近世代数历年真题10099
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分,共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元,则G 的子集（ )是子群.A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G,＊）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合,＊为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，＊为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a —bB 、a*b=max ｛a,b ｝C 、 a ＊b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12)(23）（13），2σ=（24）(14），3σ=（1324），则3σ=（ ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ )。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、凯莱定理说：任一个子群都同一个——----—-——同构。
2、一个有单位元的无零因子——-—-称为整环.3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于—--——-.4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与—-—--——同构.5、A=｛1。
2。
3} B=｛2。
5.6} 那么A ∩B=——-——.6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为—--—-———-——--——--。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的—————n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为—---—-——-。
近世代数期末考试真题
近世代数期末练习题一、判断题（在括号里打上 √ 或 ⨯ ）1、一个阶是11的群只有两个子群。
( )2、循环群的子群是循环子群。
( )3、在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。
( )4、消去律在无零因子环中一定成立。
( )5、在环中，逆元一定不是零因子。
( )6、在一个域中一定不存在零因子。
( )7、模99的剩余类环99Z 是一个域。
( )8、模19的剩余类环19Z 是一个整环。
( )9、整除关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。
( )10、同余关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。
( )11、群G 的两个子群的交还是子群。
( )12、环R 的一个子环和一个理想的交一定是R 的子环。
( )13、群G 的不变子群也是G 的子群，环R 的理想也是R 的子环。
( )14、设群G 与群G'同态，则G 的不变子群的同态像是G'的不变子群。
( )15、一个域一定是一个整环。
( )二、填空题1、在3次对称群3S 中，元素（123）的阶为 ，（123）的逆元为 ，（123）所生成的子群在3S 中的指数为 ，该子群是否3S 的不变子群？ 。
2、环Z 6的全部零因子是 ，全部可逆元是 。
3、在环Z 10中，[6]+[7]= ，[6][7]= ，[6]-[7]= ，[6]3= ，[7]-1= 。
三、证明：（1）若群G 的元a 的阶为2, 则a – 1 = a . （2）若群G 的元 a 的阶大于2, 则a – 1 ≠ a . （3）在群G 中, 元 a 与逆元a –1有相同的阶.四、证明：设群G 中元a 的阶为n . 证明a s = a t ⇔ n | ( s – t ) .五、设R 是一个环，证明R 是交换环当且仅当(a+b) 2=a 2+2ab+b 2。
六、设G 是一个群，证明G 是交换群当且仅当(ab) -1=a -1b -1。
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§1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
（ ）1.2 A ×B = B ×A （ ）1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。
（ ） 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a 。
( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。
（ ）1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
（ ）1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。
（ ）1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。
( )2填空题：2.1 若A={0,1} , 则A A= __________________________________。
2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。
2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ⨯B=_______。
2.4 设A={1,2}, 则A A=_____________________。
2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。
2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。
2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。
2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。
2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。
近世代数复习题
近世代数复习题例1 :写出剩余类加群Z15的(1) 全部元素; { [0], [1], …, [14]}(2) 全部生成元; { [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]}(3) 全部子加群；?[0]?, ?[1]?= Z15, ?[5]?={[0], [5], [10]}= ?[10]?,[3]?={ [0], [3], [6], [9], [12]} = ?[6]?= ?[9]?= ?[12]?.(4) 每个元素的负元；-[1]=[14], -[2]=[13], -[3]=[12],-[4]=[11], -[5]=[10], -[6]=[9], -[7]=[8].(5) 全部理想；([0]), ([1]) = Z15, ([5])={[0], [5], [10]}= ([10]),([3])={ [0], [3], [6], [9], [12]} = ([6])= ([9])= ([12]).(6) 全部可逆元；{ [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]}(7) 全部零因子；{ [3], [5], [9], [10], [12]}(8) Z15是域吗？说明理由; 不是。
因为有零因子。
一、选择题1、设实数在有理数域Q上的极小多项式f(x)的次数为n, 则可以用圆规直尺作图作出的条件是(A)(A) n是2的方幂；(B) n是素数；(C) n是素数的方幂；(D) n>2。
2、设H是群G的正规子群，商群G/H中的元素是(C)(A) H中的元素；(B) G\H中的元素；(C) G 关于H 的所有右陪集；(D) H 的所有共轭1Hg -g.3、设是环同态, 则同态的核是 (D)(A) Ker(?)={a ∈S: 有?b ∈R, 使得 ?(b )=a }；(B) Ker(?)={a ∈R: ? (a )=a }；(C) Ker(?)={a ∈?R: ? (a )=1}；(D) Ker(?)={a ∈?R: ? (a )=0}。
近世代数期末考试试题和答案解析
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。
近世代数试题及答案
内蒙古广播电视大学2008—2009年度第二学期期末《近世代数》试题一、（16分）叙述概念或命题1．正规子群；2．唯一分解环；3．代数数；4．鲁非尼-阿贝尔定理 二、（12分）填空题1．设有限域F 的阶为81，则的特征=p 。
2．已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于 。
3．一个有单位元的无零因子 称为整环。
4．如果710002601a 是一个国际标准书号，那么=a 。
三、（10分）设G 是群。
证明：如果对任意的G x ∈，有e x =2，则G 是交换群。
四、（10分）证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
五、（15分）设}R ,,,|{H ∈+++=d c b a dk cj bi a 是四元数体，对H 中任意元dk cj bi a x +++=，定义其共轭dk cj bi a x ---=。
1．证明：x x x x =是一个非负实数；2．对k j i x 221-+-=，k j i y -+-=22，求xy ，yx 和1-x 。
六、（15分）设)6(1=I ，)15(2=I 是整数环的理想，试求下列各理想，并简述理由。
1．21I I +；2．21I I ⋂； 3．21I I ⋅七、（10分）设有置换)1245)(1345(=σ，6)456)(234(S ∈=τ。
1．求στ和στ-1；3．确定置换στ和στ-1的奇偶性。
八、（12分）求剩余类加群Z 12中每个元素的阶。
《近世代数》试卷答案一、1．若H 是群G 的子群，且对每个G a ∈，有Ha aH =，那么H 称为是G 的正规子群。
2．设R 是个整环，若对于R 中每个非零非单位的元都有唯一分解，则称R 为唯一分解环。
3．有理数域上的代数元称为代数数。
4．如果5≥n （特征为0），那么n 次的一般方程没有根式解。
二、1．32．253．交换环 4．6 三、对于G 中任意元x ，y ，由于e xy =2)(，所以yx x y xy xy ===---111)(（对每个x ，从e x =2可得1-=x x ）。
近世代数期末考试试卷及答案.
近世代数期末考试试卷及答案.⼀、单项选择题(本⼤题共5⼩题，每⼩题3分，共15分)在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均⽆分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是⽣成元，则G 的⼦集（）是⼦群。
A 、{}aB 、{},a eC 、{}3,e aD 、{}3,,e a a2、下⾯的代数系统（G ，*）中，（）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在⾃然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1(12)(23)(13)σ=，2(24)(14)σ=，3(1324)σ=，则3σ=（）A 、21σB 、12σσC 、21σσD 、22σ5、任意⼀个具有2个或以上元的半群，它（）。
A 、不可能是群B 、不⼀定是群C 、⼀定是群D 、是交换群 6、12阶有限群的任何⼦群⼀定不是（）。
A 、2阶B 、3 阶C 、4 阶D 、 5 阶7、设G 是群，G 有（）个元素，则不能肯定G 是交换群。
A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个8、有限布尔代数的元素的个数⼀定等于（）。
A 、偶数B 、奇数C 、4的倍数D 、2的正整数次幂9、若I,J 均是环A 的理想，则（）不⼀定是A 的理想。
A 、I+JB 、I ∩JC 、I ∪JD 、IJ10、3S 中元素(123)的中⼼化⼦有（）A 、(1),(123),(132)B 、（12），(13)，(23)C 、(1)，(123)D 、S3中的所有元素⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每空3分，共30分)请在每⼩题的空格中填上正确答案。
错填、不填均⽆分。
1、凯莱定理说：任⼀个⼦群都同⼀个同构。
近世代数10套试题
《近世代数》试卷1（时间120分钟）二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1. （）循环群的子群是循环子群。
2. （）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。
3. （）存在一个4阶的非交换群。
4. （）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。
5. （）无零因子环的特征不可能是2001。
6. （）无零因子环的同态象无零因子。
7. （）模97的剩余类环Z97是域。
8. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。
9. （）域是唯一分解整环。
10. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。
一、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分）1. 设A、B是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。
2. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=< a3>的在G中的指数是。
3. 设G＝< a>是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。
4. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［5］＋［10］＝，［5］·［10］＝，方程x2＝[1]的所有根为。
5. 环Z6的全部零因子是。
6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环，因为它的元素α＝在Z[√-3 ]中有两种本。
（共3０分）1.设S3是3次对称群，a=（123）∈S3．（１）写出H＝< a>的所有元素．（２）计算H的所有左陪集和所有右陪集．（３）判断H是否是S3的不变子群，并说明理由．2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。
3. 在整数环Z中，求由200４，125生成的理想A=（2004，125）。
四、证明题（共30分）1.设G是一个阶为偶数的有限群，证明（１）G中阶大于2的元素的个数一定为偶数；（２）G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。