近世代数课件 第3节 群的定义及性质
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近世代数课件群的概念
ab ba e . 为了阐明这样的 b 是唯一的; 满足
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
乘法都不构成群.
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
下面介绍置换的表示方法.
设 A {a1, a2 , , an} 是一个有限集, f Sn .我们
可以将 f 表示成下表的形式:
f
a1 (a1)
a2 f (a2 )
f
an (an
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
乘法都不构成群.
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
下面介绍置换的表示方法.
设 A {a1, a2 , , an} 是一个有限集, f Sn .我们
可以将 f 表示成下表的形式:
f
a1 (a1)
a2 f (a2 )
f
an (an
群的基本概念和性质
群的基本概念和性质数学中的一个重要结构是群，它是一种代数结构，可以用来描述对象之间的对称性和变换，以及它们之间的关系。
群是数学家们在研究几何、物理、化学等领域中发现的一种普遍存在的数学结构，具有广泛的应用价值。
一、群的定义群是一个集合G和一种操作“*”的代数结构，满足以下四个条件：1.封闭性：对于任意a和b属于G，a*b也属于G。
2.结合性：对于任意a、b和c属于G，(a*b)*c=a*(b*c)。
3.单位元：存在一个元素e属于G，满足对于任意a属于G，a*e=e*a=a。
4.逆元：对于任意a属于G，存在一个元素b属于G，满足a*b=b*a=e。
如果一个集合和它上面的运算满足以上四个条件，那么它就是一个群。
二、群的例子1.整数群整数集合Z构成了一个群，加法作为群操作符号。
整数集满足封闭性、结合性、单位元是0，逆元是-a。
2.置换群置换是一种把集合映射到自身的变换。
所有置换组成的集合构成了一个群，置换的乘法作为群的操作符号。
置换群的中心思想是通过变换得到更多结构的信息。
三、群的性质1.唯一性：给定一个群，它必须具有惟一的操作和单位元。
2.同态性：两个群h和g之间的函数f如若满足：（1） f(a* b)= f(a)* f(b)，(2)对于所有的a∈g, f(a)∈h,那f就是从h到g群的同态。
3.子群：一个群的子集，如果它自己也构成了一个群，那么它就是一个子群。
4.阶：一个群G的阶是指它包含的元素数量。
5.交换性：如果一个群的元素满足交换律，它就是一个交换群，也称为abelian群。
四、群的应用群的应用领域非常广泛，包括几何、物理、化学、密码学等。
在几何学中，群用于描述对象的对称性和变换，例如对称群是描述几何体对称性的群。
在物理学中，群被用于描述物理现象的对称性和变换，例如它可以用于描述粒子对称性和电磁场的对称性。
在化学中，群被用于描述分子的对称性。
在密码学中，群被用于构建公钥密码体制。
总的来说，群是一种非常有用的数学结构，它在科学、工程、计算机科学等领域都有着广泛而重要的应用。
近世代数(抽象代数)课件
意一个二元运算,并将其称为乘法.当 ab c
时, c 称为 a 与 b 的乘积;甚至还将等式 ab c
简写成 ab c .
6
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§1 代数运算
例 1 设 R 是实数集.于是,平常的加法“”,减 法“-”和乘法“”都是 R 上的二元运算;除法“”是 R , R \{0}到 R 的代数运算,不是 R 上的二元运算.
第一章 群 论
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1
目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
2
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§1 代数运算
设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)都是集合.我们将 集合
{(a1, a2 , , an ) | ai Ai , i 1, 2, n} 称为 A1, A2 , , An 的直积或笛卡儿积,记作
A1 A2 An . 特别地,当 A1 A2 An A 时, A1 A 2 A n 可 以简记作 An (读作 A 的 n 次方).这里约定,当 n 1 时, A1 A 2 A n 就是 A1 .
3
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§1 代数运算
定义 1.1 设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)和 A 都是非空集合. A1 A2 An 到 A 的映射 又 称 为 A1, A2 , , A n 到 A 的 代 数 运 算 ; 特 别 地, An 到 A 的映射又称为 A 上的 n 元运算.
设 A 是一个非空集合. f 是 A 上的一个二
元运算.于是，对于任意的 a, b A ，存在唯
一的 c A ，使得 f (a, b) c .我们约定,将等
式 f (a, b) c 改写成 afb c .
近世代数简介ppt
若R是交换环，I是R的非空子集，如满足 1． a、b I， a－b I。 2． a I、r R， a r = r a I， 则I是R的理想子环，简称理想
若理想子环的所有元素可由一个元素a的各
次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环 主理想子环，简称主理想
域（Field)
一个集合，二种运算
不能被 x5+1 整除 不能被 x6+1 整除
…
…
不能被 x14+1 整除
能被 x15+1 整除 ∴ x4+x+1 是本原多项式
而 x4+ x3+ x2+ x+1
能被 x5+1 整除
能被 x15+1 整除
∴ x4+x3+x2+x+1是既约的，但不是本原的
多项式环Rq(x)g(x)
系数GF(q),模g(x)
对于有限域GF(q)上的m次既约多项式P(x)，若能 被它整除的最简首一多项式(x n -1)的次数n qm
–1, 则称该多项式为本原多项式。 本原多项式一定既约；
反之，既约多项式未必本原。
多项式循环群 Cycle Group
由多项式的各次幂所构成的群称为多项式循环群
比如， x4+x+1
(q=2, m=4, 2m-1=15)
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若理想子环的所有元素可由一个元素a的各
次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环 主理想子环，简称主理想
域（Field)
一个集合，二种运算
不能被 x5+1 整除 不能被 x6+1 整除
…
…
不能被 x14+1 整除
能被 x15+1 整除 ∴ x4+x+1 是本原多项式
而 x4+ x3+ x2+ x+1
能被 x5+1 整除
能被 x15+1 整除
∴ x4+x3+x2+x+1是既约的，但不是本原的
多项式环Rq(x)g(x)
系数GF(q),模g(x)
对于有限域GF(q)上的m次既约多项式P(x)，若能 被它整除的最简首一多项式(x n -1)的次数n qm
–1, 则称该多项式为本原多项式。 本原多项式一定既约；
反之，既约多项式未必本原。
多项式循环群 Cycle Group
由多项式的各次幂所构成的群称为多项式循环群
比如， x4+x+1
(q=2, m=4, 2m-1=15)
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近世代数--群的概念
(a b ) c a b c (a b) c a (b c) a b c a (b c ),
所以结合律成立．
(3) 对任意的 a,b Zm ,
a b a b b a b a,
所以交换律成立．
(4) 对任意的 a Zm ，
a 0 a 0 a,
且
0 a 0 a a,
的代表元的选取无关即可．设
a a ', b b ',
则
m | a a ', m | b b '.
于是 m | (a a ') (b b ') (a b) (a ' b '),
m | (a a ')b (b b ')a ' (ab) (a 'b ').
从而
a b a ' b ', ab a 'b'. 所以+与 都是Zm上的代数运算.
的逆元记作 a, 并称a为 a 的负元．
2．习惯上，只有当群为交换群时，才用“＋” 来表 示群的运算，并称这个运算为加法，把运算的 结果叫做和，同时称这样的群为加群．相应地, 将 不是加群的群称为乘群，并把乘群的运算叫做乘法， 运算的结果叫做积．在运算过程中，乘群的运算符号 通常省略不写．今后，如不作特别声明，我们总假定 群的运算是乘法．当然, 所有关于乘群的结论对加群 也成立（必要时, 作一些相关的记号和术语上改变）．
a b b a e. 则称 G关于运算“ ”构成一个群（group），记作 (G,) ．在不致引起混淆的情况下, 也G称为群．
注 1．(G2)中的元素 e 称为群 G的单位元
（unit element）或恒等元（identity）；
所以结合律成立．
(3) 对任意的 a,b Zm ,
a b a b b a b a,
所以交换律成立．
(4) 对任意的 a Zm ，
a 0 a 0 a,
且
0 a 0 a a,
的代表元的选取无关即可．设
a a ', b b ',
则
m | a a ', m | b b '.
于是 m | (a a ') (b b ') (a b) (a ' b '),
m | (a a ')b (b b ')a ' (ab) (a 'b ').
从而
a b a ' b ', ab a 'b'. 所以+与 都是Zm上的代数运算.
的逆元记作 a, 并称a为 a 的负元．
2．习惯上，只有当群为交换群时，才用“＋” 来表 示群的运算，并称这个运算为加法，把运算的 结果叫做和，同时称这样的群为加群．相应地, 将 不是加群的群称为乘群，并把乘群的运算叫做乘法， 运算的结果叫做积．在运算过程中，乘群的运算符号 通常省略不写．今后，如不作特别声明，我们总假定 群的运算是乘法．当然, 所有关于乘群的结论对加群 也成立（必要时, 作一些相关的记号和术语上改变）．
a b b a e. 则称 G关于运算“ ”构成一个群（group），记作 (G,) ．在不致引起混淆的情况下, 也G称为群．
注 1．(G2)中的元素 e 称为群 G的单位元
（unit element）或恒等元（identity）；
群的基本概念ppt课件
由此可得到 S3 置换群的乘法表。
S3 置换群表：
S3
E (132) (123) (23) (13) (12)
E E (132) (123) (23) (13) (12)
(132) (132) (123) E (12) (23) (13)
(123) (123) E (132) (13) (12) (23)
Eˆ ECˆ31
Cˆ32
Aˆˆvv((12)) ˆv(3)
同构与同态在构造群表和群的特征标表中作用很大。
2.4 群的直积：直积群
2.4.1 子群 若一个群 H 的群元素皆包含于另一个群 G 之中，就称群 H 是群 G 的子群。 或者说，群 H 的阶为 h，群 G 的阶为 g，且 h ≤ g，H ∈ G。就称群 H 是群 G 的子群。 因为有相同的乘法关系，子群 H 与群 G 有相同的单位元素。
例 1 C6 群包含 C2 子群和 C3 子群。
C 6:
E ˆ C ˆ6 2(C ˆ3 1) C ˆ6 3(C ˆ2 1) C ˆ6 5
C ˆ6 4(C ˆ3 2) C ˆ6 1
C 6 C 3 C 2
例 1 C6 群包含 C2 子群和 C3 子群。
Eˆ
C2v Eˆ Cˆ 2 (Z)
ˆ XZ
ˆYZ
Eˆ Eˆ Cˆ 2 (Z)
ˆ XZ ˆYZ
Cˆ 2 (Z) Cˆ 2 (Z)
Eˆ
ˆYZ
ˆ XZ
ˆ XZ
ˆ XZ
ˆYZ
Eˆ Cˆ 2 (Z)
ˆYZ
ˆYZ
ˆ XZ
Cˆ 2 (Z) Eˆ
例 2-5 S3 置换群
S3 置换群是三个数码 1，2，3 的所有可能的置换，共有 6 个群 元素：
S3 置换群表：
S3
E (132) (123) (23) (13) (12)
E E (132) (123) (23) (13) (12)
(132) (132) (123) E (12) (23) (13)
(123) (123) E (132) (13) (12) (23)
Eˆ ECˆ31
Cˆ32
Aˆˆvv((12)) ˆv(3)
同构与同态在构造群表和群的特征标表中作用很大。
2.4 群的直积：直积群
2.4.1 子群 若一个群 H 的群元素皆包含于另一个群 G 之中，就称群 H 是群 G 的子群。 或者说，群 H 的阶为 h，群 G 的阶为 g，且 h ≤ g，H ∈ G。就称群 H 是群 G 的子群。 因为有相同的乘法关系，子群 H 与群 G 有相同的单位元素。
例 1 C6 群包含 C2 子群和 C3 子群。
C 6:
E ˆ C ˆ6 2(C ˆ3 1) C ˆ6 3(C ˆ2 1) C ˆ6 5
C ˆ6 4(C ˆ3 2) C ˆ6 1
C 6 C 3 C 2
例 1 C6 群包含 C2 子群和 C3 子群。
Eˆ
C2v Eˆ Cˆ 2 (Z)
ˆ XZ
ˆYZ
Eˆ Eˆ Cˆ 2 (Z)
ˆ XZ ˆYZ
Cˆ 2 (Z) Cˆ 2 (Z)
Eˆ
ˆYZ
ˆ XZ
ˆ XZ
ˆ XZ
ˆYZ
Eˆ Cˆ 2 (Z)
ˆYZ
ˆYZ
ˆ XZ
Cˆ 2 (Z) Eˆ
例 2-5 S3 置换群
S3 置换群是三个数码 1，2，3 的所有可能的置换，共有 6 个群 元素：
近世代数课件全21 群的定义.ppt
aa1 eaa1 a'a1 aa1 a' a1a a1 a'ea1 a'a1 e
2019/12/12
二、群的性质及等价判定方法 定理1 群中
1.左逆元也是右逆元（逆元）； 2.左单位元也是右单位元（单位元）；
aa1 a1a e ae aa1a ea a
做成交换群，称为正有理数乘群.
例3 G {全体整数}，对于运算 a b ab
2
1Leabharlann 22124
2
1
2 212 2
结合律不成立,不做成群.
2019/12/12
注意：
（1）对于考察集合是否作成群： 既要考虑元素，又要考虑代数运算；
（2）将群的代数运算叫做乘法，简记
a b a b ab
近世代数 第二章 群论 §1 群的定义
2019/12/12
一、群的定义与例子
定义1设 G 是一个具有代数运算 的非空集合，
并且满足:
Ⅰ. 结合律: a,b,c G, 有
(a b) c a (b c)
Ⅱ. G 中有左单位元 e ：a G, e a a Ⅲ. 对 G 中每一个元素 a , 有左逆元
左单位元1， a 1 无逆元,不能做成群；
2019/12/12
（3）对于运算 a b a b 4
a b c a b 4 c a b 4 c 4 a b c 8
a b c a b c 4 a b c 4 4 a b c 8
2019/12/12
定义4
设 G 是一个具有代数运算 的非空集合 ，并且满足结合律，则称 G 关于代数运算
2019/12/12
二、群的性质及等价判定方法 定理1 群中
1.左逆元也是右逆元（逆元）； 2.左单位元也是右单位元（单位元）；
aa1 a1a e ae aa1a ea a
做成交换群，称为正有理数乘群.
例3 G {全体整数}，对于运算 a b ab
2
1Leabharlann 22124
2
1
2 212 2
结合律不成立,不做成群.
2019/12/12
注意：
（1）对于考察集合是否作成群： 既要考虑元素，又要考虑代数运算；
（2）将群的代数运算叫做乘法，简记
a b a b ab
近世代数 第二章 群论 §1 群的定义
2019/12/12
一、群的定义与例子
定义1设 G 是一个具有代数运算 的非空集合，
并且满足:
Ⅰ. 结合律: a,b,c G, 有
(a b) c a (b c)
Ⅱ. G 中有左单位元 e ：a G, e a a Ⅲ. 对 G 中每一个元素 a , 有左逆元
左单位元1， a 1 无逆元,不能做成群；
2019/12/12
（3）对于运算 a b a b 4
a b c a b 4 c a b 4 c 4 a b c 8
a b c a b c 4 a b c 4 4 a b c 8
2019/12/12
定义4
设 G 是一个具有代数运算 的非空集合 ，并且满足结合律，则称 G 关于代数运算
近世代数--群的概念
所以+与
都是Z
上旳代数运算.
m
定义1.2.2 设G是一种非空集合，“ ”G是 上旳 一种代数运算，即对全部旳a,b G,有 a b G. 如 果G旳运算还满足
(G1) 结合律，即对全部旳a,b,c G, 有； (a b) c a (b c);
(G2) G中有元素e，使对每个a G ，有 e a a e a;
(5) 在群中消去律成立，即设 a,b, c G ，
假如 ab ac ，或 ba ca ，则 b c ．
证 (1) 假如 e1,e2都是 G旳单位元，则 e1 e2 e2（因为e1是G旳单位元）， e1 e2 e（1 因为e2是G旳单位元），
所以
e2 e1 e2 e1,
所以单位元是惟一旳．
对任意旳正整数 n ，定义 an a a a
n个a
再约定
a0 e， an (a1)n，（n为正整数） 则 a n对任意整数都有意义，而且不难证明：
对任意旳 a G，m,n Z， 有下列旳指数法则 (1) an am anm ； (2) (an )m anm； (3) 假如 G是互换群，则 (ab)n anbn
所以结合律成立.
(3) 因为(1, m) 1，从而 1 Zm ，且对任意旳 a U (m),
a 1 a1 a,
且
1a 1a a, 所以1是U (m)旳单位元．
(4) 对任意旳 a U (m),，有(a, m) 1 ， 由整数旳性质可知，存在 u,v Z ，使au mv 1, 显然(u, m) 1, 所以 u U (m) ，且
易知， Z*p 1, 2, , p 1
(2) 由初等数论可知（参见[1]），U (m)旳阶等于
(m) 这里 (m) 是欧拉函数．假如
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)是群 (1)“∘”满足结合律； (2)G关于“∘”有一个单位元e；
G关于乘 法“∘”封
闭
(3) 对于G的每个元素，关于“∘”有一个逆元.
(I)“∘”满足结合律； (II)G关于“∘”有一个左单位元e； (III) 对于G的每个元素，关于“∘”有一个左逆元.
证明二者等价：
性质1 设(G,∘)为群，则a∈G，a的左逆元也是a的
8) 对任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，
则称V为域P上的一个线性空间，或向量空间。 13/30
近世 代数
群的实例
例1 (Z, +)、(R, +)、(Zn, )、 (P(A), )是群. n阶(n≥2)实可逆矩阵集合Mn关于矩阵乘法构成群.
例2 设G={ e, a, b, c }，G上的运算由下表给出，称 为Klein四元群.
运算，称为乘法。如果下列两个条件成立，则称
G关于乘法“∘”作成一个群. I 乘法“∘”满足结合律，即a, b, c∈G (a ∘ b) ∘ c=a ∘ (b ∘ c)； IV a, b∈G，方程a ∘ x=b和y ∘ a=b在G中有解.
7/30
近世 代数
群的三个等价定义
代数系统(G,∘)是群 (1)“∘”满足结合律； (2)G关于“∘”有一个单位元e；
右逆元. 性质2 设(G,∘)为群，则G的左单位元e也是右单位元9/3.0
近世 代数
群的性质
讨论定义3中解的惟一性：
性质3 设(G,∘)为群，则a, b∈G，方程a ∘ x=b和 y ∘ a=b在G中的解惟一.
性质4 群(G,∘)中的乘法满足消去律，即a,b,c∈G 有 (1) 若 a ∘ b = a ∘ c，则 b = c.(左消去律) (2) 若 b ∘ a = c ∘ a，则 b = c.(右消去律)
eabc
e eabc a aecb b bcea c cbae
特征：
1. 满足交换律 2. 每个元素都是自己的逆元 3. a, b, c中任何两个元素运 算结果都等于剩下的第三个 元素
近世 代数
群论
主要内容:
群的定义与性质 有限群、子群 变换群 置换群 循环群 子群的陪集、正规子群与商群 群的同态基本定理
1/30
近世 代数
第3节 群的定义与性质
主要内容:
群的定义 群的基本性质 群的实例 群中的术语
2/30
近世 代数
群的三个等价定义
定义0 (1) 设(S, ∘)是一个代数系统，如果运算∘满足结合 律，则称(S, ∘)为一个半群. (2) 设(S, ∘)是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元， 则称(S, ∘)是一个幺半群，也叫做独异点.
3) 存在一个元素0∈V，对一切α∈V有α+0=α，
元素0称为V的零元.
4) 对任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β称为
α的负元素，记为-α.
5) 对P中单位元1，有1α=α(α∈V).
6) 对任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).
7) 对任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.
G关于乘法“∘”作成一个群.
I G关于乘法“∘”封闭，即a,b∈G，a ∘ b∈G；
II 乘法“∘”满足结合律，即a,b,c∈G
(a ∘ b) ∘ c=a ∘ (b ∘ c)；
III G关于乘法“∘”有一个左单位元e，即
a∈G ，存在元e∈G，使得e ∘ a=a；
IV 对于G的每个元素，关于乘法“∘”有一个左
有时也将独异点(S, ∘) 记作 (S,∘,e).
定义1 设(G,∘,e)是幺半群，若G中的每个元素都有逆 元，则称(G,∘,e)是群. 记作(G,∘)，有时简记为 G.
3/30
近世 代数
群的三个等价定义
定义2 设G是一个非空集合， “∘”是G上的二元代数
运算，称为乘法。如果下列四个条件成立，则称
G关于乘 法“∘”封
闭
(3) 对于G的每个元素，关于“∘”有一个逆元.
(I)“∘”满足结合律； (II)G关于“∘”有一个左单位元e； (III) 对于G的每个元素，关于“∘”有一个左逆元.
(I)“∘”满足结合律； (IV)a, b∈G，方程a ∘ x=b和y ∘ a=b在G中有解.
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近世 代数
I G关于乘法“∘”封闭，即a, b∈G，a ∘ b∈G； II 乘法“∘”满足结合律，即a, b, c∈G
(a ∘ b) ∘ c=a ∘ (b ∘ c)； V a, b∈G，方程a ∘ x=b和y ∘ a=b在G中有解.
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近世 代数
群的三个等价定义
定义3’ 设G是一个非空集合， “∘”是G上的二元代 数
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近世 代数
群的性质
讨论群中特异元素的性质：
性质5 设(G,∘)为群，则 (1) a∈G，(a1)1=a； (2) a, b∈G，(a ∘ b)1=b1 ∘ a1.
思考： 一般群G中零元问题：是否存在？为什么？
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近世 代数
线性空间的定义
设V是一个非空集合，P是一个域。若：
1. 在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意 两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一 个元素α+β，称为α与β的和。
II G关于乘法“∘”有一个左单位元e，即
a∈G ，存在元e∈G，使得e ∘ a=a；
III 对于G的每个元素，关于乘法“∘”有一个左
逆元，即a∈G ，存在元b∈G，使得b ∘ a=e，其中
e是II中的左单位元.
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近世 代数
群的三个等价定义
定义3 设G是一个非空集合， “∘”是G上的二元代数 运算，称为乘法。如果下列三个条件成立，则称 G关于乘法“∘”作成一个群.
2. 在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法 (亦称数量乘法)，即对V中任意元素α和P中任意元素 k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα， 称为k与α的积。
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近世 代数
线性空间的定义
3. 加法与纯量乘法满足以下条件：
1) α+β=β+α，对任意α，β∈V.
2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，对任意α，β，γ∈V.
逆元，即a∈G ，存在元b∈G，使得b ∘ a=e，其中
e是III中的左单位元.
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近世 代数
群的三个等价定义
定义2’ 设G是一个非空集合， “∘”是G上的二元代 数
运算，称为乘法。如果下列三个条件成立，则称
G关于乘法“∘”作成一个群.
I 乘法“∘”满足结合律，即a,b,c∈G
(a ∘ b) ∘ c=a ∘ (b ∘ c)；
G关于乘 法“∘”封
闭
(3) 对于G的每个元素，关于“∘”有一个逆元.
(I)“∘”满足结合律； (II)G关于“∘”有一个左单位元e； (III) 对于G的每个元素，关于“∘”有一个左逆元.
证明二者等价：
性质1 设(G,∘)为群，则a∈G，a的左逆元也是a的
8) 对任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，
则称V为域P上的一个线性空间，或向量空间。 13/30
近世 代数
群的实例
例1 (Z, +)、(R, +)、(Zn, )、 (P(A), )是群. n阶(n≥2)实可逆矩阵集合Mn关于矩阵乘法构成群.
例2 设G={ e, a, b, c }，G上的运算由下表给出，称 为Klein四元群.
运算，称为乘法。如果下列两个条件成立，则称
G关于乘法“∘”作成一个群. I 乘法“∘”满足结合律，即a, b, c∈G (a ∘ b) ∘ c=a ∘ (b ∘ c)； IV a, b∈G，方程a ∘ x=b和y ∘ a=b在G中有解.
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近世 代数
群的三个等价定义
代数系统(G,∘)是群 (1)“∘”满足结合律； (2)G关于“∘”有一个单位元e；
右逆元. 性质2 设(G,∘)为群，则G的左单位元e也是右单位元9/3.0
近世 代数
群的性质
讨论定义3中解的惟一性：
性质3 设(G,∘)为群，则a, b∈G，方程a ∘ x=b和 y ∘ a=b在G中的解惟一.
性质4 群(G,∘)中的乘法满足消去律，即a,b,c∈G 有 (1) 若 a ∘ b = a ∘ c，则 b = c.(左消去律) (2) 若 b ∘ a = c ∘ a，则 b = c.(右消去律)
eabc
e eabc a aecb b bcea c cbae
特征：
1. 满足交换律 2. 每个元素都是自己的逆元 3. a, b, c中任何两个元素运 算结果都等于剩下的第三个 元素
近世 代数
群论
主要内容:
群的定义与性质 有限群、子群 变换群 置换群 循环群 子群的陪集、正规子群与商群 群的同态基本定理
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近世 代数
第3节 群的定义与性质
主要内容:
群的定义 群的基本性质 群的实例 群中的术语
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近世 代数
群的三个等价定义
定义0 (1) 设(S, ∘)是一个代数系统，如果运算∘满足结合 律，则称(S, ∘)为一个半群. (2) 设(S, ∘)是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元， 则称(S, ∘)是一个幺半群，也叫做独异点.
3) 存在一个元素0∈V，对一切α∈V有α+0=α，
元素0称为V的零元.
4) 对任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β称为
α的负元素，记为-α.
5) 对P中单位元1，有1α=α(α∈V).
6) 对任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).
7) 对任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.
G关于乘法“∘”作成一个群.
I G关于乘法“∘”封闭，即a,b∈G，a ∘ b∈G；
II 乘法“∘”满足结合律，即a,b,c∈G
(a ∘ b) ∘ c=a ∘ (b ∘ c)；
III G关于乘法“∘”有一个左单位元e，即
a∈G ，存在元e∈G，使得e ∘ a=a；
IV 对于G的每个元素，关于乘法“∘”有一个左
有时也将独异点(S, ∘) 记作 (S,∘,e).
定义1 设(G,∘,e)是幺半群，若G中的每个元素都有逆 元，则称(G,∘,e)是群. 记作(G,∘)，有时简记为 G.
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群的三个等价定义
定义2 设G是一个非空集合， “∘”是G上的二元代数
运算，称为乘法。如果下列四个条件成立，则称
G关于乘 法“∘”封
闭
(3) 对于G的每个元素，关于“∘”有一个逆元.
(I)“∘”满足结合律； (II)G关于“∘”有一个左单位元e； (III) 对于G的每个元素，关于“∘”有一个左逆元.
(I)“∘”满足结合律； (IV)a, b∈G，方程a ∘ x=b和y ∘ a=b在G中有解.
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I G关于乘法“∘”封闭，即a, b∈G，a ∘ b∈G； II 乘法“∘”满足结合律，即a, b, c∈G
(a ∘ b) ∘ c=a ∘ (b ∘ c)； V a, b∈G，方程a ∘ x=b和y ∘ a=b在G中有解.
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定义3’ 设G是一个非空集合， “∘”是G上的二元代 数
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群的性质
讨论群中特异元素的性质：
性质5 设(G,∘)为群，则 (1) a∈G，(a1)1=a； (2) a, b∈G，(a ∘ b)1=b1 ∘ a1.
思考： 一般群G中零元问题：是否存在？为什么？
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线性空间的定义
设V是一个非空集合，P是一个域。若：
1. 在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意 两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一 个元素α+β，称为α与β的和。
II G关于乘法“∘”有一个左单位元e，即
a∈G ，存在元e∈G，使得e ∘ a=a；
III 对于G的每个元素，关于乘法“∘”有一个左
逆元，即a∈G ，存在元b∈G，使得b ∘ a=e，其中
e是II中的左单位元.
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群的三个等价定义
定义3 设G是一个非空集合， “∘”是G上的二元代数 运算，称为乘法。如果下列三个条件成立，则称 G关于乘法“∘”作成一个群.
2. 在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法 (亦称数量乘法)，即对V中任意元素α和P中任意元素 k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα， 称为k与α的积。
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线性空间的定义
3. 加法与纯量乘法满足以下条件：
1) α+β=β+α，对任意α，β∈V.
2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，对任意α，β，γ∈V.
逆元，即a∈G ，存在元b∈G，使得b ∘ a=e，其中
e是III中的左单位元.
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群的三个等价定义
定义2’ 设G是一个非空集合， “∘”是G上的二元代 数
运算，称为乘法。如果下列三个条件成立，则称
G关于乘法“∘”作成一个群.
I 乘法“∘”满足结合律，即a,b,c∈G
(a ∘ b) ∘ c=a ∘ (b ∘ c)；