近世代数课件(全)--2-4 循环群
合集下载
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
近世代数课件群的概念
ab ba e . 为了阐明这样的 b 是唯一的; 满足
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
乘法都不构成群.
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
下面介绍置换的表示方法.
设 A {a1, a2 , , an} 是一个有限集, f Sn .我们
可以将 f 表示成下表的形式:
f
a1 (a1)
a2 f (a2 )
f
an (an
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
乘法都不构成群.
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
下面介绍置换的表示方法.
设 A {a1, a2 , , an} 是一个有限集, f Sn .我们
可以将 f 表示成下表的形式:
f
a1 (a1)
a2 f (a2 )
f
an (an
近世代数课件循环群
§4 循环群
我们来阐明 H ar .事实上,一方面, 显然, ar H .另一方面,由于 G a 且 H G ,对于任意的 hH ,可设 h an ,其 中 nZ .我们取整数 q 和 s ,使得
n qr s , 0 s r . 若 s 0 ,则
§4 循环群
as anqr an (ar )q h(ar )q H , 这与 r 为 N 中的最小数矛盾.因此 s 0 ,从而,
((s, n), (t, n)) ( t , n) ((s, t), n) (s, n) (s, t)
((s, t), n)
§4 循环群
(s, n) ( t , n) (s, t)
( st , n) ([s, t] n) . (s, t)
§4 循环群
k Z ,使得 r k[s, t].所以 b ar a[s, t] . (2)假设| a | n . 由于 b H ,因此| b | | | as | ;由于 b K ,
因此| b | | | at | .也就是说, n|n,n|n,
(r, n) (s, n) (r, n) (t, n)
h an aqr (ar )q ar . 由 此 可 见 H ar . 所 以 H ar . 这 就 是 说, H 是循环群.□
§4 循环群
命 题 4.2 设 G a 是 一 个 有 限 循 环 群,| a | n , r 是任意一个整数.那么
| ar | n , (r, n)
令 s | ar | .根据命题 3.12， s | n .另一方 (r, n)
§4 循环群
面，由于 (ar )s e 且| a | n ,根据命题 3.12,
n | (rs) ,从而, n | (rs) .由于 ( n , r) 1,
近世代数12群的概念
(1)“ ”适合结合律; (2)存在 e G ,使得
ae ea , a G ; (3)对于任意的 a G ,存在 bG ,使得
ab ba e , 则称 (G, ) 是一个群;不致混淆时,简称 G 是一个群.
2020/6/
数学与计算科学学院Company Logo
2020/6/
数学与计算科学学院Company Logo
§2 群的概念
例 1 令 N , Z, Q , R 和C 依次表示正整数集、 整数集、有理数集、实数集和复数集.则 Z, Q ,R 和 C 关于加法分别构成交换群; N 关于加法不构成
群. Q \{0}, R \{0} 和C \{0}关于乘法分别构成交换
2020/6/
数学与计算科学学院Company Logo
§2 群的概念
设 G 是一个群, a G .由于“ ”适合结合律,因
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
第一章 群 论
2020/6/26
数学与计算科学学院
LOGO
目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
2020/6/
数学与计算科学学院Company Logo
§2 群的概念
定义 2.1 一个代数运算.若“ ”满足条件:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
2020/6/
数学与计算科学学院Company Logo
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
ae ea , a G ; (3)对于任意的 a G ,存在 bG ,使得
ab ba e , 则称 (G, ) 是一个群;不致混淆时,简称 G 是一个群.
2020/6/
数学与计算科学学院Company Logo
2020/6/
数学与计算科学学院Company Logo
§2 群的概念
例 1 令 N , Z, Q , R 和C 依次表示正整数集、 整数集、有理数集、实数集和复数集.则 Z, Q ,R 和 C 关于加法分别构成交换群; N 关于加法不构成
群. Q \{0}, R \{0} 和C \{0}关于乘法分别构成交换
2020/6/
数学与计算科学学院Company Logo
§2 群的概念
设 G 是一个群, a G .由于“ ”适合结合律,因
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
第一章 群 论
2020/6/26
数学与计算科学学院
LOGO
目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
2020/6/
数学与计算科学学院Company Logo
§2 群的概念
定义 2.1 一个代数运算.若“ ”满足条件:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
2020/6/
数学与计算科学学院Company Logo
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
近世代数简介ppt
若R是交换环，I是R的非空子集，如满足 1． a、b I， a－b I。 2． a I、r R， a r = r a I， 则I是R的理想子环，简称理想
若理想子环的所有元素可由一个元素a的各
次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环 主理想子环，简称主理想
域（Field)
一个集合，二种运算
不能被 x5+1 整除 不能被 x6+1 整除
…
…
不能被 x14+1 整除
能被 x15+1 整除 ∴ x4+x+1 是本原多项式
而 x4+ x3+ x2+ x+1
能被 x5+1 整除
能被 x15+1 整除
∴ x4+x3+x2+x+1是既约的，但不是本原的
多项式环Rq(x)g(x)
系数GF(q),模g(x)
对于有限域GF(q)上的m次既约多项式P(x)，若能 被它整除的最简首一多项式(x n -1)的次数n qm
–1, 则称该多项式为本原多项式。 本原多项式一定既约；
反之，既约多项式未必本原。
多项式循环群 Cycle Group
由多项式的各次幂所构成的群称为多项式循环群
比如， x4+x+1
(q=2, m=4, 2m-1=15)
VIP专享文档下载特权自VIP生效起每月发放一次， 每次发放的特权有效期为1个月，发放数量由您购买 的VIP类型决定。
每月专享9次VIP专享文档下载特权， 自VIP生效起每月发放一次，持续有 效不清零。自动续费，前往我的账号 -我的设置随时取消。
服务特 权
共享文档下载特权
VIP用户有效期内可使用共享文档下载特权下载任意下载券标价的文档（不含付费文档和VIP专享文档），每下载一篇共享文
若理想子环的所有元素可由一个元素a的各
次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环 主理想子环，简称主理想
域（Field)
一个集合，二种运算
不能被 x5+1 整除 不能被 x6+1 整除
…
…
不能被 x14+1 整除
能被 x15+1 整除 ∴ x4+x+1 是本原多项式
而 x4+ x3+ x2+ x+1
能被 x5+1 整除
能被 x15+1 整除
∴ x4+x3+x2+x+1是既约的，但不是本原的
多项式环Rq(x)g(x)
系数GF(q),模g(x)
对于有限域GF(q)上的m次既约多项式P(x)，若能 被它整除的最简首一多项式(x n -1)的次数n qm
–1, 则称该多项式为本原多项式。 本原多项式一定既约；
反之，既约多项式未必本原。
多项式循环群 Cycle Group
由多项式的各次幂所构成的群称为多项式循环群
比如， x4+x+1
(q=2, m=4, 2m-1=15)
VIP专享文档下载特权自VIP生效起每月发放一次， 每次发放的特权有效期为1个月，发放数量由您购买 的VIP类型决定。
每月专享9次VIP专享文档下载特权， 自VIP生效起每月发放一次，持续有 效不清零。自动续费，前往我的账号 -我的设置随时取消。
服务特 权
共享文档下载特权
VIP用户有效期内可使用共享文档下载特权下载任意下载券标价的文档（不含付费文档和VIP专享文档），每下载一篇共享文
大学课程近世代数循环群与置换群讲义课件
即 f 是同构，故( G,◦) ≅ (Zn, +n) 。
（2）作映射 f : G → Z , f ( gk )=k ，
则 f 是同构，故 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
二、置换群
定义7.3.3 设 S为集合，称映射τ : S →S 为 S上的
一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。
而 1 2 1 2 4 3 4 3 5 5 1 2 1 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 4 3 4 3 5 5 (1)( 2 3) 4 (3)( 4 1)2
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
定理7.3.5 任意一个置换都等于若干个不含公共元 素的循环置换的复合。
例如， 1 32 63 44 18 52 65 77 8 (5)8 2 ()7 1 6 ()3 (1 4)3 2 ()4 5 6 ()8 7
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
例7.3.9 利用循环置换的方法，我们有 3次对称群 S3的元素可以表示为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4的元素可以表示为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34); (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243); (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432); (12)∘(34), (13)∘(24), (14)∘(23)。
通常还是用
1 2
2 3
3 1
来表示。
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
（2）作映射 f : G → Z , f ( gk )=k ，
则 f 是同构，故 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
二、置换群
定义7.3.3 设 S为集合，称映射τ : S →S 为 S上的
一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。
而 1 2 1 2 4 3 4 3 5 5 1 2 1 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 4 3 4 3 5 5 (1)( 2 3) 4 (3)( 4 1)2
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
定理7.3.5 任意一个置换都等于若干个不含公共元 素的循环置换的复合。
例如， 1 32 63 44 18 52 65 77 8 (5)8 2 ()7 1 6 ()3 (1 4)3 2 ()4 5 6 ()8 7
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
例7.3.9 利用循环置换的方法，我们有 3次对称群 S3的元素可以表示为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4的元素可以表示为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34); (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243); (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432); (12)∘(34), (13)∘(24), (14)∘(23)。
通常还是用
1 2
2 3
3 1
来表示。
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
近世代数精品课程25页PPT
近世代数精品课程
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
6பைடு நூலகம்最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
6பைடு நூலகம்最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
近世代数课件 第7节 循环群
12/22
近世 代数
证明
(2) 只须证明：对任何正整数 r ( r≤n)， ar是G的生成元 n与r互质，即(n, r)=1.
充分性: n与r互质，即(n, r)=1 ar是G的生成元. 思路1： a) 欲证：ar是G的生成元，因此只需证得：|ar| = n. b) 欲证： |ar| = n ，令|ar| = k，因此只需证得：k | n，且n | k.
(另证)必要性: ar是G的生成元 n与r互质，即(n, r)=1. 思路： a) 欲证(n, r)=1，令(n, r)=d，因此只需证得d = 1. b) 欲证d = 1，只需证得：n | (n/d). c) 欲证n | (n/d)，已知|ar| = n，因此只需证得： (ar)n/d=e. 设ar是G的生成元，则 |ar| = n. 令r与n的最大公约数 为d，则存在正整数 t 使得 r = dt. 因此, |ar| 是n/d的因子，即 n整除n/d. 从而证明了d = 1.
借助于命题：整数r与n互质存在整数 u 和 v 使得ur+vn = 1.
设r与n互质，则存在整数 u 和 v 使得
ur + vn = 1
从而
a = aur+vn = (ar)u(an)v = (ar)u
这就推出ak∈G，ak = (ar)uk∈(ar)，即G(ar).
另一方面，显然有(ar)G. 从而G = (ar).
(3) 设G=3Z={3z | z∈Z}, G上的运算是普通加法. 那 么G只有两个生成元：3和3.
15/22
近世 代数
循环群的子群
定理4 设G=(a)是循环群，则 (1) 循环群G的子群仍是循环群. (2) 若G=(a)是无限循环群，则G的子群除{e}以外都
近世 代数
证明
(2) 只须证明：对任何正整数 r ( r≤n)， ar是G的生成元 n与r互质，即(n, r)=1.
充分性: n与r互质，即(n, r)=1 ar是G的生成元. 思路1： a) 欲证：ar是G的生成元，因此只需证得：|ar| = n. b) 欲证： |ar| = n ，令|ar| = k，因此只需证得：k | n，且n | k.
(另证)必要性: ar是G的生成元 n与r互质，即(n, r)=1. 思路： a) 欲证(n, r)=1，令(n, r)=d，因此只需证得d = 1. b) 欲证d = 1，只需证得：n | (n/d). c) 欲证n | (n/d)，已知|ar| = n，因此只需证得： (ar)n/d=e. 设ar是G的生成元，则 |ar| = n. 令r与n的最大公约数 为d，则存在正整数 t 使得 r = dt. 因此, |ar| 是n/d的因子，即 n整除n/d. 从而证明了d = 1.
借助于命题：整数r与n互质存在整数 u 和 v 使得ur+vn = 1.
设r与n互质，则存在整数 u 和 v 使得
ur + vn = 1
从而
a = aur+vn = (ar)u(an)v = (ar)u
这就推出ak∈G，ak = (ar)uk∈(ar)，即G(ar).
另一方面，显然有(ar)G. 从而G = (ar).
(3) 设G=3Z={3z | z∈Z}, G上的运算是普通加法. 那 么G只有两个生成元：3和3.
15/22
近世 代数
循环群的子群
定理4 设G=(a)是循环群，则 (1) 循环群G的子群仍是循环群. (2) 若G=(a)是无限循环群，则G的子群除{e}以外都
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2012-9-19
定理6 n 阶循环群 G ( a ) 有且只有 n 的正因数 T(n)个子群. 证：（1）( a ), ( a ), , ( a ) ，则
(a ) (a )
k d
是 ( a ) 的全部子群; （2）对于每个 1 k n，若 ( k , n ) d
1 2 n
G { , a
2
；且
2
,a
1
, a , a , a ,}
0
2.G是n阶循环群 a n ；且
G {a , a , , a }
1 2 n
3.G是n阶循环群， k k a 是G的生成元 a n
推论 若循环群 a ，则 G a 1 . G
2012-9-19
;
d
（3）若 d | n ，则 ( a ) 是唯一一个 阶为n/d的子群.
2012-9-19
G ( a ) ，则 ( a k ) G .
km
证： a km , a kn ( a k )
(a
kn
)
1
a
k(mn)
(a )
k
定理5 证：
无限循环群 G ( a ) 有无限多个子群.
( a ), ( a ), ( a ), 是 ( a ) 的全部
m n
0
1
2
不同的子群（若 ( a ) ( a ) ，则 m | n , n | m ，于是 m n .）
三、数量 定理2 循环群 G a ，则
(1) 若G是无限阶循环群，则G与整数加群同构. (2) 若G是n阶循环群，则G与模n的剩余类加群 同构.
证明： （1） : a k , k Z
k
（2） : a
k
[k ]
2012-9-19
四、子群 定理3 循环群的子群是循环群.
证： G ( a ) ，H G ，若 H { e } ( e ) ，若
近世代数
第二章 群论
§4 循环群
2012-9-19
循环群是已经研究清楚的群之一，就是 说，这种群的元素表达方式和运算规则，以 及在同构意义下这种群的数量和它们子群的 状况等，都完全研究清楚了.
2012-9-19
一、存在性
定义 若群G中每个元都能表示成某个固定元a 的乘方，就称群G为循环群, 也称群G为由元a 生成的群，记为G=(a)，称a是G的一个生成元. 例1 整数加群Z是无限阶循环群
H {e } ，取H的最小正幂 a k ，若 a m H ，则设 m kq r ，
0 r k ，于是 r m kq m k q a a a (a ) H
，故
r 0 ，a
k
m
(a )
k
q
，因此
2012-9-19
H (a ) .
定理4 循环群
a
m m 1 Z,m 1 1 1 1 ，
m m 1 m m m ( 1) ( 1) ( 1) （ 1 ） （1 ） 1 ，
0 1
0
Z (1)
2012-9-19
例2
n次单位根乘群 U n （n > 1） 取 U n ，但
2 n
1} U n
U n ( )
例3 是 n 阶循环群（n >1） 模 n 的剩余类加群
Z n ([1])
是n阶循环群.
2012-9-19
二、构造 定理1 循环群 G a ，则 1. G是无限阶循环群 a
定理6 n 阶循环群 G ( a ) 有且只有 n 的正因数 T(n)个子群. 证：（1）( a ), ( a ), , ( a ) ，则
(a ) (a )
k d
是 ( a ) 的全部子群; （2）对于每个 1 k n，若 ( k , n ) d
1 2 n
G { , a
2
；且
2
,a
1
, a , a , a ,}
0
2.G是n阶循环群 a n ；且
G {a , a , , a }
1 2 n
3.G是n阶循环群， k k a 是G的生成元 a n
推论 若循环群 a ，则 G a 1 . G
2012-9-19
;
d
（3）若 d | n ，则 ( a ) 是唯一一个 阶为n/d的子群.
2012-9-19
G ( a ) ，则 ( a k ) G .
km
证： a km , a kn ( a k )
(a
kn
)
1
a
k(mn)
(a )
k
定理5 证：
无限循环群 G ( a ) 有无限多个子群.
( a ), ( a ), ( a ), 是 ( a ) 的全部
m n
0
1
2
不同的子群（若 ( a ) ( a ) ，则 m | n , n | m ，于是 m n .）
三、数量 定理2 循环群 G a ，则
(1) 若G是无限阶循环群，则G与整数加群同构. (2) 若G是n阶循环群，则G与模n的剩余类加群 同构.
证明： （1） : a k , k Z
k
（2） : a
k
[k ]
2012-9-19
四、子群 定理3 循环群的子群是循环群.
证： G ( a ) ，H G ，若 H { e } ( e ) ，若
近世代数
第二章 群论
§4 循环群
2012-9-19
循环群是已经研究清楚的群之一，就是 说，这种群的元素表达方式和运算规则，以 及在同构意义下这种群的数量和它们子群的 状况等，都完全研究清楚了.
2012-9-19
一、存在性
定义 若群G中每个元都能表示成某个固定元a 的乘方，就称群G为循环群, 也称群G为由元a 生成的群，记为G=(a)，称a是G的一个生成元. 例1 整数加群Z是无限阶循环群
H {e } ，取H的最小正幂 a k ，若 a m H ，则设 m kq r ，
0 r k ，于是 r m kq m k q a a a (a ) H
，故
r 0 ，a
k
m
(a )
k
q
，因此
2012-9-19
H (a ) .
定理4 循环群
a
m m 1 Z,m 1 1 1 1 ，
m m 1 m m m ( 1) ( 1) ( 1) （ 1 ） （1 ） 1 ，
0 1
0
Z (1)
2012-9-19
例2
n次单位根乘群 U n （n > 1） 取 U n ，但
2 n
1} U n
U n ( )
例3 是 n 阶循环群（n >1） 模 n 的剩余类加群
Z n ([1])
是n阶循环群.
2012-9-19
二、构造 定理1 循环群 G a ，则 1. G是无限阶循环群 a