近世代数课件--2.10 不变子群,商群
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10.1 定义
这一节里要讲到一种重要的子群，就是不变子群．
给了一个群 G ，一个子群 H ，那么 H 的一个右陪 集 Ha 未必等于 H 的左陪集 aH ，这一点我们在上一节 的例２里已经看到．
定义 一个群 G 的一个子群 N 叫做一个不变子 群,假如对于 G 的每一个元 a 来说,都有
aN Na
aNa1 N
（＊）
1
因为 a …………证完
1
也是 G 的元，在（＊）中以 a
代a ,
注6. 要测验一个子群是不是不变子群，用 定理２的条件一般比较方便． 注7. 用定理２的条件可以改写成 a G ， n N a 1na N 注8 .
ana 1 N
等价于 aNa1 N
Ⅳ． eN 是单位元,因为
eNxN (ex) N xN
Ⅴ
xN 有逆元 x 1 N
,因为
x1 NxN ( x1 x) N eN
证完
定义 一个群 G 的一个不变子群 N 的陪集所 作成的群叫做一个商群．这个群我们用符号 G N 来表示． 因为 N 的指数就是 N 的陪集的个数，我们显 然有，商群 G N 的元的个数等于 N 的指数．当 G 是有限群的时候，
na an n1a n1ann1 n1nan1 an1
这就是说，N是一个子群． (2) . G 的每一个元 a 可以同 N 的每一个元 n 交换，所以 Na aN，即 N 是不变子群．
aN Na
这个不变子群
C
叫做 G 的中心．
例３ 一个交换群 G 的每一个子群 H 都是不变子群．因
G 的子集的乘积,计算两个陪集 xN
成绩
定理３ 一个不变子群的陪集对于上边 规定的乘法来说作成一个群．
证明
我们证明群定义的条件Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ，Ⅴ 能被满足． Ⅰ．显然． Ⅱ． ( xNyN ) zN [( xy) N ]zN ( xyz) N
xN ( yNzN ) xN[( yz) N ] ( xyz) N
G的阶 G N 的阶 N的阶
从商群的角度重新认识剩余类加群 Z n
第一，回忆剩余类加群。
第二，重新认识 Z n 。设
G Z (整数加群)
N (n) {kn k Z}(由n生成的循环群)
• 作业: • P74: 2,3,4
Ga aG G
ea ae a
na an， 例２ C 刚好包含群 G 的所有有以下性质的元 n ， 不管 a 是 G 的哪一个元 证明: C 是 G 的一个不变子群．
证明:
(1) C 是子群.因为 e N ，所以 N 是非空的． 又 n1a an1 ，n2a an2 n1n2a an1n2
注1. 一个不变子群 N 的一个左(或右)陪集叫做 N 的一个陪集. 注2. aN Na意味着: an na 吗? 反过来呢? 注3. aN Na在元素间意味着什么? 注4. 不变子群又称为正规子群
10.2 例子
例１ 一个任意群 G 的子群 G 和 e 总是不变子群，因 为对于任意 G 的元 a 来说，
为 G 的每一个元 a 可以和任意一元 x交换，xa ax ， 所以对于一个子群 H来说， Ha aH
例４ G S ．那么 3
，(123) ，(132)} 是一个不变子群．
N {(1)
注5. 从这个例子可以总结出一般性结论吗?
10.3 等价条件
现在复习一下群 G 的子集的乘积: 设A，B是群 G 的两个非空子集,规定
AB {ab a A, b B} ， A1 {a1 a A}
容易证明:
( AB)C A( BC ) ，A( B
C ) ( AB) ( AC )
( AB)1 B1 A1 , ( A1 )1 A
Sm 的乘积用符号 由于结合律成立, S1，S2，…，
来表示．
S1S2
Sm
定理Βιβλιοθήκη Baidu 一个群 G 的一个子群 N 是一个不变子 群的充分而且必要条件是：
aNa 1 N
对于 G 的任意一个元 a 都对．
证明 …………证完
a 1 Na N ?
注5. aNa 1 N 可以换成
定理２ 一个群 G 的一个子群 N 是一个不变子 群的充分而且必要条件是： n N ana 1 N a G ， 证明 这个条件的必要性是显然的，是定理１ 的直接结果．我们证明它也是充分的． 条件 ana 1 N 意味着
注9. a 1na N 等价于‥‥‥？？
小结:
n N .下面条件等价: 群 G 的一个子群 N , a G ，
1. aN Na 2. aNa 1 N 3. a 1na N 4. aNa1 N
注意: 不变子群不具有传递性.
10.4 商群
不变子群所以重要，是因为这种子群的陪 集，对于某种与原来的群有密切关系的代数 运算来说，也作成一个群．
我们看一个群 G 的一个不变子群 N 的所有 陪集作成一个集合
G / N {aN , bN , cN } {aN a G}
(1) (2) (3)
aN 相对 G / N :是一个元素, aN 相对 G :是一
个子集.
aN
有不同的表示方式. 和 yN 的
( xN )( yN ) ( xy) N
这一节里要讲到一种重要的子群，就是不变子群．
给了一个群 G ，一个子群 H ，那么 H 的一个右陪 集 Ha 未必等于 H 的左陪集 aH ，这一点我们在上一节 的例２里已经看到．
定义 一个群 G 的一个子群 N 叫做一个不变子 群,假如对于 G 的每一个元 a 来说,都有
aN Na
aNa1 N
（＊）
1
因为 a …………证完
1
也是 G 的元，在（＊）中以 a
代a ,
注6. 要测验一个子群是不是不变子群，用 定理２的条件一般比较方便． 注7. 用定理２的条件可以改写成 a G ， n N a 1na N 注8 .
ana 1 N
等价于 aNa1 N
Ⅳ． eN 是单位元,因为
eNxN (ex) N xN
Ⅴ
xN 有逆元 x 1 N
,因为
x1 NxN ( x1 x) N eN
证完
定义 一个群 G 的一个不变子群 N 的陪集所 作成的群叫做一个商群．这个群我们用符号 G N 来表示． 因为 N 的指数就是 N 的陪集的个数，我们显 然有，商群 G N 的元的个数等于 N 的指数．当 G 是有限群的时候，
na an n1a n1ann1 n1nan1 an1
这就是说，N是一个子群． (2) . G 的每一个元 a 可以同 N 的每一个元 n 交换，所以 Na aN，即 N 是不变子群．
aN Na
这个不变子群
C
叫做 G 的中心．
例３ 一个交换群 G 的每一个子群 H 都是不变子群．因
G 的子集的乘积,计算两个陪集 xN
成绩
定理３ 一个不变子群的陪集对于上边 规定的乘法来说作成一个群．
证明
我们证明群定义的条件Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ，Ⅴ 能被满足． Ⅰ．显然． Ⅱ． ( xNyN ) zN [( xy) N ]zN ( xyz) N
xN ( yNzN ) xN[( yz) N ] ( xyz) N
G的阶 G N 的阶 N的阶
从商群的角度重新认识剩余类加群 Z n
第一，回忆剩余类加群。
第二，重新认识 Z n 。设
G Z (整数加群)
N (n) {kn k Z}(由n生成的循环群)
• 作业: • P74: 2,3,4
Ga aG G
ea ae a
na an， 例２ C 刚好包含群 G 的所有有以下性质的元 n ， 不管 a 是 G 的哪一个元 证明: C 是 G 的一个不变子群．
证明:
(1) C 是子群.因为 e N ，所以 N 是非空的． 又 n1a an1 ，n2a an2 n1n2a an1n2
注1. 一个不变子群 N 的一个左(或右)陪集叫做 N 的一个陪集. 注2. aN Na意味着: an na 吗? 反过来呢? 注3. aN Na在元素间意味着什么? 注4. 不变子群又称为正规子群
10.2 例子
例１ 一个任意群 G 的子群 G 和 e 总是不变子群，因 为对于任意 G 的元 a 来说，
为 G 的每一个元 a 可以和任意一元 x交换，xa ax ， 所以对于一个子群 H来说， Ha aH
例４ G S ．那么 3
，(123) ，(132)} 是一个不变子群．
N {(1)
注5. 从这个例子可以总结出一般性结论吗?
10.3 等价条件
现在复习一下群 G 的子集的乘积: 设A，B是群 G 的两个非空子集,规定
AB {ab a A, b B} ， A1 {a1 a A}
容易证明:
( AB)C A( BC ) ，A( B
C ) ( AB) ( AC )
( AB)1 B1 A1 , ( A1 )1 A
Sm 的乘积用符号 由于结合律成立, S1，S2，…，
来表示．
S1S2
Sm
定理Βιβλιοθήκη Baidu 一个群 G 的一个子群 N 是一个不变子 群的充分而且必要条件是：
aNa 1 N
对于 G 的任意一个元 a 都对．
证明 …………证完
a 1 Na N ?
注5. aNa 1 N 可以换成
定理２ 一个群 G 的一个子群 N 是一个不变子 群的充分而且必要条件是： n N ana 1 N a G ， 证明 这个条件的必要性是显然的，是定理１ 的直接结果．我们证明它也是充分的． 条件 ana 1 N 意味着
注9. a 1na N 等价于‥‥‥？？
小结:
n N .下面条件等价: 群 G 的一个子群 N , a G ，
1. aN Na 2. aNa 1 N 3. a 1na N 4. aNa1 N
注意: 不变子群不具有传递性.
10.4 商群
不变子群所以重要，是因为这种子群的陪 集，对于某种与原来的群有密切关系的代数 运算来说，也作成一个群．
我们看一个群 G 的一个不变子群 N 的所有 陪集作成一个集合
G / N {aN , bN , cN } {aN a G}
(1) (2) (3)
aN 相对 G / N :是一个元素, aN 相对 G :是一
个子集.
aN
有不同的表示方式. 和 yN 的
( xN )( yN ) ( xy) N