近世代数学习系列十 中英对照

近世代数中英对照学习

一、字母表

atom：原子

automorphism：自同构

binary operation：二元运算

Boolean algebra：布尔代数

bounded lattice：有界格

center of a group：群的中心

closure：封闭

commutative(Abelian) group：可交换群，阿贝尔群commutative(Abelian) semigroup：可交换半群comparable：可比的

complement：补

concatenation：拼接

congruence relation：同余关系

cycle：周期

cyclic group：循环群

cyclic semigroup：循环半群

determinant：行列式

disjoint：不相交

distributive lattice：分配格

entry：元素

epimorphism：满同态

factor group：商群

free semigroup：自由半群

greatest element：最大元

greatest lower bound：最大下界，下确界group：群

homomorphism：同态

idempotent element：等幂元identity：单位元，么元

identity：单位元，么元

inverse：逆元

isomorphism：同构

join：并

kernel：同态核

lattice：格

least element：最小元

least upper bound：最小上界，上确界left coset：左陪集

lower bound：下界

lower semilattice：下半格

main diagonal：主对角线

maximal element：极大元

meet：交

minimal element：极小元

minimal generating set：最小生成集

monomorphism：单同态

normal subgroup：正规子群，不变子群

octic group(group of symmetries of the square)：八阶群，平方对称群

orbit：轨道

order：群的阶，元素的阶

partially ordered set (poset)：偏序集

partition：分割

quotient semigroup：商半群

retract：收缩

retraction map：收缩映射

semigroup with identity, monoid：含么半群，独异点semigroup：半群

semilattice：子半格

string, word：字符串，单词

subgroup：子群

sublattice：子格

subsemigroup：子半群

symmetric group：对称群

total ordering, chain, linear ordering：全序，链，线序

upper bound：上界upper semilattice：上半格

二、本章内容及教学要点：

8.1Partially Ordered Sets Revisited

教学内容：poset，(least)upper bound，greatest element，(greatest)lower bound，least element，maximal(minimal) element，upper(lower) semilattice

8.2Semigroups and Semilattices

教学内容: semigroup，Abelian semigroup，monoid，subsemigroup，free semigroup，minimal generating set，congruence relation，quotient semigroup，semilattice，idempotent element

8.3 Lattices

教学内容：lattice，sublattice，bounded lattice，distributive lattice，Boolean algebra，complement，atom

8.4 Groups

教学内容：group，identity，inverse，commutative(Abelian) group，order，subgroup，cyclic group，left coset

8.5 Groups and Homomorphisms

教学内容：monomorphism，epimorphism，isomorphism，normal subgroup，octic group(group of symmetries of the square)

定理证明及例题解答

三、前言

代数的概念与方法是研究计算机科学和工程的重要数学工具. 众所周知，在许多实际问题的研究中都离不开数学模型，而构造数学模型就要用到某种数学结构，而近世代数研究的中心问题是代数系统的结构：半群、群、格与布尔代数等等. 近世代数的基本概念、方法和结果已成为计算机科学与工程领域中研究人员的基本工具. 在研究形式语言与自动机理论、编码理论、关系数据库理论、抽象数据类型理论中，在描述机器可计算的函数、研究计算复杂性、刻画抽象数据结构、研究程序设计学中的语义学、设计逻辑电路中有着十分广泛的应用.

为什么要研究代数系统？代数是专门研究离散对象的数学，是对符号的操作.它是现代数学的三大支柱之一（另两个为分析与几何）.代数从19世纪以来有惊人的发展，带动了整个数学的现代化.随着信息时代的到来，计算机、信息都是数字（离散化）的，甚至电视机．摄像机、照相机都在数字化.知识经济有人也称为数字经济.这一切的背后的科学基础，就是数学，尤其是专门研究离散对象的代数.代数发端于“用符号代替数”，后来发展到以符号代替各种事物.

在一个非空集合上，确定了某些运算以及这些运算满足的规律，于是该非空集合中的元素就说是有了一种代数结构.现实世界中可以有许多具体的不相同的代数系统. 但事实上，不同的代数系统可以有一些共同的性质. 正因为此，我们要研究抽象的代数系统，并假设它具有某一类具体代数系统共同拥有的性质.任何在这个抽象系统中成立的结论，均可适用于那一类代数系统中的任何一个.

代数学历史悠久. 代数的发展可分成两个阶段. 19世纪这前的代数称为古典代数，19世纪至今的代数称为近世代数（抽象代数）.

远在古希腊时期，人们就知道可以用符号代表所解问题中的未知数，并且这些符号可以像数一样进行运算，直到获得问题的解.古典代数的基本研究对象是方程，它是以讨论方程的解法为中心. 在古典代数中，每一个符号代表的总是一个数，但这个数可以是整数也可以是实数. 古典代数的主要目标是用代数运算解一元多次方程. 它成功地解决了一元二次、一元三次和一元四次方程的求解问题.