近世代数课件--1.6 群的同构与同态
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近世代数全套教学课件
Kummer方法的前提是形如a+bη的复整数也象 整数一样具有唯一的素因子分解，其中a与b是通 常整数。并不是对于每个整数n,复整数a+bη都具 有唯一分解性，Kummer把这种复整数的因子分解 称为理想数的分解。
用这种方法 Kummer证明了n≤100时费马大定 理成立,理想数的方法不但能用于费马问题研,实 际上是代数数论的重要研究内容，其后德国数学 家R.Dedekind(1831-1916)把理想数的概念推广为 一般的理想论，使它成为近世代数的一个重要的 研究领域。
不含任何元素的集合叫空集. 表示为：Ø
枚举法:
例如,我们把一个含有n个元素 a1,a2,,an 的
集合的有限集合表示成：a1,a2,,an . 前五个
正整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
拟枚举： 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚
举可以用来表示能够排列出来的的集合, 像 自然数、整数…
A1, A2 ,, An 的交. A1, A2 ,, An 的并和交分别记为：
A1 A2 An 和A1 A2 An . 我们有
(x A1 A2
A) (x至少属于某一Ai ,i 1, 2, , n)
(x A1 A2
A) (x属于每一Ai ,i 1, 2, , n)
差运算：
直到1824年一位年青的挪威数学家 N.Abel (1802-1829) 才证明五次和五次以上的一般代数方程 没有求根公式。但是人们仍然不知道什么条件之下一 个已知的多项式能借助加、减、乘、除有理运算以及 开方的方法求出它的所有根,什么条件之下不能求根。
最终解决这一问题的是一位法国年青数学家 E.Galois(1811—1832)，Galois引入了扩域以及群的 概念，并采用了一种全新的理论方法发现了高次代数 方程可解的法则。在Galois之后群与域的理论逐渐成 为现代化数学研究的重要领域，这是近世代数产生的 一个最重要的来源。
抽象代数基础第一章1.6 群的同构与同态
（2）若H是G的正规子群且 ，则
证明：（1）易知HN是G的子群，又由于N是G的正规子群，自然有N也是HN的正规子群，因而有商群 。令
则f是一个群同态。易知f是满同态，又 ，由同态基本定理有 。
（2）令 ，若aN=bN，则 ，而 ，所以 ，即 ，因而g的定义是合理的，易见g是一个满同态且 ，所以有同态基本定理，
《 抽象代数基础 》教案
复习思考题、作业题：
课本P28 1、4、6、9、10
下次课预习要点
有限群
实施情况及教学效果分析
学院审核意见
学院负责人签字
年月日
教学内容：
对 若 则 ，于是
，因而 ，故 ，所以 是单射，从而 是双射，
又由于，对 有
所以 是群 到 的一个同构，因而 。
10、定理5设G是循环群，如果G的阶无限，则 ；如果G的阶为n，则 。
由同态基本定理，我们可以得到两个重要的同构
11、定理6设G是一个群，N是G的正规 和 是两个群，f是集合G到 的一个映射，如果对 都有
，则称f是群G到 的一个同态。
5、命题1 f是群G到 的一个同态，e和 分别是G和 的单位元，则
（1）
（2）对 有 。
6、命题2 f是群G到 的一个同态，则
（1）Ker（f）是群G的正规子群
（2）Im（f）是群 的子群。
7、定理2 f是群G到 的一个同态，则
（1）如果H是G的子群，则f（H）是 的子群
（2）如果 是 的子群，则 是G的子群；如果 是 的正规子群，则 也是G的正规子群。
8、定理3设f是群G到 的一个满同态，如果H是G的正规子群，则f（H）是 的正规子群。
9、定理4（群的同态基本定理）设f是群G到 的一个满同态，则
证明：（1）易知HN是G的子群，又由于N是G的正规子群，自然有N也是HN的正规子群，因而有商群 。令
则f是一个群同态。易知f是满同态，又 ，由同态基本定理有 。
（2）令 ，若aN=bN，则 ，而 ，所以 ，即 ，因而g的定义是合理的，易见g是一个满同态且 ，所以有同态基本定理，
《 抽象代数基础 》教案
复习思考题、作业题：
课本P28 1、4、6、9、10
下次课预习要点
有限群
实施情况及教学效果分析
学院审核意见
学院负责人签字
年月日
教学内容：
对 若 则 ，于是
，因而 ，故 ，所以 是单射，从而 是双射，
又由于，对 有
所以 是群 到 的一个同构，因而 。
10、定理5设G是循环群，如果G的阶无限，则 ；如果G的阶为n，则 。
由同态基本定理，我们可以得到两个重要的同构
11、定理6设G是一个群，N是G的正规 和 是两个群，f是集合G到 的一个映射，如果对 都有
，则称f是群G到 的一个同态。
5、命题1 f是群G到 的一个同态，e和 分别是G和 的单位元，则
（1）
（2）对 有 。
6、命题2 f是群G到 的一个同态，则
（1）Ker（f）是群G的正规子群
（2）Im（f）是群 的子群。
7、定理2 f是群G到 的一个同态，则
（1）如果H是G的子群，则f（H）是 的子群
（2）如果 是 的子群，则 是G的子群；如果 是 的正规子群，则 也是G的正规子群。
8、定理3设f是群G到 的一个满同态，如果H是G的正规子群，则f（H）是 的正规子群。
9、定理4（群的同态基本定理）设f是群G到 的一个满同态，则
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
近世代数课件群的概念
ab ba e . 为了阐明这样的 b 是唯一的; 满足
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
乘法都不构成群.
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
下面介绍置换的表示方法.
设 A {a1, a2 , , an} 是一个有限集, f Sn .我们
可以将 f 表示成下表的形式:
f
a1 (a1)
a2 f (a2 )
f
an (an
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
乘法都不构成群.
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
下面介绍置换的表示方法.
设 A {a1, a2 , , an} 是一个有限集, f Sn .我们
可以将 f 表示成下表的形式:
f
a1 (a1)
a2 f (a2 )
f
an (an
近世代数(抽象代数)课件
意一个二元运算,并将其称为乘法.当 ab c
时, c 称为 a 与 b 的乘积;甚至还将等式 ab c
简写成 ab c .
6
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§1 代数运算
例 1 设 R 是实数集.于是,平常的加法“”,减 法“-”和乘法“”都是 R 上的二元运算;除法“”是 R , R \{0}到 R 的代数运算,不是 R 上的二元运算.
第一章 群 论
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1
目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
2
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§1 代数运算
设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)都是集合.我们将 集合
{(a1, a2 , , an ) | ai Ai , i 1, 2, n} 称为 A1, A2 , , An 的直积或笛卡儿积,记作
A1 A2 An . 特别地,当 A1 A2 An A 时, A1 A 2 A n 可 以简记作 An (读作 A 的 n 次方).这里约定,当 n 1 时, A1 A 2 A n 就是 A1 .
3
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§1 代数运算
定义 1.1 设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)和 A 都是非空集合. A1 A2 An 到 A 的映射 又 称 为 A1, A2 , , A n 到 A 的 代 数 运 算 ; 特 别 地, An 到 A 的映射又称为 A 上的 n 元运算.
设 A 是一个非空集合. f 是 A 上的一个二
元运算.于是，对于任意的 a, b A ，存在唯
一的 c A ，使得 f (a, b) c .我们约定,将等
式 f (a, b) c 改写成 afb c .
群论中的群同态与同构
群论是数学的一门重要分支，研究的是群这一抽象代数结构的性质和性质间的关系。
在群论中，群同态和群同构是两个基本概念。
首先，我们来讨论群同态。
群同态是指一种映射，它保持群的结构。
具体来说，设有两个群G和H，群同态是一个映射f: G -> H，它满足以下两个性质：1.f(x * y) = f(x) * f(y)，对于所有的x, y ∈ G；2.f(e) = e’，其中e是G的单位元，e’是H的单位元。
第一个性质保证了同态映射将群的乘法运算保持不变，第二个性质确保了同态映射将单位元映射到单位元。
群同态的一个重要应用是在简化问题的复杂性方面。
通过将一个较大的群映射到一个较小的群，我们可以研究原问题的较小版本，并利用较小群的性质来推导有关于原问题的结论。
接下来，我们谈论群同构。
群同构是指两个群之间存在双射的同态映射。
具体来说，如果存在一个双射f: G -> H，并且f满足同态的两个性质，那么我们称G和H是同构的，记作G ≅ H。
同构意味着两个群具有相同的抽象结构，虽然它们的元素和操作可能看起来不同。
例如，考虑整数加法群（Z，+）和整数乘法群（Z，*）。
尽管整数加法群和整数乘法群的运算看起来不同，但它们具有相同的结构，因此我们可以说这两个群是同构的。
同构的两个群之间有一些重要的性质如下：1.同构是一种等价关系。
即对于任意的群G，它与自身同构，即G ≅ G。
2.若G ≅ H，那么H ≅ G。
同构满足交换性。
3.若G ≅ H且H ≅ K，那么G ≅ K。
同构满足传递性。
群同构在研究群的性质和计算中发挥着重要的作用。
通过将一个群与一个已知的同构群进行比较，我们可以轻松地推导出这个群的一些性质。
同时，群同构也为群的计算提供了便利。
如果两个群是同构的，我们可以在计算一个群的过程中，使用另一个同构群的性质来简化计算。
总结来说，群同态和群同构是群论中非常重要的概念。
群同态是保持群结构的映射，而群同构则是保持群结构并具有一一对应关系的映射。
近世代数课件--1.6 群的同构与同态
目
§1 §2 §3 §4 代数运算 群的概念 子 群
录
循环群
正规子群与商群 群的同构与同态 有限群
数学与计算科学学院Company Logo
§5
§6 §7
2018/11/
§6
定义 6.1
群的同构与同态
设 (G, ) 和 (G ' , ) 是两个群.
2018/11/
数学与计算科学学院Company Logo
§6
群的同构与同态
其次,假设 G1 和 G2 是两个群, 并且 G1 G2 .不妨设 f 是群 G1 到群 G2 的同构 . 于是 , f 的逆映射 f 1 是 G2 到 G1 的双射.对于任意的 a' , b' G2 ,我们有
f ( f 1 (a' b' )) a' b' , f ( f 1 (a' ) f 1 (b' )) f ( f 1 (a' )) f ( f 1 (b' )) a' b' ,
从而，
f 1 (a' b' ) f 1 (a' ) f 1 (b' ) .
2018/11/
f ( x) x' , x G .
2018/11/
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§6
群的同构与同态
由定义可知,群的同构具有如下性质: Ⅰ.任何群 G 与自身同构; Ⅱ.若群 G1 与群 G2 同构,则群 G2 与群 G1 同构; Ⅲ.若群 G1 与群 G2 同构 ,群 G2 与群 G3 同构,则群 G1 与群 G3 同构. 下面我们来阐明这些性质成立. 首先 , 对于任何群 G , 单位变换 I G 就是 G 到自身的 一个同构.因此 G G .所以性质Ⅰ成立.
§1 §2 §3 §4 代数运算 群的概念 子 群
录
循环群
正规子群与商群 群的同构与同态 有限群
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定义 6.1
群的同构与同态
设 (G, ) 和 (G ' , ) 是两个群.
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群的同构与同态
其次,假设 G1 和 G2 是两个群, 并且 G1 G2 .不妨设 f 是群 G1 到群 G2 的同构 . 于是 , f 的逆映射 f 1 是 G2 到 G1 的双射.对于任意的 a' , b' G2 ,我们有
f ( f 1 (a' b' )) a' b' , f ( f 1 (a' ) f 1 (b' )) f ( f 1 (a' )) f ( f 1 (b' )) a' b' ,
从而，
f 1 (a' b' ) f 1 (a' ) f 1 (b' ) .
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f ( x) x' , x G .
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群的同构与同态
由定义可知,群的同构具有如下性质: Ⅰ.任何群 G 与自身同构; Ⅱ.若群 G1 与群 G2 同构,则群 G2 与群 G1 同构; Ⅲ.若群 G1 与群 G2 同构 ,群 G2 与群 G3 同构,则群 G1 与群 G3 同构. 下面我们来阐明这些性质成立. 首先 , 对于任何群 G , 单位变换 I G 就是 G 到自身的 一个同构.因此 G G .所以性质Ⅰ成立.
第9讲 群的同构与同态
同态保持元素的性质
f(e1)=e2 f(x−1)=f(x)−1 f 将生成元映到生成元(满同态时) |f(a)| 整除 |a|，同构条件下|f(a)| = |a|
2019/9/15
7
同态映射的性质2
同态保持子代数的性质
H≤ G1 ⇒ f(H)≤ G2 H⊴G1, f 为满同态，f(H)⊴G2
幂运算规则
2019/9/15
22
题例分析
EX18 若 G 为偶数阶群，则 G 中必存在 2 阶元. 证 若xG，|x|>2，则 xx-1
由于|x|=|x-1|, 大于 2 阶的元素成对出现，总数 有偶数个.
G 中 1 阶和 2 阶元也有偶数个.由于 1 阶元只有 单位元，因此 2 阶元有奇数个，从而命题得证. 分析：|x|=|x-1|,
f:Z→Zn, f(x)=(x)mod n
2019/9/15
5
群的同态与同构
群同态只要求保持乘法运算,即若 ∀x,y∈G1，f(xy)=f(x)f(y) ，
若将群看成代数系统<G, ◦,-1,e>，则同态 f 是否满足： f(e1)=e2 ，f(x−1)=f(x)−1
2019/9/15
6
同态映射的性质1
2019/9/15
16
同态基本定理推论
(同态基本定理)若G’为G 的同态像 （f(G)=G’），则G/kerf ≅G’.
|f(G)|整除于|G|
2019/9/15
17
小结:
集合和二元运算构成半群,独异点,群 群(集合及元素)的基本性质 群G 的给定子集H 构成子群 群G 的给定子群是正规的 f 是群G1 到G2 的同态映射 循环群，置换群
f(e1)=e2 f(x−1)=f(x)−1 f 将生成元映到生成元(满同态时) |f(a)| 整除 |a|，同构条件下|f(a)| = |a|
2019/9/15
7
同态映射的性质2
同态保持子代数的性质
H≤ G1 ⇒ f(H)≤ G2 H⊴G1, f 为满同态，f(H)⊴G2
幂运算规则
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22
题例分析
EX18 若 G 为偶数阶群，则 G 中必存在 2 阶元. 证 若xG，|x|>2，则 xx-1
由于|x|=|x-1|, 大于 2 阶的元素成对出现，总数 有偶数个.
G 中 1 阶和 2 阶元也有偶数个.由于 1 阶元只有 单位元，因此 2 阶元有奇数个，从而命题得证. 分析：|x|=|x-1|,
f:Z→Zn, f(x)=(x)mod n
2019/9/15
5
群的同态与同构
群同态只要求保持乘法运算,即若 ∀x,y∈G1，f(xy)=f(x)f(y) ，
若将群看成代数系统<G, ◦,-1,e>，则同态 f 是否满足： f(e1)=e2 ，f(x−1)=f(x)−1
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同态映射的性质1
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16
同态基本定理推论
(同态基本定理)若G’为G 的同态像 （f(G)=G’），则G/kerf ≅G’.
|f(G)|整除于|G|
2019/9/15
17
小结:
集合和二元运算构成半群,独异点,群 群(集合及元素)的基本性质 群G 的给定子集H 构成子群 群G 的给定子群是正规的 f 是群G1 到G2 的同态映射 循环群，置换群
近世代数引论PPT课件
域是近世代数中的一个基本概念，它是一个加法群和 一个乘法半群的组合，具有一些重要的性质。
详细描述
域是一个非空集合，其中定义了两种运算：加法和乘法 ，满足一定的性质。在域中，加法和乘法都是可逆的， 即每个元素都有唯一的加法逆元和乘法逆元。此外，域 中的乘法满足结合律，且每个元素都有乘法单位元。
子域与扩域
环论在几何学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支，它在几何学中也有着广泛的应用。例如，在代数几 何中，环论被用于描述多项式环的结构；在解析几何中，环论也被用于描述函数的性质。
数论中的应用
域论在数论中的应用
域论是近世代数中一个重要的分支，它在数论中有着广泛的应用。例如，在代数数论中，域论被用于描述代数数 的性质；在数论中，域论也被用于研究整数的性质和结构。
分式域与函数域
总结词
分式域和函数域是两种特殊的域，它们在数学和物理 中有广泛的应用。分式域是由其整环的分式组成的域 ，而函数域则是基于函数的定义域和值域形成的域。
详细描述
分式域是由一个整环的分式组成的域。整环是一个只含 有限除数的环，也就是说，如果一个元素在整环中不能 被其他元素整除，则该元素被称为不可约元素。分式环 是由整环中所有分式组成的集合，它构成一个域。函数 域是基于函数的定义域和值域形成的域。具体来说，给 定一个函数f和一个集合D，函数域是由集合D中所有可 能的函数值组成的集合，它也构成一个域。
交叉学科的研究
近世代数与其他学科的交叉研究也是未来的一个重要方向，如 代数几何、代数数论、计算机科学等学科的交叉研究，可以促
进近世代数的发展和应用。
THANKS
感谢观看
环论
环的定义和性质
要点一
总结词
环是具有加法和乘法两种运算的代数系统，满足一定的性 质。
详细描述
域是一个非空集合，其中定义了两种运算：加法和乘法 ，满足一定的性质。在域中，加法和乘法都是可逆的， 即每个元素都有唯一的加法逆元和乘法逆元。此外，域 中的乘法满足结合律，且每个元素都有乘法单位元。
子域与扩域
环论在几何学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支，它在几何学中也有着广泛的应用。例如，在代数几 何中，环论被用于描述多项式环的结构；在解析几何中，环论也被用于描述函数的性质。
数论中的应用
域论在数论中的应用
域论是近世代数中一个重要的分支，它在数论中有着广泛的应用。例如，在代数数论中，域论被用于描述代数数 的性质；在数论中，域论也被用于研究整数的性质和结构。
分式域与函数域
总结词
分式域和函数域是两种特殊的域，它们在数学和物理 中有广泛的应用。分式域是由其整环的分式组成的域 ，而函数域则是基于函数的定义域和值域形成的域。
详细描述
分式域是由一个整环的分式组成的域。整环是一个只含 有限除数的环，也就是说，如果一个元素在整环中不能 被其他元素整除，则该元素被称为不可约元素。分式环 是由整环中所有分式组成的集合，它构成一个域。函数 域是基于函数的定义域和值域形成的域。具体来说，给 定一个函数f和一个集合D，函数域是由集合D中所有可 能的函数值组成的集合，它也构成一个域。
交叉学科的研究
近世代数与其他学科的交叉研究也是未来的一个重要方向，如 代数几何、代数数论、计算机科学等学科的交叉研究，可以促
进近世代数的发展和应用。
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环论
环的定义和性质
要点一
总结词
环是具有加法和乘法两种运算的代数系统，满足一定的性 质。
《群同态基本定理》课件
《群同态基本定理》PPT 课件
让我们一起探索群同态的基本定理，深入理解它的性质、定义和作用。
群同态的基本概念
什么是群？
群是一种代数结构，具有封 闭性、结合律、存在单位元 和逆元。
什么是同态？
同态是一种保持代数结构相 似性的映射。
群同态是什么？
群同态是一种满足特定条件 的群之间的同态映射。
群同态的性质
群同态基本定理
1
第一同构定理
如果f是G到H的一个满同态，那么同态核
第二同构定理
2
ker(f)为G的一个正规子群，而f(G)和 G/ker(f)同构。
如果N是G的一个正规子群，那么对于G的
任意子群H，NH/N和H/(N∩H)同构。
3
第三同构定理
如果N是G的一个正规子群，那么G/N的 子群全体与G的包含N的子群全体之间存 在一个一一对应。
电路设计
在电路设计中，群同态可用于设 计编码器和解码器。
群同态的定义
1 满性
2 保持运算
对于任何一个群H，同态f: G→H必须是一对一 的。
对于任何群元素x和y，同态f(x*y) = f(x) * f(y)。
3 保持单位元
4 保持逆元
f(e) = e'，其中e是G的单位元，e'是H的单位元。
f(x^-1) = f(x)^-1。
群同态基本定理的证明
第一同构定理证明
证明有三部分：
1. 证明f(G)是H的子群； 2. 证明核心ker(f)是G的正
规子群； 3. 证明f(G)和G/ker(f)同构。
第二同构定理证明
通过证明两个同态，使得它们 的核分别为N和H∩N，利用第一 同构定理即可得证。
第三同构定理证明
让我们一起探索群同态的基本定理，深入理解它的性质、定义和作用。
群同态的基本概念
什么是群？
群是一种代数结构，具有封 闭性、结合律、存在单位元 和逆元。
什么是同态？
同态是一种保持代数结构相 似性的映射。
群同态是什么？
群同态是一种满足特定条件 的群之间的同态映射。
群同态的性质
群同态基本定理
1
第一同构定理
如果f是G到H的一个满同态，那么同态核
第二同构定理
2
ker(f)为G的一个正规子群，而f(G)和 G/ker(f)同构。
如果N是G的一个正规子群，那么对于G的
任意子群H，NH/N和H/(N∩H)同构。
3
第三同构定理
如果N是G的一个正规子群，那么G/N的 子群全体与G的包含N的子群全体之间存 在一个一一对应。
电路设计
在电路设计中，群同态可用于设 计编码器和解码器。
群同态的定义
1 满性
2 保持运算
对于任何一个群H，同态f: G→H必须是一对一 的。
对于任何群元素x和y，同态f(x*y) = f(x) * f(y)。
3 保持单位元
4 保持逆元
f(e) = e'，其中e是G的单位元，e'是H的单位元。
f(x^-1) = f(x)^-1。
群同态基本定理的证明
第一同构定理证明
证明有三部分：
1. 证明f(G)是H的子群； 2. 证明核心ker(f)是G的正
规子群； 3. 证明f(G)和G/ker(f)同构。
第二同构定理证明
通过证明两个同态，使得它们 的核分别为N和H∩N，利用第一 同构定理即可得证。
第三同构定理证明
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S
上的一个等价关系. 此外,根据定义,群 G 的正规子群也就是群 G 的只与本身
共轭的子群.
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§6
群的同构与同态
定理 6.2(Cayley 定理) 变换群同构.
证明
任何一个群都与某个
设 G 是群.对于每一个 a G ,定义 G 的
( σ a 1 σ a )( x ) a ax x I G ( x )
1 1
1
从而, σ a σ b σ ab G ' , σ a σ a σ a σ a I G .所以 G ' 是 G 上的一个变换群.
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1
,
( axa
1
)( aya
1
) fa (x) fa ( y) .
所以 f a 是群 G 的自同构.
fa
称为群 G 的一个内自同构.
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§6
例 3
aHa
1
群的同构与同态
设 G 是群, H 是 G 的 子群, a G .考察集合
因此 f 是单射,从而, f 是双射.此外,我们有
f ( ab ) σ ab σ a σ b f ( a ) f ( b ) , a , b G
.
所以 f 是 G 到 G ' 的同构,从而, G
G ' .□
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a hbh
1
,则称 a 与 b 在 H 中共轭.
,则称 H 与 K 共轭.
设 G 是群, H 和 K 都是 G 的子群.若存在 u G ,使得
H uKu
1
显而易见,对于群 G 的任意给定的子群 H ,群 G 的元素之 间的“在 H 中共轭”的关系是 G 上的一个等价关系.若令 S 表 示 G 的所有子群构成的集合,则群 G 的子群之间的共轭关系是
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§6
群的同构与同态
G1
因此 f
1
是群 G 2 到群 G 1 的同构,从而, G 2
G1 , G 2
.所
以性质Ⅱ成立. 最后,假设
G1 G 2
和 G3 都 是 群 , 并 且
, G 2 G 3 .不 妨设 f 是群 G 1 到群 G 2 的同
这样一来，我们可以用内自同构这一术语来表述正规子群: 群 G 的正规子群就是在群 G 的任何内自同构之下都不变的 子群.正因为如此,正规子群又称为不变子群.
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§6
群的同构与同态
设 G 是群, a , b G , H 是 G 的子群.若存在 h H ,使得
1
xa ) a ( a
1
xa ) a
1
x
,
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§6
群的同构与同态
因此 f a 是满射,从而, f a 是双射.又因为对于任意的
x, y G
,我们有
f a ( xy ) a ( xy ) a
§6
命题 6.5
群的同构与同态
设 f 是群 G 到群 G ' 的一个同态, e 和 e ' 分
别是 G 和 G ' 的单位元.那么, (1) f ( e ) e ' ; (2) f ( a 1 ) ( f ( a )) 1 , a G .
证明 (1)由 f ( e ) f ( ee ) f ( e ) f ( e ) 可知 f ( e ) e ' . (2)对于任意的 a G ,我们有
§6
群的同构与同态
现在考察由下式定义的 G 到 G ' 的映射 f :
f (a ) σ a , a G
. .
显而易见, f 是满射.对于任意的 a , b G ,我们有
f ( a ) f (b ) σ a σ b σ a ( e ) σ b (e ) a b
f (a ) e' , a G
例 5 设 G 是一个群, N 是 G 的正规子群.令
f ( a ) aN
,a G .
显然 f 是群 G 到商群 G / N 的一个满同态.这个满同态称为 群 G 到商群 G / N 的自然同态.
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σ a ( x ) ax
变换 σ a 如下: ,x G . 显而易见, σ a 是 G 的一一变换. 令 G ' { σ a | a G } .下面我们来阐明 G ' 是 G 上的 一个变换群.
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简称为群 G 的自同态.
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§6
显然,
f
群的同构与同态
f
是群 G 到群 G ' 的同构,当且仅当
既是群 G 到
群 G ' 的单同态,又是群 G 到群 G ' 的满同态.
例 4
设 G 和 G ' 是 两 个群 , e ' 是 G ' 的 单 位 元. 令 .则 f 是群 G 到群 G ' 的同态.
第一章
群
论
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2012-9-19
数学与计算科学学院
目
§1 §2 §3 §4 代数运算 群的概念 子 群
录
循环群
正规子群与商群 群的同构与同态 有限群
数学与计算科学学院Company Logo
§5
§6 §7
§6
群的同构与同态
定义 6.1 设 ( G , ) 和 ( G ' , ) 是两个群. (1)若 f 是 G 到 G ' 的一个双射,并且 f 保持代数运算,即
§6
群的同构与同态
容易验证, G ' 关于矩阵的乘法构成一个群,其乘法表为 · e' a' b' c'
e' a' b' c' e' a' b' c' a' e' c' b' b' c' e' a' c' b' a' e'
对照群 G 和 G ' 的乘法表容易发现,这两个群的结构没有本 质上的差别,由下式确定的 G 到 G ' 的映射 f 是同构:
f ( x) x' ,x G
.
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§6
群的同构与同态
由定义可知,群的同构具有如下性质: Ⅰ.任何群 G 与自身同构; Ⅱ.若群 G 1 与群 G 2 同构,则群 G 2 与群 G 1 同构; Ⅲ.若群 G 1 与群 G 2 同构,群 G 2 与群 G 3 同构,则群 G 1 与群 G 3 同构. 下面我们来阐明这些性质成立. 首先,对于任何群 G ,单位变换 I G 就是 G 到自身的 一个同构.因此 G
1
.容易验证, aHa
1
1
是 G 的子群.
显而易见, aHa 象,即 aHa
就是 H 在群 G 的内自同构 f a 之下的
{ f a (h) | h H } .
设 G 是群, N 是 G 的子群.由正规子群的定义容易明 白, N 是 G 的正规子群当且仅当
aNa
1
N
,a G .
, 是单射时,称
则称 称
f
f
f
为群 ( G , ) 到群 ( G ' , ) 的一个同态;不致混淆时,简
f
为群 G 到群 G ' 的一个同态.特别地,当
为单同态;当 f 是满射时,称 f 为满同态. (2)群 ( G , ) 到群 ( G , ) 的同态称为群 ( G , ) 的自同态,
的双射.对于任意的 a ' , b ' G 2 ,我们有
( a ' b ' )) a ' b ' , (a ' ) f
1
( b ' )) f ( f
1
( a ' )) f ( f
1
( b ' )) a ' b ' ,
从而，
f
1
(a 'b' ) f
1
(a ' ) f
1
(b ' ) .
f (a ) f (a
1 1
) f ( aa
1
) f (e) e' ,
因此 f ( a ) ( f ( a )) .□
1
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§6
群的同构与同态
设 f 是群 G 到群 G ' 的一个同态, H 和 H ' 分别是 G 和 G ' 的 子群.令
( G ' , ) 同构,记作 ( G , ) ( G ' , ) ;不致混淆时,简记作 G G'
.
(3)群 ( G , ) 到群 ( G , ) 的同构称为群 ( G , ) 的自同构,简称 为群 G 的自同构.
f ( a b ) f(a) f(b)
, a, b G ,
则称 f 为群 ( G , ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 到群 ( G ' , ) 的一个同构;不致混淆时,简称 f 为群 G 到群 G ' 的一个同构或 f 为同构. (2)若存在群 ( G , ) 到群 ( G ' , ) 的同构,则称群 ( G , ) 与群
上的一个等价关系. 此外,根据定义,群 G 的正规子群也就是群 G 的只与本身
共轭的子群.
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群的同构与同态
定理 6.2(Cayley 定理) 变换群同构.
证明
任何一个群都与某个
设 G 是群.对于每一个 a G ,定义 G 的
( σ a 1 σ a )( x ) a ax x I G ( x )
1 1
1
从而, σ a σ b σ ab G ' , σ a σ a σ a σ a I G .所以 G ' 是 G 上的一个变换群.
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,
( axa
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)( aya
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) fa (x) fa ( y) .
所以 f a 是群 G 的自同构.
fa
称为群 G 的一个内自同构.
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例 3
aHa
1
群的同构与同态
设 G 是群, H 是 G 的 子群, a G .考察集合
因此 f 是单射,从而, f 是双射.此外,我们有
f ( ab ) σ ab σ a σ b f ( a ) f ( b ) , a , b G
.
所以 f 是 G 到 G ' 的同构,从而, G
G ' .□
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,则称 a 与 b 在 H 中共轭.
,则称 H 与 K 共轭.
设 G 是群, H 和 K 都是 G 的子群.若存在 u G ,使得
H uKu
1
显而易见,对于群 G 的任意给定的子群 H ,群 G 的元素之 间的“在 H 中共轭”的关系是 G 上的一个等价关系.若令 S 表 示 G 的所有子群构成的集合,则群 G 的子群之间的共轭关系是
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G1
因此 f
1
是群 G 2 到群 G 1 的同构,从而, G 2
G1 , G 2
.所
以性质Ⅱ成立. 最后,假设
G1 G 2
和 G3 都 是 群 , 并 且
, G 2 G 3 .不 妨设 f 是群 G 1 到群 G 2 的同
这样一来，我们可以用内自同构这一术语来表述正规子群: 群 G 的正规子群就是在群 G 的任何内自同构之下都不变的 子群.正因为如此,正规子群又称为不变子群.
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设 G 是群, a , b G , H 是 G 的子群.若存在 h H ,使得
1
xa ) a ( a
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xa ) a
1
x
,
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群的同构与同态
因此 f a 是满射,从而, f a 是双射.又因为对于任意的
x, y G
,我们有
f a ( xy ) a ( xy ) a
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命题 6.5
群的同构与同态
设 f 是群 G 到群 G ' 的一个同态, e 和 e ' 分
别是 G 和 G ' 的单位元.那么, (1) f ( e ) e ' ; (2) f ( a 1 ) ( f ( a )) 1 , a G .
证明 (1)由 f ( e ) f ( ee ) f ( e ) f ( e ) 可知 f ( e ) e ' . (2)对于任意的 a G ,我们有
§6
群的同构与同态
现在考察由下式定义的 G 到 G ' 的映射 f :
f (a ) σ a , a G
. .
显而易见, f 是满射.对于任意的 a , b G ,我们有
f ( a ) f (b ) σ a σ b σ a ( e ) σ b (e ) a b
f (a ) e' , a G
例 5 设 G 是一个群, N 是 G 的正规子群.令
f ( a ) aN
,a G .
显然 f 是群 G 到商群 G / N 的一个满同态.这个满同态称为 群 G 到商群 G / N 的自然同态.
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σ a ( x ) ax
变换 σ a 如下: ,x G . 显而易见, σ a 是 G 的一一变换. 令 G ' { σ a | a G } .下面我们来阐明 G ' 是 G 上的 一个变换群.
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简称为群 G 的自同态.
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显然,
f
群的同构与同态
f
是群 G 到群 G ' 的同构,当且仅当
既是群 G 到
群 G ' 的单同态,又是群 G 到群 G ' 的满同态.
例 4
设 G 和 G ' 是 两 个群 , e ' 是 G ' 的 单 位 元. 令 .则 f 是群 G 到群 G ' 的同态.
第一章
群
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§1 §2 §3 §4 代数运算 群的概念 子 群
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正规子群与商群 群的同构与同态 有限群
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§6 §7
§6
群的同构与同态
定义 6.1 设 ( G , ) 和 ( G ' , ) 是两个群. (1)若 f 是 G 到 G ' 的一个双射,并且 f 保持代数运算,即
§6
群的同构与同态
容易验证, G ' 关于矩阵的乘法构成一个群,其乘法表为 · e' a' b' c'
e' a' b' c' e' a' b' c' a' e' c' b' b' c' e' a' c' b' a' e'
对照群 G 和 G ' 的乘法表容易发现,这两个群的结构没有本 质上的差别,由下式确定的 G 到 G ' 的映射 f 是同构:
f ( x) x' ,x G
.
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群的同构与同态
由定义可知,群的同构具有如下性质: Ⅰ.任何群 G 与自身同构; Ⅱ.若群 G 1 与群 G 2 同构,则群 G 2 与群 G 1 同构; Ⅲ.若群 G 1 与群 G 2 同构,群 G 2 与群 G 3 同构,则群 G 1 与群 G 3 同构. 下面我们来阐明这些性质成立. 首先,对于任何群 G ,单位变换 I G 就是 G 到自身的 一个同构.因此 G
1
.容易验证, aHa
1
1
是 G 的子群.
显而易见, aHa 象,即 aHa
就是 H 在群 G 的内自同构 f a 之下的
{ f a (h) | h H } .
设 G 是群, N 是 G 的子群.由正规子群的定义容易明 白, N 是 G 的正规子群当且仅当
aNa
1
N
,a G .
, 是单射时,称
则称 称
f
f
f
为群 ( G , ) 到群 ( G ' , ) 的一个同态;不致混淆时,简
f
为群 G 到群 G ' 的一个同态.特别地,当
为单同态;当 f 是满射时,称 f 为满同态. (2)群 ( G , ) 到群 ( G , ) 的同态称为群 ( G , ) 的自同态,
的双射.对于任意的 a ' , b ' G 2 ,我们有
( a ' b ' )) a ' b ' , (a ' ) f
1
( b ' )) f ( f
1
( a ' )) f ( f
1
( b ' )) a ' b ' ,
从而，
f
1
(a 'b' ) f
1
(a ' ) f
1
(b ' ) .
f (a ) f (a
1 1
) f ( aa
1
) f (e) e' ,
因此 f ( a ) ( f ( a )) .□
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群的同构与同态
设 f 是群 G 到群 G ' 的一个同态, H 和 H ' 分别是 G 和 G ' 的 子群.令
( G ' , ) 同构,记作 ( G , ) ( G ' , ) ;不致混淆时,简记作 G G'
.
(3)群 ( G , ) 到群 ( G , ) 的同构称为群 ( G , ) 的自同构,简称 为群 G 的自同构.
f ( a b ) f(a) f(b)
, a, b G ,
则称 f 为群 ( G , ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 到群 ( G ' , ) 的一个同构;不致混淆时,简称 f 为群 G 到群 G ' 的一个同构或 f 为同构. (2)若存在群 ( G , ) 到群 ( G ' , ) 的同构,则称群 ( G , ) 与群