近世代数_置换群_讲义学习
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近世代数课件--置换群
3
14
2 3
3 6
4 1
5 5
62 1
4 2
3
6
任一循环可以分解为若干个含有相同数字对换之
积，如
(1 2 3) (1 2)(2 3) (1 3)(1 2)
21
21
2 3
32
2 3
3 1
21 (1 2 3)
31
有两个一维与一个二维不可约表示.
2020/3/4
数学与计算科学学院
13
S4 有不变子群
H {pe, (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)}
其商群为：
其中
S4 H {H, K1, K 2, K 3, K 4, K 5 } K1 (1 2) H {(1 2), (3 4), (1 3 2 4), (1 4 2 3)}
亦即 所以
5
li2 24
i1
12 12 22 l24 l52 24
故：
l24 l52 18
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l4 l5 3
所以 S4 的5个不可约表示分别为：两个一维表示、 一个二维表示及两个三维表示.
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4 1
2 3
3 6
62 1
42
3
6 (2
3
6)
1
4 32
3 6
6 2
1 4
4 1
而同一循环中的数字可作轮换而不改变该循环的结 果，如
2 3 6 (3 6 2) (6 2 3)
《变换和置换群》课件
晶体学
化学分子
置换群可用于描述晶体中的对称 性，进而推测晶体的结构和性质。
变换和置换群可用于描述和分析 分子中的对称性和反应过程。
实例分析：八皇后问题
1
问题描述
在8×8的国际象棋棋盘上，摆放8个皇后，使得每个皇后都不会互相攻击。
2
解决方法
利用回溯算法，通过枚举置换的组合方式，找到符合要求的八皇后放置方法。
变换群的性质和定义
群元素
• 变换 • 恒等变换
性质
• 封闭性 • 结合律 • 单位元 • 逆元
置换群的性质和定义
对称性
置换群是对称性的代数描述。
置换的类型
置换可以分为置换对和置换 环。
性质：
满足群的四个基本要素：群
音乐理论
变换群与音乐理论有密不可分的 关系，可描述音乐创作和演奏过 程。
《变换和置换群》PPT课 件
本课件将介绍变换群和置换群的定义、性质和应用。通过实例讲解八皇后问 题，帮助大家理解群论的基本概念。
变换群和置换群是什么？
1 变换群
是一组变换的集合，满足 封闭性、结合律、单位元 和逆元。
2 置换群
是一组置换的集合，满足 封闭性、结合律、单位元 和逆元。
3 联系
置换群是变换群的一种特 殊情况。
3
应用
解决类似的组合问题，例如数独、图像识别等。
总结
群论基础
变换群和置换群是群论中最基础的概念，可应用于 各领域。
更广泛的应用
广泛应用于数学、物理、化学、计算机等领域，展 现了其重要性和实用价值。
cho4 第四节 变换群和置换群,凯莱定理
是由 1 个1-轮换、 2个2-轮换、…、 n 个
n-轮换组成，则称 是一个 1
1
2 n
2
n
型置换，其中1 1 2 2 n n n. 例如，在 S 6 中 (2345) 是一个 12 41 型置换，
(12)(35)(46) 是一个 2 3 型置换，(123456)
培根培根francisbacon1561francisbacon156116261626第二章一置换群第四节第四节变换群和置换群凯莱定理二凯莱cayley定理三小结与思考机动目录上页下页返回结束一一置换群置换群1置换的轮换分解1定义1设a是一个非空集合a上的所有可逆变换构成的群称为a上的对称群
《应用近世代数》
r1r2 rk .
---置换的标准轮换分解式。 若不计因子的次序，则分解式是惟一的。
此处的不相交指的是任何两个轮换中无相同元素。
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(b) o( ) [l1 , l 2 ,, l k ] ，其中 l 是 r 的长度。 i i 2、置换的对换分解 定理2 任何一个置换可分解为对换之积：
r (a1 习惯上，把长度为2的轮换称为对换（transposition）。
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1234567 ) (135)( 274). 例如， ( 3752164
3）定理1设 是任一个 n 次置换，则 (a)可分解为不相交的轮换之积：
是一个 61 型置换。
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此外，可证在 S n 中， 1
1
2 n
2
n
型置换的个数为
第7节 置换群 (2)
置换的表示
1 2 k i i i k 1 2
3、用循环置换的形式表示 4、用对换的形式表示
3/17
近世代数 1、用映射表示
置换的表示
例如: S={a1, a2, a3, a4, a5}, 下述5元置换
(a1 ) a5 , (a2 ) a3 , (a3 ) a2 , (a4 ) a1 , (a5 ) a4
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近世代数
n元置换的性质
定义4 设(i1 i2 … ik)与 (j1 j2 … jr )是两个循环置换，如 果{i1,i2 ,… ,ik} ∩ (j1, j2 ,… ,jr )=Ф，则称这两个循环 置换是没有共同数字的循环置换(不相交). 置换乘法(合成)不满足交换律，但两个没有共同数字 的循环置换是可交换的. 性质4 设σ=(i1 i2 … ik)与 τ=(j1 j2 … jr )是两个没有共 同数字的循环置换，则σ与τ可交换，即στ =τσ.
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近世代数
实例
例2 设 S = {1, 2, 3}， 3元对称群 S3={ (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) }
(1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1) (1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1 2) (1 3) (1 2) (1 3) (1) (1 2 3) (1 3 2) (1) (1 2 3) (1 3 2) (2 3) (1 2) (1 3) (2 3) (2 3) (1 2 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1 3) (1 2 3) (2 3) (1) (1 2) (1 3) (1 3 2) (1 2) (1) (1 3 2) (1 3 2) (2 3) (1 2) (1 3) (1) (1 2 3)
近世代数_置换群_讲义学习ppt
jk jk(1)
jk1
j (2) k 1
jn jn(2)
证明 因为 1 是 a j1 , a j2 ,, a jn 这个元的一一变换，而在 1 之下，
a jk 1 , a jk 2 ,, a jn ，已经各是 a jk 1 , a jk 2 ,, a jn 的象，所以它们
不能再是 a ji (i k ) 的象，这就是说，
这是 因为,每个循环置换都可视为一 个首尾相接的圆环:
所以,循环中的每个文字都可以置于首位.一旦首位 确定后,整个循环置换的表达形式也就确定了.
但习惯上,总是将循环置换中出现的最小文字置 于首位. ③.S8 的单位(恒等置换) 0 1 2 3 同上,习惯写成
0 1.
定义 2 Sn 中的一个将i1变到i2 ，i2 变到i3,,ik 变回
假设 最多变动 r 1(r n) 个文字时，定理 成立。现考察 变动了 r 个元的情形：
首先在被 变动的文字中随意取一个文字 i1 ， 从 i1 出发找到 i1 在 下的象 i2 ,再找 i2 的象 i3 ,… , 直到找到 ik ，其中： ik i1 .于是
i1 i2 i3 ik i1
2 11 22 3313 21 2 3 13 21 2 3
注意:置换乘积中,是从左到右求变换值,这是与过去 的习惯方法不同的（也要看各书要求）。 例 2 设 A 1 , 2 , 3,那么 A 的全部一一变换构成的三次 对称群为 S3 0 ,1, 2 , 3 , 4 , 5.其中
当 i k 时，
这样，
j (1) i
jl ,l
k
当 i k 时，
a 12 ji
(aji1 )2
(a jl )2
a jl
近世代数课堂讲义整理1
近 世 代 数 课 堂 讲 义 整 理 V 1.2
但是 A ∪ B 不一定。 【定义】由包含 A 的所有子半群的交集 Q 称作由 A 生成的子半群，记作 ( A) 。
∩ (A) =
P 即 ( A) 为所有包含 A 的子半群的交。
P⊇A P为S的子半群
理想：
设 (S, ) 为半群， A ⊆ S, A ≠ ∅ ，若 SA ⊆ A ，则 A 为 S 的左理想；若 AS ⊆ A ，则 A 为 S
4.循环群的子群 ①循环群的子群是循环群； ②子群的个数及生成元：
子群的阶能整除群的阶，所以子群的个数为 n 的因子数。 设 G 是循环群，| G |= n ，它的子群为 H ，| H |= (am ) ，则 m | n 。
③若 n 有因子 q ，则 G 必有 q 阶子群；（这个结论对有限交换群（有限阿贝尔群）成立，对
同态（映射）。
【定理】 设 (S, ) 为半群， (T ,∗) 为代数系，若存在满射 ϕ : S → T ，且 ∀x, y ∈ S ，有 ϕ(x y) = ϕ(x) ∗ϕ( y) ，则 (T ,∗) 为半群。 若 (S, ) 为幺半群，条件同上，可以推出 (T ,∗) 为幺半群。
第 3 页共 12 页
3.生成元
第 5 页共 12 页近源自世 代 数 课 堂 讲 义 整 理 V 1.2
⑤ G = (a) ，| G |=| a |= n ，G = (am ) ⇒ m 、n 互质，这个群的生成元有φ(n) 个，其中φ(n) 为欧拉函数，为小于或等于 n 且与 n 互素的正整数个数； ⑥ G = (a) ，| G |=| a |= ∞ ，生成元只有 a 、 a−1 。
ϕ =ϕ γ
其中 γ 为 M 到 M Eϕ 的自然同态； ④ 如果ϕ 是满同态，则 M Eϕ 与 M ' 同构。
2.4近世代数
f a • f b ＝ f ab 。
易验证，G′对“• ”形成一个群。 作 G 到 G′的映射 ϕ ，∀ a,b∈G，有 ϕ : a 6 f a ∈ G ' 。可验证 ϕ 为 故 ϕ 为单射， 1－1 映上的 （由 ϕ (a) = ϕ (b) ⇒ f a = f b ⇒ ax = bx ⇒ a = b ， 而 ∀f c ∈ G ' ， 知 ϕ (c) = f c ， ϕ 为 满 射 。）。 ∀ a,b ∈ G ，
(1) G＝{e , (1,2,3), (1,3,2) }为 3 元置换群。 (2) G＝{e ,(1 3) ,(2 4), (1 2 3 4), (1 3 )(2 4), (1 4 3 2), (1 2)(3 4), (1 4)(2 3)}. ，则 定理 1 设 σ ∈ S n （ σ 为 n 次置换，n＞1） （1） σ 可分解为两两不交的轮换之积。
1<s≤n
λ1
λ2
ห้องสมุดไป่ตู้
λs
若将其中的 n 个文字任意换位而保留分解式各轮换直接的括号 线不变，这样就得出了 n! 个 1λ 2 λ ⋅ ⋅ ⋅ n λ 型的置换，他们包含了集
1 2
n
合 S λ ,λ ,...,λ 之中的全部置换。然而，如此产生的 n! 个置换是有重复
1 2
1 1
σ ( il ) = i k
1
1 2 l1
， 1 < k < l1 ， 与 σ (ik −1 ) = ik 矛 盾 。 ）于是得到轮换
1 1
σ 1 = σ |{i ,i ,...,i } = (i1 , i2 ,…, il ) 。 然 后 取 ji ∈ Ω \ {i1 , i2 ,..., il } ，造出新的轮换
易验证，G′对“• ”形成一个群。 作 G 到 G′的映射 ϕ ，∀ a,b∈G，有 ϕ : a 6 f a ∈ G ' 。可验证 ϕ 为 故 ϕ 为单射， 1－1 映上的 （由 ϕ (a) = ϕ (b) ⇒ f a = f b ⇒ ax = bx ⇒ a = b ， 而 ∀f c ∈ G ' ， 知 ϕ (c) = f c ， ϕ 为 满 射 。）。 ∀ a,b ∈ G ，
(1) G＝{e , (1,2,3), (1,3,2) }为 3 元置换群。 (2) G＝{e ,(1 3) ,(2 4), (1 2 3 4), (1 3 )(2 4), (1 4 3 2), (1 2)(3 4), (1 4)(2 3)}. ，则 定理 1 设 σ ∈ S n （ σ 为 n 次置换，n＞1） （1） σ 可分解为两两不交的轮换之积。
1<s≤n
λ1
λ2
ห้องสมุดไป่ตู้
λs
若将其中的 n 个文字任意换位而保留分解式各轮换直接的括号 线不变，这样就得出了 n! 个 1λ 2 λ ⋅ ⋅ ⋅ n λ 型的置换，他们包含了集
1 2
n
合 S λ ,λ ,...,λ 之中的全部置换。然而，如此产生的 n! 个置换是有重复
1 2
1 1
σ ( il ) = i k
1
1 2 l1
， 1 < k < l1 ， 与 σ (ik −1 ) = ik 矛 盾 。 ）于是得到轮换
1 1
σ 1 = σ |{i ,i ,...,i } = (i1 , i2 ,…, il ) 。 然 后 取 ji ∈ Ω \ {i1 , i2 ,..., il } ，造出新的轮换
近世代数主要知识点PPT课件
• 假如运算1和1‘来说，有一个A到A’的满射的同态映射存在，同态满射 • 同构映射 一一映射的同态映射就是一个同构映射 • 自同构
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等价关系与等价类
• 集合的等价关系 。Ⅱ，
对称律:a～b＝>b～a Ⅲ，推移律：a～b，b～c=>a～c 同余关系
第22页/共27页
除环、域
• 除环 1， R至少包含一个而不等于零的元
的每一个不等于零的元有一个逆元
2，R有单位元
3，R
• 域 一个交换除环叫做一个域
• 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都一样的
• 一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征
• 整环 除环 域 的特征或是无限大 或是一个素数
（b+c）a=ba+ca
第21页/共27页
交换律、单位元、零因子、整环
• 交换环 一个环 假如 ab=ba不管a b是环的哪两个元 • 单位元 ea=ae=a 一个环未必有单位元 • 零因子 若环里a≠0，b≠0但 ab=0 那么 a是左零因子 b 右零因子 • 整环 一个环叫做整环 如果 1.乘法适合交换律：ab=ba 2 .R有单位元1：1a=a1=a 3 R没有零因子ab=0=>a=0或b=0
合D的一个映射
像 逆象，
• 映射的相同 效果相同就行
第5页/共27页
代数运算
• 定义一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算 • 代数运算是一种特殊的映射 描写它的符号，也可以特殊一点，一个代数运算我们用。来
表示 • 二元运算 假如。是一个A×A到A的代数运算，我们说集合A是闭的 二元运算
换群 • 定理2 一个集合的所有一一变换做成一个变换群 • 定理3 任何一个群都同一个变换群同构 证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c ·······我们在G里任意取出一个元x来，那么גx：
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等价关系与等价类
• 集合的等价关系 。Ⅱ，
对称律:a～b＝>b～a Ⅲ，推移律：a～b，b～c=>a～c 同余关系
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除环、域
• 除环 1， R至少包含一个而不等于零的元
的每一个不等于零的元有一个逆元
2，R有单位元
3，R
• 域 一个交换除环叫做一个域
• 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都一样的
• 一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征
• 整环 除环 域 的特征或是无限大 或是一个素数
（b+c）a=ba+ca
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交换律、单位元、零因子、整环
• 交换环 一个环 假如 ab=ba不管a b是环的哪两个元 • 单位元 ea=ae=a 一个环未必有单位元 • 零因子 若环里a≠0，b≠0但 ab=0 那么 a是左零因子 b 右零因子 • 整环 一个环叫做整环 如果 1.乘法适合交换律：ab=ba 2 .R有单位元1：1a=a1=a 3 R没有零因子ab=0=>a=0或b=0
合D的一个映射
像 逆象，
• 映射的相同 效果相同就行
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代数运算
• 定义一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算 • 代数运算是一种特殊的映射 描写它的符号，也可以特殊一点，一个代数运算我们用。来
表示 • 二元运算 假如。是一个A×A到A的代数运算，我们说集合A是闭的 二元运算
换群 • 定理2 一个集合的所有一一变换做成一个变换群 • 定理3 任何一个群都同一个变换群同构 证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c ·······我们在G里任意取出一个元x来，那么גx：