近世代数课件群的概念
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近世代数简介
k
= i( x )
i 1
(2-4)
这里，
GCD表示最大公约数(Greatest Common Divisor)
推理
循环群中n阶元素的n次幂恒等于1
各次幂 k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
的
多项式系数
多项式
m重
1
(0001)
(0010)
2
(0100)
多项式环Rq(x)g(x)
系数GF(q),模g(x)
g(x) 一般多项式：多项式环 m素数或合数,有限数环
PI(x) 既约多项式：多项式域（q元扩域）
q素数,整环
P(x) 本原多项式：域元素构成循环群
例2.8：剩余类环Rq(x) f(x) 中，q =2，f(x) = x3+x+1。若A(x)= x2+x+1、B(x)= x2+ 1 是 两个环元素，求A(x) B(x)是什么元素？该剩余类环至多由多少元素组成？
有限环（Ring)
一个有限集合，模m加，模m乘
一般m 素数q
可能是零因子环 整环
子环（ subring ）
理想子环（强收敛性）
主理想（所有元素是一个元
素幂的线性组合）
若集合S是集合R的子集（S R）， 判断(S ,+, ·)是(R ,+, ·) 子环的充要条件是 1． a、b S， a－b S。 2． a、b S， a b S。 上述条件1强调了子环中加法逆元的存在和封闭 性，条件2强调了乘法封闭性。 理想子环的充要条件是：
元素的阶
15 / GCD(k,15)
1 15 15 5 15 3 5 15 15 5 3 15 5 15 15
近世代数课件-2-2_群的定义
（2）运算 o适合结合律；（3）运算 o适合消去律.
2020/4/27
五. 有限群的特殊性
推论 一个非空有限集G 构成有限群的条件 : (1)存在G上的一个代数运算•; (2)运算 • 适合结合律; (3)运算 • 适合消去律.
2020/4/27五. 来自限群的特殊性2020/4/27
六、特殊群-Klein（克莱因）四元群
本节教学目的与要求： 记住群的定义，掌握群的基本性质和有限群的特殊性质，并
能熟练判定一个给定的代数系是否是群.
一. 群的定义及常见的群 二. 群的4个等价定义 三. 一些特殊群的例子 四. 群的消去率性质 五. 有限群的特殊性 六. 特殊的群—Klein（克莱因）四元群
2020/4/27
一. 群的定义及常见的群
近世代数
第二章 群
近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系， 即具有一些代数运算的集合。
群是具有一种代数运算的代数系，它是近世代数 中一个比较古老，而且内容丰富的重要分支，在数学、 物理、化学、计算机等自然科学的许多领域都有广泛 应用。
从本节开始，学习群的有关性质。
2020/4/27
2.2 群的定义
注：
2020/4/27
一.群的定义及常见的群
2020/4/27
一.群的定义及常见的群
注：
2020/4/27
二. 群的四个等价定义
2020/4/27
三. 几个特殊群的例子
2020/4/27
四. 群的消去率性质
注：
2020/4/27
五. 有限群的特殊性
推论 一个非空有限集G构成有限群的条件: 1存在G上的一个代数运算o;
2020/4/27
六、特殊群-Klein（克莱因）四元群
2020/4/27
五. 有限群的特殊性
推论 一个非空有限集G 构成有限群的条件 : (1)存在G上的一个代数运算•; (2)运算 • 适合结合律; (3)运算 • 适合消去律.
2020/4/27五. 来自限群的特殊性2020/4/27
六、特殊群-Klein（克莱因）四元群
本节教学目的与要求： 记住群的定义，掌握群的基本性质和有限群的特殊性质，并
能熟练判定一个给定的代数系是否是群.
一. 群的定义及常见的群 二. 群的4个等价定义 三. 一些特殊群的例子 四. 群的消去率性质 五. 有限群的特殊性 六. 特殊的群—Klein（克莱因）四元群
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一. 群的定义及常见的群
近世代数
第二章 群
近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系， 即具有一些代数运算的集合。
群是具有一种代数运算的代数系，它是近世代数 中一个比较古老，而且内容丰富的重要分支，在数学、 物理、化学、计算机等自然科学的许多领域都有广泛 应用。
从本节开始，学习群的有关性质。
2020/4/27
2.2 群的定义
注：
2020/4/27
一.群的定义及常见的群
2020/4/27
一.群的定义及常见的群
注：
2020/4/27
二. 群的四个等价定义
2020/4/27
三. 几个特殊群的例子
2020/4/27
四. 群的消去率性质
注：
2020/4/27
五. 有限群的特殊性
推论 一个非空有限集G构成有限群的条件: 1存在G上的一个代数运算o;
2020/4/27
六、特殊群-Klein（克莱因）四元群
近世代数课件群的概念
ab ba e . 为了阐明这样的 b 是唯一的; 满足
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
乘法都不构成群.
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
下面介绍置换的表示方法.
设 A {a1, a2 , , an} 是一个有限集, f Sn .我们
可以将 f 表示成下表的形式:
f
a1 (a1)
a2 f (a2 )
f
an (an
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
乘法都不构成群.
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
下面介绍置换的表示方法.
设 A {a1, a2 , , an} 是一个有限集, f Sn .我们
可以将 f 表示成下表的形式:
f
a1 (a1)
a2 f (a2 )
f
an (an
近世代数12群的概念
(1)“ ”适合结合律; (2)存在 e G ,使得
ae ea , a G ; (3)对于任意的 a G ,存在 bG ,使得
ab ba e , 则称 (G, ) 是一个群;不致混淆时,简称 G 是一个群.
2020/6/
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§2 群的概念
例 1 令 N , Z, Q , R 和C 依次表示正整数集、 整数集、有理数集、实数集和复数集.则 Z, Q ,R 和 C 关于加法分别构成交换群; N 关于加法不构成
群. Q \{0}, R \{0} 和C \{0}关于乘法分别构成交换
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§2 群的概念
设 G 是一个群, a G .由于“ ”适合结合律,因
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
第一章 群 论
2020/6/26
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目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
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§2 群的概念
定义 2.1 一个代数运算.若“ ”满足条件:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
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§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
ae ea , a G ; (3)对于任意的 a G ,存在 bG ,使得
ab ba e , 则称 (G, ) 是一个群;不致混淆时,简称 G 是一个群.
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§2 群的概念
例 1 令 N , Z, Q , R 和C 依次表示正整数集、 整数集、有理数集、实数集和复数集.则 Z, Q ,R 和 C 关于加法分别构成交换群; N 关于加法不构成
群. Q \{0}, R \{0} 和C \{0}关于乘法分别构成交换
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§2 群的概念
设 G 是一个群, a G .由于“ ”适合结合律,因
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
第一章 群 论
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目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
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§2 群的概念
定义 2.1 一个代数运算.若“ ”满足条件:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
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§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
近世代数(抽象代数)课件
意一个二元运算,并将其称为乘法.当 ab c
时, c 称为 a 与 b 的乘积;甚至还将等式 ab c
简写成 ab c .
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§1 代数运算
例 1 设 R 是实数集.于是,平常的加法“”,减 法“-”和乘法“”都是 R 上的二元运算;除法“”是 R , R \{0}到 R 的代数运算,不是 R 上的二元运算.
第一章 群 论
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1
目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
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§1 代数运算
设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)都是集合.我们将 集合
{(a1, a2 , , an ) | ai Ai , i 1, 2, n} 称为 A1, A2 , , An 的直积或笛卡儿积,记作
A1 A2 An . 特别地,当 A1 A2 An A 时, A1 A 2 A n 可 以简记作 An (读作 A 的 n 次方).这里约定,当 n 1 时, A1 A 2 A n 就是 A1 .
3
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§1 代数运算
定义 1.1 设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)和 A 都是非空集合. A1 A2 An 到 A 的映射 又 称 为 A1, A2 , , A n 到 A 的 代 数 运 算 ; 特 别 地, An 到 A 的映射又称为 A 上的 n 元运算.
设 A 是一个非空集合. f 是 A 上的一个二
元运算.于是，对于任意的 a, b A ，存在唯
一的 c A ，使得 f (a, b) c .我们约定,将等
式 f (a, b) c 改写成 afb c .
近世代数--群的概念
(a b ) c a b c (a b) c a (b c) a b c a (b c ),
所以结合律成立．
(3) 对任意的 a,b Zm ,
a b a b b a b a,
所以交换律成立．
(4) 对任意的 a Zm ，
a 0 a 0 a,
且
0 a 0 a a,
的代表元的选取无关即可．设
a a ', b b ',
则
m | a a ', m | b b '.
于是 m | (a a ') (b b ') (a b) (a ' b '),
m | (a a ')b (b b ')a ' (ab) (a 'b ').
从而
a b a ' b ', ab a 'b'. 所以+与 都是Zm上的代数运算.
的逆元记作 a, 并称a为 a 的负元．
2．习惯上，只有当群为交换群时，才用“＋” 来表 示群的运算，并称这个运算为加法，把运算的 结果叫做和，同时称这样的群为加群．相应地, 将 不是加群的群称为乘群，并把乘群的运算叫做乘法， 运算的结果叫做积．在运算过程中，乘群的运算符号 通常省略不写．今后，如不作特别声明，我们总假定 群的运算是乘法．当然, 所有关于乘群的结论对加群 也成立（必要时, 作一些相关的记号和术语上改变）．
a b b a e. 则称 G关于运算“ ”构成一个群（group），记作 (G,) ．在不致引起混淆的情况下, 也G称为群．
注 1．(G2)中的元素 e 称为群 G的单位元
（unit element）或恒等元（identity）；
所以结合律成立．
(3) 对任意的 a,b Zm ,
a b a b b a b a,
所以交换律成立．
(4) 对任意的 a Zm ，
a 0 a 0 a,
且
0 a 0 a a,
的代表元的选取无关即可．设
a a ', b b ',
则
m | a a ', m | b b '.
于是 m | (a a ') (b b ') (a b) (a ' b '),
m | (a a ')b (b b ')a ' (ab) (a 'b ').
从而
a b a ' b ', ab a 'b'. 所以+与 都是Zm上的代数运算.
的逆元记作 a, 并称a为 a 的负元．
2．习惯上，只有当群为交换群时，才用“＋” 来表 示群的运算，并称这个运算为加法，把运算的 结果叫做和，同时称这样的群为加群．相应地, 将 不是加群的群称为乘群，并把乘群的运算叫做乘法， 运算的结果叫做积．在运算过程中，乘群的运算符号 通常省略不写．今后，如不作特别声明，我们总假定 群的运算是乘法．当然, 所有关于乘群的结论对加群 也成立（必要时, 作一些相关的记号和术语上改变）．
a b b a e. 则称 G关于运算“ ”构成一个群（group），记作 (G,) ．在不致引起混淆的情况下, 也G称为群．
注 1．(G2)中的元素 e 称为群 G的单位元
（unit element）或恒等元（identity）；
《近世代数13子群》PPT课件
我们约定,将“ ”在 S 上的限制“ '”也记作 “ ”.显而易见,当 A 上的代数运算“ ”适 合结合律时, S 上的代数运算“ ”也适合结 合律.
2021/1/22
4
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§3 子 群
定义 3.1 设 G 是一个群,集合 H 是集合 G 的一个非空子集.我们称 H 是 G 的一个子群,是 指 H 满足如下条件:
2021/1/22
11
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§3 子 群
例 1 (R , ) 是 (C, ) 的子群, (Q , ) 是 (R , ) 的 子 群 , (Z, ) 是 (Q , ) 的 子 群 ; (R \{0}, ) 是 (C \{0}, ) 的子群, (Q \{0}, ) 是 (R \{0}, ) 的子群.
2021/1/22
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§3 子 群
由 于 e' 是 H 的 单 位 元 , 我 们 有 e'e' e' . 因 此 ee' e'e' .将该式两边右乘 e' 在 G 中的逆元(或 者,根据消去律——第 9 页第 5 题),即得 e e' .
(2)对于任意的 a H ,设 a 在 G 中的逆元 为 a1 , a 在 H 中的逆元为 a' .根据(1),我们有 aa1 e aa' .将该式两边左乘 a1 (或者,根据 消去律——第 9 页第 5 题),即得 a1 a' .□
2021/1/22
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§3 子 群
对于任意的 aH ,根据子群的定义, a 在 H 中 有逆元 a' .根据命题 3.2, a' a1 .因此 a1 H . 所以 H 满足条件(2).
2021/1/22
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§3 子 群
定义 3.1 设 G 是一个群,集合 H 是集合 G 的一个非空子集.我们称 H 是 G 的一个子群,是 指 H 满足如下条件:
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§3 子 群
例 1 (R , ) 是 (C, ) 的子群, (Q , ) 是 (R , ) 的 子 群 , (Z, ) 是 (Q , ) 的 子 群 ; (R \{0}, ) 是 (C \{0}, ) 的子群, (Q \{0}, ) 是 (R \{0}, ) 的子群.
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§3 子 群
由 于 e' 是 H 的 单 位 元 , 我 们 有 e'e' e' . 因 此 ee' e'e' .将该式两边右乘 e' 在 G 中的逆元(或 者,根据消去律——第 9 页第 5 题),即得 e e' .
(2)对于任意的 a H ,设 a 在 G 中的逆元 为 a1 , a 在 H 中的逆元为 a' .根据(1),我们有 aa1 e aa' .将该式两边左乘 a1 (或者,根据 消去律——第 9 页第 5 题),即得 a1 a' .□
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§3 子 群
对于任意的 aH ,根据子群的定义, a 在 H 中 有逆元 a' .根据命题 3.2, a' a1 .因此 a1 H . 所以 H 满足条件(2).
近世代数--群的概念
所以+与
都是Z
上旳代数运算.
m
定义1.2.2 设G是一种非空集合，“ ”G是 上旳 一种代数运算，即对全部旳a,b G,有 a b G. 如 果G旳运算还满足
(G1) 结合律，即对全部旳a,b,c G, 有； (a b) c a (b c);
(G2) G中有元素e，使对每个a G ，有 e a a e a;
(5) 在群中消去律成立，即设 a,b, c G ，
假如 ab ac ，或 ba ca ，则 b c ．
证 (1) 假如 e1,e2都是 G旳单位元，则 e1 e2 e2（因为e1是G旳单位元）， e1 e2 e（1 因为e2是G旳单位元），
所以
e2 e1 e2 e1,
所以单位元是惟一旳．
对任意旳正整数 n ，定义 an a a a
n个a
再约定
a0 e， an (a1)n，（n为正整数） 则 a n对任意整数都有意义，而且不难证明：
对任意旳 a G，m,n Z， 有下列旳指数法则 (1) an am anm ； (2) (an )m anm； (3) 假如 G是互换群，则 (ab)n anbn
所以结合律成立.
(3) 因为(1, m) 1，从而 1 Zm ，且对任意旳 a U (m),
a 1 a1 a,
且
1a 1a a, 所以1是U (m)旳单位元．
(4) 对任意旳 a U (m),，有(a, m) 1 ， 由整数旳性质可知，存在 u,v Z ，使au mv 1, 显然(u, m) 1, 所以 u U (m) ，且
易知， Z*p 1, 2, , p 1
(2) 由初等数论可知（参见[1]），U (m)旳阶等于
(m) 这里 (m) 是欧拉函数．假如
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2020/9/14
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§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
显然, e1 e ,并且 (a1)1 a , a G . 群的概念常常表述为: 设 G 是一个非空集 合，“ ”是 G 上的一个代数运算.若“ ”适合结合 律, G 中有单位元并且 G 中每个元素都有逆元,则 称 (G, ) 是一个群.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
2020/9/14
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§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
Ⅰ. (an )1 an ; Ⅱ. aman amn ; Ⅲ. (am )n amn ; Ⅳ.当 a 与 b 可交换(即 ab ba )时,
ab ba e .
2020/9/14
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§2 群的概念
证明 根据定义,对于任意的 aG ,存在元素 bG ,使得
ab ba e . 为了阐明这样的 b 是唯一的,假设 b'G 也是这样的 元素,即 b' 满足
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
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§2 群的概念
例 1 令 N , Z, Q , R 和C 依次表示正整数集、 整数集、有理数集、实数集和复数集.则 Z, Q ,R 和 C 关于加法分别构成交换群; N 关于加法不构成
群. Q \{0}, R \{0} 和C \{0}关于乘法分别构成交换
ae' e'a a , a G . 于是,我们有 e' ee' e .所以我们的命题成立.□
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§2 群的概念
对于命题 2.2 中所说的群 G 和元素 e ,我们称元 素 e 为群 G 的单位元.不致混淆时,简称 e 为 G 的单位 元.
命题 2.3 设 (G, ) 是一个群.那么,对于任意的 a G ,存在唯一的元素 bG ,使得
2020/9/14
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§2 群的概念
设 G 是一个群, a G .由于“ ”适合结合律,因
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
2020/9/14
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§2 群的概念
例 3 设V 是某个数域 P 上的向量空间.则V 关于向 量的加法构成交换群.
例 4 在上一节的例 4 中, K4 关于 K4 上的乘法“ ” 构成交换群.这个群称为 Llein 四元群.
为了方便起见,这里约定:以下,如无具体说明,凡 是提到“群 G ”,总是指“群 (G, ) ”,并且在对 G 中 元素施行乘法运算时常常略去乘号“ ”,例如,将 a b 写成 ab .
群; Z \{0}关于乘法不构成群. N , Z, Q , R 和C 关于
乘法都不构成群.
2020/9/14Fra bibliotek数学与计算科学学院Company Logo
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
(ab)n anbn .
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§2 群的概念
这里我们约定:如果 G 是一个交换群,其代 数运算称为加法(并且用加号“”来标记),那么, 群 G 的“单位元”改称为群 G 的“零元”,通 常记作 0 ;对于任意 a G , a 的“逆元”改称为 a 的“负元”,记作 a ; a 的“n 次幂”改称为 a 的“n 倍”,记作 na .
(1)“ ”适合结合律; (2)存在 e G ,使得
ae ea , a G ; (3)对于任意的 a G ,存在 bG ,使得
ab ba e , 则称 (G, ) 是一个群;不致混淆时,简称 G 是一个群.
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§2 群的概念
当 (G, ) 是一个群时,我们就称 G 关于“ ”构成一 个群.
设 (G, ) 是一个群. 若“ ”适合交换律,则称 (G, ) 是交换群或 Abel 群. 若 G 是有限集,则称 (G, ) 是有限群.若 G 是无限集,则 称 (G, ) 是无限群.当 (G, ) 是有限群时,如 G 是由 n 个不同的 元素构成集合,我们就说群 (G, ) 的阶为 n ,记作 | G | n .当 (G, ) 是 无限 群时,我们就说群 (G, ) 的 阶为无 限 大,记作 |G|.
2020/9/14
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§2 群的概念
命 题 2.2 e G ,使得
设 G 是一个群.则存在唯一的一个元素 ae ea , a G .
证明 根据定义,存在 e G ,使得 ae ea a , a G .
为了阐明这样的 e 是唯一的,假设 e'G 也是这样的元素, 即 e' 满足
第一章 群 论
2020/9/14
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目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
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§2 群的概念
定义 2.1 设 G 是一个非空集合,乘法“ ”是 G 上的 一个代数运算.若“ ”满足条件: