16-置换群的应用_图文.ppt
近世代数课件--置换群
3
14
2 3
3 6
4 1
5 5
62 1
4 2
3
6
任一循环可以分解为若干个含有相同数字对换之
积，如
(1 2 3) (1 2)(2 3) (1 3)(1 2)
21
21
2 3
32
2 3
3 1
21 (1 2 3)
31
有两个一维与一个二维不可约表示.
2020/3/4
数学与计算科学学院
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S4 有不变子群
H {pe, (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)}
其商群为：
其中
S4 H {H, K1, K 2, K 3, K 4, K 5 } K1 (1 2) H {(1 2), (3 4), (1 3 2 4), (1 4 2 3)}
亦即 所以
5
li2 24
i1
12 12 22 l24 l52 24
故：
l24 l52 18
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l4 l5 3
所以 S4 的5个不可约表示分别为：两个一维表示、 一个二维表示及两个三维表示.
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4 1
2 3
3 6
62 1
42
3
6 (2
3
6)
1
4 32
3 6
6 2
1 4
4 1
而同一循环中的数字可作轮换而不改变该循环的结 果，如
2 3 6 (3 6 2) (6 2 3)
《循环群与置换群》课件
在实际应用中，同态和同构的概念可 以用于比较不同置换群之间的相似性 和差异性，以及进行置换群的分类和 结构分析。此外，同态和同构也是研 究其他代数结构的重要工具和方法。
06
应用实例
在密码学中的应用
加密算法
置换群和循环群在加密算法中有着广泛的应用，如凯撒密码、栅栏密码等。这些 算法利用置换群中的置换操作对明文进行加密，保护信息的安全。
编码理论
置换群在编码理论中也有着广泛的应用，如线性码和循环码等。这些编码利用置换群的性质，能够设 计出高效可靠的编码方案。
在几何学中的应用
几何变换
置换群在几何变换中有着重要的应用 ，如矩阵表示和仿射变换等。通过利 用置换群的性质，可以研究几何图形 在不同变换下的性质和关系。
分形几何
循环群在分形几何中也有着一定的应 用，如Mandelbrot集和Julia集等。 这些分形结构通过循环群的迭代和递 归生成，展现出复杂而美丽的几何图 案。
《循环群与置换群》PPT课件
目录
• 群的基本概念 • 置换群 • 循环群与置换群的关系 • 循环群的性质 • 置换群的性质 • 应用实例
01
群的基本概念
群的定义
1
群是由一个集合以及定义在这个集合上的二元运 算所组成的一个代数结构。
2
群中的元素称为群元，通常用小写字母表示，如 $a, b, c, ldots$。
子群的构造
通过选择置换群中的若干个置换作为子群的元素，可以构造出置换群的子群。子群可以由单位元和若干个非单位元的 置换构成，其中非单位元的置换可以两两复合得到。
子群在置换群中的作用
子群在置换群的结构和性质研究中具有重要的作用。通过研究子群的性质和分类，可以进一步了解整个 置换群的性质和结构。
群论课件ppt
元素数量是有限的集合。
03
02
置换
将一个有限集合的元素重新排列。
乘法
置换之间的运算。
04
循环群
01
02
03
循环群
由一个元素生成的群，即 置换群中所有元素都是该 元素的循环。
循环
将一个元素替换为另一个 元素，其它元素保持不变 。
元素生成
由一个元素开始，通过重 复应用某种变换得到的所 有元素。
群论课件
目录
• 群论基础 • 置换群 • 群论的应用 • 群表示论 • 群论中的问题与挑战 • 群论与其他数学领域的联系
01
CATALOGUE
群论基础
群的定义
群是由一个集合和定义在这个集合上 的一个二元运算所组成的一个代数结 构。这个二元运算被称为群中的“乘 法”。
群中的元素可以是有理数、整数、矩 阵、变换等，具体取决于实际应用和 研究领域。
群论与几何学的联系
对称性
群论在几何学中广泛应用于描述对称性。例 如，晶体学中的晶格结构可以用群论来描述 其对称性。此外，在几何图形中，我们也可 以用群论来描述图形的对称变换。
几何形状的分类
通过群论的方法，我们可以对几何形状进行 分类。例如，根据其对称性，我们可以将几 何形状分为不同的类型。这种分类方法有助 于我们更好地理解和研究几何形状的性质和
群表示是群论中一个重要的概念，它有助于将群的结构和性质转化为线性 代数的语言，从而更好地理解和研究群。
特征标与维数
01
特征标是群表示的一个重要概念 ，它描述了群在某个向量空间上 的作用方式。
02
特征标是一个函数，将群中的每 元素映射到复数域上，它反映
了群元素的性质和作用方式。
群论中的置换群和群的作用
群论（Group Theory）是数学中研究群的一门分支学科，它研究的是在特定运算下的代数结构。
在群论中，置换群（Permutation Group）是一种具体的群结构，它描述了一组元素的置换，即将元素按照某种规则进行排列或互换的操作。
置换群在实际应用中具有广泛的作用。
首先，我们来了解一下什么是置换群。
在置换群中，我们通常以有限集合中的元素为对象进行置换操作。
以集合A={1,2,3}为例，我们可以对其中的元素进行置换操作，比如将1和2交换，得到的置换记为(12)。
同样地，我们可以将2和3进行交换，得到的置换记为(23)，将1和3进行置换得到的置换记为(13)。
在置换群中，可以进行一次或多次置换操作，也可以进行置换操作的复合运算。
置换群具有很多特性和性质。
首先，它满足封闭性，即置换群中的元素经过置换操作后仍然是置换群中的元素。
其次，它满足结合律，即置换操作的复合仍然满足结合律。
另外，每个元素都有一个逆元素，即对于每个置换操作，一定存在一个逆置换操作，它们的复合结果是恒等操作。
最后，置换群还满足恒等元素，即恒等操作。
置换群在数学中有着广泛的应用。
首先，置换群可以用于求解方程组的解。
对于一个方程组，我们可以将未知数的顺序置换，通过置换操作来求解方程的解。
其次，置换群在密码学中起着重要的作用。
密码学中的置换密码（Permutation Cipher）就是基于置换群的加密方式，通过对明文进行置换操作来加密信息。
此外，置换群还可以应用于图论、化学、物理等领域。
群的作用是群论中一个更大的概念，它描述了元素在某种运算下的相互作用。
群的作用可以理解为群中的元素通过某种运算对其他对象进行变换或操作。
在置换群中，元素对集合进行置换操作，这可以看作是群的作用。
群的作用不仅仅局限于置换群，还涉及到其他类型的群，比如线性群、环群等。
群的作用具有一些重要的性质。
首先，群的作用必须是满射的，即每个对象都可以通过群中的元素进行变换。
16变换群与置换群.
置换群的几何意义： (以S3为例)
绕轴翻转
1
顺时针旋转：
0度：e 120度： 240度：
3
2
基于已知群定义变换群的例子
对群(G,*)中任意一元素a, 可以定义： a:GG, xG, a(x)=x*a,
– a是一一变换
a是显然是函数 对任意aG，群方程x*a=b有唯一解，即a是满射 由群满足消去律：x*a=y*a x=y, 即a是单射
相同？不同？
3个黑珍珠和6个白珍珠能做出多少样式不同的 项链？
翻转
若ij>ik, 且j<k, 则称ijik为一个逆序 排列中逆序总个数称为该排列的逆序数。
例子：(3 2 1 5 4)中3和2构成一个逆序，这里的逆序数 是4
奇置换和偶置换
是S上的一个置换，(j)=ij, (j=1,2,…,n)。则的对换 表示中对换个数与排列i1, i2, …, in的逆序数同奇偶性。
记法：(i1 i2 … ik ) 例子：用轮换形式表示S3的6个元素： e=(1); =(1 2 3); =(1 3 2);
=(2 3); =(1 3); =(1 2)
不相交的轮换相乘可以交换
给定Sn中两个轮换： =(i1 i2 … ik ), =(j1 j2 … js ),
若{i1, i2, …, ik} {j1, j2, …, js}=，则称 与 不相交
若 与 不相交，则 = – 对任意xS, 分三种情况讨论： – x{i1, i2, …, ik}; – x{j1, j2, …, js}; – xS-({i1, i2, …, ik}{j1, j2, …, js})， 均有(x) = (x)
置换群的性质与应用举例
置换群的性质与应用举例一、引言置换群（Permutation Group）是代数学的一个分支，研究的是集合的置换的代数结构。
置换群的理论有着丰富的性质，而且在很多应用的领域中都有重要的地位。
本文将会介绍置换群的基本定义和性质、置换群的几个重要子群、以及置换群在密码学、化学等领域的应用举例。
二、基本定义和性质置换群指的是把有限个元素重新排列得到的一种群。
设S是n个元素的集合，集合S的任意一个排列可以表示成S上的一个映射：$$\rho:S \rightarrow S$$映射ρ把S的每个元素$x$映射为$\rho(x)$。
每个这样的ρ都可以看作是元素{x, ρ(x)}的置换，在这个意义下我们称它为一个置换。
我们把置换看做一个带标号的列表，列表的顺序就是初始顺序。
例如，在{1, 2, 3}上的一个置换可以表示成(1, 2, 3)、(1, 3, 2)、(2, 1, 3)、(2, 3, 1)、(3, 1, 2)或(3, 2, 1)这几种形式。
它们在列表的最左边有0个逆序对，有1个逆序对，有2个逆序对，有3个逆序对，有2个逆序对和有3个逆序对。
接下来是置换群的一些性质：（1）置换群是有限的。
（2）置换群G的单位元为$Ident_S$，其中$Ident_S(x) = x$是S的恒等映射。
（3）置换群G中的每个元素都在S上有逆元。
（4）置换群G中的每个元素都可以表示为G中其他元素的乘积。
三、置换群的重要子群（1）置换群的置换群设G为集合S上的置换群，集合F(T)表示T的全体置换的集合。
由于置换群是可逆的，G中的元素也是F(S)中元素的乘积。
因此，G是F(S)的子群。
我们把G在F(S)中所占的位置叫做G的次数（Degree）。
G的次数表明了G在F(S)中占有的“重量”。
（2）群生成子集群生成子集是指那些由一个子集生成的群。
如果一个子集A可以通过一系列的操作（包括复合、逆运算、乘幂）得到整个群G，那么我们称群G是由子集A生成的，而称A是G的生成子集。
置换群
d ) (ik a d ) (ik a
binc b)(inc
d) d)
20
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1 2 3 4 5 6 例3 将 表为不相交轮 4 3 6 1 5 2
换的乘积.
解 容易看出,以下列的顺序作用与 X 的元素上:
1 4 1, 2 3 6 2, 5 5.
证 首先, 由于置换是一一对应, 所以
(1), (2), , (n)恰好包含了集合X 1,2,
中的 n 个数.又对任意的 (i ) X
n
( (i)) (i) (ki )
1
10
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所以 1将 (i )映到 ( ki ), i 1,2,
有 n!个 n 阶置换.
6
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例1 写出 S 3的全部元素. 解 按（1.6.1）式, 我们只要在每个置换的第一行 按顺序写上1,2,3, 再在第二行分别写上,1,2,3的全部6 个排列即可. 据此, 我们得到 S 3 的六个元素为
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , 1 3 2 , 3 2 1 ,
n, 即
1
(1) (2) (k1 ) (k2 )
( n) ( kn )
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二、置换群的结构
定义1.6.1 设是一个n 阶置换 .如果存在1到 n 中 r 的个不同的数i1 , i2 ,
ir ,使
(i1 ) i2 , (i2 ) i3 , , (ir 1 ) ir , (ir ) i1
近世代数 置换群PPT
p
把一个置换写成不相连的循环置换的乘积是我们表示置换的第 二种表示方法。
s 例5：4 的全体元用循环置换的方法写出来是
（1）； （12），（34），（13），（24），（14），（23）； （123），（132），（134），（143），（124）， （142），（234），（243）； （1234），（1243），（1324），（1342），（1423）， （1432）； (12）（34），（13）（24），（14） (23)。
1
a , a , a j
2
k 1
n
k 1
这n个 , , a j 的
n
n
i
1
2
1
2
2
(1 )
ji
ji
jl
1
2
1
2
2
jl
ji
i
i
i
i
定义: 定义： n 的一个把 a i 变到 a ， 变 s ai i a 到a ，…， 变到 a i ，而使得其余 的元，假如还有的话，不变的置换， 叫做一个k-循环置换，这样的一个 置换我们用符号
123 123 123 132 213 = 231
=
换群 . 无限的非交换群我们已经 看过,这是我们的第一个有限非 交换群.
123 312
所以z2不是交
例子3: 可以说是一 个最小的有限非交换 群,因为以后我们会知 道,一个有限非交换群 至少要有六个元.
二:置换群的表示方法 1,
A {a 1 , a 2 , a n }
i ki
1:
我们来看它的一个置换 : a a , i 1, 2 , , n 这样我们看到一个置换所发生的作用 可以由这n对整数来决定,我们的第一 2 1 n 12 n 种表示方法为 或