探求二面角的若干方法论文

探求二面角的若干方法广西陆川县中学 徐文才【摘要】针对二面角形式隐若，复杂多变的情况，学生难以找到解题的突破口。

本文尝式着从不同的角度入手，分析题目，挖掘隐含条件，探求出定义法，垂面法……等八种求解二面角的具体方法，并对这几种方法进行有机的联系起来，试图从不同的手段更简便，更快捷地求解二面角。

【关键词】二面角 方法 求解以一条直线出发的两个半平面所成的图形叫做二面角。

求二面角的大小是立体几何的重点，也是历年高考试题中考者的内容之一。

二面角因其灵活多变、复杂多样、空间逻辑想象等特点，让不少学生找不到突破口，难点会产生一叶障目，不见森林的心态来。

本文将从二面角的特点入手，挖掘题目的一些隐含条件，探求解题方法，试图找到最简便的方法，帮助学生提高解题能力。

本文归纳出了八种 方法，与读者商榷。

一般求解是可依其共棱的有（无）或现（隐）进行分类，若为不见棱型，通过转让变为可见棱型解决。

一般求法也是无棱型转化为有棱型。

现本文探求的一些方法可不用求出二面角的平面角，可从条件直接求解。

其求解二面角的类型和求法可用框图展现：定义（三垂线）法射影法垂面法 向量法 直积法利用异面直线公式cos θ=cos θ1cos θ2+Sin θ1Sin θ2cos γ tan 2θ=tan 2θ1+tan 2θ2一、定义（三垂线）法根据二面角的定义，由三垂线的定理（成逆定理）作出、二面角，根据已知条件求解，此类为常用的基础求法。

例1：空间四边形ABCDE,AC ⊥BD,且△ABC 的面积为15cm 2，△ACD 的面积为92cm ，若AC ＝6cm ，BD ＝7cm ，求二面角B －AC －D 的大小。

分析：此题为可见棱型题，一般想法是，作二面角，由题目AC ⊥BD ，易知作BE ⊥AC ，则由三垂线定理知∠BED 为所求的二面角。

解：如图，作BE ⊥AC 于E ，连DE ∵AC ⊥BD ，AC ⊥BE ∴AC ⊥平面BDE∴AC ⊥DE 故∠BED 是二面角B-AC-D 的平面角 ∵S △ABC ＝15，S △ACD ＝9，AC ＝6∴15＝21²6²BE ⇒BE ＝5 9＝ ²6²DE ⇒DE ＝3在△BDE 中，∵BD ＝7，BE ＝5，DE ＝3由余弦定理可得COS ∠BED ＝- 21所以二面角B-AC-D 为120求解二面角一般都可以用此基本方法，为了行文简捷，以下的例子中就不再述。

二、射影法命题1：平面与它的射影面积所形成的二面角为α，则满足关系式cos α＝原面积射影面积S S方法点拨：关键在于二面角所在的两上平面，其中一个是另一个的投影面，利用这两个面的面积直接进行求解二面角。

例2：正几棱柱底面边长为a ，一平面截这几棱柱所得截面的面积为3²a 2，求截面与底面所成二面角的度数。

分析：此类为元棱型，要作出棱比较困难。

题目隐含底面恰为截面的投射面，用射影法易求出。

解： ∵ 截面在底面上的射影为正n 棱柱的底面设所求二面角为θ ，则有 ：S 影＝21a ²b ²n=a ²2a ²ntg︒1801²n 22314cos a n tgn a SS ∙∙==影θ=ntg n ︒18012 即截面与底面所成二面角是 arccosntgn︒18012 三、垂面法命题2:与二面角的两个面都垂直的平面，则此平面与二面角两个面的交线构成的角就是二面角的平面角。

已知：平面α 、β、γ α∩β=ι β∩γ=AC α∩γ=AB γ⊥αγ⊥β求证：α 、β 的二面角的平面角为∠BAC证明：在平面γ 上取一点P ，点P 不在AB,AC 上， 过P 作PE ⊥AB 于E ，作PE ⊥AC 于F 。

由γ⊥α ， PE ⊥AB 知PE ⊥α∴PE ⊥ι，同理 PE ⊥ι ∴ ι⊥γ∴ ι⊥AB ，ι⊥AC∴∠BAC 为平面α ，β 的二面角的平面角。

方法点拨：二面角两半平面都 垂直的平面，通过它们的交线确定二面角。

利用此法来确二面角的平面角，避免求作二面角的麻烦。

例3.在四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，ABCD 是边长为2的正方形，A 1B 1C 1D 1 是边长为1的正方形，A 1A ⊥底面ABCD ， C 1C ⊥平面AB 1D 1 ，且A 1 A ＝ 2分析：此题一般易联想延长平面作二面角。

细观察，已知条件，有线面垂直，易推出面面垂直。

利用垂面法，避免求作二面角的麻烦。

解：∵A 1A ⊥平面ABCD ∴平面A 1ACC 1⊥平面ABCD 又∵CC 1平面AB 1D 1 ∴平面AACC 平面ABD∠O 1AC 是平面AB 1D 1与平面ABCD 所成二面角的平面角。

设LO 1AC ＝Q∵A 1C 1∥AC ∴∠O 1AC ＝∠A 1OA 在Rt △A 1O 1A 中，tan θ=111O A A A ＝22=1 即θ=450为所求的二面角的平面角。

四、体积法命题3：如图，在二面角α—γ—β中，AB 是棱 ι上两点，C 、D 是分别在平面 α—γ—β内，二面角α—γ—β的平面角的大小是θ ，则V A-BCD ＝ABs s ABD ABC 3sin 2θ∆证明：过点C 作平面β 的垂线，垂足为O ， 在平面 β内过点O 作AB 的垂线，垂足为K ，连接CK ，易证∠CKO 是二面角α—γ—β 的平面角，在Rt △CKO 中∣CO ∣＝∣CK ∣²sin θ此时，ABs s ABD ABC 3sin 2θ∆∆ =AB CK CO s CK AB ABD3212∆⎪⎭⎫⎝⎛∙=3ABD s CO ∆=V A-BCD 命题得证从而可利用公式中的θ求解＝面角的平面角。

方法点拔：此法属于公式，求解二面角寻找公式所必需的条件：体积二面角所在平面的面积及棱，此法不常用。

例4：如图AC ⊥面BCD ，BD ⊥面ACD ，若AC ＝CD ＝1，∠ABC ＝300，求二面角D －AB －C 的平面角。

分析：此题很容易想到去作所求的二面角，但由已知条件极难求出，由于面积与体积较易求得尝试着用体积法。

解：设二面角D-AB-C 的平面角的大小为θ， 则V A-BCD =ABs s ABD ABC 3sin 2θ∆∆⇒ 31S △BCD AC =3sin 2θABD ABC s s ∆∆ (1)又AB =2sin =∠ABC AC 则2221==∆DC BD S BCD121==∆AD BD S ABD 2321==∆BC AC S ABC 代入（1）式，有 sin θ=36 ，则 θ＝arcsin 36即二面角D-AB-C 的平面角为arcsin36. 五：向量法命题4：已知两平面所成的法向量为n 1，n 2，则两平面所成的角即为n 1，n 2，所成的角θ 或π－θ 。

确定二面角。

例5：在底面为直角梯形的四棱柱S-ABCD 中，∠ABC ＝900，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝1/2，求平面SCD 与平面SAB 所成二面角α 。

分析：各边长度较明确且有AB 、AD 、AS 互相垂直，建立坐标系，易寻找二面角两边所在平面的法向量。

解：以 AD AB 、AC 为 x 、y 、z 轴，以AB 为单位，建立直角坐标系。

则各点坐标如图所示：显然，=（21，0，0）是平面SAB 的法向量。

下面求平面SCD 的法向量 。

由 DC = （21，1，0） SD = （21，0，-1）得n = =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--021121,211210,1001（-1，21，-21） 26=ncos α=n AS ∙∙= 36 从而α=arccos 36五、利用异面直线公式命题5：利用异面直线公式EF 2＝a 2+m 2+n 2±2mncos θ的θ方法点拔：求解二面角时，易寻找特殊顶点求作二面角，求作的垂足不重合于一点时，此法可以引入了一个量 ，即可解决之。

例6：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角A 1-AC 1B 1的大小。

分析：易联想直接求作二面角，以A 1或B 1作二面角，均存在二面角的边难求问题，尝试着过特殊点A 1、B 1作垂线，这样寻找边的关系较明朗。

解：设二面角A 1-AC 1-B 1的大小是 ，作A 1E ⊥A 1C 于E ，B 1F ⊥AC 1于E ，B 1F ⊥AC 1于F ，设AB ＝1在RtAAC 中，A 1E=1111AC C A AA ∙ =36 AE=33同理B 1F=36 C 1F=33则EF=AC 1-AE-C 1F-3-33-33=33则有cos θF B E A B A F B E A EF 11211212122∙-++=3636213636332222⨯⨯-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21∴ ＝600即二面角A-AC-B 的大小为600。

七、利用公式cos θ=cos θ1²cos θ2+sin θ1²sin θ2²cos γ 先来看下面的证明：命题六：若平面α 与平面β 所成的二面角为γ、A 在两平面交线ι 上，AB 在平面β 内且与交线ι 成的角为θ1 ，AC 在平面α 内且交线ι 所成的角为θ2 ，∠BAC ＝θ则有cos θ=cos θ1²cos θ2+sin θ1²sin θ2²cos证明：过B 作BB 1⊥ι垂足为B 1，过B 1作B 1D ⊥ι 交AC 于D ，连结BD 由题设∠BB 1D=γ∴由余弦定理有BD 2=AB 2+AD 2-2ABADcos θ…………………（1） BD 2=BB 12+B 1D 2-2BB 1B 1Dcos γ………………（2） ∵AB=AB 1/COS θ1, AD=AB 1/COS θ2 BB 1=ABtan θ1=AB 1sin θ1/cos θ1 DB 1=AB 1tan θ2=AB 1sin θ2/cos θ2 代入（1）（2）化简得：cos θ=cos θ1²cos θ2+sin θ1²sin θ2²cos γ方法点拔：此法利用了三个角的关系进行求解要运用此公式时，必需寻求到公式的“三面角”。

例7：P 是二面角α—AB —β棱AB 上的一点，分别在α、β上引射线PM 、PN ，如果∠BPM ＝∠BPN ＝4π，∠MPN ＝3π求二面角α—AB —β的大小。

分析：虽然用定义法可以求解此题，但已知条件给出了三面角，利用公式可以直接求出。

解：令∠MPB ＝θ1 ，∠NPB ＝θ2 ，∠MPN ＝θ， 设二面角 α—AB —β的平面角为γ ，则cos θ=21,cos θ1= cos θ2= sin θ1= sin θ2=22由cos θ=cos θ1²cos θ2+sin θ1²sin θ2²cos γ即21=22²22+22²22²cos γ⇒ cos γ=0 ∴γ=2π即为二面角α—AB —β的平面角 八、利用公式 tan 2θ= tan 2θ1+tan 2θ2 中的θ求解。