辽宁省沈阳市东北育才学校2018_2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题附答案

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辽宁省沈阳市东北育才学校2018-2019学年高二数学下学期期中试题文(含解析)

2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合2{|2,},{|10},xA y y x RB x x ==∈=-<则A B ⋃= A. (1,1)- B. (0,1)C. (1,)-+∞D. (0,)+∞【答案】C 【解析】A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y >0}．B ＝{x |x 2－1<0}＝{x |－1<x <1}，∴A ∪B ＝{x |x >0}∪{x |－1<x <1}＝{x |x >－1}，故选C ．2.设11z i i=++，则z =（） A.12B.2 C.32D. 2【答案】B 【解析】试题分析：因，故，所以应选B.考点：复数及模的计算．3.已知211=，22343++=，2345675++++=，…，依此规律可以得到的第n 个式子为（）A. ()()()21221n n n n n ++++++=-L B. ()()()21231n n n n n ++++++=-L C. ()()()()2122221n n n n n +++++++=-LD. ()()()()2123221n n n n n ++++++-=-L 【答案】D 【解析】【分析】根据已知中的等式：222112343345675=++=++++=L ，，，，我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案．【详解】观察已知中等式：()21211=⨯-， ()2234221++=⨯-， ()234567231++++=⨯-，…，则第n 个等式左侧第一项为n ，且共有2n -1项，则最后一项为：()21132n n n +--=-，据此可得第n 个式子为：()()()()2123221n n n n n ++++++-=-…故选：D ．【点睛】本题考查归纳推理，解题的关键是通过观察分析归纳各数的关系，考查学生的观察分析和归纳能力，属中档题．4.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A. 月接待游客量逐月增加B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A 【解析】2014年8月到9月接待游客下降，所以A 错；年接待游客量逐年增加；各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，所以选A.5.用反证法证明命题“已知,,a b c 为非零实数，且0>++c b a ，0ab bc ac ++>，求证,,a b c 中至少有两个为正数”时，要做的假设是（）A. ,,a b c 中至少有两个为负数B. ,,a b c 中至多有一个为负数C. ,,a b c 中至多有两个为正数D. ,,a b c 中至多有两个为负数【答案】A 【解析】分析：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而命题的否定为：“a、b 、c 中至少有二个为负数”，由此得出结论．详解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而：“,,a b c 中至少有二个为正数”的否定为：“,,a b c 中至少有二个为负数”．故选A ．点睛：本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面是解题的关键，着重考查了推理与论证能力．6.两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R 如下，其中拟合效果最好的模型是（） A. 模型1的相关指数0.21R =B. 模型2的相关指数0.080R =C. 模型3的相关指数0.50R =D. 模型4的相关指数0.98R =【答案】D 【解析】【分析】根据两个变量y 与x 的回归模型中，相关指数R 的绝对值越接近1，其拟合效果越好，由此得出正确的答案．【详解】根据两个变量y 与x 的回归模型中，相关指数R 的绝对值越接近1，其拟合效果越好，选项D 中相关指数R 最接近1，其模拟效果最好．故选：D ．【点睛】本题考查了用相关指数R 描述两个变量之间的回归模型的应用问题，是基础题目．7.设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A. 13,p p B. 14,p p C. 23,p p D. 24,p p【答案】B 【解析】令i(,)z a b a b =+∈R ，则由2211i i a b R z a b a b-==∈++得0b =，所以z ∈R ，故1p 正确；当i z =时，因为22i 1z R ==-∈，而i z R =∉知，故2p 不正确；当12i z z ==时，满足121z z R ⋅=-∈，但12z z ≠，故3p 不正确；对于4p ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确，故选B.点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成i(,)z a b a b =+∈R 的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.8.已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，()13-=x x f ；当11x -≤≤时,()()f x f x -=-；当12x >时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121x f x f ,则()=6f （）A. 2-B. 1C. 0D. 2【答案】D 【解析】【分析】由题意结合函数的奇偶性、函数的周期性和函数在给定区间的解析式即可确定()6f 的值. 【详解】∵当12x >时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121x f x f ， ∴当12x >时，()()1f x f x +=，即周期为1． ∴()()61f f =，∵当11x -≤≤时，()()f x f x -=-， ∴()()11f f =--， ∵当0x <时，()13-=x x f ，∴()12f -=-， ∴()()112f f =--=， ∴()62f =．故选：D ．【点睛】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．9.函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（）A. ()0,4B. [)0,4C. []0,4D. (]0,4 【答案】B 【解析】试题分析：由题意可知210mx mx ++>恒成立，当0m =时01>恒成立；当0m ≠时需满足m >⎧⎨∆<⎩，代入解不等式可得04m <<，综上可知实数m 的取值范围是[)0,4 考点：函数定义域10.设函数()21ln 11f x x x ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（）A. ()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭UB. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 11,,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【答案】B 【解析】【分析】由题意结合函数的解析式分别确定函数的奇偶性和函数在区间()0,∞+上的单调性，然后脱去f 符号求解不等式即可.【详解】∵函数()()21ln 11f x x x =+-+为偶函数，且在0≥x 时，()()21ln 11f x x x=+-+，导数为()()2212011xf x x x '=+>++，即有函数()f x 在[0，+∞）单调递增，∴()()21f x f x -＞等价为()()21f x f x -＞，即21x x >-，平方得01432<+-x x ，解得：113x <<，所求x 的取值范围是1,13⎛⎫⎪⎝⎭．故选：B ．【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．11.若函数()212ln 2f x x x a x =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是（） A. 1a > B. 10a -<<C. 1<aD. 10<<a【答案】D 【解析】【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a 的不等式组，解出即可．【详解】()f x 的定义域是（0，+∞），()222a x x af x x x x-+'=-+=，若函数()f x 有两个不同的极值点，则()22g x x x a =-+在（0，+∞）由2个不同的实数根，故1440202a x ∆=->⎧⎪⎨-=>⎪⎩，解得：10<<a ，故选：D ．【点睛】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．12.设()'f x 是函数()f x 定义在()0,∞+上的导函数，满足()()212xf x f x x'+=，则下列不等式一定成立的是（）A. ()()22f e f e e e> B.()()2394f f <C.()()224f f e e > D.()()239f e f e < 【答案】B 【解析】【分析】由题意构造函数，结合函数的解析式和导函数的符号可确定函数的单调性，由函数的单调性即可确定题中所给的不等式是否正确.【详解】()f x '是函数()f x 定义在（0，+∞）上的导函数，满足()()212xf x f x x '+=，可得()()212x f x xf x x'+=，令1>a ，则()()()2120g x x f x xf x x'='+=>， ∴函数()g x 在（0，+∞）上单调递增．∴()()()()()()2242393g f g e e f e g f =<==<，∴()()2394f f <．故选：B ．【点睛】本题考查函数与导数的应用，正确构造函数，熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若不等式02>++c bx ax 的解集是()1,2-，则不等式20bx ax c -->的解集为______．【答案】(,2)(1,)-∞-⋃+∞ 【解析】【分析】根据02>++c bx ax 的解集求出c b a 、、的关系，再化简不等式20bx ax c -->，求出它的解集即可．【详解】02>++c bx ax 的解集为（-1，2），则0a <，且对应方程的为-1和2， ∴121ba-=-+=， 122ca=-⨯=-，且0a <，不等式20bx ax c -->可化为220ax ax a --+>，即220x x +->，解得2x <-或1>x ．故答案为：（-∞，-2）∪（1，+∞）．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系，属于基础题．14.如果函数()()32,2,2x a x x f x a x ⎧-+<=⎨≥⎩满足对任意的12x x ≠，都有()()02121>--x x x f x f 成立，那么实数a 的取值范围是______．【答案】[)2,3 【解析】【分析】由已知可知()()32,2,2xa x x f x a x ⎧-+<=⎨≥⎩在R 上单调递增，结合分段函数的性质即可求解．【详解】∵()()32,2,2x a x x f x a x ⎧-+<=⎨≥⎩满足对任意的12x x ≠，都有()()02121>--x x x f x f 成立， ∴()()32,2,2xa x x f x a x ⎧-+<=⎨≥⎩在R 上单调递增，根据分段函数的单调性可知，()2301232a a a a ⎧->⎪>⎨⎪-+≤⎩，解可得，23a ≤<，故答案为：[2，3）．【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的简单应用，解题的关键是注意对端点值的处理．15.设函数()ln af x x x x =+，()343g x x x =-+，对任意的1,,22s t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()f s g t ≥成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】1a ≥ 【解析】【分析】首先求得函数()g x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上的最大值，然后分离参数，利用导函数求最值即可确定实数a 的取值范围.【详解】∵在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上()21230g x x '=-+≤恒成立，∴当12x =时，()343g x x x =-+取最大值1， ∵对任意的1,,22s t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()f s g t ≥成立，∴在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上ln 1ax x x+≥恒成立，即在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上2ln a x x x ≥-+恒成立，令2ln h x x x x =-+（），则()()2ln 11h x x x '=-++，()2ln 3h x x ''=--， ∵在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上()0h x ''<恒成立，∴()h x '在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上为减函数，∵当1x =时，()0h x '=，故当1x =时，()h x 取最大值1，故1a ≥，故答案为：1a ≥【点睛】本题考查的知识点是函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，难度中档．16.若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线)1ln(+=x y 的切线，则b = ．【答案】1ln2- 【解析】试题分析：对函数ln 2y x =+求导得1y x '=，对)1ln(+=x y 求导得11y x '=+，设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点111(,)P x y ，与曲线)1ln(+=x y 相切于点222(,)P x y ，则1122ln 2,ln(1)y x y x =+=+，由点111(,)P x y 在切线上得()1111ln 2()y x x x x -+=-，由点222(,)P x y 在切线上得2221ln(1)()1y x x x x -+=-+，这两条直线表示同一条直线，所以，解得11111,2,ln 211ln 22x k b x x =∴===+-=-. 【考点】导数的几何意义【名师点睛】函数f （x ）在点x 0处的导数f ′（x 0）的几何意义是曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，y 0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y −y 0＝f ′（x 0）（x −x 0）．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知复数1592144z i i ⎛⎫=+-+ ⎪+⎝⎭（1）求复数z 的模；（2）若复数z 是方程220x px q ++=的一个根，求实数,p q 的值？【答案】（1）;（2）4,10p q ==【解析】【详解】试题分析：（1）将复数化简成，；（2）将（1）得到的代入方程中的，得，所以，解出．试题解析：解：（1）159212144z i i i ⎛⎫=+-+=-+ ⎪+⎝⎭∴5z =（2）∵复数z 是方程220x px q ++=的一个根 ∴()6280p q p i --++-= 由复数相等的定义，得：60280p q p --+=⎧⎨-=⎩解得：4,10p q ==考点：1．复数的代数运算；2．模的计算．18.（17632（2）已知b a ，为正实数，请用反证法证明：1a b +与1b a+中至少有一个不小于2．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）利用分析法的证明方法，通过变形平方，推出14＜18，即可证明结果．（2）利用反证法假设结论不成立，则12a b +<，12b a+<，推出矛盾结论，即可证得题中的结论．【详解】（1只需证22<+，即证99++，，即证14＜18，而14＜18< （2）假设结论不成立，则1122a b b a++<，<， 114a b b a∴+++<，即11220a b a b ⎛⎫⎛⎫+-++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2222220⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即220+<，矛盾！故假设不成立，1a b∴+与1b a +中至少有一个不小于2．【点睛】本题考查不等式的证明，分析法以及反证法证明不等式的方法的应用，考查转化思想以及计算能力．19.某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产195,210内，则为合格品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(]品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（2）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？85的把握认为“该企业生产的这（3）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并回答是否有%种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附：()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22)(（其中n a b c d =+++为样本容量）【答案】（1）390019；（2）答案见解析；（3）答案见解析. 【解析】【分析】（1）由题意得到关于中位数的方程，解方程可得乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（2）求出甲，乙两条流水线生产的不合格的概率，即可得出结论；（3）计算可得2K 的近似值，结合参考数值可得结论．【详解】（1）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x ，因为()()0.480.0120.0320.05250.50.0120.0320.0520.07650.86=++⨯<<+++⨯=，则()()0.0120.0320.05250.0762050.5x ++⨯+⨯-=，解得390019x =. （2）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为1535010P ==甲，乙流水线生产的产品为不合格品的概率为()10.0120.02855P =+⨯=乙，于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为315000150050001000105⨯=⨯=，；（3）2×2列联表：则22100(350600)41.3505075253K ⨯-==≈⨯⨯⨯，因为1.3＜2.072，所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”．【点睛】本题主要考查频率分布直方图计算中位数的方法，独立性检验的应用，古典概型计算公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知函数()3ln 42x a f x x x =+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线垂直于直线x y 21=．（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间与极值．【答案】(1)54(2) 在(0,5)内为减函数；在(5，＋∞)内为增函数．极小值f (5)＝－ln 5.无极大值．【解析】试题分析：（1）由曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线垂直于直线x y 21=可得12f '=-（），可求出a 的值；（2）根据（1）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f （x ）的单调区间与极值．试题解析：（1）对()f x 求导得211()4a f x x x=--，由()f x 在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线x y 21=知3(1)24f a =--=-，解得54a =．（2）由（1）知53()ln 442x f x x x =+--，则2245()4x x f x x --=，令()0f x =，解得1x =-或5x =．因为1x =-不在()f x 的定义域(0,)+∞内，故舍去．当(0,5)x ∈时，()0f x '<，故()f x 在(0,5)上为减函数；当(5,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(5,)+∞上为增函数．由此知函数()f x 在5x =时取得极小值，(5)ln 5f =-．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值21.已知函数()21ln 2f x x mx m x =++．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0m >时，若对于区间[]1,2上的任意两个实数12x x ，，且12x x <，都有()()221221f x f x x x -<-成立，求实数m 的最大值．【答案】（1）见解析（2）12. 【解析】【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可解决，（2）根据题意可得f （x 2）-x 22）＜f （x 1）-x 12，构造函数，再求导，再分离参数，利用导数求出函数的最值即可．【详解】（1）f （x ）的定义域是（0，+∞）， f′（x ）=x+m+m x =2x mx m x++，m≥0时，f′（x ）＞0，故m≥0时，f （x ）在（0，+∞）递增； m ＜0时，方程x 2+mx+m=0的判别式为： △=m 2-4m ＞0，令f′（x ）＞0，解得：x ＞2m -+，令f′（x ）＜0，解得：0＜x，故m ＜0时，f （x，+∞）递增，在（0）递减；（2）由（1）知，当m ＞0时，函数f （x ）在（0，+∞）递增，又[1，2] n （0，+∞），故f （x ）在[1，2]递增；对任意x 1＜x 2，都有f （x 1）＜f （x 2），故f （x 2）-f （x 1）＞0，由题意得：f （x 2）-f （x 1）＜2221x x -，整理得：f （x 2）-22x ＜f （x 1）-21x ，令F （x ）=f （x ）-x 2=-12x 2+mx+mlnx ，则F （x ）在[1，2]递减，故F′（x ）=2x mx mx-++，当x∈[1，2]时，-x 2+mx+m≤0恒成立，即m≤21x x+，令h （x ）=21x x +，则h′（x ）()2221x X x +=+＞0，故h （x ）在[1，2]递增，故h （x ）∈[12，43］，故m≤12． ∴实数m 的最大值为12.【点睛】本题考查了导数和函数的单调性和和最值的关系，通过构造函数，利用函数单调性转化为导函数小于等于0恒成立来求参数范围，考查了的学生的运算能力和转化能力和分类讨论的能力，属于中档题.22.在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为5(3x t y ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为,4cos A B πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭点的极坐标分别为()222A B ππ⎛⎫⎪⎝⎭，，，. （1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）点P 是圆C 上任一点，求}0,1{-面积的最小值．【答案】（1）22(5)(2)2x y ++-=，20x y -+=；（2）4．【解析】试题分析：（1）由圆C 的参数方程消去t 得到圆C 的普通方程，由直线l 的极坐标方程，利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据θρθρsin ,cos ==y x 转化为直角坐标方程即可；（2）将A 与B 的极坐标化为直角坐标，并求出|AB|的长，根据P 在圆C 上，设出P 坐标，利用点到直线的距离公式表示出P 到直线l 的距离，利用余弦函数的值域确定出最小值，即可确定出三角形PAB 面积的最小值．试题解析：（1）由53x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩消去参数t ，得()()22532x y ++-=，所以圆C 的普通方程为()()22532x y ++-=．由cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 22ρθρθ-=20x y -+=，所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+= （2）()2,,2,2A B ππ⎛⎫⎪⎝⎭Q 化为直角坐标为()()0,2,2,0A B -在直线l 上，并且AB =P点的坐标为()5,3t t -++，则P 点到直线l的距离为d ==，min d ∴=，所经PAB ∆面积的最小值是142S =⋅=23.设函数()23 1.f x x x =++- （1）解不等式()4f x >；（2）若存在3,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦不等式()1a f x +>成立，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）(),2(0,)-∞-⋃+∞；（Ⅱ）3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）先求出f （x ）的表达式，得到关于x 的不等式组，解出即可；（2）问题转化为：a+1＞（f （x ））min ，求出f （x ）的最小值，从而求出a 的范围即可．【详解】（1）∵()23 1.f x x x =++-()33223412321x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪∴=+-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩()331142232432444x x x f x x x x ⎧⎧><--≤≤⎧⎪⎪>⇔⎨⎨⎨+>⎩⎪⎪-->+>⎩⎩或或 2011x x x ⇔<-≤或或综上，不等式()4f x >的解集为：()(),20,-∞-⋃+∞ （2）存在3,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使不等式()1a f x +>成立()()min1a f x ⇔+>由（Ⅰ）知，3,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()4f x x =+ 32x ∴=-时，()()min 52f x =53122a a +>⇔>∴实数a 的取值范围为3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【点睛】本题考察了绝对值不等式的解法，不等式有解问题，考察转化思想，是一道中档题．。

辽宁省东北育才、实验中学、大连八中、鞍山一中等2018-2019学年高二下高二理数答案

2018-2019学年度下学期期末考试高二年级数学科（理科）试卷答案一.选择题：CADBC ADBDA DC二.填空题：13. 4 14. 24 15.34 16. 32(0,)27，8 三.解答题：17.解（1）由题意知，甲校抽取1100105552100⨯=人，则6x =………………2分乙校抽取1000105502100⨯=人，则7y =………………4分（2）由题意知，乙校优秀率为103710050++⨯﹪=40﹪. ………………6分（3）填表如下表（1）。

………………8分根据题意22105(10302045)336 6.109 3.8415550307555K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，………………11分由题中数据得，有95﹪的把握认为两个学校数学成绩有差异。

………………12分 18. 解：（1）2()ln 0f x mx x =-≥，2ln xm x ∴≥恒成立. 设2ln (),(0)x h x x =>，则312ln ()xh x x-'=，x ∴∈时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，)x ∴∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，∴函数max 1()2h x h e ==，所以1[,)2m e∈+∞.………………4分（2）1ln ()()x g x f x mx x x =⋅=-，21ln ()xg x m x -'∴=-. 因为切点为00(,)A x y ，则切线方程为0000200ln 1ln ()()()x x y mx m x x x x ---=--，………………6分整理得：002001ln 12ln ()x x y m x x x --=-+，又切线方程为y m =，所以020000001ln 021ln 1012ln x m x x x x x mx -⎧-=⎪⎪⇒--+=⎨-⎪=⎪⎩（），………………8分设()(21)ln 1,(0)F x x x x x =--+>，则1()2ln 1F x x x'=-+，因为()F x '在(0,)+∞单调递增，且(1)0F '=，所以()F x 在(0,1)单调递减，(1,)+∞单调递增，所以min ()(1)0F x F ==，………………11分所以00()01F x x =⇒=，所以0x 的值唯一，为01x =………………12分.19. 解：（1）设样本的中位数为x ，则2250450(40)0.510001000100020x -++⋅=，解得51x ≈，所以所得样本的中位数约为51百元. ………………3分（2）51,15,281μσμσ==∴+=，由题意：期待加班补贴在8100元以上的概率为1(22)10.954(2)0.02322P x P x μσμσμσ--≤<+-≥+=≈=，………………5分0.023********⨯=，所以估计有920名员工期待加班补贴在8100元以上. ………………6分（3）由题意，Y 的可能取值为0,1,2,3.又因为35385(0)28C P Y C ===， 12353815(1)28C C P Y C ⋅===， 21353815(2)56C C P Y C ⋅===， 33381(3)56C P Y C ===，Y………………10分5151519()0123282856568E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=.(或者答：Y 服从8,3,3N M n ===的超几何分布，则339()88M n E Y N ⋅⨯===）. ………………12分20. 解：（1）经计算可得：2346,13,28a a a ===.………………3分（2）猜想12n n a n +=-.………………4分证明如下：①1n =时，111321a +==-符合猜想，所以1n =时，猜想成立. ………………5分 ②假设()n k k N +=∈时，猜想成立，即：12k k a k +=-.21132422k k S S k k -=+-+（2k ≥）， 2k+1132(1)(1)422k S S k k ∴=++-++，两式作差有：121,(2)k k a a k k +=+-≥，又21211a a =+-，所以121k k a a k +=+-对k N +∈恒成立. ………………9分则1n k =+时，12(1)11212(2)12(1)2(1)k k k k k a a k k k k k +++++=+-=-+-=-+=-+，所以1n k =+时，猜想成立. ………………11分综合①②可知，12n n a n +=-对n N +∈恒成立. ………………12分21. 解：（1）222()(1)(1)(1)()()x x x x a e x a e a x e x x a e f x x x x x-⋅---+---'=+==，…1分又0x >，1x e ∴>，1a ∴≤时，0x a e -<，所以可解得：函数()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减；………………2分经计算可得，1a e <<时，函数()f x 在(0,ln )a 单调递减，(ln ,1)a 单调递增，(1,)+∞单调递减；………………3分a e >时，函数()f x 在(0,1)单调递减，(1,ln )a 单调递增，(ln ,)a +∞单调递减；………………4分a e =时，函数()f x 在(0,)+∞单调递减. ………………5分综上：1a ≤时，函数()f x 在(0,1)单调递增，(1,)+∞单调递减；1a e <<时，函数()f x 在(0,ln )a 单调递减，(ln ,1)a 单调递增，(1,)+∞单调递减；a e =时，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；a e >时，函数()f x 在(0,1)单调递减，(1,ln )a 单调递增，(ln ,)a +∞单调递减. ………………6分（2）若1a =，则221()(1)(1())(1)(1ln )x e F x x mx f x x mx x x-=-+--=-+-， ()2(1)ln F x x m x '∴=--，设()2(1)ln ,(0)H x x m x x =-->，则()2m H x x'=-，当(0,)2mx ∈时，()0()H x H x '<⇒单调递减，即()F x '单调递减，当(,)2mx ∈+∞时，()0()H x H x '>⇒单调递增，即()F x '单调递增. …………7分又因为02,01,2m m <<∴<<由(1)0F '=可知：()02mF '<，而2222()2(1)ln 20mmmmF eem ee----'=--=⋅>，且201mee -<=，21(,)2mmx e -∴∃∈，使得1()0F x '=，且1(0,)x x ∈时，()0,()F x F x '>单调递增， 1(,1)x x ∈时，()0,()F x F x '<单调递减，(1,)x ∈+∞时，()0,()F x F x '>单调递增，所以函数()F x 有唯一极大值点101,x x x ∴=，且0000002(1)()2(1)ln 0(01)ln 2x mF x x m x m x x -'=--=⇒=<<<.………………9分220000000002(1)()(1)(1ln )(1)(1ln )ln x x F x x mx x x x x -∴=-+⋅-=-+⋅-220000221ln x x x x -=-+.………………10分所以222000000000222()1(2ln )ln ln x x x F x x x x x x --=-+=--,设2()2ln h x x x =--（01x <<），则22212()0xh x x x x-'=-=>， ()h x ∴在(0,1)单调递增，()(1)0h x h ∴<=，0()0h x ∴<，又因为0ln 0x <， 0()10F x ∴-> 0()1F x ∴>.………………12分22.解：（Ⅰ）由题得直线:4l x y +=，所以直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+= 即4sin cos ρθθ=+………………2分由点Q 在OP 的延长线上，且3PQ OP =，得4OQ OP = 设(,)Q ρθ，则(,)4P ρθ因点P 是曲线1C 上的动点 2cos 4ρθ∴= 即8cos ρθ=所以曲线2C 的极坐标方程8cos ρθ= ……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知4sin cos OM αα=+，8cos ON α=2cos (cos sin ))14ON OMπαααα∴=+=++ ………………7分∵02πα<<,故当8πα=时，ON OM取得最大值1+. ……………10分23. 解：（Ⅰ）当1a =时，()2121212221(22)1f x x x x x x x =-+-=-+-≥---=， ………………2分当且仅当112x ≤≤时等号成立 1b ∴≤.………………5分（Ⅱ）122x ≤≤时， ()2112f x x a x x =-+-≥-恒成立， 133a x x ∴-≥-对1[,2]2x ∈恒成立………………7分当112x ≤<时，(1)33a x x -≥-，解得：3a ≥， 12x ≤≤时，(1)33a x x -≥-，解得：3a ≥-，综上：3a ≥.………………10分注：以上各题的其它解法请酌情给分.。

辽宁省沈阳市东北育才学校2018-2019学年高三数学理下学期期末试题含解析

辽宁省沈阳市东北育才学校2018-2019学年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，半径为2的⊙与直线相切于点，射线从出发绕点逆时针方向旋转到，旋转过程中，交⊙于点，设为，弓形的面积为，那么的图象大致是参考答案：D2. （3）在平面直角坐标系中，A（，1），B点是以原点O为圆心的单位圆上的动点，若则的最大值是A、0B、1C、2D、3参考答案：C若，结合图形可知，．故选C．3. 已知满足不等式组，且（为常数）的最大值为2，则的最小值为（）A． B．C． D．参考答案：D考点：线性规划的知识及运用.【易错点晴】本题考查的是线性约束条件与数形结合的数学思想的范围问题,解答时先构建平面直角坐标系,准确的画出满足题设条件的不等式组表示的平面区域,然后再依据题设条件目标函数结合图形可知当动直线经过点时,取得最大值,即,解之得,当动直线经过定点时,取最小值为.4. 如图，在三棱柱ABC - A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，.若E、F分别是棱BB1，CC1上的点，且，，则异面直线A1E与AF 所成角的余弦值为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线与所成角的余弦值.【详解】依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设的中点为，建立空间直角坐标系如下图所示.所以，所以.所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：B【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题.5. “”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B6. 直线与抛物线相交与A，B两点，若OA⊥OB(O是坐标原点），则△AOB面积的最小值为（）A．32 B．24 C．16 D．8参考答案：C7. 函数的图象如右图所示，则导函数的图象的大致形状是（）参考答案：D8. 已知等比数列满足，则（）A．64 B．81 C．128 D．243参考答案：A9. 若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{}，N＝{}，则集合{5,6}等于( )A．M∪N B．M∩NC．(?U M)∪(?U N) D．(?U M)∩(?U N)参考答案：【知识点】补集及其运算；并集及其运算．【答案解析】D解析：解：由题意全集观察知，集合,又∴．故选D．【思路点拨】利用直接法求解．观察发现，集合恰是的补集，再由选出答案．10. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A．B．C．1 D．参考答案：A三棱锥如下图所示：CD＝1，BC＝2，CD⊥BC，且三棱锥A－BCD的高为1底面积S BCD＝＝1，所以，V＝二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （09南通期末调研）设a＞0，集合A={（x，y）|}，B={（x，y）|}．若点P（x，y）∈A是点P（x，y）∈B的必要不充分条件，则a的取值范围是▲．参考答案：答案：0＜a≤12. 直线与圆相交于、两点且，则__________________参考答案：圆的圆心为,半径。

2018-2019学年辽宁省实验中学高二下学期期中考试数学(理)(Word版)

辽宁省实验中学2018—2019学年度下学期期中考试高二数学理试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。

考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}2,1,0,1-=A ,{}21<≤-=x x B ,则B A ⋂=A. {}2,1,0,1-B. {},1,0,1-C. {}2,1,0D. {}1,0 2. 设121iz i i-=++，则z = A ．0B ．12C ．1 D3. 下列函数中，在(0,)+∞内单调递减的是 A. 22xy -= B. x x y +-=11 C. 121log y x= D. 22y x x a =-++ 4. 命题“1x x e x R ∀∈+，≥”的否定是A. 1xx e x R ∀∈<+， B. 0001xx e x R ∃∈+，≥ C. 1xx e x R ∀∉<+， D. 0001x x ex R ∃∈<+，5. 方程x x -=6ln 2的解所在的区间是A. )1,0(B. )2,1(C. )3,2(D. )4,3( 6. 已知函数1ln )(-+=xax x f 的图象在点))2(,2(f 处的切线与直线012=-+y x 平行，则实数=aA. 2-B. 2C. 4-D. 47. 下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14，18，则输出的a 为A.0B.2C.4D.148. 若直线2y x =+与圆22:4C x y +=相交于,A B 两点，则线段AB 中点的坐标为 A. )23,23(-B. )23,23(--C. )23,23(D.)23,23(- 9. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 A. 32 B.643 C. 323D. 810. F 是抛物线y x 42=的焦点，以F 为端点的射线与抛物线相交于点A ，与抛物线的准线相交于点B ，若4=，则=⋅ A.49 B. 23C. 6D.9 11. 函数()2x x e e f x x--=的图象大致为12. 已知)(x f 为定义在R 上的奇函数，x x f x g -=)()(，且对任意的[)+∞∈,0,21x x ，当21x x <时，)()(21x g x g <，则不等式3)2()12(-≥+--x x f x f 的解集为A. ),3(+∞B. (]3,∞-C. [)+∞,3D. )3,(-∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2019-2020学年沈阳市东北育才学校高二下学期期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年沈阳市东北育才学校高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知i是虚数单位，则2−i1+2i是()A. 正数B. 负数C. 纯虚数D. 虚数而不是纯虚数2.设复数z=(a+i)2在复平面上的对应点在虚轴负半轴上，则实数a的值是()A. −1B. 1C. √2D. −√33.f(x)=x3，f′(x0)=6，则x0=()A. √2B. −√2C. ±√2D. ±14.记等差数列{a n}的前n项和为S n，利用倒序求和的方法得S n=n(a1+a n)2；类似地，记等比数列{b n}的前n项积为T n，且b n>0(n∈N∗)，类比等差数列求和的方法，可将T n表示成关于首项b1，末项b n与项数n的关系式为()A. √(b1b n)nB. n(a1+a n)2C. nb1b n D. nb1b n25.下面两个图是2020年6月25日由国家卫健委发布的全国疫情累计趋势图，每图下面横向标注日期，纵向标注累计数量．现存确诊为存量数据，计算方法为：累计确诊数−累计死亡数−累计治愈数．则下列对新冠肺炎叙述错误的是()A. 自1月20日以来一个月内，全国累计确诊病例属于快速增长时期B. 自4月份以来，全国累计确诊病例增速缓慢，疫情扩散势头基本控制C. 自6月16日至24日以来，全国每日现存确诊病例平缓增加D. 自6月16日至24日以来，全国每日现存确诊病例逐步减少6.已知二函数y=3x4+a，y=4x3，若它们的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则切线斜率为()A. 0B. 12C. 0或12D. 4或17. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )A. 72B. 96C. 108D. 144 8. 等式1+2+3+⋯+n =n(n+1)2证明过程如下： ①当n =1时，左边=1，右边=1等式成立；②假设当n =k 时等式成立，即1+2+3+⋯+k =k(k+1)2，那么当n =k +1时，1+2+3+⋯+k +(k +1)=k(k+1)2+(k +1)=(k+1)[(k+1)+1]2等式也成立，故原等式成立，以上证明方法是( )A. 分析法B. 综合法C. 反证法D. 数学归纳法9. 设(2−x)5=a 0+a 1x +⋯+a 5x 5，那么a 0的值为( )A. 1B. 16C. 32D. −1 10. 若矩阵(a 1a 2a 3a 4b 1b 2b 3b 4)满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为{1,2，3，4}；②四列中至少有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为( )A. 48B. 72C. 168D. 31211. 函数f(x)=2x 3−ax +6的一个单调递增区间为[1,+∞)，则减区间是( )A. (−∞,0)B. (−1,1)C. (0,1)D. (−∞,1)，(0,1) 12. 设函数，则( ) A. 最大值为B. 最大值为C. 最小值为D. 最小值为二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）13. 在二项式(x 2−ax )5的展开式中，x 的系数是−10，则实数a 的值为______ ．14. 在等差数列{a n }中，已知S p =q ，S q =p ，(p ≠q)，则S p+q =______．15. 函数f(x)={x 2(0≤x ≤1)2−x(1<x ≤2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为______ ． 16. 若函数f(x)=ax x 2+b 的图象如图所示，其中，当x =1时，函数f(x)取得最大值为1，则a +b =______．三、解答题（本大题共6小题，共68.0分）17.已知复数z1满足(z1−2)(1+i)=1−i，复数z2的虚部为2，且z1⋅z2是实数，求z1与|z2|.18.设a>b>c，且a+b+c=0，求证：√b2−ac>√3a.19.已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足S n=a⋅2n−1(1)若a=3，求a1和a4的值；(2)若{a n}是等比数列，求a的值．20.已知函数为自然对数的底数)．(1)求曲线在处的切线方程；(2)若是的一个极值点，且点，满足条件：．(ⅰ)求的值；(ⅰ)若点是三个不同的点，判断三点是否可以构成直角三角形？请说明理由。

2019学年辽宁东北育才学校高二下期中理科数学试卷【含答案及解析】

2019学年辽宁东北育才学校高二下期中理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知复数，则（）A． ________ B．________________ C．________ D．2. 用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设，否定“自然数中恰有一个偶数”时正确的反设为（）A．自然数都是奇数_____________________________________B．自然数都是偶数C．自然数中至少有两个偶数 ____________________D．自然数中至少有两个偶数或都是奇数3. 复数，则（）A． B．的实部为1 ________ C．的虚部为________ D．的共轭复数为4. 若，则“关于的方程无实根”是“ (其中表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的（）A．充分非必要条件______________ B．必要非充分条件 C．充要条件______________ D．既非充分又非必要条件5. 若，则（）A．0_________________________________ B．1___________________________________ C． 2___________________________________ D． 36. 用数学归纳法证明“ ”（）时，从“ ”时，左边应增添的式子是（________ ）A．________________________ B． C．________________________ D．7. 当时，可得到不等式，，由此可推广为，其中等于 (_________ )A．____________________________ B． C．________________________ D．8. 已知是虚数单位，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限______________ B．第二象限____________________ C．第三象限____________________ D．第四象限9. 设为实数，函数的导函数，且是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（）A．______________ B．___________ C．_________D．10. 定义域为R的连续函数，对任意x都有，且其导函数满足，则当时，有（________ ）A．___________________________________B．C．___________________________________D．11. 定义在上的单调递减函数，若的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（________ ）A． ___________ B．________________________C．____________________ D．12. 函数为自然对数的底数）的值域是实数集，则实数的取值范围是（________ )A．____________________ B．______________ C．________________________ D．二、填空题13. 已知函数则的值为____________________ ．14. 集合中，每两个相异数作乘积，将所有这些乘积的和记为，如：；；，则____________________________ ．（写出计算结果）15. 若对任意的都成立，则的最小值______________ ．16. ____________________三、解答题17. （Ⅰ）若 , 时，求复数的模的取值范围；（Ⅱ）在复数范围内解关于方程 ( 为虚数单位)．四、填空题18. 曲线：，点，求过点的切线与围成的图形的面积．五、解答题19. 请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？20. 已知为坐标原点，为函数图像上一点，记直线的斜率．(Ⅰ)若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；(Ⅱ)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．21. 设数列{ }的前项和为，并且满足，（n∈N*）.（Ⅰ）求，，；（Ⅱ）猜想{ }的通项公式，并加以证明；（III）设求证：22. 已知函数，其中为常数．(Ⅰ)当时，求的极值；(Ⅱ)若在区间上单调函数，求实数的取值范围；(Ⅲ)过坐标原点可以作几条直线与曲线相切？请说明理由．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。

辽宁省东北育才、实验中学、大连八中、鞍山一中等2018-2019学年高二下学期期末联考数学(理)试题答案

………………12分18. 解：（1）2()ln 0f x mx x =-≥，2ln x m x ∴≥恒成立. 设2ln (),(0)x h x x =>，则312ln ()x h x x -'=，x ∴∈时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，)x ∴∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，∴函数max 1()2h x h e ==，所以1[,)2m e∈+∞.………………4分（2）1ln ()()x g x f x mx x x =⋅=-，21ln ()x g x m x -'∴=-. 因为切点为00(,)A x y ，则切线方程为0000200ln 1ln ()()()x x y mx m x x x x ---=--，………………6分整理得：002001ln 12ln ()x x y m x x x --=-+，又切线方程为y m =，所以020000001ln 021ln 1012ln x m x x x x x m x -⎧-=⎪⎪⇒--+=⎨-⎪=⎪⎩（），………………8分设()(21)ln 1,(0)F x x x x x =--+>，则1()2ln 1F x x x'=-+，因为()F x '在(0,)+∞单调递增，且(1)0F '=，所以()F x 在(0,1)单调递减，(1,)+∞单调递增，所以min ()(1)0F x F ==，………………11分所以00()01F x x =⇒=，所以0x 的值唯一，为01x =………………12分.19. 解：（1）设样本的中位数为x ，则2250450(40)0.510001000100020x -++⋅=，解得51x ≈，所以所得样本的中位数约为51百元. ………………3分（2）51,15,281μσμσ==∴+=，由题意：期待加班补贴在8100元以上的概率为1(22)10.954(2)0.02322P x P x μσμσμσ--≤<+-≥+=≈=，………………5分 0.023********⨯=，所以估计有920名员工期待加班补贴在8100元以上. ………………6分（3）由题意，Y 的可能取值为0,1,2,3.又因为35385(0)28C P Y C ===， 12353815(1)28C C P Y C ⋅===， 21353815(2)56C C P Y C ⋅===， 33381(3)56C P Y C ===， Y5151519()0123282856568E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=.(或者答：Y 服从8,3,3N M n ===的超几何分布，则339()88M n E Y N ⋅⨯===）. ………………12分 20. 解：（1）经计算可得：2346,13,28a a a ===.………………3分（2）猜想12n n a n +=-.………………4分证明如下： ①1n =时，111321a +==-符合猜想，所以1n =时，猜想成立. ………………5分②假设()n k k N +=∈时，猜想成立，即：12k k a k +=-.21132422k k S S k k -=+-+（2k ≥）， 2k+1132(1)(1)422k S S k k ∴=++-++，两式作差有：121,(2)k k a a k k +=+-≥，又21211a a =+-，所以121k k a a k +=+-对k N +∈恒成立. ………………9分则1n k =+时，12(1)11212(2)12(1)2(1)k k k k k a a k k k k k +++++=+-=-+-=-+=-+，所以1n k =+时，猜想成立. ………………11分综合①②可知，12n n a n +=-对n N +∈恒成立. ………………12分21. 解：（1）222()(1)(1)(1)()()x x x x a e x a e a x e x x a e f x x x x x -⋅---+---'=+==，…1分又0x >，1x e ∴>，1a ∴≤时，0x a e -<，所以可解得：函数()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减；………………2分经计算可得，1a e <<时，函数()f x 在(0,ln )a 单调递减，(ln ,1)a 单调递增，(1,)+∞单调递减；………………3分a e >时，函数()f x 在(0,1)单调递减，(1,ln )a 单调递增，(ln ,)a +∞单调递减；………………4分a e =时，函数()f x 在(0,)+∞单调递减. ………………5分综上：1a ≤时，函数()f x 在(0,1)单调递增，(1,)+∞单调递减；1a e <<时，函数()f x 在(0,ln )a 单调递减，(ln ,1)a 单调递增，(1,)+∞单调递减； a e =时，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；a e >时，函数()f x 在(0,1)单调递减，(1,ln )a 单调递增，(ln ,)a +∞单调递减. ………………6分（2）若1a =，则221()(1)(1())(1)(1ln )x e F x x mx f x x mx x x -=-+--=-+-， ()2(1)ln F x x m x '∴=--，设()2(1)ln ,(0)H x x m x x =-->，则()2m H x x'=-，当(0,)2m x ∈时，()0()H x H x '<⇒单调递减，即()F x '单调递减，当(,)2m x ∈+∞时，()0()H x H x '>⇒单调递增，即()F x '单调递增. …………7分又因为02,01,2m m <<∴<<由(1)0F '=可知：()02m F '<，而2222()2(1)ln 20m m m m F e em e e ----'=--=⋅>，且201m e e -<=， 21(,)2m m x e -∴∃∈，使得1()0F x '=，且1(0,)x x ∈时，()0,()F x F x '>单调递增， 1(,1)x x ∈时，()0,()F x F x '<单调递减，(1,)x ∈+∞时，()0,()F x F x '>单调递增，所以函数()F x 有唯一极大值点101,x x x ∴=，且0000002(1)()2(1)ln 0(01)ln 2x m F x x m x m x x -'=--=⇒=<<<.………………9分 220000000002(1)()(1)(1ln )(1)(1ln )ln x x F x x mx x x x x -∴=-+⋅-=-+⋅- 220000221ln x x x x -=-+.………………10分所以222000000000222()1(2ln )ln ln x x x F x x x x x x --=-+=--, 设2()2ln h x x x =--（01x <<），则22212()0x h x x x x-'=-=>， ()h x ∴在(0,1)单调递增，()(1)0h x h ∴<=，0()0h x ∴<，又因为0ln 0x <， 0()10F x ∴-> 0()1F x ∴>.………………12分22.解：（Ⅰ）由题得直线:4l x y +=，所以直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+= 即4sin cos ρθθ=+………………2分由点Q 在OP 的延长线上，且3PQ OP =，得4OQ OP = 设(,)Q ρθ，则(,)4P ρθ 因点P 是曲线1C 上的动点 2cos 4ρθ∴= 即8cos ρθ=所以曲线2C 的极坐标方程8cos ρθ= ……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知4sin cos OM αα=+，8cos ON α=2cos (cos sin ))14ONOM παααα∴=+=++ ………………7分∵02πα<<,故当8πα=时，ONOM 取得最大值1+. ……………10分23. 解：（Ⅰ）当1a =时，()2121212221(22)1f x x x x x x x =-+-=-+-≥---=， ………………2分当且仅当112x ≤≤时等号成立 1b ∴≤.………………5分（Ⅱ）122x ≤≤时， ()2112f x x a x x =-+-≥-恒成立， 133a x x ∴-≥-对1[,2]2x ∈恒成立………………7分当112x ≤<时，(1)33a x x -≥-，解得：3a ≥， 12x ≤≤时，(1)33a x x -≥-，解得：3a ≥-，综上：3a ≥.………………10分注：以上各题的其它解法请酌情给分.。

东北育才学校2018-2019学年高二9月月考数学试题解析

东北育才学校2018-2019学年高二9月月考数学试题解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设函数()log |1|a f x x =-在(,1)-∞上单调递增，则(2)f a +与(3)f 的大小关系是（） A ．(2)(3)f a f +> B ．(2)(3)f a f +< C. (2)(3)f a f += D ．不能确定 2．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，.若,f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为A[] B[]C[]D[] 3．阅读如下所示的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S 的值是（）A ．39B ．21C ．81D ．1024．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为( )。

A3 B4 C5 D65．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（）A 1CA B A.直线 B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力. 6．已知点A （0，1），B （3，2），C （2，0），若AD →＝2DB →，则|CD →|为（）A ．1 B.43C.53D ．2 7．将函数)63sin(2)(π+=x x f 的图象向左平移4π个单位，再向上平移3个单位，得到函数)(x g 的图象，则)(x g 的解析式为（）A ．3)43sin(2)(--=πx x g B ．3)43sin(2)(++=πx x g C ．3)123sin(2)(+-=πx x g D ．3)123sin(2)(--=πx x g【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度.8．已知直线34110m x y +-=：与圆22(2)4C x y -+=：交于A B 、两点，P 为直线3440n x y ++=：上任意一点，则PAB ∆的面积为（）A ． B.C. D.9．在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ⊥平面1=22ABC AA BC BAC π=∠=，，,此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（） A ．323π B ．16π C.253π D ．312π10．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是（）A ．①②B ．①C ．③④D ．①②③④ 11．已知全集U R =，{|239}x A x =<≤，{|02}B y y =<≤，则有（） A ．A ØB B ．AB B =C ．()R A B ≠∅ðD ．()R A B R =ð12．已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) ABC D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．（本小题满分12分）点M （2pt ，2pt 2）（t 为常数，且t ≠0）是拋物线C ：x 2＝2py （p ＞0）上一点，过M 作倾斜角互补的两直线l 1与l 2与C 的另外交点分别为P 、Q .（1）求证：直线PQ 的斜率为－2t ；（2）记拋物线的准线与y 轴的交点为T ，若拋物线在M 处的切线过点T ，求t 的值．14．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若1cos 2c B a b ⋅=+，ABC ∆的面积S =，则边c 的最小值为_______．【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能力．15．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是 .【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等.16．函数)(x f （R x ∈）满足2)1(=f 且)(x f 在R 上的导数)('x f 满足03)('>-x f ，则不等式1log 3)(log 33-<x x f 的解集为 .【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高要求，难度大.三、解答题（本大共6小题，共70分。

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2018-2019学年度下学期高二期中数学试卷考试时间120分钟试卷满分120分出题人：高二数学组一．选择题（共12小题） 1．=-2)3(i （）A ．i 68--B ．i 68+C ．i 68-D ．i 68+- 2．复数iiz ++=13，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部为（） A ．1- B ．2- C ．i - D ．i 2- 3．下列求导计算正确的是（）A ．2'1ln )ln (x x x x -= B ．xe x 2'2log )(log = C ．2ln 12)2('x x = D ．x x x cos )sin ('=4．记I 为虚数集，设I y x R b a ∈∈、、,．则下列类比所得的结论正确的是（） A ．由R b a ∈⋅，类比得I y x ∈⋅ B ．由02≥a ，类比得02≥x C ．由2222)(b ab a b a ++=+，类比得2222)(y xy x y x ++=+ D ．由b a b a ->⇒>+0，类比得y x y x ->⇒>+0 5．下列表述正确的是（） ①归纳推理是由特殊到一般的推理； ②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；⑤若C z ∈，且1|22|=-+i z ，则|22|i z --的最小值是3． A ．①③④ B ．②③④ C ．①②④⑤ D ．①②⑤6．设曲线1ln +=x xy 在点)0,1(处的切线与直线01=+-ay x 垂直，则=a （）A ．2- B ．2 C ．21- D ．217．某个班级组织元旦晚会，一共准备了F E D C B A 、、、、、六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排A 或B ，最后一个节目不能排A ，且DC 、要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（）种A ．72B ．84C ．96D ．1208．用数学归纳法证明“)(34*112N n n n ∈++-能被13整除”的第二步中，当1+=k n 时为了使用归纳假设，对21234+++k k 变形正确的是（）A ．1112313)34(16++-⨯-+k k k B ．k k 39442⨯+⨯C ．11211232415)34(+-+-⨯+⨯++k k k k D ．12112413)34(3-+-⨯++k k k9．82)12(+-x x 的展开式中5x 的系数是（）A ．-1288B ．1280C ．1288D ．﹣128010．某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（） A ．5101050CC ⋅ B ．25101050C C ⋅ C ．225101050A C C ⋅⋅ D ．22545550A C C ⋅⋅ 11．函数)(x f 是定义在区间),0(+∞上的可导函数，其导函数为)('x f ，且满足0)(2)('>+x f xx f ，则不等式2018)3(33)2018()2018(+<++x f x f x 的解集为（） A ．}2015|{->x x B ．}2015|{-<x xC ．}02018|{<<-x xD ．}20152018|{-<<-x x12．若函数12)(23+++=x x ax x f 在)2,1(上有最大值无最小值，则实数的取值范围为（） A ．43->a B ．35-<a C ．4335-<<-a D ．4335-≤≤-a 二．填空题（共4小题） 13．62)2(xx -的展开式中，常数项为． 14．将数列}3{1-n 按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），…，则第100组中的第一个数是． 15．定积分⎰---12))1(1(dx x x 等于．16．已知函数22)()()(eae a x xf x+++=，若存在0x ，使得14)(20+≤e x f ，则实数a 的值为．三．解答题（共6小题）17．（10分）已知复数mi z +=1（i 是虚数单位，R m ∈），且)3(i z +⋅为纯虚数（z 是z 的共轭复数）．（1）设复数iim z -+=121，求||1z ；（2）设复数zi a z 20172-=，且复数2z 所对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．18．（12分）（1）用分析法证明：75226->-；（2）用反证法证明：532，，，不能为同一等差数列中的三项．19．（12分）已知数列}{n a 满足：)1)(2(1-+=+n n a n na ，且61=a ．（1）求432,,a a a 的值，并猜想}{n a 的通项公式；（2）试用数学归纳法证明上述猜想． 20．（12分）已知函数xxx f ln )(=．（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）已知R b a ∈、，e b a >>（其中e 是自然对数的底数），求证：ba ab >．21．（12分）（1）设nx )13(31+展开式中的各项系数之和为A ，各项的二项式系数之和为B ，若272=+B A ，求展开式中的x 项的系数．（2）若nx )221(+展开式前三项的二项式系数和等于79，求nx )221(+的展开式中系数最大的项？22．（12分）设函数xx exx g e x a x f =+=)(,)1()(2．（Ⅰ）求函数)(2)(x g x x F +=单调递减区间；（Ⅱ）若函数)0)(()()(≤+=a x g x f x G 的极小值不小于23e -，求实数a 的取值范围．2018-2019下学年度高二期中数学考试试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（3﹣i）2＝（）A．﹣8﹣6i B．8+6i C．8﹣6i D．﹣8+6i【解答】解：（3﹣i）2＝9﹣6i+i2＝8﹣6i．故选：C．2．复数，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣i D．﹣2i【解答】解：∵＝，∴复数z的虚部为﹣1．故选：A．3．下列求导计算正确的是（）A．B．C．D．（x sin x）′＝cos x【解答】解：A选项应为，C选项应为2x ln2，D选项应为sin x+x cos x．故选：B．4．记I为虚数集，设a，b∈R，x，y∈I．则下列类比所得的结论正确的是（）A．由a•b∈R，类比得x•y∈IB．由a2≥0，类比得x2≥0C．由（a+b）2＝a2+2ab+b2，类比得（x+y）2＝x2+2xy+y2D．由a+b＞0⇒a＞﹣b，类比得x+y＞0⇒x＞﹣y【解答】解：A：由a•b∈R，不能类比得x•y∈I，如x＝y＝i，则xy＝﹣1∉I，故A不正确；B：由a2≥0，不能类比得x2≥0．如x＝i，则x2＜0，故B不正确；C：由（a+b）2＝a2+2ab+b2，可类比得（x+y）2＝x2+2xy+y2．故C正确；D：若x，y∈I，当x＝1+i，y＝﹣i时，x+y＞0，但x，y是两个虚数，不能比较大小．故D错误故4个结论中，C是正确的．故选：C．5．下列表述正确的是（）①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；⑤若z∈C，且|z+2﹣2i|＝1，则|z﹣2﹣2i|的最小值是3．A．①②③④B．②③④C．①②④⑤D．①②⑤【解答】解：归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理，故①正确；演绎推理是由一般到特殊的推理，故②正确；类比推理是由特殊到特殊的推理，故③错误；分析法是一种直接证明法，故④错误；|z+2﹣2i|＝1表示复平面上的点到（﹣2，2）的距离为1的圆，|z﹣2﹣2i|就是圆上的点，到（2，2）的距离的最小值，就是圆心到（2，2）的距离减去半径，即：|2﹣（﹣2）|﹣1＝3，故⑤正确故选：D．6．设曲线y＝在点（1，0）处的切线与直线x﹣ay+1＝0垂直，则a＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．【解答】解：由题意得，＝（x＞0），∵在点（1，0）处的切线与直线x﹣ay+1＝0垂直，∴＝﹣a，解得a＝，故选：C．7．某个班级组织元旦晚会，一共准备了A、B、C、D、E、F六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排A或B，最后一个节目不能排A，且C、D要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（）种A．72 B．84 C．96 D．120【解答】解：．按照第一个节目分两类：①排A，将C，D捆绑在一起当一个元素，共4个元素作全排列，有A A＝48种；②排B，将C，D捆绑在一起当一个元素，共4个元素作全排列，有48种，其中A排最后一个节目的有A A＝12，故共有48﹣12＝36种，根据分类加法计数原理得不同的节目顺序共有48+36＝84种．故选：B．8．用数学归纳法证明“42n﹣1+3n+1（n∈N*）能被13整除”的第二步中，当n＝k+1时为了使用归纳假设，对42k+1+3k+2变形正确的是（）A．16（42k﹣1+3k+1）﹣13×3k+1B．4×42k+9×3kC．（42k﹣1+3k+1）+15×42k﹣1+2×3k+1D．3（42k﹣1+3k+1）﹣13×42k﹣1【解答】解：假设n＝k时命题成立．即：42k﹣1+3k+1被13整除．当n＝k+1时，42k+1+3k+2＝16×42k﹣1+3×3k+1＝16（42k﹣1+3k+1）﹣13×3k+1．故选：A．9．（2x2﹣x+1）8的展开式中x5的系数是（）A．-1288 B．1280 C．1288 D．﹣1280【解答】解：x5可能是（﹣x）5，（2x2）（﹣x）3，（2x2）2（﹣x），（﹣x）5表示在8个式子中5个选（﹣x），其余3个选出1，系数为（﹣1）5•13＝﹣56；（2x2）（﹣x）3表示在8个式子中1个选2x2，其余7个中3个选（﹣x），其余选1，系数为•2•（﹣1）3•14＝﹣560；（2x2）2（﹣x）表示在8个式子中2个选2x2，其余6个中一个选（﹣x），其余选1，系数为•22•（﹣1）•15＝﹣672，所以将（2x2﹣x+1）8展开合并同类项之后的式子中x5的系数是﹣56﹣560﹣672＝﹣1288．故选：A．10．某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，先分组，可得，再一组打扫教室，一组打扫操场，可得不同的选派法有，故选：A．11．函数f（x）是定义在区间（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f'（x），且满足f'（x）+f（x）＞0，则不等式的解集为（）A．{x|x＞﹣2015} B．{x|x＜﹣2015}C．{x|﹣2018＜x＜0} D．{x|﹣2018＜x＜﹣2015}【解答】解：根据题意，设g（x）＝x2f（x），（x＞0），则导数g′（x）＝（x2）′f（x）+x2f′（x）＝x2f′（x）+2xf（x）；函数f（x）在区间（0，+∞）上，满足f'（x）+f（x）＞0，则有x2f′（x）+2xf（x）＞0，则有g′（x）＞0，即函数g（x）在区间（0，+∞）上为增函数；⇒（x+2018）2fx+2018）＜32f（3）⇒g（2018）＜g（3），则有0＜x+2018＜3，解可得：﹣2018＜x＜﹣2015；即不等式的解集为{x|﹣2018＜x＜﹣2015}；故选：D．12．若函数f（x）＝ax3+2x2+x+1在（1，2）上有最大值无最小值，则实数a的取值范围为（）A．a＞﹣B．a C．﹣D．【解答】解：f′（x）＝3ax2+4x+1，x∈（1，2）．a＝0时，f′（x）＝4x+1＞0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．a≠0时，△＝16﹣12a．由△≤0，解得，此时f′（x）≥0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a＜（a≠0），由f′（x）＝0，解得x1＝，x2＝．当时，x1＜0，x2＜0，因此f′（x）≥0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a＜0时，x1＞0，x2＜0，∵函数f（x）＝ax3+2x2+x+1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f′（x1）＝0，∴1＜＜2，a＜0．解得：＜a＜﹣．综上可得：＜a＜﹣．故选：C．二．填空题（共4小题）13．解：（x﹣）6的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x6﹣3r，令6﹣3r＝0，求得r＝2，可得常数项•4＝60，14．将数列{3n﹣1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），…，则第100组中的第一个数是34950．【解答】解：由题意，前99组数共包含1+2+3+…+99＝＝4950则第100组数中的第一个数应是原数列的第4951项，即34950故答案为：34950．15．定积分（﹣x）dx等于．【解答】解：（﹣x）dx＝dx﹣xdx＝dx﹣＝dx﹣，由y＝，则函数y＝表示以（1，0）为圆心，半径r＝1的圆的，∴dx＝，∴dx﹣＝，故答案为：．16．已知函数f（x）＝（x+a）2+（e x+）2，若存在x0，使得f（x0），则实数a的值为．【解答】解：函数f（x）＝（x+a）2+（e x+）2，函数f（x）可以看作是动点M（x，e x）与动点N（﹣a，﹣）之间距离的平方，动点M在函数y＝e x的图象上，N在直线y＝x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y＝e x得，y′＝e x＝，解得x＝﹣1，所以曲线上点M（﹣1，）到直线y＝x的距离最小，最小距离d＝，则f（x）≥，根据题意，要使f（x0）≤，则f（x0）＝，此时N恰好为垂足，由K MN＝＝﹣e，解得a＝．故答案为：．三．解答题（共6小题）17．已知复数z＝1+mi（i是虚数单位，m∈R），且为纯虚数（是z的共轭复数）．（1）设复数z1＝，求|z1|；（2）设复数z2＝，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．【解答】解：∵z＝1+mi，∴＝1﹣mi．∴•（3+i）＝（1﹣mi）（3+i）＝（3+m）+（1﹣3m）i．又∵•（3+i）为纯虚数，∴，解得m＝﹣3．∴z＝1﹣3i．（1）z1＝＝﹣﹣i，∴|z1|＝；（2）∵z＝1﹣3i，∴z2＝＝，又∵复数z2所对应的点在第一象限，∴，解得：a＞．18．【解答】证明（1）要证明2；只要证2，只要证（）2＞（2）2，只要证13+213+2，只要证即证 42＞40．而 42＞40 显然成立，故原不等式成立（2）证明：假设，，为同一等差数列的三项，则存在整数m，n满足md①nd②①×n﹣②×m得：n m（n﹣m）两边平方得：3n2+5m2﹣2mn＝2（n﹣m）2左边为无理数，右边为有理数，且有理数≠无理数所以，假设不正确．故，，不能为同一等差数列中的三项19．已知数列{a n}满足：na n+1＝（n+2）（a n﹣1），且a1＝6．（1）求a2，a3，a4的值，并猜想{a n}的通项公式；（2）试用数学归纳法证明上述猜想．解：（1）由递推公式可得a2＝15，a3＝28，a4＝45，可猜想a n＝（n+1）（2n+1）＝2n2+3n+1．（2）下面用数学归纳法证明猜想成立．①当n＝1时，猜想显然成立；②假设n＝k（k≥1，k∈N+）时猜想成立，即，则n＝k+1时，由ka k+1＝（k+2）（a k﹣1）可得＝＝（k+2）（2k+3）＝2（k+1）2+3（k+1）+1，即：当n＝k+1时，猜想也成立，由①②可知，当n∈N+时，a n＝2n2+3n+1．20．已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知a、b∈R，a＞b＞e（其中e是自然对数的底数），求证：b a＞a b．【解答】解：（1），∴∴当x＞e时，，∴函数在上是单调递减．当0＜x＜e时，，∴函数在（0，e）上是单调递增．∴f（x）的增区间是（0，e），减区间是．（2）证明：∵b a＞0，a b＞0∴要证：b a＞a b，只需证：alnb＞blna．只需证．（∵a＞b＞e）由（1）得函数在上是单调递减．∴当a＞b＞e时，有，即．得证．21．（1）设展开式中的各项系数之和为A，各项的二项式系数之和为B，若A+B＝272，求展开式中的x项的系数．（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求的展开式中系数最大的项？【解答】解：（1）二项式展开式中的各项系数之和为A＝（3+1）n＝4n，各项的二项式系数之和为B＝2n，若A+B＝4n+2n＝272，∴2n＝16，求得n＝4，故展开式中的x项为•＝108x，故展开式中的x项的系数为108．（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，即++＝1+n+＝79，求得n＝12，故＝的展开的通项公式为T r+1＝•22r﹣12•x r，令，求得≤r≤，∵r为整数，∴r＝10，故展开式系数最大的项为第11项，即T11＝•28•x10＝16896x10．22．设函数．（Ⅰ）求函数单调递减区间；（Ⅱ）若函数G（x）＝f（x）+g（x）（a≤0）的极小值不小于，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，所以由F'（x）＜0，解得或．综上所述，F（x）的递减区间为和．（Ⅱ）由题可知，所以．（1）当a＝0时，，则G（x）在（﹣∞，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，所以G（x）在R上没有极小值，故舍去；（2）当a＜0时，，由G'（x）＝0得，由于a＜0，所以，因此函数G（x）在（﹣∞，1）为增函数，在为减函数，在为增函数，所以G（x）极小值＝即．令，则上述不等式可化为．上述不等式①设，则，故h（t）在（1，+∞）为增函数．又h（2）＝0，所以不等式①的解为t≥2，因此，所以，解得﹣1≤a＜0．综上所述a∈[﹣1，0）．2018-2019下学年度高二期中数学考试试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（3﹣i）2＝（）A．﹣8﹣6i B．8+6i C．8﹣6i D．﹣8+6i【解答】解：（3﹣i）2＝9﹣6i+i2＝8﹣6i．故选：C．2．复数，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣i D．﹣2i【解答】解：∵＝，∴复数z的虚部为﹣1．故选：A．3．下列求导计算正确的是（）A．B．C．D．（x sin x）′＝cos x【解答】解：A选项应为，C选项应为2x ln2，D选项应为sin x+x cos x．故选：B．4．记I为虚数集，设a，b∈R，x，y∈I．则下列类比所得的结论正确的是（）A．由a•b∈R，类比得x•y∈IB．由a2≥0，类比得x2≥0C．由（a+b）2＝a2+2ab+b2，类比得（x+y）2＝x2+2xy+y2D．由a+b＞0⇒a＞﹣b，类比得x+y＞0⇒x＞﹣y【解答】解：A：由a•b∈R，不能类比得x•y∈I，如x＝y＝i，则xy＝﹣1∉I，故A不正确；B：由a2≥0，不能类比得x2≥0．如x＝i，则x2＜0，故B不正确；C：由（a+b）2＝a2+2ab+b2，可类比得（x+y）2＝x2+2xy+y2．故C正确；D：若x，y∈I，当x＝1+i，y＝﹣i时，x+y＞0，但x，y是两个虚数，不能比较大小．故D错误故4个结论中，C是正确的．故选：C．5．下列表述正确的是（）①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；⑤若z∈C，且|z+2﹣2i|＝1，则|z﹣2﹣2i|的最小值是3．A．①②③④B．②③④C．①②④⑤D．①②⑤【解答】解：归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理，故①正确；演绎推理是由一般到特殊的推理，故②正确；类比推理是由特殊到特殊的推理，故③错误；分析法是一种直接证明法，故④错误；|z+2﹣2i|＝1表示复平面上的点到（﹣2，2）的距离为1的圆，|z﹣2﹣2i|就是圆上的点，到（2，2）的距离的最小值，就是圆心到（2，2）的距离减去半径，即：|2﹣（﹣2）|﹣1＝3，故⑤正确故选：D．6．设曲线y＝在点（1，0）处的切线与直线x﹣ay+1＝0垂直，则a＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．【解答】解：由题意得，＝（x＞0），∵在点（1，0）处的切线与直线x﹣ay+1＝0垂直，∴＝﹣a，解得a＝，故选：C．7．某个班级组织元旦晚会，一共准备了A、B、C、D、E、F六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排A或B，最后一个节目不能排A，且C、D要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（）种A．72 B．84 C．96 D．120【解答】解：．按照第一个节目分两类：①排A，将C，D捆绑在一起当一个元素，共4个元素作全排列，有A A＝48种；②排B，将C，D捆绑在一起当一个元素，共4个元素作全排列，有48种，其中A排最后一个节目的有A A＝12，故共有48﹣12＝36种，根据分类加法计数原理得不同的节目顺序共有48+36＝84种．故选：B．8．用数学归纳法证明“42n﹣1+3n+1（n∈N*）能被13整除”的第二步中，当n＝k+1时为了使用归纳假设，对42k+1+3k+2变形正确的是（）A．16（42k﹣1+3k+1）﹣13×3k+1B．4×42k+9×3kC．（42k﹣1+3k+1）+15×42k﹣1+2×3k+1D．3（42k﹣1+3k+1）﹣13×42k﹣1【解答】解：假设n＝k时命题成立．即：42k﹣1+3k+1被13整除．当n＝k+1时，42k+1+3k+2＝16×42k﹣1+3×3k+1＝16（42k﹣1+3k+1）﹣13×3k+1．故选：A．9．（2x2﹣x+1）8的展开式中x5的系数是（）A．-1288 B．1280 C．1288 D．﹣1280【解答】解：x5可能是（﹣x）5，（2x2）（﹣x）3，（2x2）2（﹣x），（﹣x）5表示在8个式子中5个选（﹣x），其余3个选出1，系数为（﹣1）5•13＝﹣56；（2x2）（﹣x）3表示在8个式子中1个选2x2，其余7个中3个选（﹣x），其余选1，系数为•2•（﹣1）3•14＝﹣560；（2x2）2（﹣x）表示在8个式子中2个选2x2，其余6个中一个选（﹣x），其余选1，系数为•22•（﹣1）•15＝﹣672，所以将（2x2﹣x+1）8展开合并同类项之后的式子中x5的系数是﹣56﹣560﹣672＝﹣1288．故选：A．10．某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，先分组，可得，再一组打扫教室，一组打扫操场，可得不同的选派法有，故选：A．11．函数f（x）是定义在区间（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f'（x），且满足f'（x）+f（x）＞0，则不等式的解集为（）A．{x|x＞﹣2015} B．{x|x＜﹣2015}C．{x|﹣2018＜x＜0} D．{x|﹣2018＜x＜﹣2015}【解答】解：根据题意，设g（x）＝x2f（x），（x＞0），则导数g′（x）＝（x2）′f（x）+x2f′（x）＝x2f′（x）+2xf（x）；函数f（x）在区间（0，+∞）上，满足f'（x）+f（x）＞0，则有x2f′（x）+2xf（x）＞0，则有g′（x）＞0，即函数g（x）在区间（0，+∞）上为增函数；⇒（x+2018）2fx+2018）＜32f（3）⇒g（2018）＜g（3），则有0＜x+2018＜3，解可得：﹣2018＜x＜﹣2015；即不等式的解集为{x|﹣2018＜x＜﹣2015}；故选：D．12．若函数f（x）＝ax3+2x2+x+1在（1，2）上有最大值无最小值，则实数a的取值范围为（）A．a＞﹣B．a C．﹣D．【解答】解：f′（x）＝3ax2+4x+1，x∈（1，2）．a＝0时，f′（x）＝4x+1＞0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．a≠0时，△＝16﹣12a．由△≤0，解得，此时f′（x）≥0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a＜（a≠0），由f′（x）＝0，解得x1＝，x2＝．当时，x1＜0，x2＜0，因此f′（x）≥0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a＜0时，x1＞0，x2＜0，∵函数f（x）＝ax3+2x2+x+1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f′（x1）＝0，∴1＜＜2，a＜0．解得：＜a＜﹣．综上可得：＜a＜﹣．故选：C．二．填空题（共4小题）13．解：（x﹣）6的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x6﹣3r，令6﹣3r＝0，求得r＝2，可得常数项•4＝60，14．将数列{3n﹣1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），…，则第100组中的第一个数是34950．【解答】解：由题意，前99组数共包含1+2+3+…+99＝＝4950则第100组数中的第一个数应是原数列的第4951项，即34950故答案为：34950．15．定积分（﹣x）dx等于．【解答】解：（﹣x）dx＝dx﹣xdx＝dx﹣＝dx﹣，由y＝，则函数y＝表示以（1，0）为圆心，半径r＝1的圆的，∴dx＝，∴dx﹣＝，故答案为：．16．已知函数f（x）＝（x+a）2+（e x+）2，若存在x0，使得f（x0），则实数a的值为．【解答】解：函数f（x）＝（x+a）2+（e x+）2，函数f（x）可以看作是动点M（x，e x）与动点N（﹣a，﹣）之间距离的平方，动点M在函数y＝e x的图象上，N在直线y＝x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y＝e x得，y′＝e x＝，解得x＝﹣1，所以曲线上点M（﹣1，）到直线y＝x的距离最小，最小距离d＝，则f（x）≥，根据题意，要使f（x0）≤，则f（x0）＝，此时N恰好为垂足，由K MN＝＝﹣e，解得a＝．故答案为：．三．解答题（共6小题）17．已知复数z＝1+mi（i是虚数单位，m∈R），且为纯虚数（是z的共轭复数）．（1）设复数z1＝，求|z1|；（2）设复数z2＝，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．【解答】解：∵z＝1+mi，∴＝1﹣mi．∴•（3+i）＝（1﹣mi）（3+i）＝（3+m）+（1﹣3m）i．又∵•（3+i）为纯虚数，∴，解得m＝﹣3．∴z＝1﹣3i．（1）z1＝＝﹣﹣i，∴|z1|＝；（2）∵z＝1﹣3i，∴z2＝＝，又∵复数z2所对应的点在第一象限，∴，解得：a＞．18．【解答】证明（1）要证明2；只要证2，只要证（）2＞（2）2，只要证13+213+2，只要证即证 42＞40．而 42＞40 显然成立，故原不等式成立（2）证明：假设，，为同一等差数列的三项，则存在整数m，n满足md①nd②①×n﹣②×m得：n m（n﹣m）两边平方得：3n2+5m2﹣2mn＝2（n﹣m）2左边为无理数，右边为有理数，且有理数≠无理数所以，假设不正确．故，，不能为同一等差数列中的三项19．已知数列{a n}满足：na n+1＝（n+2）（a n﹣1），且a1＝6．（1）求a2，a3，a4的值，并猜想{a n}的通项公式；（2）试用数学归纳法证明上述猜想．解：（1）由递推公式可得a2＝15，a3＝28，a4＝45，可猜想a n＝（n+1）（2n+1）＝2n2+3n+1．（2）下面用数学归纳法证明猜想成立．①当n＝1时，猜想显然成立；②假设n＝k（k≥1，k∈N+）时猜想成立，即，则n＝k+1时，由ka k+1＝（k+2）（a k﹣1）可得＝＝（k+2）（2k+3）＝2（k+1）2+3（k+1）+1，即：当n＝k+1时，猜想也成立，由①②可知，当n∈N+时，a n＝2n2+3n+1．20．已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知a、b∈R，a＞b＞e（其中e是自然对数的底数），求证：b a＞a b．【解答】解：（1），∴∴当x＞e时，，∴函数在上是单调递减．当0＜x＜e时，，∴函数在（0，e）上是单调递增．∴f（x）的增区间是（0，e），减区间是．（2）证明：∵b a＞0，a b＞0∴要证：b a＞a b，只需证：alnb＞blna．只需证．（∵a＞b＞e）由（1）得函数在上是单调递减．∴当a＞b＞e时，有，即．得证．21．（1）设展开式中的各项系数之和为A，各项的二项式系数之和为B，若A+B＝272，求展开式中的x项的系数．（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求的展开式中系数最大的项？【解答】解：（1）二项式展开式中的各项系数之和为A＝（3+1）n＝4n，各项的二项式系数之和为B＝2n，若A+B＝4n+2n＝272，∴2n＝16，求得n＝4，故展开式中的x项为•＝108x，故展开式中的x项的系数为108．（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，即++＝1+n+＝79，求得n＝12，故＝的展开的通项公式为T r+1＝•22r﹣12•x r，令，求得≤r≤，∵r为整数，∴r＝10，故展开式系数最大的项为第11项，即T11＝•28•x10＝16896x10．22．设函数．（Ⅰ）求函数单调递减区间；（Ⅱ）若函数G（x）＝f（x）+g（x）（a≤0）的极小值不小于，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，所以由F'（x）＜0，解得或．综上所述，F（x）的递减区间为和．（Ⅱ）由题可知，所以．（1）当a＝0时，，则G（x）在（﹣∞，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，所以G（x）在R上没有极小值，故舍去；（2）当a＜0时，，由G'（x）＝0得，由于a＜0，所以，因此函数G（x）在（﹣∞，1）为增函数，在为减函数，在为增函数，所以G（x）极小值＝即．令，则上述不等式可化为．上述不等式①设，则，故h（t）在（1，+∞）为增函数．又h（2）＝0，所以不等式①的解为t≥2，因此，所以，解得﹣1≤a＜0．综上所述a∈[﹣1，0）．。