3.积分历年试题
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2005年)当a取值为( )时，函数f(x)=2x3一9x2+12x—a恰有两个不同的零点。
A．2。
B．4。
C．6。
D．8。
正确答案：B解析：由f’(x)=6x2一18x+12=6(x一1)(x一2)，知可能极值点为x=1，x=2，当x＜1和x＞2时，函数单调增加，1＜x＜2时，函数单调减小，且f(1)=5一a，f(2)=4一a。
可见当a=4时，f(1)=1＞0，且=一∞，由单调性和零点存在性定理可知，函数在(-∞，1)上有唯一的零点，而此时f(2)=0，在(1，2)和(2，+∞)上无零点，因此a=4时，f(x)恰好有两个零点。
故应选B。
知识模块：微积分2．(2001年)设函数f(x)的导数在x=a处连续，又，则( )A．x=a是f(x)的极小值点。
B．x=a是f(x)的极大值点。
C．(a，f(a))是曲线y=f(x)的拐点。
D．x=a不是f(x)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点。
正确答案：B解析：又函数f(x)的导数在x=a处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右极限且等于函数在该点的值，所以f’(a)=0，于是即f’(a)=0，f”(a)=一1＜0，根据判定极值的第二充分条件知x=a是f(x)的极大值点，因此，正确选项为B。
知识模块：微积分3．(2004年)设f(x)=|x(1-x)|，则( )A．x=0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点。
B．x=0不是f(x)的极值点，但(0，0)是曲线y=f(x)的拐点。
C．x=0是f(x)的极值点，且(O，O)是曲线y=f(x)的拐点。
D．x=0不是f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线y=f(x)的拐点。
正确答案：C解析：令φ(x)=x(x一1)，则φ(x)=是以直线x=为对称轴，顶点坐标为开口向上的一条抛物线，与x轴相交的两点坐标为(0，0)，(1，0)，f(x)=|φ(x)|的图形如图。
3积分历年试题共6页word资料
历年试题1.概念题（1）（0304）函数x e x f -=)(的一个原函数是（ ）. A. x e - B. x e C. x e -- D. x e - （2）（0312）设C x dx x f +=⎰2cos )(则.)(=x f（3）（0403）设函数x e x f 2)(=则dx x f ⎰')(等于（ ） A.C e x+221 B. C e x +22 C. C e x +-2 D. C e x +2 （4）（0505）dx x ⎰sin 等于（ ）A.x cosB. x cos -C. C x +cosD. C x +-cos （5）（0607）已知2x 为)(x f 的一个原函数，则)()(=x fA. C x +33B. 2xC. x 2D. 2（6）（0706）设)(x f 的一个原函数为3x ，则)()(='x fA. 23xB.441x C. 44x D.x 6（7）（0806）)()1(cos =+⎰dx xA.C x x ++sinB.C x x ++-sinC.C x x ++cosD. C x x ++-cos （8）（0907）若C e dx e x f x x +=⎰22)(则)()(=x fA. x 2B. 2x C. 2x e D. 1（9）（1005）)(14=⎰dx xA. C x +-331 B. C x +231 C. C x +33D. C x+-33 （10）（1116）=⎰dx x 5.2.定积分的概念和性质（1）（0104）下列定积分等于零的是（ ） A .⎰112cos -xdx x B.⎰11-sin xdx x C.⎰+11)sin (-dx x x D.⎰+11)(-x dx x e（2）（0214）定积分.)sin (2=+⎰ππ-dx x x（3）（0313）定积分.cos 1sin 222=+⎰ππ-dx x x（4）（0411）定积分.cos =⎰ππ-xdx x （5）（0517）.sin 112=⎰-xdx x（6）（0618）=⎰113cos -xdx x .（7）（0707）)()cos (113=+⎰-dx x x xA.-2B.0C.2D. 4（8）（0717）.)(21⎰=dx x f dxd（9）（0807）)(115=⎰-dx xA.-2B.-1C.0D. 1（10）（0818）.)(cos 22=+⎰ππ-dx x x（11）（0906）)(11202⎰=+dx xdx dA. 21x dx + B.211x + C.4πD. 0 （12）（1118）=+⎰1123)cos (-dx x x x3.变上限定积分的概念及导数（1）（0113）设⎰='=xx f tdt x f 1)(,arctan )(则 （2）（0413）设⎰='=xf tdt x f 0)2(,sin )(π则（3）（0507）设)()(,)()(0⎰=Φ'+=Φx t x dt t e x 则A. 0B. 22x e x+ C. x e x + D.1+x e（4）（0817）⎰=+x dt t t dxd 02)(.（5）（1007）已知)()(,1)(02⎰='+=xx F dt t x F 则A. 212x x +B.112++x C. 21x + D. 112-+x（6）（1117）⎰=+xdt t t dxd 0)arctan (.4.凑微分后用公式积分（1）（0111）=⎰dx x x 1cos 12（2）（0213）=+⎰dx xx212 （3）（0516）=+⎰dx x )1(2（4）（0605）)(=⎰-dx e xA. C e x +B. C e x +-C. C e x +--D. C e x +-（5）（0823）计算=⎰xdx 5sin（6）（0918）=⎰dx e x 3（7）（1017）=⎰dx ex 15.第一換元积分法（凑微分法）（1）（0218）计算⎰+dx x x )1sin(2 （2）（0219）计算⎰+dx x x )1(1（3）（0523）计算⎰+dx x x 22)1(（4）（0623）计算⎰dx x x )cos(2 （5）（0723）计算⎰dx x x )cos(ln（6）（0923）计算⎰+dx xxln 1 （7）（1023）计算⎰dx xe x 2（8）（1123）计算⎰-dx x x126分部积分法（1）（0224）设x x x f ln )(+='，求)(x f（2）（0728）设)(x f 的一个原函数为2x xe ，计算.)(⎰'dx x f x（3）（0924）计算.arcsin ⎰xdx 7. 定积分的计算 （1）（0124）⎰+813xx dx（2）（0220）设函数⎰⎩⎨⎧≤<≤≤=202.)(,21210)(dx x f x x x x x f 求（3）（0324）计算⎰20sin πxdx x （4）（0423）⎰exdx 1ln （5）（0518）=⎰e dx xx1ln （6）（0524）计⎰10dx xe x（7）（0624）⎰exdx x 1ln（8）（0718）⎰+10)1(dx x x（9）（0919）=⎰edx xx1ln（10）（1018）=⎰20sin cos πxdx e x（11）（1024）⎰10dx e x8. 反常积分（1）（0112）⎰+∞-=2dx e x（2）（0424）⎰+∞121dx x （3）（1019）⎰+∞+0211dx x9. 简单有理函数积分 （0422）计算⎰+dx x x )1(110.平面图形面积及旋转体的体积 （1）（0126）求由曲线x e y =及直线1,0,===x x x y 所围成的平面图形的面积.（2）（0326）求曲线 C ,22x y =直线L 为,4x y =（1）求由求曲线C 与直线L 所围成的平面图形的面积S. （2）求曲线C 的平行于直线L 的切线方程.（3）（0527）（1）求曲线)0(2≥=x x y ，0,1==x y 所围成的平面图形的面积.(2)求(1)中的平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.（4）（0627）（1）求由曲线2,1,===x xy x y 与0=y 所围成的平面图形的 面积S.(2)求(1)中的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积x V .（5）（0827）(1)求由曲线x e y =及直线0,0,1===y x x 所围成图形D 的面积.(2) 求平面图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积x V .（6）（0927）(1)求在区间 ],0[π上的曲线轴与x x y sin =所围成图形的面积. (2) 求(1)中的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积x V .（7）（1006）求由曲线21x y -=与x 轴所围成的平面图形的面积S =( )A. 2B.34 C. 1 D. 32（8）（1128）设D 为曲线21x y -=,直线1+=x y 与 及x 轴所围成的平面图形.(1)求平面图形的面积S.(2) 求平面图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积x V .11.证明题（1）（0127）设⎰=40tan )(πxdx n f n (n 为正整数),证明41)5()3(=+f f（2）（0127）已知⎰-=-π,cos 1)()(x dt t f t x 证明⎰=201)(πdx x f（3）（0428）设函数)(x f 在区间[0,1]上连续,证明⎰⎰=-121)(21)21(dx x f dx x f（4）（0723）设)(x f 为连续函数,证明⎰⎰=-212)()3(dx x f dx x f。
积分习题答案
积分习题答案积分习题答案积分作为微积分的重要概念之一，是解决各种数学问题的基础工具之一。
在学习积分的过程中，习题是不可或缺的一环。
通过积分习题的练习，可以帮助我们巩固知识，提高解题能力。
本文将为大家提供一些积分习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、定积分定积分是积分的一种形式，用来计算曲线与坐标轴所围成的面积。
下面是一些常见的定积分习题及其答案：1. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。
答案：∫(0,1) x^2 dx = [x^3/3] (0,1) = 1/3。
2. 计算定积分∫(1,2) (2x-1) dx。
答案：∫(1,2) (2x-1) dx = [x^2-x] (1,2) = 3。
3. 计算定积分∫(0,π) sin(x) dx。
答案：∫(0,π) sin(x) dx = [-cos(x)] (0,π) = 2。
二、不定积分不定积分是积分的另一种形式，用来求函数的原函数。
下面是一些常见的不定积分习题及其答案：1. 计算不定积分∫x^2 dx。
答案：∫x^2 dx = x^3/3 + C，其中C为常数。
2. 计算不定积分∫(2x-1) dx。
答案：∫(2x-1) dx = x^2 - x + C，其中C为常数。
3. 计算不定积分∫sin(x) dx。
答案：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，其中C为常数。
三、应用题积分在实际问题中的应用非常广泛，下面是一些与应用题相关的习题及其答案：1. 已知物体的速度函数v(t) = 2t，求物体在时间区间[0,2]上的位移。
答案：位移是速度的积分，即∫(0,2) 2t dt = t^2 |(0,2) = 4。
2. 已知曲线的边界方程为y = x^2，求曲线与x轴所围成的面积。
答案：面积是曲线的定积分，即∫(0,1) x^2 dx = 1/3。
3. 已知物体的加速度函数a(t) = 2，初速度v(0) = 1，求物体在时间区间[0,3]上的位移。
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编22(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编22(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1990年)设函数f(x)=xtanxesinx，则f(x)是( )A．偶函数．B．无界函数．C．周期函数．D．单调函数．正确答案：B解析：由于则f(x)无界．2．(2011年)已知当x→0时，函数f(x)=3sinx—sin3x与cxk是等价无穷小，则( )A．k=1，c=4．B．k=1，c=一4．C．k=3，c=4．D．k=3，c=一4．正确答案：C解析：则k=3，c=43．(2000年)设函数f(x)在点x=a处可导，则函数｜f(x)｜在点x=a处不可导的充分条件是( )A．f(a)=0且f’(a)=0B．f(a)=0且f’(a)≠0C．f(a)＞0且f’(a)＞0D．f(a)＜0且f’(a)＜0正确答案：B解析：排除法．A选项显然不正确，f(x)=(x一a)2就是一个反例．事实上C 和D也是不正确的．因为f(x)在a点可导，则f(x)在a点连续，若f(a)＞0(或f(a)＜0)则存在a点某邻域在此邻域内f(x)＞0(或f(x)＜0)，因此在a点的此邻域内｜f(x)｜=f(x)(或｜f(x)｜=一f(x))．从而可知｜f(x)｜与f(x)在a点可导性相同，而f(x)在点可导，从而C和D都不正确，因此，应选B．4．(2007年)设某商品的需求函数为Q=160—2p，其中Q，p分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是( ) A．10C．30．D．40．正确答案：D解析：由题设可知，该商品的需求弹性为由知p=40．故应选D．5．(1987年)下列广义积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：由于收敛，所以．应选C．6．(2018年)设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且∫01 f(x)dx=0，则( ) A．B．C．D．正确答案：D解析：由泰勒公式得上式两端积分得7．(2006年)设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( ) A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0．B．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)≠0．C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0．D．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)≠0．正确答案：D解析：由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有若fx’(x0，y0)≠0，由①式知λ≠0，由原题设知φy’ (x0，y0)≠0，由②式可知fy’ (x0，y0)≠0，故应选8．(2016年)级数(k为常数)( )A．绝对收敛．B．条件收敛．C．发散．D．收敛性与k有关．正确答案：A解析：由于收敛，则原级数绝对收敛．填空题9．(2007年) =______．正确答案：应填0．解析：由于sinx+cosx为有界变量，则10．(1990年)设f(x)有连续的导数，f(0)=0且f’(0)=b，若函数在x=0处连续，则常数A=______．正确答案：应填a+b．解析：由于F(x)在x=0连续，则11．(2003年)已知曲线y=x3一3a2x+b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2=______．正确答案：应填4a6．解析：设曲线y=x3一3a2x+b在x=x0处与x轴相切，则3x02—3a2=0 且x03—3a2x0+b=0即x02=a2 且x0(x02—3a2)=一b从而可得b2=4a612．(2018年)设函数f(x)满足f(x+△x)一f(x)=2xf(x)△x+o(△x)(△x→0)，且f(0)=2，则f(1)=______．正确答案：应填2e．解析：由f(x+△x)一f(x)=2xf(x)△x+o(△x)(△x→0)知上式中令△x→0得f’(x)=2xf(x)解方程得f(x)=Cex2又f(0)=2，则C=2，f(x)=2ex2，f(1)=2e．13．(2010年)设可导函数y=y(x)由方程∫0x+ye－t2dt=∫0xxsint2dt确定，则=______.正确答案：应填一1．解析：由∫0x+ye－t2dt=x∫0xsintdt知，x=0时y=0，且e－(x+y)2(1+y’)=∫0xsintdt+xsinx将x=0和y=0代入上式得1+y’(0)=0y’(0)=－114．(2000年)设其中f，g均可微，则=______．正确答案：应填解析：15．(2014年)二次积分=______．正确答案：应填解析：积分中的第二项适合先对x后对y积分，但第一项适合先对y后对x 积分．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
72道积分题
72道积分题简介积分是微积分中的一个重要概念，可用于求解曲线下的面积、求解速度、加速度等问题。
本文将介绍72道与积分相关的题目，并提供详细的解答过程。
题目1：定积分计算计算定积分∫(x 2+2x )10dx 。
解答： 首先，我们可以将被积函数展开为x 2+2x 。
然后，根据定积分的性质，我们可以将被积函数拆分为两个部分：∫x 210dx +∫210xdx 。
接下来，我们使用不定积分的公式来求解每个部分：x 33+x 2|01+x 22|01。
将上述结果代入并进行计算，最终得到结果为43。
题目2：曲线下面积计算计算曲线y =x 3与x 轴所围成的面积。
解答： 首先，我们需要确定曲线与x 轴的交点。
令y =x 3=0，解得x =0。
然后，我们可以使用定积分来计算曲线下的面积：∫x 310dx 。
接下来，我们使用不定积分的公式来求解上述定积分：x 44|01。
将上述结果代入并进行计算，最终得到结果为14。
题目3：速度与位移关系已知物体的速度函数v (t )=3t 2−2t +1，求物体在时间区间[0,2]内的位移。
解答： 根据速度函数的定义，我们可以使用定积分来计算位移：∫(3t 2−2t +201)dt 。
接下来，我们使用不定积分的公式来求解上述定积分：t 3−t 2+t|02。
将上述结果代入并进行计算，最终得到结果为6。
题目4：加速度与速度关系已知物体的加速度函数a (t )=6t −2，初始时刻t =0时物体的速度v (0)=5，求物体在时间区间[0,3]内的位移。
解答： 根据加速度函数和初始速度条件，我们可以推导出速度函数：v (t )=∫(6t −2)dt =3t 2−2t +C 。
然后，使用初始速度条件v (0)=5来求解常数C ：5=0−0+C ，解得C =5。
接下来，我们可以使用定积分来计算位移：∫(3t 2−2t +5)30dt 。
使用不定积分的公式求解上述定积分：t 3−t 2+5t|03。
微积分试卷及标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。
3. 若当0x x →时，与 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
[整理]3积分历年试题
![[整理]3积分历年试题](https://img.taocdn.com/s3/m/738313f16137ee06eff918c6.png)
历年试题1.概念题（1）（0304）函数x e x f -=)(的一个原函数是（ ）. A. x e - B. x e C. x e -- D. x e -（2）（0312）设C x dx x f +=⎰2cos )(则.)(=x f（3）（0403）设函数x e x f 2)(=则dx x f ⎰')(等于（ ） A.C e x+221 B. C e x +22 C. C e x +-2 D. C e x +2 （4）（0505）dx x ⎰sin 等于（ ）A.x cosB. x cos -C. C x +cosD. C x +-cos （5）（0607）已知2x 为)(x f 的一个原函数，则)()(=x fA. C x +33B. 2xC. x 2D. 2（6）（0706）设)(x f 的一个原函数为3x ，则)()(='x fA. 23xB.441x C. 44x D.x 6（7）（0806）)()1(cos =+⎰dx xA.C x x ++sinB.C x x ++-sinC.C x x ++cosD. C x x ++-cos（8）（0907）若C e dx e x f x x +=⎰22)(则)()(=x fA. x 2B. 2xC. 2x e D. 1（9）（1005）)(14=⎰dx xA. C x +-331B.C x +231 C. C x +33D. C x+-33（10）（1116）=⎰dx x 5.2.定积分的概念和性质（1）（0104）下列定积分等于零的是（ ） A .⎰112cos -xdx x B.⎰11-sin xdx x C.⎰+11)sin (-dx x x D.⎰+11)(-x dx x e（2）（0214）定积分.)sin (2=+⎰ππ-dx x x（3）（0313）定积分.cos 1sin 222=+⎰ππ-dx x x（4）（0411）定积分.cos =⎰ππ-xdx x （5）（0517）.sin 112=⎰-xdx x（6）（0618）=⎰113cos -xdx x .（7）（0707）)()cos (113=+⎰-dx x x xA.-2B.0C.2D. 4（8）（0717）.)(21⎰=dx x f dx d（9）（0807）)(115=⎰-dx xA.-2B.-1C.0D. 1（10）（0818）.)(cos 22=+⎰ππ-dx x x（11）（0906）)(11202⎰=+dx x dx dA.21x dx + B.211x + C.4πD. 0 （12）（1118）=+⎰1123)cos (-dx x x x3.变上限定积分的概念及导数（1）（0113）设⎰='=xx f tdt x f 1)(,arctan )(则 （2）（0413）设⎰='=x f tdt x f 0)2(,sin )(π则（3）（0507）设)()(,)()(0⎰=Φ'+=Φxt x dt t e x 则A. 0B. 22x e x+ C. x e x + D.1+x e（4）（0817）⎰=+x dt t t dx d 02)(.（5）（1007）已知)()(,1)(02⎰='+=xx F dt t x F 则A. 212x x +B.112++x C. 21x + D. 112-+x（6）（1117）⎰=+xdt t t dx d 0)arctan (.4.凑微分后用公式积分（1）（0111）=⎰dx x x 1cos 12（2）（0213）=+⎰dx x x212 （3）（0516）=+⎰dx x )1(2（4）（0605）)(=⎰-dx e xA. C e x +B. C e x +-C. C e x +--D. C e x +-（5）（0823）计算=⎰xdx 5sin（6）（0918）=⎰dx e x 3（7）（1017）=⎰dx e x15.第一換元积分法（凑微分法）（1）（0218）计算⎰+dx x x )1sin(2 （2）（0219）计算⎰+dx x x )1(1（3）（0523）计算⎰+dx x x 22)1(（4）（0623）计算⎰dx x x )cos(2 （5）（0723）计算⎰dx x x )cos(ln（6）（0923）计算⎰+dx xxln 1 （7）（1023）计算⎰dx xe x 2（8）（1123）计算⎰-dx x x126分部积分法（1）（0224）设x x x f ln )(+='，求)(x f（2）（0728）设)(x f 的一个原函数为2x xe ，计算.)(⎰'dx x f x（3）（0924）计算.arcsin ⎰xdx 7. 定积分的计算 （1）（0124）⎰+813xx dx（2）（0220）设函数⎰⎩⎨⎧≤<≤≤=202.)(,21210)(dx x f x x x x x f 求（3）（0324）计算⎰20sin πxdx x （4）（0423）⎰exdx 1ln （5）（0518）=⎰e dx xx1ln （6）（0524）计⎰10dx xe x（7）（0624）⎰exdx x 1ln（8）（0718）⎰+10)1(dx x x（9）（0919）=⎰edx xx1ln （10）（1018）=⎰20sin cos πxdx e x（11）（1024）⎰10dx e x8. 反常积分（1）（0112）⎰+∞-=2dx e x（2）（0424）⎰+∞121dx x （3）（1019）⎰+∞+0211dx x9. 简单有理函数积分 （0422）计算⎰+dx x x )1(110.平面图形面积及旋转体的体积 （1）（0126）求由曲线x e y =及直线1,0,===x x x y 所围成的平面图形的面积.（2）（0326）求曲线 C ,22x y =直线L 为,4x y =（1）求由求曲线C 与直线L 所围成的平面图形的面积S. （2）求曲线C 的平行于直线L 的切线方程.（3）（0527）（1）求曲线)0(2≥=x x y ，0,1==x y 所围成的平面图形的面积.(2)求(1)中的平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.（4）（0627）（1）求由曲线2,1,===x xy x y 与0=y 所围成的平面图形的面积S.(2)求(1)中的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积x V .（5）（0827）(1)求由曲线x e y =及直线0,0,1===y x x 所围成图形D 的面积.(2) 求平面图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积x V .（6）（0927）(1)求在区间 ],0[π上的曲线轴与x x y sin =所围成图形的面积.(2) 求(1)中的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积x V .（7）（1006）求由曲线21x y -=与x 轴所围成的平面图形的面积S =( )A. 2B.34 C. 1 D. 32（8）（1128）设D 为曲线21x y -=,直线1+=x y 与 及x 轴所围成的平面图形.(1)求平面图形的面积S.(2) 求平面图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积x V .11.证明题（1）（0127）设⎰=40tan )(πxdx n f n (n 为正整数),证明41)5()3(=+f f（2）（0127）已知⎰-=-π,cos 1)()(x dt t f t x 证明⎰=201)(πdx x f（3）（0428）设函数)(x f 在区间[0,1]上连续,证明⎰⎰=-1021)(21)21(dx x f dx x f（4）（0723）设)(x f 为连续函数,证明⎰⎰=-2120)()3(dx x f dx x f。
大学积分考试题及答案
大学积分考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪项不是积分的基本性质？A. 线性性质B. 微积分基本定理C. 区间可加性D. 反演性质答案：D2. 定积分∫[a,b] f(x) dx的几何意义表示什么？A. 曲线下的面积B. 曲线上的点C. 曲线的斜率D. 曲线的切线答案：A3. 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么∫[a,b] f(x) dx等于：A. 0B. f(a)C. f(b)D. f(a) + f(b)答案：A4. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)答案：C5. 根据牛顿-莱布尼茨公式，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫[a,b] f(x) dx等于：A. F(a) - F(b)B. F(b) - F(a)C. F(a) + F(b)D. 2F(b) - F(a)答案：B6. 以下哪个选项是正确的积分公式？A. ∫sin(nx) dx = cos(nx) / n + CB. ∫cos(nx) dx = sin(nx) / n + CC. ∫tan(nx) dx = -1/n cos(nx) + CD. ∫csc^2(nx) dx = -1/n cot(nx) + C答案：D7. 以下哪个积分是收敛的？A. ∫[1,∞) (1/x) dxB. ∫[1,∞) (x^2) dxC. ∫[1,∞) (1/x^2) dxD. ∫[1,∞) (sin(x)/x) dx答案：C8. 函数f(x) = e^x在区间[0,1]上的平均值为：A. (e - 1)/2B. e/2C. (1 + e)/2D. 1/e答案：A9. 如果f(x)在区间[a,b]上可积，那么以下哪个选项是正确的？A. f(x)在[a,b]上必定连续B. f(x)在[a,b]上必定有界C. f(x)在[a,b]上必定单调递增D. f(x)在[a,b]上必定有一个原函数答案：B10. 以下哪个积分可以通过换元积分法求解？A. ∫x^2 dxB. ∫1/x dxC. ∫sin(x)/x dxD. ∫x * e^x dx答案：D二、填空题（每题3分，共15分）11. 定积分∫[0,1] x dx的值为_________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章一元函数积分学 历年试题1.不定积分的概念和性质1994——2012年共考了18次，考到的概率P=94.7%.（1）（0304）函数x e x f -=)(的一个原函数是（ ）. A. x e - B. x e C. x e -- D. x e -（2）（0312）设C x dx x f +=⎰2cos )(则.)(=x f（3）（0403）设函数x e x f 2)(=则dx x f ⎰')(等于（ ） A.C e x+221 B. C e x +22 C. C e x +-2 D. C e x +2 （4）（0505）dx x ⎰sin 等于（ ）A.x cosB. x cos -C. C x +cosD. C x +-cos （5）（0607）已知2x 为)(x f 的一个原函数，则)()(=x f A. C x +33B. 2xC. x 2D. 2（6）（0706）设)(x f 的一个原函数为3x ，则)()(='x f A. 23x B.441x C. 44x D.x 6（7）（0806）)()1(cos =+⎰dx xA.C x x ++sinB.C x x ++-sinC.C x x ++cosD. C x x ++-cos（8）（0907）若C e dx e x f x x +=⎰22)(则)()(=x fA. x 2B. 2xC. 2x e D. 1（9）（1005）)(14=⎰dx xA. C x +-331 B. C x +231 C. C x +33D. C x+-33（10）（1116）=⎰dx x 5.（11）（1216）)(=+⎰dx x11.A. C e x ++1B.C x++11C. C x +D. C x ++1ln 2.定积分的概念和性质1994——2012年共考了18次，考到的概率P=94.7%.（1）（0104）下列定积分等于零的是（ ） A .⎰112cos -xdx x B.⎰11-sin xdx x C.⎰+11)sin (-dx x x D.⎰+11)(-x dx x e（2）（0214）定积分.)sin (2=+⎰ππ-dx x x（3）（0313）定积分.cos 1sin 222=+⎰ππ-dx x x（4）（0411）定积分.cos =⎰ππ-xdx x （5）（0517）.sin 112=⎰-xdx x（6）（0618）=⎰113cos -xdx x .（7）（0707）)()cos (113=+⎰-dx x x xA.-2B.0C.2D. 4（8）（0717）.)(21⎰=dx x f dxd（9）（0807）)(115=⎰-dx xA.-2B.-1C.0D. 1（10）（0818）.)(cos 22=+⎰ππ-dx x x（11）（0906）)(11202⎰=+dx x dx dA.21x dx + B.211x + C.4πD. 0（12）（1118）=+⎰1123)cos (-dx x x x（13）（1218）=⎰1xdx cos3.变上限定积分的概念及导数1994——2012年共考了8次，考到的概率P=42.1%.（1）（0113）设⎰='=xx f tdt x f 1)(,arctan )(则 （2）（0413）设⎰='=xf tdt x f 0)2(,sin )(π则（3）（0507）设)()(,)()(0⎰=Φ'+=Φx t x dt t e x 则A. 0B. 22x e x+ C. x e x + D.1+x e（4）（0817）⎰=+x dt t t dx d 02)(.（5）（1007）已知)()(,1)(02⎰='+=xx F dt t x F 则A. 212x x +B. 112++xC. 21x +D. 112-+x（6）（1117）⎰=+xdt t t dx d 0)arctan (.4.第一换元积分法（凑微分法）1994——2012年共考了24次，考到的概率P=100%，为必考题。
（1）（0111）=⎰dx x x 1cos 12（2）（0213）=+⎰dx xx212（3）（0218）计算⎰+dx x x )1sin(2 （4）（0219）计算⎰+dx x x )1(1（5）（0422）计算⎰+dx x x )1(1（6）（0516）=+⎰dx x )1(2 （7）（0523）计算⎰+dx x x 22)1(（8）（0605）)(=⎰-dx e xA. C e x +B. C e x +-C. C e x +--D. C e x +-（9）（0623）计算⎰dx x x )cos(2 （10）（0723）计算⎰dx xx )cos(ln （11）（0823）计算=⎰xdx 5sin（12）（0918）=⎰dx ex3（13）（0923）计算⎰+dx xxln 1 （14）（1017）=⎰dx ex 1（15）（1023）计算⎰dx xe x 2（16）（1123）计算⎰-dx x x 12（17）（1217）=⎰dx xe x22（18）（1223）计算⎰dx xxln 5分部积分法1994——2012年共考了7次，考到的概率P=36.8%（1）（0224）设x x x f ln )(+='，求)(x f（2）（0728）设)(x f 的一个原函数为2x xe，计算.)(⎰'dx x f x（3）（0924）计算.arcsin ⎰xdx （4）（1224）计算.cos ⎰xdx x 6. 定积分的计算1994——2012年共考了16次，考到的概率P=84.2%（1）（0124）⎰+813xx dx（2）（0220）设函数⎰⎩⎨⎧≤<≤≤=202.)(,21210)(dx x f x x x x x f 求（3）（0324）计算⎰20sin πxdx x （4）（0423）⎰exdx 1ln （5）（0518）=⎰edx xx1ln （6）（0524）计算⎰10dx xe x（7）（0624）计算⎰exdx x 1ln（8）（0718）计算⎰+10)1(dx x x （9）（0919）=⎰edx xx1ln （10）（1018）=⎰20sin cos πxdx e x（11）（1024）计算⎰10dx e x7. 反常积分1994——2012年共考了9次，考到的概率P=47.4%（1）（0112）⎰+∞-=02dx e x（2）（0424）⎰+∞121dx x（3）（1019）⎰+∞+0211dx x （4）（1219）⎰+∞-=0dx e x8.平面图形面积及旋转体的体积1994——2012年共考了13次，考到的概率P=68.4%（1）（0126）求由曲线 x e y =及直线1,0,===x x x y 所围成的平面图形的面积.（2）（0326）求曲线 C ,22x y =直线L 为,4x y =（1）求由求曲线C 与直线L 所围成的平面图形的面积S. （2）求曲线C 的平行于直线L 的切线方程.（3）（0527）（1）求曲线 )0(2≥=x x y ，0,1==x y 所围成的平面图形的面积.(2)求(1)中的平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.（4）（0627）（1）求由曲线2,1,===x xy x y 与0=y 所围成的平面图形的 面积S.(2)求(1)中的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积x V .（5）（0827）(1)求由曲线 x e y =及直线0,0,1===y x x 所围成图形D 的面积.(2) 求平面图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积x V .（6）（0927）(1)求在区间 ],0[π上的曲线轴与x x y sin =所围成图形的面积. (2) 求(1)中的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积x V .（7）（1006）求由曲线 21x y -=与x 轴所围成的平面图形的面积S =( )A. 2B.34 C. 1 D. 32（8）（1128）设D 为曲线21x y -=,直线1+=x y 与 及x 轴所围成的平面图形.(1)求平面图形的面积S.(2) 求平面图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积x V .（9）（1227）已知函数x x x f 22+-=)((1)求曲线)(x f y =与x 轴所围成的平面图形的面积S.(2) 求(1)的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积x V . 9.证明题1994——2012年共考了7次，考到的概率P=36.8%（1）（0127）设⎰=40tan )(πxdx n f n (n 为正整数),证明41)5()3(=+f f（2）（0127）已知⎰-=-π,cos 1)()(x dt t f t x 证明⎰=201)(πdx x f（3）（0428）设函数)(x f 在区间[0,1]上连续,证明⎰⎰=-121)(21)21(dx x f dx x f（4）（0723）设)(x f 为连续函数,证明⎰⎰=-212)()3(dx x f dx x f。