抽象代数-小阶群
抽象代数一习题答案
抽象代数一习题答案在抽象代数中，习题通常涉及群、环、域等代数结构的定义、性质和例子。
以下是一些抽象代数习题的答案示例。
习题1：证明如果一个群G是阿贝尔群，那么它的每个子群也是阿贝尔群。
答案：设H是群G的一个子群。
由于G是阿贝尔群，对于任意的a, b属于G，我们有ab = ba。
现在考虑任意的h1, h2属于H。
由于H是G的子群，h1和h2也属于G。
因此，我们有h1h2 = h2h1（因为h1h2和h2h1都是G中的元素，并且G是阿贝尔的）。
这表明H中的元素满足交换律，所以H也是阿贝尔群。
习题2：证明如果一个环R有单位元，那么它的每个理想都是主理想。
答案：设I是环R的一个理想，我们需要证明I是一个主理想，即存在一个元素r∈R使得I = (r)，其中(r)表示由r生成的理想。
由于R有单位元1，考虑元素1 - r。
由于I是理想，1 - r也属于I。
因此，我们有1 - r = a(r) + b，其中a, b属于R。
将等式两边乘以r，我们得到1 = ar + rb。
这意味着r(1 - ar) = rb。
由于1 - ar属于I（因为I是理想），我们有r属于I。
现在，对于I中的任意元素x，我们可以写x = (1 - ar)x + arx。
由于ar属于I，(1 - ar)x也属于I。
因此，x = r(1 - ar)x，表明x可以由r生成。
所以I = (r)，证明完成。
习题3：证明如果一个域F的元素a不是单位元，那么a的阶是有限数。
答案：设a是域F中的一个非单位元。
我们需要证明存在一个正整数n使得a^n = 1。
考虑集合{1, a, a^2, a^3, ...}。
由于F是域，它没有零除数，因此a^n ≠ 1对于所有n。
这意味着集合中的元素都是不同的。
然而，域F是有限的，因此不可能有无限多不同的元素。
因此，必须存在最小的正整数n > 1，使得a^n = a^1。
这意味着a^(n-1) = 1，所以a的阶是有限的。
抽象代数
案例11.分数化小数-- 循环节长度
• 数学聊斋: 商家打折: 1428元? • a=1/7=0.142857… • 循环节D=106a-a= 142857=(106-1)/7. • q/p=a的循环节 D=(10d-1)q/p=整数. • 最小的d使 10dq≡q(mod p) • 当 p是素数(≠2,5), 10d≡1(mod p) • D是 10在乘法群 Zp*中的阶,整除 p-1 • 混循环: (10d-1)10kq≡0(mod p).
2020/3/2
案例分析乘法群元素的阶
• 例:q/7. 10k (k=1,2,…)模7余3,2,6,4,5,1，d=6. • 循环节D=q(106-1)/7=142857q. 1/7=a=142857… • 对k=1,2,…,5, 10ka-qk=(10k-7qk)/7=rk/7。 • 将D前k位移到末尾,得到D的rk(=3,2,6,4,5)倍。 • 推广：1/a的循环节轮换排列都得到D的rk倍。 • 仅当d=n-1时得到所有各倍循环群的生成元 • 另例:1/17=0.0588235294117647…。1/19= • 更多性质：142+857=999，14+28+57=99。
2020/3/2
满足条件 J2 = -I.
推广. 域的代数扩张
• 无中生有: 为域F上多项式f(x)造根。 • 强制规定[f(x)]=[0]: 在F[x]中生成理想 (f(x)). • 同余类环 E=F[x]/(f(x))中[f(x)]=[0], [x]是根. • f(x) 在 F[x] 中不可约: E 是F的代数扩域. • 设d=deg f(x), 则 E 是 F 上 d 维空间,[E:F]=d. • 造矩阵根: F上线性变换[g(x)][x][g(x)] 在基
考研抽象代数知识点浓缩
考研抽象代数知识点浓缩考研抽象代数组合知识点浓缩抽象代数是数学的一个分支，是研究代数结构的一门学科。
在考研数学中，抽象代数是一个重要的考点，涉及的内容较为广泛。
本文将浓缩抽象代数的知识点，帮助考生快速掌握和理解相关的概念和方法。
一、群论群是抽象代数中最基本的代数结构。
它是一个代数系（或代数对象），满足封闭性、结合律、单位元和逆元的性质。
群可以通过定义运算和运算规则来描述，常用的群有交换群和非交换群。
1. 子群：给定一个群G，如果集合H是G的非空子集，并且H对G的运算也构成一个群，那么H称为G的子群。
2. 环：环是一种具有两个运算的代数系统，满足加法封闭性、加法结合律、加法单位元、加法逆元、乘法封闭性、乘法结合律和分配律的性质。
3. 域：域是一种具有两个运算的代数系统，满足环的所有性质，且乘法交换律成立，并且存在乘法单位元，并且对于每个非零元素，存在乘法逆元。
二、线性代数线性代数是抽象代数的重要分支之一，研究向量空间、线性映射和线性方程组等问题。
1. 向量空间：向量空间是一个集合，具有加法运算和数乘运算，并满足加法封闭性、加法交换律、加法结合律、加法单位元、数乘封闭性、数乘结合律和分配律的性质。
2. 线性映射：线性映射是指保持向量空间的加法运算和数乘运算的映射关系。
线性映射可以用矩阵表示，并可以通过对矩阵的运算来进行分析和求解。
3. 线性方程组：线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，每个线性方程有多个未知数，并且每个未知数的系数都是线性的。
线性方程组的求解可以通过高斯消元法、矩阵的逆和矩阵的秩等方法来进行。
三、环论环论是抽象代数的另一重要分支，研究环、域和理想等问题。
1. 整环：整环是一个满足环的所有性质，且没有零因子的交换环。
2. 理想：理想是环的一个子集，对环的加法和乘法运算都是封闭的，并且满足加法逆元、乘法单位元和乘法分配律的性质。
3. 有限域：有限域是一个有限元素个数的域。
在有限域上，乘法和加法运算都是封闭的，并且存在加法逆元、乘法单位元和乘法逆元。
抽象代数群的定义课件
群的量子表示
量子表示的定义
将群中的元素映射到量子态，形 成一个量子群。量子表示是群表 示的一种形式，可以用于研究群 的量子性质和结构。
量子表示的优点
19世纪中叶，数学家开始系统地研究群论，并发现了群的许多重要性质和定理。
20世纪初，群论得到了进一步的发展和应用，特别是在物理、化学和计算机科学等 领域。
现代群论已经发展成为一个非常广泛的数学领域，包括了许多分支和应用，如有限 群、无限群、李群、拓扑群等。
群论的现代研究
现代群论的研究涉及到许多领域，如 几何学、代数学、物理学和计算机科 学等。
运算结果仍属于这个集合。
群的基本性 质
群是一个封闭的代数结构，即其二元 运算满足封闭性。
群中存在一个特殊的元素，通常记为 $e$或$I$，称为单位元，满足对于任 意群元素$a$，有$e cdot a = a cdot e = a$。
群中的运算满足结合律，即对于任意 三个群元素$a, b, c$，有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
量子表示可以描述更复杂的量子 现象和量子系统，能够更好地揭 示群的本质和内在规律。此外， 量子表示还可以通过计算机编程 实现，方便进行大规模的计算和 研究。
量子表示的应用
量子表示在量子计算、量子信息、 量子物理等领域都有广泛的应用。 例如，在量子计算中，各种量子 算法可以用量子态来表示，而在 量子通信中，各种量子态也可以 用量子态来表示。
现代群论的研究还涉及到许多实际应 用，如密码学、计算机图形学和量子 计算等。
《抽象代数》阶数比较小的群
《抽象代数》阶数⽐较⼩的群l 分类⽤到西罗定理，半直积，和素数幂阶群的⼀些性质。
n p群的中⼼⾮平凡。
n p群中有指标为p的⼦群。
（证明：若群G是交换群，取⾮单位元素x，若x⽣成G，则G是循环群，有指标为p的⼦群（循环群的⼦群阶只要整除|G|就有这样的⼦群并且唯⼀）。
如果x不⽣成G，归纳考虑G/<x>。
若G不是交换群，归纳考虑G/Z(G)。
）n 指标为2的⼦群是正规⼦群。
n 如果G的正规⼦群N是交换群，则G/N作⽤于N上（代表元的共轭作⽤，类似平⾯离散刚体群中，点群作⽤于平移群上）。
l 素数阶群都是循环群C p，这些群的⾃同构群也是循环群C p-1。
包括2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,⼀共25个。
l 2p阶群中，由西罗定理，p阶⼦群唯⼀，是正规⼦群。
2阶群中⾮单位元的共轭作⽤或者是平凡作⽤，或者将Z/pZ中1映射为p-1。
前者得到C2p，后者得到D p。
由于模2p是有原根存在的，因此Aut(C2p)≌C p-1。
D2p的⾃同构群保持C p不变，将反射应为任何⼀个反射，表⽰为(ρ,r)→(ρk,ρl r)，计算同构的复合来考察⾃同构群结构，发现Aut(D2p)≌C p-1与C p的半直积，⽅便起见记为C p-1┠C p（不是通⽤的符号）。
l 上⼀个类型可以推⼴到2p a阶群，得到循环群或⼆⾯体群两种类型。
对应的Aut(D2pa)≌Aut(p a)┠C pa这两种类型包括的阶有6,10,14,18,22,26,34,38,46,50,54,58,62,74,82, 86,94,98。
⼀共18个。
l 2的幂次阶群：n 2阶群只有C2,n 4阶群有C4或C2xC2。
n 8阶群u 8阶交换群有C2xC2xC2,C2xC4,C8。
下设G⾮交换。
u G的4阶⼦群K是C4或者C2xC2，⽽且是正规⼦群。
17.群(小本习题集)
a=a^(np+mq)=a^np a^mq=a^mq=(a^m)^q
因为a^m∈H, 所以 (a^m)^q ∈ H 即a∈ H
1.1.67,设G是一个非交换群，则G中存在a=!b使得ab=ba,且a,b都不是单位元。
证明： 存在a∈G 使得a=!a^-1 ，否则如果任意a ∈G a=a^-1
1.2.6.设G=(a)是n阶循环群，a是生成元，若r和n的最大公约数是d，问a^r的周期是多
少？
由此看来，C中哪些元素可以作为生成元？
解：因为(r,n)=d 所以设r=md ,n=n1d （m,n∈Z）
(a^r)^k=e 所以 n|rk=> n1d|mdk => n1|mk 因为 (n1,m)=1 所以 n1|k
若G中含有6阶元,设这个6阶元是a,则a2是3阶元。
若G中不含6阶元,下面证明G中必含有3阶元。如若不然,G中只含1阶和2阶元,即"a∈G
,有a2=e,由命题可知G是阿贝尔群。取G中两个不同的2阶元a和b,令
H={e,a,b,ab}
易证H是G的子群,但|H|=4,|G|=6,与拉格朗日定理矛盾。
所以 (x1y1)(x2y2)^-1=(x1x2^-1)y3,x1x2^-1∈H,且HK=KH,所以存在x3∈H, 使得
(x1x2^-1)y3=y3x3
所以(x1y1)(x2y2)^-1=y3x3,因为HK=KH,所以存在 x3’ ∈H,y3’ ∈K,使得 y3x3=x3’y
3’
所以(x1y1)(x2y2)^-1=y3x3=x3’y3’ ∈HK,所以 HK是G的子群.
华师《抽象代数》在线作业答案
B.2
C.3
D.4
答案:C
15.设A={a,b,c}，B={1,2,3},则从集合A到集合B的映射有
A.1
B.6
C.18
D.27
答案:D
16.数域P上的n阶可逆上三角矩阵的集合关于矩阵的乘法
A.构成一个交换群
B.构成一个循环群
C.构成一个群
D.构成一个交换环
答案:C
17.题面见图片：
{图}
A.选择图中A选项
答案:正确
41.题面见图片：
{图}
答案:错误
42.设R是环，A，B是R的任意两个理想，则A+B也是环R的理想。
答案:正确
43.设G是群，则群G的任意两个子群的并仍是群G的子群。
答案:错误
44.整数环的商域是有理数域。
答案:正确
45.素数阶群不一定是循环群。
答案:错误
46.除环一定是域。
答案:错误
47.题面见图片：
B.选择图中B选项
C.选择图中C选项
D.选择图中D选项
答案:B
10.设G是运算写作乘法的群，则下列关于群G的子群的结论正确的是
A.任意两个子群的乘积还是子群
B.任意两个子群的交还是子群
C.任意两个子群的并还是子群
D.任意子群一定是正规子群
答案:B
11.题面见图片：
{图}
A.选择图中A选项
B.选择图中B选项
A.G的商群不是循环群
B.G的任何子群都是正规子群ห้องสมุดไป่ตู้
C.G是交换群
D.G的任何子群都是循环群
答案:A
4.剩余类加群Z8的子群有
A.3个
B.4个
C.5个
抽象代数第三章群
抽象代数第三章群抽象代数第三章群好久没有认真学习问题求解了=。
=，⼀转眼就上了⼀本新的书TJ，介绍抽象代数的⼊门书。
我觉得在wiki已经说得很好了需要科学上⽹学习抽象代数之前复习⼀下之前学过的相关知识⼦集族和指标集设J是⼀个⾮空集合，对于每⼀个j ∈ J,对应集合S的⼀个⼦集S j,则通常说 {S j|S j⊂S,j∈J}是S的⼀个以J为标号的⼦集族，J称为指标集等价关系同时满⾜反射性、对称性和传递性。
学习抽象代数的第⼀节课代数结构这章不是重点讲代数结构本⾝，代数结构=集合+在集合上定义的运算。
对于集合和代数运算本⾝还有更加精准的定义，不论。
群群的定义群是⼀种特殊的代数结构，设这个代数运算为∘，则这个运算满⾜1. 结合律 :(a∘b)∘c=a∘(b∘c)2. 在这个运算下有且只有⼀个单位元e,对于集合中的任意元素a有:a∘e=e∘a=a3. 在这个运算中每⼀个集合中的元素都有且有唯⼀逆元素在集合中: g∘g−1=g−1∘g=e此时集合G在运算∘下构成⼀个群，记作(G,∘)，有时简称G是⼀个群群的性质1. 单位元唯⼀2. 满⾜左右消去律3. 不需要满⾜交换律，若满⾜交换律，则这是⼀个“交换群”，也称“阿贝尔群”4. 群不⼀定需要零元素⼦群(G,∘)是⼀个群，如果G的⼦集H对于∘也构成群，那么称(H,∘)是(g,∘)的⼦群，简称H是G的⼦群。
举例⼦：偶数加法群是整数加法群的⼀个⼦群⼦群的性质1.⼦群的单位元等于群的单位元2.G是⼀个群，G的任意⼀个⼦群族的交集仍然是G的⼦群3.H，K是G的⼦群，如果H，K的并集也是G的⼦群，那么H⊆G,或者G⊆H。
⼀个群⾄少有两个⼦群：1. 平凡⼦群：仅仅有单位元⼀个元素的群2. 原来群本⾝⼦群的判定1. 群G的单位元e在H中2. 如果h1,h2∈H，那么h1h2∈H3. 如果h∈H，那么h−1∈H以上三个条件可以⽤⼀句判定来实现proposition 3.31 如果H是G的⼀个⼦集，那么H是G的⼦集，当且仅当H不为空集，且对于任意h1,h2∈H有h1h−12∈H⽣成⼦群设G是个群，S为其⼀⾮空⼦集，J为G的所有包含S的⼦集族，则称⼦群 ∩H∈J H为S在G中的⽣成⼦群，记作<S>这是什么鸡⼉完全听不懂=。
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一、确定所有互不同构的18阶Abel 群设A 为18阶Abel 群，21823A ==⨯。
故A 的Sylow 子群的阶分别为22A =，233A =。
A 的初等因子共有以下2种可能：{2,3,3}，{2,9}。
所以18阶Abel 群共有2个：223⊕Z Z ，29⊕Z Z 。
{2,3,3}化为不变因子为{3,6}，故22336⊕⊕ Z Z Z Z 。
{2,9}化为不变因子为{18}，故2918⊕≅Z Z Z 。
所以互不同构的18阶Abel 群共有2个：36⊕Z Z ，18Z 。
二、确定所有互不同构的20阶Abel 群设B 为20阶Abel 群，22025B ==⨯。
故B 的Sylow 子群的阶分别为222B =，55B =。
B 的初等因子共有以下2种可能：{2,2,5}，{4,5}。
所以20阶Abel 群共有2个：225⊕Z Z ，45⊕Z Z 。
{2,2,5}化为不变因子为{2,10}，故225210⊕⊕ Z Z Z Z 。
{4,5}化为不变因子为{20}，故4520⊕ Z Z Z 。
所以互不同构的20阶Abel 群共有2个：210⊕Z Z ，20Z 。
三、确定所有互不同构的18阶非Abel 群记G 为18阶非Abel 群，将G 的3Sylow -子群记为S 。
1）若S a =，则91a =。
再取2阶元b G ∈，即有,G a b =。
现设1d bab a -=，其中由于G 为非Abel 群，故1d ≠。
因为2111122()()()d d d d d a a bab ba b b bab b b ab a -----======，故21(mod9)d ≡。
200(m o d 9)≡ 224(m o d 9)≡ 230(m o d 9)≡ 247(m o d 9)≡ 257(m o d 9)≡ 260(m o d 9)≡ 274(m o d 9)≡ 281(m o d 9)≡ 故得8d =，而81a a -=，故9219,|1,1,G a b a b ba a b D -==== 。
2）若S a ≠，则必有S a b =⨯，其中31a =，31b =。
同理，再取2阶元c G ∈，即有,,G a b c =。
现设111cac a b αβ-=，221cbc a b αβ-=。
其中12120,,,3ααββ≤<。
11111221111111()()()()()a c a c c c a c cc a b c c a cc b cc a c c b cαβαβαβ--------===== 21112211211112()()a b a b a b αβααββααβαβββ++==22222221111111()()()()()b c b c c c b c cc a b c c a cc b cc a c c b cαβαβαβ--------===== 21122221222212()()a b a b a b αβααββαααβαββ++==故212111222122121(mod3)()0(mod3)1(mod3)()0(mod3)ααββαβαββααβ⎧+≡+≡⎨+≡+≡⎩ 共有以下14组解：(1) 1212(,,,)(0,1,1,0)ααββ=，即1cac b -=，1cbc a -=。
(2) 1212(,,,)(0,2,2,0)ααββ=，即12cac b -=，12cbc a -=。
(3) 1212(,,,)(1,0,0,1)ααββ=，即1cac a -=，1cbc b -=。
（G 非Abel 群，舍去） (4) 1212(,,,)(1,0,0,2)ααββ=，即1cac a -=，12cbc b -=。
(5) 1212(,,,)(1,0,1,2)ααββ=，即1cac ab -=，12cbc b -=。
(6) 1212(,,,)(1,0,2,2)ααββ=，即12cac ab -=，12cbc b -=。
(7) 1212(,,,)(1,1,0,2)ααββ=，即1cac a -=，12cbc ab -=。
(8) 1212(,,,)(1,2,0,2)ααββ=，即1cac a -=，122cbc a b -=。
(9) 1212(,,,)(2,0,0,1)ααββ=，即12cac a -=，1cbc b -=。
(10) 1212(,,,)(2,0,0,2)ααββ=，即12cac a -=，12cbc b -=。
(11) 1212(,,,)(2,0,1,1)ααββ=，即12cac a b -=，1cbc b -=。
(12) 1212(,,,)(2,0,2,1)ααββ=，即122cac a b -=，1cbc b -=。
(13) 1212(,,,)(2,1,0,1)ααββ=，即12cac a -=，1cbc ab -=。
(14) 1212(,,,)(2,2,0,1)ααββ=，即12cac a -=，12cbc a b -=。
先证明：如果210,0αβ≠=，则实质上等同于210,0αβ=≠的一种情况。
证：若210,0αβ≠=，则11cac a α-=，221cbc a b αβ-=。
而由于ab ba =，故221cbc b a βα-=。
将a 记为b ，b 记为a 。
即得证。
从而(5)等同于(13)，(6)等同于(14)，(7)等同于(11)，(8)等同于(12)。
以下依次分析剩余各个情况：（取(4)作为典型代表） (1) 111()()()()()c ab c cac cbc b a ab ---===2112122()()()()()()c a b c c a c c b c b aa b a b---==== 将ab 看作新的a ，2ab 看作新的b 。
即(1)等同于(4)(2) 211212222()()()()()c ab c cac cb c b a ab ---===1112222()()()()()()c a b c c a c c b c b a a b a b---==== 将2ab 看作新的a ，ab 看作新的b 。
即(2)等同于(4)(5) 21121222()()()()()c ab c cac cb c ab b ab ---===将2ab 看作新的a 。
即(5)等同于(4)(6) 11122()()()()()c ab c cac cbc ab b ab ---===将ab 看作新的a 。
即(6)等同于(4)(7) 111222242()()()()()()c ab c cac cbc a ab a b a b ab ---=====将ab 看作新的b 。
即(7)等同于(4)(8) 21121222222()()()()()()c ab c cac cb c a a b a b ab ---====将2ab 看作新的b 。
即(8)等同于(4)(9) 将b 看作新的a ，a 看作新的b 。
即(9)等同于(4)故剩余的即为：33221,,|1,,,G a b c a b c ab ba ca ac cb b c =======332222,,|1,,,G ab c a b c a bb ac a a c c bb c======= 考察在9D 中的元素的阶数：（1阶元1个，2阶元9个，3阶元2个，9阶元6个）考察在1G 中的元素的阶数：（1阶元1个，2阶元3个，3阶元8个，6阶元6个）考察在2G 中的元素的阶数：（1阶元1个，2阶元9个，3阶元8个）综上所述，故互不同构的18阶非Abel 群共有如下3个：9219,|1,D a b a b ba a b -====33221,,|1,,,G a b c a b c ab ba ca ac cb b c ======= 332222,,|1,,,G a b c a b c ab ba ca a c cb b c =======四、确定所有互不同构的20阶非Abel 群记G 为20阶非Abel 群，将G 的唯一5Sylow -子群记为S ，S c =，其中51c =。
因此G 只有4个5阶元素。
由于[]:()G G C c 等于c 的共轭元的个数，从而[]:()124G G C c =或或。
1）若[]:()12G G C c =或，则()2010G C c =或，因此()G C c 中必有2阶元素d 。
（同教材63P ） 令a cd dc ==，a 是10阶元素，于是a 为G 的正规子群。
取b a ∉，2i b a =，1k bab a -=。
由于1bab -为10阶元素，故(,10)1k =。
若1k =，则ba ab =，即G 为Abel 群，舍去此种情况。
若3k =，则1bab a -3=，即ba a b 3=。
2211131921911i i i i ii b a b a b a b b a b a a b aa a a -+-++++=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=。
矛盾！若7k =，则17bab a -=，即7ba a b =。
221117149214911i i i i ii b ab a b a b b a b a a b aa a a -+-++++=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=。
矛盾！故9k =，即191bab a ba a b --=⇒=。
于是22111()i i i i a b bb b ba b bab a ----=====，从而21i a =，05i =或。
0i =时，102110,|1,1,G a b a b ba a b D -==== 。
5i =时，102511,|1,,G a b a b a ba a b -====。
2）若[]:()4G G C c =，则G 中所有元素均不为10阶元素。
故G 中不为5阶的元素必为2阶元。
故有9个2Sylow -子群，且每个均为Abel 群。
由于每个2Sylow -子群包含3个阶元，故存在2个2Sylow -子群有一个公共元（非1）。
假设这个元素为a ，()4G C a >，故()1020G C a =或。
故G 中必有4阶元素。
取一个5阶元a 和4阶元b 生成群G 。
设1k bab a -=，其中04k ≤≤，441131331k k b b ab ab b a ab b a b a ----=⇒=⇒=⇒=。
若0k =，则ba b =，从而1a =，与51a =矛盾！ 若1k =，则G 为Abel 群，矛盾！ 下记：5422,|1,1,G a b a b ba a b ====5433,|1,1,G ab a b b a a b ====5444,|1,1,G ab a b b a a b==== 考察在2G 中的元素的阶数：（1阶元1个，2阶元5个，4阶元10个，5阶元4个）考察在3G 中的元素的阶数：（1阶元1个，2阶元5个，4阶元10个，5阶元4个）考察在4G 中的元素的阶数：（1阶元1个，2阶元5个，4阶元10个，5阶元4个）从而234G G G ≅≅。