近世代数学习报告
近世代数读书报告
近世代数读书报告读书报告《近世代数》学院：数学与统计学院姓名：蒋旭辉学号：0501090132专业：数学与应用数学（教育方向）《近世代数》之我想刚开始接触《近世代数》时，对它一点儿也不了解，总觉得它离我的学习和生活特别遥远。
当我认认真真学习了它之后才发现：原来它一点儿也不难学，从某种意义上来讲，它还特别有趣。
接下来我想先谈一谈近世代数的历史。
《近世代数》是一门比较年轻的学科，随着它的不断发展，它对数学其他各分支学科的影响也越来越大。
与此同时，这门学科本身不管从内容上还是从方法上也在不断更新。
《近世代数》是数学专业课中最重要的基础课之一，对学生数学思想的形成，后继课程的学习都有着重要的意义。
该课程的特点是：学习时间的跨度很大，内容极为丰富。
我们学时为一个学期。
课程的目的是通过这个学期学习和系统的数学训练，使我们逐步提高数学修养，特别是分析的修养，积累从事进一步学习所需要的数学知识，掌握数学的基本思想方法，最终使我们的数学思维能力得到根本的提高。
我对它也有了一些了解，开始学习感觉非常的难。
学习成绩不太理想。
但是老师说，学习近世代数需要长期的坚持和积累，我们在探索中得以提高。
《近世代数》课程是一门面向数学类专业的基础课。
学好近世代数是学好其他后继数学课程如微分几何，微分方程，复变函数,实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课的必备的基础。
近世代数的学习,可以按照它各部分內容的特点,把基本理論的学习与基本训练的过程紧密地結合起来,以便很好地掌握。
我学了一学期的近世代数，现在感觉就是一定要把概念弄清，千万不要背，要理解，每一个题做完了都要看看琢磨一下。
当你做到这点后就是不断去做练习了，但是请记住，不能去看答案，实在做不出来的可以先不做。
总之请尽量不要看答案。
我们刚上大二，我们就要尽量的忘记高中时学习数学的方法，忘记高中的数学知识，因为初等数学是离散的与具体的,近世代数是连续的与抽象的，所以请不要把你以前学高中数学的方法放在数分上，我们要把它当作一门新学科来学习。
近世代数学习报告
中国地质大学（武汉）近世代数学习报告课程名称：近世代数学号： *************：***学院：数理学院专业：数学与应用数学对近世代数的重要性的认识抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪。
抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。
由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。
抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。
抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。
被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一。
他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学。
他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。
伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。
他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。
伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。
最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。
本学期学习总结第一章基本概念1、集合的幂集：以集合A的一切子集为元素构成的集合，记为或2A。
（含n个元素的集合的子集有2n个，即幂集中的元素共有2n个）2、积（笛卡尔积）：A×B={（a，b）|aA，bB}叫A与B的积。
（A×B≠B×A）3、A到B的对应法则为A到B的映射①②③，x的象在B中。
关于近世代数的几点教学体会
关于近世代数的几点教学体会近世代数是一门研究和表示空间关系的数学学科，它为人类研究空间提供了方便和有效的表示方式。
它与许多其他数学学科一起，对我们的现代科技社会有着不可低估的价值与作用。
在这篇文章中，我将就近世代数的教学进行一些体会。
首先，在教授近世代数方面，应该先强调教学的基本概念。
教师应以抽象的角度出发，尽可能精炼地让学生从数学定义、理论与实践之间形成正确的理解，掌握近世代数的本质与机理。
这一基础让学生可以把掌握学习内容当作一个整体，它们可以将一些较难的概念和方法当作一个完整的体系来理解，学习其中间的联系。
紧接着，学生也可以根据记忆的深度，记住内容，利用它们去理解新的概念。
其次，在教授近世代数时，老师应尽可能多的引入实际的例子，让学生在学习过程中可以从实际的情况中加深自己对概念的理解。
比如，近世代数中的投影和矩阵就可以应用在几何体的求解、坐标几何以及空间变换等领域。
以高中生的学科水平来看，已经可以把学习到的知识应用在较为容易理解的几何图形中，从原理解释到实际应用，实现从理论到实践的跨度。
这样一来，学生就可以真正加深对近世代数概念的理解，更好地学习并使用这一数学学科。
此外，在教授近世代数时，教师也应当利用当前的教育资源与技术，灵活多变地教授学科内容，让学生在学习过程中更容易理解，更加轻松愉悦。
例如，可以利用多媒体资源，如演示软件、图片等，呈现课程内容，从视觉上加深学生对学科的理解。
也可以利用作业小组教学法，让学生分组彼此讨论，尝试解决相关问题，更好地掌握知识点，锻炼他们的逻辑思维与科学推理能力。
另外，在教授近世代数过程中，教师还应以传授知识的方式，引导学生思路，激发学生的兴趣，引入实际案例，使学生能够得到解决问题的经验，吸收学习成果，从而提升学生能力。
比如，开展问题讨论环节，让学生们自己思考，不断探索，激发其创新思维，让他们更深入的了解近世代数的概念与机理。
总的来说，近世代数是一门十分重要的学科，它不仅要求学生有良好的抽象思维能力，而且要求学生具备知识的实践能力。
近世代数心得
近世代数心得
近世代数学让我们探索世界的知识，进行有效的统计和分析，从而有利于人们的生活。
近期的发展将数学的理论与实际的应用融为一体，使得近期的代数发展更加完整。
通过近世代数学的发展，人们可以基于正确的原则，推导出正确的结果。
首先，近世代数学更多地关注数学研究的内在联系，而不仅仅是一些基础计算。
通过对数学研究方法的深入理解，人们可以更好地理解数学研究的本质，从而得出更为准确的结果。
其次，近世代数学引入了抽象代数学，其理论可以应用于多种数学模型，使得数学计算更加灵活。
例如，抽象代数学可以用于表示复杂函数的几何性质，以及复杂数学模型的结构。
此外，抽象代数学也可以应用于数学图论，用于完善数学模型的分析和推理，从而得出更有价值的结论。
此外，近世代数学也引入了非参数和多元统计学，以更精确地区分和描述一组数据，精确地估计一组数据的分布，以及准确地预测一组数据的变化趋势。
这些方法可以应用于社会科学的研究，帮助人们深入理解数据库所表示的社会现象，从而得出较为准确的结论。
最后，近世代数学也引入了信息论。
信息论的研究将数学理论与计算机科学相结合，可以帮助我们从复杂的数据中提取出有效的信息，并对信息进行有效的分类和分析，从而有助于人们做出更准确的决策。
总之，近世代数学已经发展成为一门拥有多样性、活跃性和有效性的学科，旨在探索、实践和应用数学知识。
这一趋势将使数学研究
的视野更加宽广，并且有助于为现实世界的实际问题提供科学的解决方案。
对近世代数教学的几点体会
对近世代数教学的几点体会近世代数教学：探究与创造的共同驱动力。
近世代数学教学注重使用多媒体的方法，其实这从一定程度上改变了我们的数学教学方式。
探讨一下对近世代数学教学方式和技术的一些体会。
一、提高数学教授水平1. 使用多媒体可以有效地引入动态素材，例如视频、图片和语音，让学习者更加深入地了解数学知识，也提高教师的教学水平。
2. 通过多媒体，教授可以更加有效地将其他学科如计算机、医学等运用到数学教学中来，使学生更容易理解复杂的数学概念。
3. 通过多媒体，数学教授可以更容易地分享自己的经历，以及其他知识，以帮助学生更全面理解数学知识。
二、强调多面向的数学认知1. 多媒体可以更容易地使学生认识到数学的多种形式，例如实际市场、社会问题、科学应用，从而达到增强学生对数学概念的认知和实际应用。
2. 通过多媒体，学生可以更直观、更有感知性地了解数学知识，加深印象，让数学知识有更深刻的体验。
3. 多媒体的应用可以增强学生的参与程度，让学生有更多的机会分享思想和观点，使学生更加积极参与课堂教学。
三、加强多媒体实践能力1. 通过多媒体，学生可以参与到课堂上的实践项目中，学习如何应用数学理论来分析和解决实际问题，从而培养学生的实践能力和解决问题能力。
2. 多媒体应用可以更容易地实现数学模拟、展示和展示，可以更直接、深入地把握数学思想，从而加强学生的思维能力。
3. 通过多媒体，学生可以更容易地体验数学的复杂性，学习数学能力的积极影响，从而提高数学的自信心。
综上所述，近世代数学教学注重使用多媒体的方法，不仅可以有利于提高数学教师的教学水平，而且可以帮助学生更加有效地培养数学思维，追求更多多维度的数学认知，实现数学技能和实践能力的提高。
近世代数 读书报告
题目1：设群G 中每个非幺元的阶都是2，证明G 为Abel 群.题目1出处：南开大学资源共享课《抽象代数》题目1的解答：∀a≠e 且a∈G，a 2=e，所以1a -=a，b=1b -，a 2b 2=e 4=b 2a 2=e，另一方面，由于ab 1b -1a -=ba 1a -1b -，，所以abba=baab=e，即ab=（ab）1-=ba=b 1-a 1-，所以ba=ab，由a、b 的任意性，群G 满足交换律，为Abel 群.选题目1的理由：老师上课提到此题，是群论部分Abel 群的经典例题.题目2：(1)（群的单边定义）设G 为一个半群，如果：（a）G 中含左（右）幺元e，即∀a∈G，ea=a；（b）G 中每个元有左（右）逆元1a -，使1a -a（a 1a -）=e.（2）（群的除法定义）设G 为半群，若∀a、b∈G，方程xa=b 及ay=b 在G 内有解，则G 为群.（3）（有限群的另一定义）设G 为有限半群，如果在G 内左、右消去律均成立，则G 为群.题目2出处：冯克勤章璞《近世代数三百题》题目2的解答：（1）∀a∈G，设（a 1-）1-为a 1-的左逆元，则aa 1-=e （aa 1-）=（a 1-）1-a 1-aa 1-=（a 1-）1-ea 1-=（a 1-）1-a 1-=e，说明a 的左逆元也满足aa 1-=e，故a 1-为a 的逆元.而ae=a （a 1-a）=ea=a，故左幺元e 也是G 的右幺元，即为G 的单位元，所以G 为群.（2）由于G 非空，所以a∈G，则xa=a 有解e，∀b∈G，存在y∈G 使得ay=b.于是eb=eay=ay=b，所以e 为G 左单位元，而xb=e 有解则意味着b 有左逆元，所以由b 的任意性及（1）可知G 为群.（3）设G={1a ，…n a }，由消去律可知，{1a i a ，…，n a i a }={i a 1a ，…，i a n a }，∀i a ∈G，故存在e∈G 使得i a =e i a .于是∀j a ∈G，存在k a ∈G 使得j a =i a k a .从而e j a =e i a k a =i a k a =j a .这说明e 为左单位元，又因为e ∈G=G j a ，以j a 有左逆元，因此由j a 的任意性知，G 为群.选题目2的理由：此处将群的几种定义方式进行总结，在不同条件下可以利用群的不同定义.题目3：令b a ，ϕ：x ax+b（a、b ∈R 且a ≠0）为实直线上的一个仿射变换，将它们的集合记为1A （R ），在1A （R ）中定义乘法b a ，ϕd c ，ϕ=b ad ac +，ϕ，证明1A （R ）为一个群.又设1H （R ）={b 1，ϕ：x x+b，b ∈R }，证明它是1A （R ）的一个子群，并证明1A （R ）/1H （R ）～{*R ；·}.题目3出处：柯斯特利金《代数学引论（第1卷）》第4章习题题目3的解答：显然，任一伸缩和平移仿射变换都在1A （R ）中，即对于上面定义的乘法，1A （R ）是封闭的，可以验证01，ϕ为1A （R ）的幺元.∀b a ，ϕ∈1A （R ），当a≠0时，其上述定义下的逆元为a ba 1-，ϕ，综上所述，1A （R ）为群.显然01，ϕ∈1H （R ），故1H （R ）中有幺元，∀b 1，ϕ∈1H （R ），其上述定义下的逆元为b 1-，ϕ，所以1H （R ）<1A （R ）.1A （R ）/1H （R ）={0a ，ϕ：x ax，a ∈R 且a ≠0}，设双射f：1A （R ）/1H （R ）→*R ，由于a ∈*R 且遍历*R 内所有元素，所以1A （R ）/1H （R ）与*R 之间的f 可定义为1A （R ）/1H（R ）中的a 与*R 中相等的元素，为双射.又∀1a ϕ、2a ϕ∈1A （R ）/1H （R ），对上述乘法满足f（21a a ϕϕ）=f（1a ϕ）·f（2a ϕ），故1A （R ）/1H （R ）与{*R ；·}同构.（附注）在南开大学资源共享课《抽象代数》有与本题类似的题目.选题目3的理由：本题在几何学上有深刻意义，它反映了几何变换对称性是产生群定义的原因之一，以及用群论方法研究几何变换时产生的许多结果（例如变换群的子群、商群和同构）可以反过来使我们更深入了解几何变换.题目4：设H 为群G 的一个子群，记()H N G ={g∈G|gHg 1-=H}，（称()H N G 为H 在G 中的正规化子）证明()H N G <G 及H ()H N G .题目4出处：南开大学资源共享课《抽象代数》题目4的解答：显然()H N G 的幺元即为G 中的幺元e 且对G 中的乘法运算满足结合律和封闭性，因为eHe 1-=H 恒成立.∀n ∈()H N G ，由于n∈G，所以n 有逆元n 1-，且若nHn 1-=H，则对于给定的n，n 1-H（n 1-）1-=H=n 1-Hn，，因为∀h ∈H，nhn 1-和n 1-hn 都对应H 中一个确定的元，所以()H N G 中任一元素都存在逆元，()H N G 为群，又∀n ∈()H N G ，n∈G，所以()H N G <G.∀h ∈H，n∈()H N G ，nhn 1-∈H，这在上面已经说明，而∀h ∈H，0h ∈H，h 0h h 1-∈H，并且对于给定的h，H 中任一元素0h 在映射hHh 1-下有唯一的像，即∀h ∈H，hHh 1-=H,所以h∈()H N G ，综上所述H<()H N G ，而∀h ∈H，n∈()H N G ，nhn 1-∈H，这在前面已经说明，故H ()H N G .选题目4的理由：本题具有很深刻的背景，正规化子这一概念是引进Sylow 子群和进一步研究伽罗华理论的基础.题目5：设a,b 分别为群G 中的元素，a 的阶为m，b 的阶为n,且满足ab=ba,<a>∩<b>={e}，证明:ab 的阶为[m,n].题目5出处：南开大学资源共享课《抽象代数》题目5的解答：设ab 的阶为d,由于(ab)],[n m =a ],[n m b ],[n m =e，从而d∣[m,n].另一方面(ab)d =a d b d =e，所以a d =bd -∈<a>∩<b>，a d =b d=e，因此m∣d,n∣d,所以[m,n]∣d，故d=[m,n].（附注）南开大学资源共享课《抽象代数》1.2节的补充题6问及此处阶为[m,n]的元素的存在性，正好与本题结论相符.选题目5的理由：本题给出了循环群中构造更高阶元素的方法和具体阶数，由此可以构造出有限循环群的元素.题目6：环R 的非零元x 称为幂零的，若存在n∈N ，使得x n=0，证明：1）若R 为含幺环，x 为幂零元，则1-x 为可逆元；2）若环Z /m Z=m Z 有幂零元，当且仅当m 可以被一个大于1的整数的平方整除.题目6出处：柯斯特利金《代数学引论（第1卷）》第4章题目6的解答：1）x 为幂零元，则存在m∈N ，使得xm =0，对给定的自然数n，由多项式因式分解可知1=1+0=1-x mn =（1-x）（1+x+x 2+…+x1-m ）（1+x m +x m 2+…+x m n )1(-），故1-x 为可逆元，其逆元为（1+x+x 2+…+x 1-m ）（1+x m +x m 2+…+x m n )1(-）=（1+x+x 2+…+x1-m ）.2）m Z ={0，1，…m-1}，m Z 有幂零元⇔存在k∈N ，使得x k =0（1<k<m，x∈m Z 且1<x<m-1)⇔m|x k ，由于x<m，故x|m，x 为m 的非平凡因子，m 不是质数.由算术基本定理，设m=1s 1p …n sn p ，且1p ，…n p ∈m Z ，它们在模m 意义下的乘积也属于m Z ，若1s =…=n s =1，则m Z 中元素只有0（即m）在模m 意义下存在满足条件的k，故此时m Z 在模m 的意义下无幂零元，因此必存在i s >1，i=1，2，…，n，即可以被一个大于1的整数的平方整除.而充分性是显然的.选题目6的理由：本题第2）问的背景与初等数论中的莫比乌斯函数有关，此处幂零元的性质可以运用到对m 的完全剩余系的研究中，在初等数论中有类似结论.题目7：设Z [i]={a+bi|a,b∈Z },运算为普通加法和乘法.证明：Z [i]为整环（称为高斯整环），并且Z [i]/<1+i>为一个域.题目7出处：南开大学资源共享课《抽象代数》题目7的解答：显然，由整数对加法和乘法的封闭性质及分配律可知，Z [i]对加法构成群，对乘法构成交换幺半群，并且满足分配律.此外，设1z 、2z ∈Z [i]，则1z 2z =0⇔1z =0或2z =0，所以Z [i]中无零因子，故Z [i]为整环.<1+i>={a-b+(a+b)i,∀a+bi ∈Z [i]},Z [i]/<1+i>={x+yi|x、y∈Q （Q 为有理数集）}，由高等代数的结论可知，有理数集对普通的加法和乘法构成域，因此由上面问题的方法可以证明Z [i]/<1+i>为一个域.选题目7的理由：本题中高斯整环的概念在代数数论中具有深刻意义.题目8：设含幺环R 中元a，b，1-ab 均为单位元，证明a-1b -、111a b a -----）（也是单位元，且1111a b -a -----））（（=aba-a.题目8出处：冯克勤章璞《近世代数三百题》题目8的解答：因a-1b -=-（1-ab）1b -，故a-1b -为单位元.用11b -a --）（和a 代替a-1b -中的a、b，即得111a b a -----）（也是单位元.由于1ab -）（也是单位元，且（1b -1a --1）1-=（1-ab）1--1···（*），因为（1b -1a --1）（（1-ab）1--1）（1-ab）=（1b -1a --1）（1-（1-ab））=（1b -1a --1）（ab）=1-ab.两边约去1-ab 可得（1b -1a --1）（（1-ab）1--1）=1，又因为R 是环，所以（（1-ab）1--1）（1b -1a --1）亦成立，故（*）式成立.将（*）式两边左乘1a -，有（1b --a）1-=（a-aba）1--1a -，所以（（a-1b -）1--1a -）1-=（1a --（a-aba）1--1a -）1-=（-（a-aba）1-）1-=aba-a.选题目8的理由：本题是1949年华罗庚提出的“华罗庚等式”，在上述教材中被奉为圭臬.。
近世代数心得
近世代数心得代数是一门重要的数学学科，几个世纪以来一直是学习数学的基础，也是最重要的一部分。
虽然它最初被认为只是一个用来解决数学问题的工具，但是它今天却成为了一门深入研究的学科，可以被用来探索自然科学和社会科学中的各种问题。
近世代数，即近两个世纪以来发展起来的代数学，是一门非常广泛的研究学科。
它包括离散数学，基本代数，线性代数，抽象代数，复代数，拓扑代数，广义代数，代数几何，数论等等，几乎涵盖了数学中的所有主要分支学科，也是最为全面、系统的研究之一。
回顾近两个世纪以来，代数学的发展及其重要性不容忽视。
从欧几里德，高斯，哥德尔，华罗庚，莱布尼茨，爱迪生，斯特林，黎曼，加拉格尔，费马，赫兹，白莱等科学家的伟大贡献，代数学从一种应用性的技术变成一种可以用来探索自然和社会结构的科学。
代数学的发展为人类的科学攻关提供了有效的工具，将数学理论与实践结合起来。
代数学的理论体系被广泛应用于各种科学领域，如物理学，化学，计算机科学，计量经济学，计算数学，机器学习等等，为其他学科提供新的思想和方法，促进了科学的发展。
代数学的理论体系也被用来研究诸如图论中的拓扑结构，把它们联系到数学问题，如可计算性理论，数值分析，几何学中的概率分析以及各种复杂结构中的分类等等，可以深刻理解与现实世界相关的复杂系统，并从中获取精髓。
近世代数在现实生活中有着多种应用，其中最重要的是它可以用来分析和解决复杂的科学问题。
它可以帮助我们更有效地设计和实施算法，把数据模型的概念转化为可解释的结果，分析和处理大量的数据，让人类更加了解数据，并相应地采取行动。
总之，近两个世纪以来代数学的发展及其重要性是不容忽视的。
它为其他领域的研究提供了有效的工具，用来分析和解决复杂的科学问题，参与现实生活的各个方面。
因此，学习代数学对于今天的人们来说尤为重要，我们必须更加深入地探索它，以便更好地理解及应用它，为科学研究作出更大的贡献。
近世代数读书报告
近世代数读书报告题目1：设群G 中每个非幺元的阶都是2，证明G 为Abel 群.题目1出处：南开大学资源共享课《抽象代数》题目1的解答：?a≠e 且a∈G，a 2=e，所以1a -=a，b=1b -，a 2b 2=e 4=b 2a 2=e，另一方面，由于ab 1b -1a -=ba 1a -1b -，，所以abba=baab=e，即ab=（ab）1-=ba=b 1-a 1-，所以ba=ab，由a、b 的任意性，群G 满足交换律，为Abel 群.选题目1的理由：老师上课提到此题，是群论部分Abel 群的经典例题.题目2：(1)（群的单边定义）设G 为一个半群，如果：（a）G 中含左（右）幺元e，即?a∈G，ea=a；（b）G 中每个元有左（右）逆元1a -，使1a -a（a 1a -）=e.（2）（群的除法定义）设G 为半群，若?a、b∈G，方程xa=b 及ay=b 在G 内有解，则G 为群.（3）（有限群的另一定义）设G 为有限半群，如果在G 内左、右消去律均成立，则G 为群.题目2出处：冯克勤章璞《近世代数三百题》题目2的解答：（1）?a∈G，设（a 1-）1-为a 1-的左逆元，则aa 1-=e （aa 1-）=（a 1-）1-a 1-aa 1-=（a 1-）1-ea 1-=（a 1-）1-a 1-=e，说明a 的左逆元也满足aa 1-=e，故a 1-为a 的逆元.而ae=a （a 1-a）=ea=a，故左幺元e 也是G 的右幺元，即为G 的单位元，所以G 为群.（2）由于G 非空，所以a∈G，则xa=a 有解e，?b∈G，存在y∈G 使得ay=b.于是eb=eay=ay=b，所以e 为G 左单位元，而xb=e 有解则意味着b 有左逆元，所以由b 的任意性及（1）可知G 为群.（3）设G={1a ，…n a }，由消去律可知，{1a i a ，…，n a i a }={i a 1a ，…，i a n a }，?i a ∈G，故存在e∈G 使得i a =e i a .于是?j a ∈G，存在k a ∈G 使得j a =i a k a .从而e j a =e i a k a =i ak a =j a .这说明e 为左单位元，又因为e ∈G=G j a ，以j a 有左逆元，因此由j a 的任意性知，G 为群.选题目2的理由：此处将群的几种定义方式进行总结，在不同条件下可以利用群的不同定义.题目3：令b a ，?：x ax+b（a、b ∈R 且a ≠0）为实直线上的一个仿射变换，将它们的集合记为1A （R ），在1A （R ）中定义乘法b a ，?d c ，?=b ad ac +，?，证明1A （R ）为一个群.又设1H （R ）={b 1，?：x x+b，b ∈R }，证明它是1A （R ）的一个子群，并证明1A （R ）/1H （R ）～{*R ；·}.题目3出处：柯斯特利金《代数学引论（第1卷）》第4章习题题目3的解答：显然，任一伸缩和平移仿射变换都在1A （R ）中，即对于上面定义的乘法，1A （R ）是封闭的，可以验证01，?为1A （R ）的幺元.?b a ，?∈1A （R ），当a≠0时，其上述定义下的逆元为a ba 1-，?，综上所述，1A （R ）为群.显然01，?∈1H （R ），故1H （R ）中有幺元，?b 1，?∈1H （R ），其上述定义下的逆元为b 1-，?，所以1H （R ）<1A （R ）.1A （R ）/1H （R ）={0a ，?：x ax，a ∈R 且a ≠0}，设双射f：1A （R ）/1H （R ）→*R ，由于a ∈*R 且遍历*R 内所有元素，所以1A （R ）/1H （R ）与*R 之间的f 可定义为1A （R ）/1H（R ）中的a 与*R 中相等的元素，为双射.又?1a ?、2a ?∈1A （R ）/1H （R ），对上述乘法满足f（21a a ??）=f（1a ?）·f （2a ?），故1A （R ）/1H （R ）与{*R ；·}同构.（附注）在南开大学资源共享课《抽象代数》有与本题类似的题目.选题目3的理由：本题在几何学上有深刻意义，它反映了几何变换对称性是产生群定义的原因之一，以及用群论方法研究几何变换时产生的许多结果（例如变换群的子群、商群和同构）可以反过来使我们更深入了解几何变换.题目4：设H 为群G 的一个子群，记()H N G ={g∈G|gHg 1-=H}，（称()H N G 为H 在G 中的正规化子）证明()H N G <="" g="" n="" p="" 及h="">题目4出处：南开大学资源共享课《抽象代数》题目4的解答：显然()H N G 的幺元即为G 中的幺元e 且对G 中的乘法运算满足结合律和封闭性，因为eHe 1-=H 恒成立.?n ∈()H N G ，由于n∈G，所以n 有逆元n 1-，且若nHn 1-=H，则对于给定的n，n 1-H（n 1-）1-=H=n 1-Hn，，因为?h ∈H，nhn 1-和n 1-hn 都对应H 中一个确定的元，所以()H N G 中任一元素都存在逆元，()H N G 为群，又?n ∈()H N G ，n∈G，所以()H N G <="" ，nhn="" ，综上所述h题目5：设a,b 分别为群G 中的元素，a 的阶为m，b 的阶为n,且满足ab=ba,∩={e}，证明:ab 的阶为[m,n].题目5出处：南开大学资源共享课《抽象代数》题目5的解答：设ab 的阶为d,由于(ab)],[n m =a ],[n m b ],[n m =e，从而d∣[m,n].另一方面(ab)d =a d b d =e，所以a d =bd -∈∩，a d =b d=e，因此m∣d,n∣d,所以[m,n]∣d，故d=[m,n].（附注）南开大学资源共享课《抽象代数》1.2节的补充题6问及此处阶为[m,n]的元素的存在性，正好与本题结论相符.选题目5的理由：本题给出了循环群中构造更高阶元素的方法和具体阶数，由此可以构造出有限循环群的元素.题目6：环R 的非零元x 称为幂零的，若存在n∈N ，使得x n=0，证明：1）若R 为含幺环，x 为幂零元，则1-x 为可逆元；2）若环Z /m Z=m Z 有幂零元，当且仅当m 可以被一个大于1的整数的平方整除.题目6出处：柯斯特利金《代数学引论（第1卷）》第4章题目6的解答：1）x 为幂零元，则存在m∈N ，使得xm =0，对给定的自然数n，由多项式因式分解可知1=1+0=1-x mn =（1-x）（1+x+x 2+…+x1-m ）（1+x m +x m 2+…+x m n )1(-），故1-x 为可逆元，其逆元为（1+x+x 2+…+x 1-m ）（1+x m +x m 2+…+x m n )1(-）=（1+x+x 2+…+x1-m ）.2）m Z ={0，1，…m-1}，m Z 有幂零元?存在k∈N ，使得x k =0（1<k<="">1<x<="" …n="" 不是质数.由算术基本定理，设m="1s" 为m="" 的非平凡因子，m="" ，由于xn p ，且1p ，…n p ∈m Z ，它们在模m 意义下的乘积也属于m Z ，若1s =…=n s =1，则m Z 中元素只有0（即m）在模m 意义下存在满足条件的k，故此时m Z 在模m 的意义下无幂零元，因此必存在i s >1，i=1，2，…，n，即可以被一个大于1的整数的平方整除.而充分性是显然的.选题目6的理由：本题第2）问的背景与初等数论中的莫比乌斯函数有关，此处幂零元的性质可以运用到对m 的完全剩余系的研究中，在初等数论中有类似结论.题目7：设Z [i]={a+bi|a,b∈Z },运算为普通加法和乘法.证明：Z [i]为整环（称为高斯整环），并且Z [i]/<1+i>为一个域.题目7出处：南开大学资源共享课《抽象代数》题目7的解答：显然，由整数对加法和乘法的封闭性质及分配律可知，Z [i]对加法构成群，对乘法构成交换幺半群，并且满足分配律.此外，设1z 、2z ∈Z [i]，则1z 2z =0?1z =0或2z =0，所以Z [i]中无零因子，故Z [i]为整环.<1+i>={a-b+(a+b)i,?a+bi ∈Z [i]},Z [i]/<1+i>={x+yi|x、y∈Q （Q 为有理数集）}，由高等代数的结论可知，有理数集对普通的加法和乘法构成域，因此由上面问题的方法可以证明Z [i]/<1+i>为一个域.选题目7的理由：本题中高斯整环的概念在代数数论中具有深刻意义.题目8：设含幺环R 中元a，b，1-ab 均为单位元，证明a-1b -、111a b a -----）（也是单位元，且1111a b -a -----））（（=aba-a.题目8出处：冯克勤章璞《近世代数三百题》题目8的解答：因a-1b -=-（1-ab）1b -，故a-1b -为单位元.用11b -a --）（和a 代替a-1b -中的a、b，即得111a b a -----）（也是单位元.由于1ab -）（也是单位元，且（1b -1a --1）1-=（1-ab）1--1···（*），因为（1b -1a --1）（（1-ab）1--1）（1-ab）=（1b -1a --1）（1-（1-ab））=（1b -1a --1）（ab）=1-ab.两边约去1-ab 可得（1b -1a --1）（（1-ab）1--1）=1，又因为R 是环，所以（（1-ab）1--1）（1b -1a --1）亦成立，故（*）式成立.将（*）式两边左乘1a -，有（1b --a）1-=（a-aba）1--1a -，所以（（a-1b -）1--1a -）1-=（1a --（a-aba）1--1a -）1-=（-（a-aba）1-）1-=aba-a.选题目8的理由：本题是1949年华罗庚提出的“华罗庚等式”，在上述教材中被奉为圭臬.</x</k。
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中国地质大学（武汉）近世代数学习报告
课程名称：近世代数
学号： ***********
**：***
学院：数理学院
专业：数学与应用数学
对近世代数的重要性的认识
抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪。
抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。
由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。
抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。
抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。
被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一。
他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学。
他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。
伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。
他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。
伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。
最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。
本学期学习总结
第一章基本概念
1、集合的幂集：以集合A的一切子集为元素构成的集合，记为或2A。
（含n个元素的集合的子集有2n个，即幂集中的元素共有2n个）
2、积（笛卡尔积）：A×B={（a，b）|aA，bB}叫A与B的积。
（A×B≠B×A）
3、A到B的对应法则为A到B的映射①②③，x的象在B中。
4、若A是含n个元素的集合，则A的映射共有个，一一映射共有n！个。
5、代数运算：一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算。
（o为A×B到D 的代数运算（a，b）A×B，ab有意义，且ab唯一，属于D）。
6、满射：y，设y=（x），求出x（x为y的函数），若x存在且xA，则为满射。
（中的每一个元素都有原象）；单射：a，bA，若a≠b，则a）≠b）。
（元素不同象不同）；一一映射：即单又满。
（一一映射都有逆映射，若A与B间是一一映射，则A、B有限且元素个数相同）
7、一个A到A的映射叫做A的一个变换；有限集A的一个一一变换，叫做A的一个置换。
8、一个A 到的映射，叫做一个对于代数运算o和来说的，A 到的同态映射，假如满足：a,bA，a，b→则aob→（运算的象=象的运算）；A与同态A 与存在同态满射。
9、一个A 到的一一映射，叫做一个对于代数运算o和来说的，A 到的同构映射。
（同构映射的逆映射也是同构映射）。
10、若R为法则，若R满足a，bA，要么aRb，要么ab，唯一确定，则称R为A的元间的一个关系；集合A 的元间的一个关系叫做一个等价关系，假如满足①反射律（aA，
有aa）②对称律③推移律
11、A 的一个分类即为A 的一些子集、、…满足：①=A.②=（i≠j）（不相交）。
（集合A 的元间的一个等价关系决定A的一个分类）
12、模n的同余关系（a≡b（n）读作a同余b模n）：若n∣（a-b）则a≡b（a与b 同除n后余数相同）。
若=则a≡b（n）即n|a-b。
第二章群论
1、群的定义：一个非空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如：
①乘法封闭。
②结合律成立。
③存在单位元。
④逆元存在。
2、群的阶：群中元素的个数；元素的阶：使得=e成立的最小正整数m，记为，若这样的m不存在，则说a是无限阶的。
（单位元的阶为1）
3、元素的阶的性质：①设a的阶为m，若=e则m∣n；②任何元素与它的逆元同阶；③设G为一个群，aG，若a的阶为2，则a=；④在一个有限群G中，阶大于2的元素的个数一定是偶数。
4、交换群：a，bG，ab=ba
5、若一个有乘法的有限集满足①乘法封闭；②结合律成立；③消去律成立（若ax=a，那么x=；若ya=a则y=）。
则必能做成一个群。
（无限集不适用）
6、群同态：假定G与对于它们的乘法来说同态，若G是群，那么也是一个群（具有相同的特性）。
但是反之却不成立。
7、设（G，·）和（，·）是两个群，如果存在G和的同态满射，则称G和同态，记为G～；如果存在G和的同构映射，则称G和同构，记为G≌。
8、A的一个变换就是一个A到A自己的映射。
9、一个集合A的所有一一变换作成一个变换群G。
（变换群是非交换群）；变换群不唯一，变换做成群只有一一映射，
10、任何一个群都同一个变换群同构。
11、一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换；一个有限集合的若干个置换做成的一个群叫做一个置换群。
（置换群的表示不唯一，置换群是非交换群）
12、一个包含n个元的集合的全体置换作成的群叫做n次对称群；n次对称群的阶是n！。
13、每一个有限群都与一个置换群同构。
14、循环群的每个元素都可以写成生成元的方幂。
（循环群的生成元不唯一，不同的元可以生成同一个群）
15、假定G是一个由元a生成的循环群，那么G的构造完全可以由a的阶来决定：①a 的阶若是无限，那么G与整数加群同构；②a的阶若是一个有限整数n，那么G与模n 的剩余类加群同构。
16、一个循环群一定是一个交换群。
17、设H为群G的非子集，如果H按G中的运算作成一个群，则称H为G 的一个子群，记为H≤G。
18、子群的判法：⑴定义法；⑵一个群G的一个非空子集H作成G的一个子群的充要条件是①乘法封闭；②逆元成立（aHH）；⑶充要条件是：a、bHaH；⑷充要条件是：a、bHaH。
19、群G中由等价关系a～baH决定G 的一个分类，其中的每一个类，叫做子群H的右陪集，用Ha表示。
20、群G中由等价关系a～′bH决定G 的一个分类，其中的每一个类，叫做子群H的右陪集，用aH表示。
21、一个子群H的右陪集个数和左陪集个数相等。
（一般的，a，Ha≠aH，a为单位元时才相等）
22、一个群G的一个子群H的右陪集（或左陪集）的个数叫做H在G里的指数，记为。
（陪集个数=H中元素个数）
23、子群的阶能整除大群的阶；一个有限群G的任一个元a的阶n都整除G的阶。
24、一个群G的一个子群N叫做一个不变子群，假如对于G的每一个元a来说，都有Na=aN （指Na与aN这两个集合一样）。
25、一个交换群G的每一个子群H都是不变子群。
26、不变子群的判法：⑴定义法：a，有Na=aN；⑵a，aN=N；⑶a，n anN
27、一个群G的一个不变子群N的陪集所作成的群叫做一个商群，用G/N表示；=G/N 的阶。
（每一个不变子群都可产生一个商群）
28、一个群G同它的每一个商群G/N同态。
29、假定G与是两个群，并且G与同态，那么这个同态满射的核N是G的一个不变子群，并且G/N≌
30、一个群G和它的每一个商群同态；群的同态满射的核是一个不变子群。
心得体会
近世代数是一门比较抽象的学科，但作为数学专业的学生，它是我们必须要攻克的难关，只要方法得当，并认真去学，我相信，学好近世代数不是难事，I firmly believe that I can make it！。