第2章(1) 控制系统的状态空间表达式

第二章 控制系统的状态空间表达式
2-1 状态、状态变量、状态空间、状态方程、动态方程
任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，每个状态都可以用最小的一组（一个或多个）独立的状态变量来描述。

设系统有n 个状态变量n x x x ,,21，它们都是时间t 的函数，控制系统的每一个状态都可以在一个由n x x x ,,21为轴的n 维状态空间上的一点来表示，用向量形式表示就是:
()()()()[]T
=t x t x t x t x n 21
()t x 称作系统的状态向(矢)量。

设系统的控制输入为：r u u u ,,,21 ，它们也是时间t 的函数。

记：
()()()()[]T
=t u t u t u t u r 21
那么表示系统状态变量x(t)随系统输入u(t)以及时间t 变化的规律的方程就是控制系统的状态方程:
()()()[]t t u t x f t x
,,= 其中()
()()[]T
=t f t f t f f n 21 是一个函数矢量。

设系统的输出变量为m y y y ,
,,21 ，则()T
m y y y y ,,,21 =
称为系统
的输出向量。

表示输出变量y(t)与系统状态变量x(t)、系统输入u(t)以及时间t 的关系的方程就称作系统的输出方程:
()()()[]t t u t x g t y ,,=
其中()T
m g g g g ,,,21 = 是一个函数矢量。

在现代控制理论中，用系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为，状态方程和输出方程合起来称作系统的状态空间表达式或称动态方程。

根据函数向量F 和G 的不同情况，一般控制系统可以分为如下四种：
∙ 线性定常(时不变)系统(LTI-Linear Time-Invariant)； ∙ 线性不定常(时变)系统(Linear Time-Variant)； ∙ 非线性定常系统(Nonlinear Time-Invariant)； ∙
非线性时变系统(Nonlinear Time-Variant)。

在本课程中，我们主要考虑线性定常系统(LTI)。

这时，系统的状态空间表达式可以表示如下：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+++++++=+++++++=+++++++=r nr n n n nn n n n r
r n n r r n n u b u b u b x a x a x a x
u b u b u b x a x a x a x
u b u b u b x a x a x a x 22112211222212122221212121211112121111 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+++++++=+++++++=+++++++=r
mr m m n mn m m m r
r n n r r n n u d u d u d x c x c x c y u d u d u d x c x c x c y u d u d u d x c x c x c y 22112211222212122221212121211112121111 写成矢量形式为：
⎩⎨⎧+=+=Du Cx y Bu Ax x
其中：
n n nn n n n n a a a a a a a a a A ⨯⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 2122221
11211 ， r
n nr n n r r b b b b b b b b b B ⨯⎥
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 212222111211
n m mn m m n n c c c c c c c c c C ⨯⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 21
22221
11211 ， r
m mr m m r r a a a a a a a a d D ⨯⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 21
2222111211
n n A ⨯----称为系统矩阵，由系统内部结构及其参数决定，体现了系统内部的特性；
r n B ⨯----称为输入(或控制)矩阵，主要体现了系统输入的施加情况； n m C ⨯----称为输出矩阵，它表达了输出变量与状态变量之间的关系， r m D ⨯----称为直接传递（转移）矩阵，表示了控制向量U 直接转移到输出变量Y 的转移关系。

一般控制系统中，通常情况D=0。

将系统状态空间表达式用方块图表示如图2-1所示。

系统有两个前向通道和一个状态反馈回路组成，其中D 通道表示控制输入U 到系统输出Y 的直接转移。

2-2 建立实际物理系统的状态空间表达式（动态方程）
一般控制系统可分为电气、机械、机电、液压、热力等等。

要研究它
们，一般先要建立其运动的数学模型（微分方程(组)、传递函数、动态方程等）。

根据具体系统结构及其研究目的，选择一定的物理量作为系统的状态变量和输出变量，并利用各种物理定律，如牛顿定律、基尔霍夫电压电流定律、能量守恒定律等，即可建立系统的动态方程模型。

例2-1
机械平移系统 如图2-2为一加速度仪的原理结构图。

它可以指示出其壳体相对于惯性空间（如地球）的加速度。

图2-1 系统状态空间表达式的方块图
设:i x 为壳体相对于惯性空间的位移；
0x 为质量m 相对于惯性空间的位移； 0x x y i -=为质量m 相对于壳体的位移。

根据牛顿第二定律，这个系统的运动方程为:
y ky x
m μ+=0 将 y x x i -=0代入,我们就可以得到关于加速度仪以变量y 为输出的微
分方程: y
m y ky x m i ++=μ 以质量m 相对于壳体的位移y 作为状态变量y x =1，m 相对于壳体的速度
为状态变量y
x =2,并将质量m 相对于加速度仪壳体的位移y 作为系统输出，以加速度仪外壳相对于地面的加速度i x 作为系统输入i x u =，那么有： ⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧=+--==1
21221x y u x m x m k x
x x μ 写成矢量形式为：
[]⎪
⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨
⎧==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=x
x y u x m m
k x 011010
1μ 这就是图2-2所示加速度仪的状态空间表达式。

当加速度i x
为常数，且系统达到稳定状况时，有：k
x
m y i = 所以我们可以通过y 的读数，确定运动物体的加速度值。

例2-2 RLC 电路如图2-3所示。

以()t u i 作为系统的控制输入u(t)，()t u 0作为系统输出()t y 。

建立系统的动态方程。

该R-L-C 电路有两个独立的储能元件L 和C ，我们可以取电容C 两端电压()t u 0和流过电感L 的电流()t i 作为系统的两个状态变量，分别记作1x 和2x 。

根据基尔霍夫电压定律和R 、L 、C 元件的电压电流关系，可得到下列方程：
()()⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧===++⎰t u y dt
x C x t u x Rx dt dx L i 021122
1 图2-3 RLC 电网络
整理得：
()()⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧==+--==1021221111x t u y t u L x L R x L x
x C x i 写成矢量形式为：
()[]⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=x
y t u L x L R L C x i 01
10110
这就是如图2-3所示RLC 电网络的状态空间表达式。

例2-3
多输入多输出系统（MIMO ） 如图2-5所示机械系统,质量1m 、2m 各受到1f 、2f 的作用，其相对平衡位置的位移分别为1x 、2x 。

根据牛顿定律，分别对1m 、2m 进行受力分析，我们有：
()()()()()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧----=----=-+-+=-+-+=1212212'
122221212112'12111x x k v v t f x x k x x t f x m x x k v v t f x x k x x t f x m μμμμ
取1x 、2x 、1v 、2v 为系统四个状态变量1x 、2x 、3x 、4x
()t f 1、()t f 2为系统两个控制输入()t u 1、()t u 2，则有状态方程：
()()⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧+-+-=++-+-===t u m x m x m x m k x m k x t u m x m x m x m k x m k x x x x x 224
23222124114
13121113423111μμμμ
如果取1x 、2x 为系统的两个输出，即：
⎩⎨
⎧==2
21
1x y x y 写成矢量形式，得系统的状态空间表达式：
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡----
=x y u m m x m m m k m k m m m k m k x 00
1
00011001
0000
10
001002122
2
211
11μμ
μμ。