近世代数学习系列四 抽象代数的人间烟火

抽象代数的人间烟火李尚志北京航空航天大学数学与系统科学学院北京, 100191摘要抽象代数课如果只是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有例子，没有计算，不会解决任何问题，这样的抽象代数只能给零分。

抽象代数能不能有既体现数学本质、又引人入胜的例子？本文介绍的就是这样的例子。

关键词：抽象代数，精彩案例某校有一个被保送读研的学生参加我们的面试。

我问她哪门课程学得最好。

答曰“抽象代数”。

不等我问问题，她就开始自问自答，开始背诵群的定义。

我马上制止她，说不要你背定义，只要你举例。

让她举一个非交换群。

举不出来。

举一个有限域，举不出来。

我说：这两个例子举不出来，抽象代数零分! 她大惑不解，说：“抽象代数就是没有例子嘛！”她大概认为我学的是假的抽象代数，她学的真的抽象代数就是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有任何例子，不解决任何问题，也没有任何前因后果。

如果只是少数学生这样认为，可以怪她自己学得不好。

问题的严重性在于：持这样观点的学生不是一两个，也不是10%--20%，我估计：学习抽象代数的大学生中有90%都持这种观点，只不过这个学生将这种观点总结得特别明确、特别精彩而已。

这恐怕就不能怪学生，而应当从教材和教学中找原因了。

现有的抽象代数教材，不是没有例子。

这些例子本来就很精彩。

三等分角的尺规作图，五次方程的求根公式，这是迄今为止一些“民间科学家”还在花费毕生精力苦心钻研的世界“难题”，早就被抽象代数解决了，这还不够精彩吗？密码、编码中的理论和实践，抽象代数大显身手，也够精彩了。

但是，这些精彩问题的解答叙述起来太难，学生不容易懂。

要讲清楚，课时也不够。

只有少数名牌大学的抽象代数课程还稍微讲一些，在其余的学校，就将抽象代数这些精华和灵魂砍掉了，只剩下最容易讲的：让学生死背一些自己也不懂的定义。

考试也不考用知识解决问题，只考背定义。

抽象代数就不是数学课，而是识字课，只要死记硬背就行了。

金庸的武侠小说《射雕英雄传》中的武功秘籍《九阴真经》中有一段用梵文写的话：“努尔七八,哈瓜儿,宁血契卡,混花察察,学根许八涂,米尔米尔。

”只要认识字，小学生也可以化功夫死记硬背下来，但是根本不懂它的意思，更不可能照着去练习，难道就因为背熟了这些句子就成了武功高手吗？显然不是。

同样，死记硬背抽象代数教材中的定义而根本不懂它的意思，举不出一个例子，不会用来解决任何一个问题，这样学习的抽象代数就是假冒的，通通都应当给零分！这些年来，我们在抽象代数课程建设中所做的全部努力，就是要破除这种“就是没有例子”的假抽象代数。

我们取得的主要成绩，就是积累了一批既能体现数学本质、又为学生喜欢的案例。

下面是其中的一部分案例。

1. 幻方一变八----正方形的对称群我在抽象代数考试中考过这样的题：将如下的3阶幻方通过旋转和轴对称变出尽可能多的不同的幻方。

这不是考小学奥数。

而是考正方形的对称群：旋转90o,180o,270o得到3个新的幻方，关于第2行、第2列、两条对角线做轴对称得到4个新的幻方，包括原来的幻方在内一共可以得到8个。

为什么只能得到8个而不能得到更多? 通过旋转和轴对称只能将左上角的2变到4个不同的位置(正方形的4个角)。

将2固定在每个角不动，只能通过轴对称得到2个不同的幻方，4组总共2×4=8 个。

这实际上是说：将正方形变到与自己重合，有8个不同的动作。

这8个动作组成的集合对乘法(复合)与求逆运算封闭，组成一个群。

其中保持2不动的动作组成一个2阶子群，将2变到同一个位置的动作组成一个陪集。

非交换群、子群与陪集、子群的元素个数2是整个群的元素个数8的因子。

这些概念和知识都自然而然引入了。

类似地，可以计算正方体的对称群或者旋转群的元素个数，或者任意正多边形和正多面体的对称群的元素个数。

特别，正三角形的对称群由三个顶点的所有置换组成，就是元素最少的非交换群S3。

2．0与1的算术----二元域许多人说有限域是抽象代数最后一节课讲的，最难，没学好情有可原，考试也不应当考。

其实有限域最容易讲，最有趣，最有用，最有抽象代数味道，可以在抽象代数课第一节课第一分钟讲。

我的抽象代数考试每次必考有限域。

小学生都懂得奇偶数的运算规律：偶+偶=偶，偶+奇=奇，奇+奇=偶; 偶×整数=偶，奇×奇=奇。

将偶数用0表示，奇数用1表示，就得到：0+0=0, 0+1=1, 1+1=0; 0×a=0 (a=0或1),1×1=1。

按这样的运算公式，两个元素0,1组成的集合Z2就对加、减、乘、除封闭，Z2就是二元域，最简单的有限域。

我的导师曾肯成教授出过一个题：求随机整数组成的n阶行列式为奇数和偶数的概率。

貌似概率题，其实是代数题。

将行列式中的偶数用0表示，奇数用1表示，行列式为奇数(也就是等于1)就是二元域上可逆矩阵，充分必要条件就是各行线性无关。

归结为二元域上的线性代数题。

另一个例子是：在二元域上解齐次线性方程组，得到纠错码的一个设计方案。

二元域在信息与计算机科学中至关重要。

会算1+1=0，就懂了一点真正的抽象代数。

为什么两个整数a,b的和、差、积的奇偶性只与a,b的奇偶性有关而与奇数与偶数的不同取值无关？将a,b分别用它们除以2的余数r,s代表（r,s取值为0或1），写成a=r+偶，b=s+偶的形式，则a±b=(r+偶)±(s+偶)=(r±s)+(偶±偶)，ab=(r+偶)(s+偶)= rs+r×偶+偶×s+偶×偶。

不论其中的“偶”取什么偶数值，总有：偶±偶=偶，偶×整数=偶，就好象0±0=0, 0×数=0一样。

可以将算式中的“偶”看作0来运算，得到a±b = (r±s)+偶，ab = rs+偶。

也就是说：将a,b 替换成与它们奇偶性相同的0或1进行运算，得到的和、差、积的奇偶性不变。

这件事可以推广：a,b取值的整数集合Z替换成对合法的加法与乘法封闭的任意集合D，称为环; 偶数集合替换成D中具有类似于0的运算性质O±O=O，D×O=O的子集O，称为理想。

D中两个元素a,b的差如果在O中，就将a,b“看成”同一类，得到的同余类组成的集合可以定义加、减、乘运算，这就是商环D/O。

特别，当D=Z，O=nZ时，商环D/O 就是整数模n的同余类环Z n 。

另一个重要例子：D 是在某点c连续的全体全体实函数f(x)组成的环，记∆x=x－c，O(∆x)与o(∆x)分别是当Dx→0时的无穷小量和高阶无穷小量组成的集合，则O(∆x)与o(∆x)都是D的理想，同余式f(x)≡a (mod O(∆x))表示当x→c时f(x)的极限是a，而f(x)≡a+b∆x (mod o(∆x)) 表示b是f(x)在c的导数。

3．从凯撒密码谈起-----整数的同余类。

密码的重要性不容置疑，神秘性也令人向往。

最早的一种简单密码是凯撒设计的，加密方案是将每个英文字母用它后面第3个字母代替。

将26个字母依次用整数模26的各个同余类表示，凯撒密码的加密就可以用最简单的加法函数y = x+3 表示，解密函数为x = y－3。

更进一步，可以用Z26上的一次函数y=ax+b 加密，其中a可逆，称为仿射密码。

例如3×9 =1就说明9=3-1，加密函数y=3x+5的解密函数就是x=9(y-5)。

Z26中的乘法可逆元组成乘法群Z26*，由与26互素的整数所在的同余类组成。

更进一步，可以将若干个字母对应的同余类组成列向量X，用矩阵运算Y=AX+B来加密，其中A的行列式在Z26*中。

也可以将信息写成二元域Z2上的列向量，用Z2上的矩阵运算Y=AX+B加密。

更一般地，讨论Z n的乘法群Z n*。

特别，当n为素数p时，Z p中的p-1个非零元都可逆，组成乘法群Z p*。

Z p是有限域，Z p*中的元素都可以写成一个元素的幂，Z p*是循环群。

在另一种情形，n = pq是两个素数p,q的乘积，为了讨论Z n及其乘法群Z n*的构造，将每个整数a除以p,q各得到一个余数r,s，将a对应到“坐标”(r,s)，就建立了环同态Z→Z p×Z q，进而得到环同构Z n→Z p×Z q，这就引出了中国剩余定理，环同态基本定理，环的直积。

进而可以讨论Z n上的幂函数y=x m 是可逆变换的条件，得到RSA公钥密码。

4．复数的几何模型--- 同构、同态与单位根群中学数学强行定义i2=–1，不解释这种定义的合理性。

其实，很容易给出i2 =–1的一个几何解释：–1乘向量是向后转180度; 用i表示向左转90度, 则i2就是向后转180度，就是–1。

这其实是将虚数单位i用“左转90度”的线性变求逆运算，是复数域C与它的几何版本(由线性变换组成)和矩阵版本(由矩阵组成)之间的环同构、域同构。

在这个同构下，复数cos♋ + i sin♋对应的变换是旋转角♋ 其 n次幂就是旋转nα 由此立即得到 ☎cosα + i sinα ✆n cos nα + i sin nα (棣美弗公式)及其矩阵版本。

由旋转角α到复数cosα+isinα 的对应关系f具有性质f(α+β) = f(α)f(β)，将实数的加法对应到复数的乘法，这说明加法与乘法本质上是一回事（都满足结合律与交换律，加法的0对应于乘法的1，加法的负元对应于乘法的逆元），对加减法封闭的与对乘除法封闭的集合同样都称为群。

以上对应关系f是实数加法群R 到表示旋转的(模为1)的复数乘法群P的同态，同态核为2π的全体整倍数2πZ。

将相差2π 的整倍数的角α对应于同一个复数f(α)。

将相差2π 的整倍数的角α看成相等，组成一个同余类，得到同余类集合R/2πZ到P的1-1对应σ 并且保持运算(将加法变到乘法)，σ 是群同构R/2πZ→P。

这就是群同态基本定理。

既然群同态f将2π 的整数倍2kπ对应到1，求1的n次方根也就相当于将2kπ 除以n，得到的方根为f(2kπ/n) = cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n)= ωk，让k取遍n个值0,1,2,…,n-1就得到n个不同的方根，称为n次单位根，它们都可以写成其中一个根 ω = cos(2π/n)+isin(2π/n) 的整数次幂，其几何意义就是旋转2kπ 的n分之一。

对应关系φ ：k → ωk 是整数加群到单位根乘法群的同态，同态核由n的全体整数倍组成。

让相差n的整倍数的整数组成一个同余类，得到同余类 Z n的加法群到单位根乘法群的同构，这是群同态基本定理又一个例子。

5. x15-1在有理数范围内的因式分解x15－1在复数范围内分解为一次因子的乘积(x－1)(x－ω)…(x－ω n-1 )，每个一次因子x－ωk对应于一个15次单位根ωk，每个ωk的在乘法群中的阶d都是15的因子，共有4个不同的值1,3,5,15。