ ）11．把二次函数122--=x x y 配方成顶点式为（ ）A ．2)1(-=x yB ． 2)1(2--=x yC ．1)1(2++=x yD ．2)1(2-+=x y-1Ox =1y图512．对于抛物线21(5)33y x =--+，下列说法正确的是（ ）A ．开口向下，顶点坐标(53)，B ．开口向上，顶点坐标(53)，C ．开口向下，顶点坐标(53)-，D ．开口向上，顶点坐标(53)-，13、若A （-4，y 1），B （-3，y 2），C （1，y 3）为二次函数y=x 2+4x-5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A 、y 1＜y 2＜y 3B 、y 2＜y 1＜y 3C 、y 3＜y 1＜y 2D 、y 1＜y 3＜y 214．抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( ) （Ａ）23(1)2y x =-- （Ｂ）23(1)2y x =+- （C ）23(1)2y x =++ （D ）23(1)2y x =-+ 15．在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（ ）二、填空题：（每空1分共40分）1、抛物线21(2)43y x =++可以通过将抛物线y ＝ 向 平移____ 个单位、再向平移 个单位得到。
二次函数经典测试题及答案
二次函数经典测试题及答案一、选择题1．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，给出以下结论：①abc ＜0；②3a +c ＝0；③ax 2+bx ≤a +b ；④若M （﹣0.5，y 1）、N （2.5，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＜y 2．其中正确的是（ ）A ．①③④B ．①②3④C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】【分析】 根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：①由图象可知：a ＜0，c ＞0， 由对称轴可知：2b a -＞0， ∴b ＞0，∴abc ＜0，故①正确；②由对称轴可知：2b a -＝1， ∴b ＝﹣2a ，∵抛物线过点（3，0），∴0＝9a+3b+c ，∴9a ﹣6a+c ＝0，∴3a+c ＝0，故②正确；③当x ＝1时，y 取最大值，y 的最大值为a+b+c ，当x 取全体实数时，ax 2+bx+c≤a+b+c ，即ax 2+bx≤a+b ，故③正确；④（﹣0.5，y 1）关于对称轴x ＝1的对称点为（2.5，y 1）：∴y 1＝y 2，故④错误；故选：C ．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．2．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b+＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝222ax bx +，且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②④C ．②⑤D ．②③⑤【答案】D【解析】【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【详解】解：抛物线的开口向下，则a ＜0；抛物线的对称轴为x=1，则-2b a=1，b=-2a ∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0；由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标，不是最大值∴+a b ＞2am bm +（故③正确）：b ＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc ＜0 （故①错误）由图知：当x=-1时，y ＜0；即a-b+c ＜0，b ＞a+c ；（故④错误）⑤若211ax bx +＝222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=211ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1-x 2)=a(x 1+x 2)（x 1-x 2）+b(x 1-x 2)= （x 1-x 2）[a(x 1+x 2)+b]= 0∵1x ≠2x∴a(x 1+x 2)+b=0∴x 1+x 2=2b a a a-=-=2 （故⑤正确） 故选D ．考点：二次函数图像与系数的关系.3．抛物线y ＝-x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝-1．若关于x 的一元二次方程-x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ）A ．-12＜t ≤3B ．-12＜t ＜4C ．-12＜t ≤4D ．-12＜t ＜3【答案】C【解析】【分析】 根据给出的对称轴求出函数解析式为y ＝－x 2−2x ＋3，将一元二次方程－x 2＋bx ＋3−t ＝0的实数根看做是y ＝－x 2−2x ＋3与函数y ＝t 的交点，再由﹣2＜x ＜3确定y 的取值范围即可求解.【详解】解：∵y ＝－x 2＋bx ＋3的对称轴为直线x ＝－1，∴b ＝−2，∴y ＝－x 2−2x ＋3，∴一元二次方程－x 2＋bx ＋3−t ＝0的实数根可以看做是y ＝－x 2−2x ＋3与函数y ＝t 的交点，∵当x ＝−1时，y ＝4；当x ＝3时，y ＝－12，∴函数y ＝－x 2−2x ＋3在﹣2＜x ＜3的范围内－12＜y≤4，∴－12＜t≤4，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键．4．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点；②方程()200++=≠ax bx c a 的解为0x =或4；③0a b c -+<；④当04x <<时，20ax bx c ++<；⑤当2x <时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 根据题意，求得,,a b c ，根据二次函数的图像和性质，结合选项进行逐一分析，即可判断.【详解】由题可知22b a-=，与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，则另一个交点坐标为()0,0， 故可得1640a b c ++=，0c， 故可得4,0a b c -==①因为0c ，故①正确；②因为二次函数过点()()0,0,4,0，故②正确；③当1x =-时，函数值为0a b c -+<，故③正确；④由图可知，当04x <<时，0y <，故④正确；⑤由图可知，当2x <时，y 随x 增大而减小，故⑤错误；故选：D.【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，涉及二次函数的增减性，属综合中档题.5．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜x ＜1B ．﹣3＜x ＜﹣1C ．x ＜1D ．﹣3＜x ＜1【答案】D【解析】【分析】 根据已知条件求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，即可得到答案.【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，∴抛物线与x 轴的另一交点坐标是（﹣3，0），∴当y ＞0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1．所以答案为：D ．【点睛】此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x 轴的一个交点即可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标.6．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a ﹣b+c ，则P 的取值范围是( )A ．﹣4＜P ＜0B ．﹣4＜P ＜﹣2C ．﹣2＜P ＜0D ．﹣1＜P ＜0【答案】A【解析】【分析】【详解】 解:∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0．∵对称轴在y 轴的左边，∴b 2a-＜0．∴b ＞0． ∵图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b ﹣2=0． ∴a=2﹣b ，b=2﹣a ．∴y=ax 2+（2﹣a ）x ﹣2．把x=﹣1代入得：y=a ﹣（2﹣a ）﹣2=2a ﹣4，∵b ＞0，∴b=2﹣a ＞0．∴a ＜2．∵a ＞0，∴0＜a ＜2．∴0＜2a ＜4．∴﹣4＜2a ﹣4＜0，即﹣4＜P ＜0．故选A ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．7．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，DC BC ⊥，4cm DC =，6cm BC =，3cm AD = ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2cm /s 的速度沿折线BA AD DC --运动到点C ，点Q 以1cm/s 的速度沿BC 运动到点C ，设P ，Q 同时出发s t 时，BPQ ∆的面积为2cm y ，则y 与t 的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】分三种情况求出y 与t 的函数关系式. 当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ；当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时；当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时.即可得出正确选项．【详解】解：作AE ⊥BC 于E ，根据已知可得，AB 2=42+（6-3）2，解得，AB=5cm ．下面分三种情况讨论:当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ，21442255y t t t ==,y 是t 的二次函数.最大面积= 5 cm 2; 当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时，1422y t t =⨯=, y 是t 的一次函数且最大值=21448cm 2⨯⨯=; 当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时，()211226,2y t t t t =⋅-=-+y 是t 的二次函数 故符合y 与t 的函数图象是B ．故选：B ．【点睛】 此题考查了函数在几何图形中的运用.解答本题的关键在于分类讨论求出函数解析式，然后进行判断.8．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax 2+bx 与y=bx+a 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题解析：A 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，对称轴x=﹣2b a＜0，应在y 轴的左侧，故不合题意，图形错误． B 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＜0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．C 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象开口向下，对称轴x=﹣2b a位于y 轴的右侧，故符合题意， D 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象开口向下，a ＜0，故不合题意，图形错误．故选C ．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．9．小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＞0，②abc ＜0，③a -b +c ＞0，④2b ＞4a c ，⑤2a =－2b ，其中正确结论是（ ）．A ．①②④B ．②③④C ．③④⑤D ．①③⑤【答案】C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由抛物线交y 轴于负半轴，则c<0，故①错误；②由抛物线的开口方向向上可推出a>0；∵对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=2b a ->0， 又∵a>0，∴b<0；由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c<0，故abc>0，故②错误；③结合图象得出x=−1时，对应y 的值在x 轴上方，故y>0，即a−b+c>0，故③正确； ④由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2−4ac>0，故④正确；⑤由图象可知：对称轴为x=2b a -=12则2a=−2b ，故⑤正确；故正确的有：③④⑤．故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件．10．如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连接CF ，则△CEF 面积的最小值是（ ）A ．16B ．15C ．12D ．11【答案】B【解析】【分析】 过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．【详解】解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ，∴△FEH ∽△EBA ， ∴ ,HF HE EF AE AB BE == G 为BE 的中点，1,2FE GE BE ∴== ∴ 1,2HF HE EF AE AB BE === 设AE=x ， ∵AB 8,4,AD ==∴HF 1,4,2x EH == ,DH AE x ∴== CEF DHFC CED EHF S S S S ∆∆∆∴=+-11111(8)8(4)422222x x x x =++⨯--⨯• 2141644x x x x =+--- 2116,4x x =-+ ∴当12124x -=-=⨯ 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=⨯-+= 故选：B ．【点睛】本题通过构造K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键．11．抛物线y ＝ax 2+bx+c 的顶点为(﹣1，3)，与x 轴的交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为( )①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m ＜n ；②c ＝a+3；③a+b+c ＜0；④方程ax 2+bx+c ＝3有两个相等的实数根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】 试题分析：由抛物线与x 轴有两个交点，可知b 2-4ac ＞0，所以①错误；由抛物线的顶点为D （-1，2），可知抛物线的对称轴为直线x=-1，然后由抛物线与x 轴的一个交点A 在点（-3，0）和（-2，0）之间，可知抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，因此当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0，所以②正确；由抛物线的顶点为D （-1，2），可知a-b+c=2，然后由抛物线的对称轴为直线x=2b a=-1，可得b=2a ，因此a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确；由于当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，因此方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确．故选C ．考点：二次函数的图像与性质12．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m （am+b ）+b ＜a （m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 【答案】B【解析】【分析】【详解】解：∵抛物线和x 轴有两个交点， ∴b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x ﹣1，和x 轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间， ∴抛物线和x 轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间， ∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a ﹣2b+c ＞0， ∴4a+c ＞2b ，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c ＜0， ∴2a+2b+2c ＜0， ∵b=2a ，∴3b ，2c ＜0，∴③正确； ∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1， ∴y=a ﹣b+c 的值最大，即把（m ，0）（m≠0）代入得：y=am 2+bm+c ＜a ﹣b+c ， ∴am 2+bm+b ＜a ，即m （am+b ）+b ＜a ，∴④正确； 即正确的有3个， 故选B ．考点：二次函数图象与系数的关系13．二次函数2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当12x =-时，与其对应的函数值0y >．有下列结论：①0abc >；②2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；③0m <203n +<．其中，正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解． 【详解】∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2 ∴抛物线的对称轴是：x=-2b a =12；∴a 、b 异号，且b=-a ； ∵当x=0时y=c=-2 ∴c 0<∴abc >0，故①正确；∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t ∴2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；故②正确； ∵b=-a ，c=-2∴二次函数解析式：2-a -2=y ax x ∵当12x =-时，与其对应的函数值0y >．∴3204a ->，∴a 83>； ∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m 和n ， ∴m=n=2a-2， ∴m+n=4a-4203>；故③错误 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量x 与函数值y 的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键．14．若用“*”表示一种运算规则，我们规定：a *b ＝ab ﹣a +b ，如：3*2＝3×2﹣3+2＝5．以下说法中错误的是（ ）A ．不等式（﹣2）*（3﹣x ）＜2的解集是x ＜3B ．函数y ＝（x +2）*x 的图象与x 轴有两个交点C ．在实数范围内，无论a 取何值，代数式a *（a +1）的值总为正数D ．方程（x ﹣2）*3＝5的解是x ＝5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中所给的运算法则列出不等式，解不等式即可判定选项A ；根据题目中所给的运算法则求得函数解析式，由此即可判定选项B ；根据题目中所给的运算法则可得a *（a +1）＝a （a +1）﹣a +（a +1）＝a 2+a +1＝（a +12）2+34＞0，由此即可判定选项C ；根据题目中所给的运算法则列出方程，解方程即可判定选项D. 【详解】∵a *b ＝ab ﹣a +b ，∴（﹣2）*（3﹣x ）＝（﹣2）×（3﹣x ）﹣（﹣2）+（3﹣x ）＝x ﹣1，∵（﹣2）*（3﹣x）＜2，∴x﹣1＜2，解得x＜3，故选项A正确；∵y＝（x+2）*x＝（x+2）x﹣（x+2）+x＝x2+2x﹣2，∴当y＝0时，x2+2x﹣2＝0，解得，x1＝﹣x2＝﹣1B正确；∵a*（a+1）＝a（a+1）﹣a+（a+1）＝a2+a+1＝（a+12）2+34＞0，∴在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数，故选项C正确；∵（x﹣2）*3＝5，∴（x﹣2）×3﹣（x﹣2）+3＝5，解得，x＝3，故选项D错误；故选D．【点睛】本题是阅读理解题，根据题目中所给的运算法则得到相应的运算式子是解决问题的关键. 15．抛物线y=–x2+bx+c上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表所示：从上表可知，下列说法错误的是A．抛物线与x轴的一个交点坐标为(–2，0) B．抛物线与y轴的交点坐标为(0，6) C．抛物线的对称轴是直线x=0 D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的【答案】C【解析】【分析】【详解】解：当x=-2时，y=0，∴抛物线过（-2，0），∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（-2，0），故A正确；当x=0时，y=6，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，6），故B正确；当x=0和x=1时，y=6，∴对称轴为x=12，故C错误；当x＜12时，y随x的增大而增大，∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D正确；故选C．16．在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）和直线y ＝﹣12x 的图象上有三点（x 1，m ）、（x 2，m ）、（x 3，m ），则x 1+x 2+x 3的结果是（ ）A ．3122m -+B ．0C ．1D ．2【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征即可求得结果．【详解】解：如图，在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）和直线y ＝﹣12x 的图象上有三点A （x 1，m ）、B （x 2，m ）、C （x 3，m ）， ∵y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0） ∴抛物线的对称轴为直线x ＝m+1，∴232x x +＝m+1， ∴x 2+x 3＝2m+2，∵A （x 1，m ）在直线y ＝﹣12x 上， ∴m ＝﹣12x 1， ∴x 1＝﹣2m ，∴x 1+x 2+x 3＝﹣2m+2m+2＝2， 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合思想画出函数图形．17．已知二次函数2()y x h =-- (h 为常数),当自变量x 的值满足25x ≤≤时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为( )A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6【答案】B【解析】分析：分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．详解：如图，当h＜2时，有-（2-h）2=-1，解得：h1=1，h2=3（舍去）；当2≤h≤5时，y=-（x-h）2的最大值为0，不符合题意；当h＞5时，有-（5-h）2=-1，解得：h3=4（舍去），h4=6．综上所述：h的值为1或6．故选B．点睛：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况求出h值是解题的关键．18．下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y＝2ax+（a+c）x+c与一次函数y＝ax+c的大致图象．正确的（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点，可以判断哪个选项符合要求，从而得到结论．【详解】令ax2+（a+c）x+c=ax+c，解得，x1=0，x2=-ca，∴二次函数y=ax2+（a+c）x+c与一次函数y=ax+c的交点为（0，c），（−ca，0），选项A中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，故选项A不符题意，选项B中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y=ax+c中a＞0，c＜0，两个函数的交点不符合求得的交点的特点，故选项B不符题意，选项C中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，交点符合求得的交点的情况，故选项D符合题意，选项D中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y=ax+c中a＞0，c＜0，故选项C不符题意，故选：D．【点睛】考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．19．在函数2yx=，3y x，2y x的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图象共有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解．【详解】y=x+3的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点；y=x2图象不是中心对称图形；只有函数2yx=符合条件．故选：B．【点睛】本题考查函数的图象性质与中心对称图形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．20．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结i论：①a bc＞0；②b2﹣4ac＞0；③2a+b＝0；④a﹣b+c＜0．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】首先根据开口方向确定a 的取值范围，根据对称轴的位置确定b 的取值范围，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的取值范围，根据抛物线与x 轴是否有交点确定b 2﹣4ac 的取值范围，根据x ＝﹣1函数值可以判断． 【详解】 解：抛物线开口向下，0a ∴<，对称轴12bx a=-=， 0b ∴>，抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，0c ∴>，0abc ∴<，故①错误；抛物线与x 轴有两个交点， 240b ac ∴->，故②正确；对称轴12bx a=-=， 2a b ∴=-，20a b ∴+=，故③正确；根据图象可知，当1x =-时，0y a b c =-+<，故④正确； 故选：C ． 【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键．。
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二次函数的图像和性质测验
姓名：___________得分：__________
一、选择题（每小题3分，共45分）：
1、下列函数是二次函数的有（ ）
12)5(;)4();3()3(;2)2(;1)1(222+=++=-==-=x y c bx ax y x x y x
y x y (6) y=2(x+3)2－2x 2
A 、1个；
B 、2个；
C 、3个；
D 、4个 2. y=(x －1)2＋2的对称轴是直线（ ）
A ．x=－1
B ．x=1
C ．y=－1
D ．y=1 3. 抛物线()122
1
2++=x y 的顶点坐标是（ ）
A ．（2，1）
B ．（-2，1）
C ．（2，-1）
D ．（-2，-1） 4. 函数y=-x 2
-4x+3图象顶点坐标是（ ）
A.（2，-1）
B.（-2，1）
C.（-2，-1）
D.（2， 1）
5．已知二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ）
A ． 0或2
B ． 0
C ． 2
D ．无法确定
6．函数y=2x 2-3x+4经过的象限是（ ）
A.一、二、三象限
B.一、二象限
C.三、四象限
D.一、二、四象限
7．已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图5所示，有下列结论： ①0abc >；②a+b+c>0③a-b+c<0；；其中正确的结论有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8、已知二次函数213x y -=、2231x y -=、232
3x y =，它们的图像开口由小到大的顺序是（ ）
A 、321y y y <<
B 、123y y y <<
C 、231y y y <<
D 、132y y y <<
9、与抛物线y=－
12
x 2
+3x －5的形状、开口方向都相同，只有位置不同的抛物线是（ ） (A) y = x 2+3x －5 (B) y=－12x 2+2x (C) y =12x 2+3x －5 (D) y=1
2
x 2
10．正比例函数y ＝kx 的图象经过二、四象限，则抛物线y ＝kx 2－2x ＋k 2的大致图象是（ ）
11．把二次函数122--=x x y 配方成顶点式为（ ）
A ．2)1(-=x y
B ． 2)1(2--=x y
C ．1)1(2++=x y
D ．2)1(2-+=x y
-1
O
x =1
y
图5
12．对于抛物线21
(5)33
y x =--+，下列说法正确的是（ ）
A ．开口向下，顶点坐标(53)，
B ．开口向上，顶点坐标(53)，
C ．开口向下，顶点坐标(53)-，
D ．开口向上，顶点坐标(53)-，
13、若A （-4，y 1），B （-3，y 2），C （1，y 3）为二次函数y=x 2+4x-5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）
A 、y 1＜y 2＜y 3
B 、y 2＜y 1＜y 3
C 、y 3＜y 1＜y 2
D 、y 1＜y 3＜y 2
14．抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( ) （Ａ）23(1)2y x =-- （Ｂ）23(1)2y x =+- （C ）23(1)2y x =++ （D ）23(1)2y x =-+ 15．在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（ ）
二、填空题：（每空1分共40分）
1、抛物线21
(2)43
y x =++可以通过将抛物线y ＝ 向 平移____ 个单位、再向
平移 个单位得到。
2．若抛物线y ＝x 2－bx ＋9的顶点在x 轴上，则b 的值为______
3．抛物线21(2)43
y x =++关于x 轴对称的抛物线的解析式为_______ 4．如图所示,在同一坐标系中,作出①23x y =②22
1
x y =③2x y =的图象,
图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是_______(填序号5．若抛物线y ＝x 2
－bx ＋9的顶点在y 轴上，则b 的值为______
6.若()
m
m
x m m
y -+
=2
2是二次函数，
m=______。
7
、抛物线21
(4)72
y x =+-的顶点坐标是 ，对称轴是直线 ，它的开口
向 ，在对称轴的左侧，即当x< 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即当x> 时，y 随x 的增大而 ；当x= 时，y 的值最 ，最 值是 。
8、已知y=x 2+x －6，当x=0时，y= ；当y=0时，x= 。
9、将抛物线y=3x 2向左平移6个单位，再向下平移7个单位所得新抛物线的解析式为 。
10、抛物线()42)2(22-++-=m x x m y 的图象经过原点，则=m .
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
11、若抛物线y ＝x 2+mx ＋9的对称轴是直线x=4，则m 的值为 。
12．抛物线y ＝－3x 2＋x －4化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式为
y ＝__________________，开口向 ，对称轴是__________顶点坐标是_________当ｘ＝______时，ｙ有最______值，为_______，当x __________时，ｙ随ｘ增大而增大，当x __________时，ｙ随ｘ增大而减小，抛物线与ｙ轴交点坐标为__________ 13．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y 轴的交点坐标为
（0，3）的抛物线的解析式 。
14．已知a ＜0，b ＞0，那么抛物线22++=bx ax y 的顶点在第 象限 15、 若一抛物线形状与y ＝－5x 2＋2相同，顶点坐标是(4，－2)，则其解析式 是__________________.
16.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点()P a bc ，在第 象限．
三、解答题：
1. （8分）（1）已知二次函数的图象以A （－1，4）为顶点，且过点B （2，－5）
①求该函数的关系式；
②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（2）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点，求二次函数的解析式；
2. （9分）已知函数()4
2
2-++=m m
x m y +8x-1是关于x 的二次函数，求：
（1） 求满足条件的m 的值；
（2） m 为何值时，抛物线有最低点？最低点坐标是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而增
大？
（3） m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？
3. （8分）（1）利用配方求函数21
44
y x x =-++的对称轴、顶点坐标。
（2）利用公式求函数21
6172
y x x =-+-的对称轴、顶点坐标。
4.（10分）已知二次函数y ＝（m 2－2）x 2－4mx ＋n 的图象的对称轴是x ＝2，且最高点在直线
y ＝2
1
x ＋1上，求这个二次函数的解析式。