近世代数课件--1.6 群的同构与同态
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近世代数全套教学课件
Kummer方法的前提是形如a+bη的复整数也象 整数一样具有唯一的素因子分解，其中a与b是通 常整数。并不是对于每个整数n,复整数a+bη都具 有唯一分解性，Kummer把这种复整数的因子分解 称为理想数的分解。
用这种方法 Kummer证明了n≤100时费马大定 理成立,理想数的方法不但能用于费马问题研,实 际上是代数数论的重要研究内容，其后德国数学 家R.Dedekind(1831-1916)把理想数的概念推广为 一般的理想论，使它成为近世代数的一个重要的 研究领域。
不含任何元素的集合叫空集. 表示为：Ø
枚举法:
例如,我们把一个含有n个元素 a1,a2,,an 的
集合的有限集合表示成：a1,a2,,an . 前五个
正整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
拟枚举： 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚
举可以用来表示能够排列出来的的集合, 像 自然数、整数…
A1, A2 ,, An 的交. A1, A2 ,, An 的并和交分别记为：
A1 A2 An 和A1 A2 An . 我们有
(x A1 A2
A) (x至少属于某一Ai ,i 1, 2, , n)
(x A1 A2
A) (x属于每一Ai ,i 1, 2, , n)
差运算：
直到1824年一位年青的挪威数学家 N.Abel (1802-1829) 才证明五次和五次以上的一般代数方程 没有求根公式。但是人们仍然不知道什么条件之下一 个已知的多项式能借助加、减、乘、除有理运算以及 开方的方法求出它的所有根,什么条件之下不能求根。
最终解决这一问题的是一位法国年青数学家 E.Galois(1811—1832)，Galois引入了扩域以及群的 概念，并采用了一种全新的理论方法发现了高次代数 方程可解的法则。在Galois之后群与域的理论逐渐成 为现代化数学研究的重要领域，这是近世代数产生的 一个最重要的来源。
抽象代数基础第一章1.6 群的同构与同态
（2）若H是G的正规子群且 ，则
证明：（1）易知HN是G的子群，又由于N是G的正规子群，自然有N也是HN的正规子群，因而有商群 。令
则f是一个群同态。易知f是满同态，又 ，由同态基本定理有 。
（2）令 ，若aN=bN，则 ，而 ，所以 ，即 ，因而g的定义是合理的，易见g是一个满同态且 ，所以有同态基本定理，
《 抽象代数基础 》教案
复习思考题、作业题：
课本P28 1、4、6、9、10
下次课预习要点
有限群
实施情况及教学效果分析
学院审核意见
学院负责人签字
年月日
教学内容：
对 若 则 ，于是
，因而 ，故 ，所以 是单射，从而 是双射，
又由于，对 有
所以 是群 到 的一个同构，因而 。
10、定理5设G是循环群，如果G的阶无限，则 ；如果G的阶为n，则 。
由同态基本定理，我们可以得到两个重要的同构
11、定理6设G是一个群，N是G的正规 和 是两个群，f是集合G到 的一个映射，如果对 都有
，则称f是群G到 的一个同态。
5、命题1 f是群G到 的一个同态，e和 分别是G和 的单位元，则
（1）
（2）对 有 。
6、命题2 f是群G到 的一个同态，则
（1）Ker（f）是群G的正规子群
（2）Im（f）是群 的子群。
7、定理2 f是群G到 的一个同态，则
（1）如果H是G的子群，则f（H）是 的子群
（2）如果 是 的子群，则 是G的子群；如果 是 的正规子群，则 也是G的正规子群。
8、定理3设f是群G到 的一个满同态，如果H是G的正规子群，则f（H）是 的正规子群。
9、定理4（群的同态基本定理）设f是群G到 的一个满同态，则
证明：（1）易知HN是G的子群，又由于N是G的正规子群，自然有N也是HN的正规子群，因而有商群 。令
则f是一个群同态。易知f是满同态，又 ，由同态基本定理有 。
（2）令 ，若aN=bN，则 ，而 ，所以 ，即 ，因而g的定义是合理的，易见g是一个满同态且 ，所以有同态基本定理，
《 抽象代数基础 》教案
复习思考题、作业题：
课本P28 1、4、6、9、10
下次课预习要点
有限群
实施情况及教学效果分析
学院审核意见
学院负责人签字
年月日
教学内容：
对 若 则 ，于是
，因而 ，故 ，所以 是单射，从而 是双射，
又由于，对 有
所以 是群 到 的一个同构，因而 。
10、定理5设G是循环群，如果G的阶无限，则 ；如果G的阶为n，则 。
由同态基本定理，我们可以得到两个重要的同构
11、定理6设G是一个群，N是G的正规 和 是两个群，f是集合G到 的一个映射，如果对 都有
，则称f是群G到 的一个同态。
5、命题1 f是群G到 的一个同态，e和 分别是G和 的单位元，则
（1）
（2）对 有 。
6、命题2 f是群G到 的一个同态，则
（1）Ker（f）是群G的正规子群
（2）Im（f）是群 的子群。
7、定理2 f是群G到 的一个同态，则
（1）如果H是G的子群，则f（H）是 的子群
（2）如果 是 的子群，则 是G的子群；如果 是 的正规子群，则 也是G的正规子群。
8、定理3设f是群G到 的一个满同态，如果H是G的正规子群，则f（H）是 的正规子群。
9、定理4（群的同态基本定理）设f是群G到 的一个满同态，则
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
近世代数课件群的概念
ab ba e . 为了阐明这样的 b 是唯一的; 满足
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
乘法都不构成群.
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
下面介绍置换的表示方法.
设 A {a1, a2 , , an} 是一个有限集, f Sn .我们
可以将 f 表示成下表的形式:
f
a1 (a1)
a2 f (a2 )
f
an (an
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
乘法都不构成群.
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
下面介绍置换的表示方法.
设 A {a1, a2 , , an} 是一个有限集, f Sn .我们
可以将 f 表示成下表的形式:
f
a1 (a1)
a2 f (a2 )
f
an (an
近世代数(抽象代数)课件
意一个二元运算,并将其称为乘法.当 ab c
时, c 称为 a 与 b 的乘积;甚至还将等式 ab c
简写成 ab c .
6
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§1 代数运算
例 1 设 R 是实数集.于是,平常的加法“”,减 法“-”和乘法“”都是 R 上的二元运算;除法“”是 R , R \{0}到 R 的代数运算,不是 R 上的二元运算.
第一章 群 论
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1
目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
2
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§1 代数运算
设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)都是集合.我们将 集合
{(a1, a2 , , an ) | ai Ai , i 1, 2, n} 称为 A1, A2 , , An 的直积或笛卡儿积,记作
A1 A2 An . 特别地,当 A1 A2 An A 时, A1 A 2 A n 可 以简记作 An (读作 A 的 n 次方).这里约定,当 n 1 时, A1 A 2 A n 就是 A1 .
3
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§1 代数运算
定义 1.1 设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)和 A 都是非空集合. A1 A2 An 到 A 的映射 又 称 为 A1, A2 , , A n 到 A 的 代 数 运 算 ; 特 别 地, An 到 A 的映射又称为 A 上的 n 元运算.
设 A 是一个非空集合. f 是 A 上的一个二
元运算.于是，对于任意的 a, b A ，存在唯
一的 c A ，使得 f (a, b) c .我们约定,将等
式 f (a, b) c 改写成 afb c .
群论中的群同态与同构
群论是数学的一门重要分支，研究的是群这一抽象代数结构的性质和性质间的关系。
在群论中，群同态和群同构是两个基本概念。
首先，我们来讨论群同态。
群同态是指一种映射，它保持群的结构。
具体来说，设有两个群G和H，群同态是一个映射f: G -> H，它满足以下两个性质：1.f(x * y) = f(x) * f(y)，对于所有的x, y ∈ G；2.f(e) = e’，其中e是G的单位元，e’是H的单位元。
第一个性质保证了同态映射将群的乘法运算保持不变，第二个性质确保了同态映射将单位元映射到单位元。
群同态的一个重要应用是在简化问题的复杂性方面。
通过将一个较大的群映射到一个较小的群，我们可以研究原问题的较小版本，并利用较小群的性质来推导有关于原问题的结论。
接下来，我们谈论群同构。
群同构是指两个群之间存在双射的同态映射。
具体来说，如果存在一个双射f: G -> H，并且f满足同态的两个性质，那么我们称G和H是同构的，记作G ≅ H。
同构意味着两个群具有相同的抽象结构，虽然它们的元素和操作可能看起来不同。
例如，考虑整数加法群（Z，+）和整数乘法群（Z，*）。
尽管整数加法群和整数乘法群的运算看起来不同，但它们具有相同的结构，因此我们可以说这两个群是同构的。
同构的两个群之间有一些重要的性质如下：1.同构是一种等价关系。
即对于任意的群G，它与自身同构，即G ≅ G。
2.若G ≅ H，那么H ≅ G。
同构满足交换性。
3.若G ≅ H且H ≅ K，那么G ≅ K。
同构满足传递性。
群同构在研究群的性质和计算中发挥着重要的作用。
通过将一个群与一个已知的同构群进行比较，我们可以轻松地推导出这个群的一些性质。
同时，群同构也为群的计算提供了便利。
如果两个群是同构的，我们可以在计算一个群的过程中，使用另一个同构群的性质来简化计算。
总结来说，群同态和群同构是群论中非常重要的概念。
群同态是保持群结构的映射，而群同构则是保持群结构并具有一一对应关系的映射。
近世代数课件--1.6 群的同构与同态
目
§1 §2 §3 §4 代数运算 群的概念 子 群
录
循环群
正规子群与商群 群的同构与同态 有限群
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§5
§6 §7
2018/11/
§6
定义 6.1
群的同构与同态
设 (G, ) 和 (G ' , ) 是两个群.
2018/11/
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§6
群的同构与同态
其次,假设 G1 和 G2 是两个群, 并且 G1 G2 .不妨设 f 是群 G1 到群 G2 的同构 . 于是 , f 的逆映射 f 1 是 G2 到 G1 的双射.对于任意的 a' , b' G2 ,我们有
f ( f 1 (a' b' )) a' b' , f ( f 1 (a' ) f 1 (b' )) f ( f 1 (a' )) f ( f 1 (b' )) a' b' ,
从而，
f 1 (a' b' ) f 1 (a' ) f 1 (b' ) .
2018/11/
f ( x) x' , x G .
2018/11/
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§6
群的同构与同态
由定义可知,群的同构具有如下性质: Ⅰ.任何群 G 与自身同构; Ⅱ.若群 G1 与群 G2 同构,则群 G2 与群 G1 同构; Ⅲ.若群 G1 与群 G2 同构 ,群 G2 与群 G3 同构,则群 G1 与群 G3 同构. 下面我们来阐明这些性质成立. 首先 , 对于任何群 G , 单位变换 I G 就是 G 到自身的 一个同构.因此 G G .所以性质Ⅰ成立.
§1 §2 §3 §4 代数运算 群的概念 子 群
录
循环群
正规子群与商群 群的同构与同态 有限群
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§6 §7
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定义 6.1
群的同构与同态
设 (G, ) 和 (G ' , ) 是两个群.
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§6
群的同构与同态
其次,假设 G1 和 G2 是两个群, 并且 G1 G2 .不妨设 f 是群 G1 到群 G2 的同构 . 于是 , f 的逆映射 f 1 是 G2 到 G1 的双射.对于任意的 a' , b' G2 ,我们有
f ( f 1 (a' b' )) a' b' , f ( f 1 (a' ) f 1 (b' )) f ( f 1 (a' )) f ( f 1 (b' )) a' b' ,
从而，
f 1 (a' b' ) f 1 (a' ) f 1 (b' ) .
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f ( x) x' , x G .
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群的同构与同态
由定义可知,群的同构具有如下性质: Ⅰ.任何群 G 与自身同构; Ⅱ.若群 G1 与群 G2 同构,则群 G2 与群 G1 同构; Ⅲ.若群 G1 与群 G2 同构 ,群 G2 与群 G3 同构,则群 G1 与群 G3 同构. 下面我们来阐明这些性质成立. 首先 , 对于任何群 G , 单位变换 I G 就是 G 到自身的 一个同构.因此 G G .所以性质Ⅰ成立.
第9讲 群的同构与同态
同态保持元素的性质
f(e1)=e2 f(x−1)=f(x)−1 f 将生成元映到生成元(满同态时) |f(a)| 整除 |a|，同构条件下|f(a)| = |a|
2019/9/15
7
同态映射的性质2
同态保持子代数的性质
H≤ G1 ⇒ f(H)≤ G2 H⊴G1, f 为满同态，f(H)⊴G2
幂运算规则
2019/9/15
22
题例分析
EX18 若 G 为偶数阶群，则 G 中必存在 2 阶元. 证 若xG，|x|>2，则 xx-1
由于|x|=|x-1|, 大于 2 阶的元素成对出现，总数 有偶数个.
G 中 1 阶和 2 阶元也有偶数个.由于 1 阶元只有 单位元，因此 2 阶元有奇数个，从而命题得证. 分析：|x|=|x-1|,
f:Z→Zn, f(x)=(x)mod n
2019/9/15
5
群的同态与同构
群同态只要求保持乘法运算,即若 ∀x,y∈G1，f(xy)=f(x)f(y) ，
若将群看成代数系统<G, ◦,-1,e>，则同态 f 是否满足： f(e1)=e2 ，f(x−1)=f(x)−1
2019/9/15
6
同态映射的性质1
2019/9/15
16
同态基本定理推论
(同态基本定理)若G’为G 的同态像 （f(G)=G’），则G/kerf ≅G’.
|f(G)|整除于|G|
2019/9/15
17
小结:
集合和二元运算构成半群,独异点,群 群(集合及元素)的基本性质 群G 的给定子集H 构成子群 群G 的给定子群是正规的 f 是群G1 到G2 的同态映射 循环群，置换群
f(e1)=e2 f(x−1)=f(x)−1 f 将生成元映到生成元(满同态时) |f(a)| 整除 |a|，同构条件下|f(a)| = |a|
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7
同态映射的性质2
同态保持子代数的性质
H≤ G1 ⇒ f(H)≤ G2 H⊴G1, f 为满同态，f(H)⊴G2
幂运算规则
2019/9/15
22
题例分析
EX18 若 G 为偶数阶群，则 G 中必存在 2 阶元. 证 若xG，|x|>2，则 xx-1
由于|x|=|x-1|, 大于 2 阶的元素成对出现，总数 有偶数个.
G 中 1 阶和 2 阶元也有偶数个.由于 1 阶元只有 单位元，因此 2 阶元有奇数个，从而命题得证. 分析：|x|=|x-1|,
f:Z→Zn, f(x)=(x)mod n
2019/9/15
5
群的同态与同构
群同态只要求保持乘法运算,即若 ∀x,y∈G1，f(xy)=f(x)f(y) ，
若将群看成代数系统<G, ◦,-1,e>，则同态 f 是否满足： f(e1)=e2 ，f(x−1)=f(x)−1
2019/9/15
6
同态映射的性质1
2019/9/15
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同态基本定理推论
(同态基本定理)若G’为G 的同态像 （f(G)=G’），则G/kerf ≅G’.
|f(G)|整除于|G|
2019/9/15
17
小结:
集合和二元运算构成半群,独异点,群 群(集合及元素)的基本性质 群G 的给定子集H 构成子群 群G 的给定子群是正规的 f 是群G1 到G2 的同态映射 循环群，置换群
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S
上的一个等价关系. 此外,根据定义,群 G 的正规子群也就是群 G 的只与本身
共轭的子群.
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§6
群的同构与同态
定理 6.2(Cayley 定理) 变换群同构.
证明
任何一个群都与某个
设 G 是群.对于每一个 a G ,定义 G 的
( σ a 1 σ a )( x ) a ax x I G ( x )
1 1
1
从而, σ a σ b σ ab G ' , σ a σ a σ a σ a I G .所以 G ' 是 G 上的一个变换群.
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1
,
( axa
1
)( aya
1
) fa (x) fa ( y) .
所以 f a 是群 G 的自同构.
fa
称为群 G 的一个内自同构.
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§6
例 3
aHa
1
群的同构与同态
设 G 是群, H 是 G 的 子群, a G .考察集合
因此 f 是单射,从而, f 是双射.此外,我们有
f ( ab ) σ ab σ a σ b f ( a ) f ( b ) , a , b G
.
所以 f 是 G 到 G ' 的同构,从而, G
G ' .□
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a hbh
1
,则称 a 与 b 在 H 中共轭.
,则称 H 与 K 共轭.
设 G 是群, H 和 K 都是 G 的子群.若存在 u G ,使得
H uKu
1
显而易见,对于群 G 的任意给定的子群 H ,群 G 的元素之 间的“在 H 中共轭”的关系是 G 上的一个等价关系.若令 S 表 示 G 的所有子群构成的集合,则群 G 的子群之间的共轭关系是
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§6
群的同构与同态
G1
因此 f
1
是群 G 2 到群 G 1 的同构,从而, G 2
G1 , G 2
.所
以性质Ⅱ成立. 最后,假设
G1 G 2
和 G3 都 是 群 , 并 且
, G 2 G 3 .不 妨设 f 是群 G 1 到群 G 2 的同
这样一来，我们可以用内自同构这一术语来表述正规子群: 群 G 的正规子群就是在群 G 的任何内自同构之下都不变的 子群.正因为如此,正规子群又称为不变子群.
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§6
群的同构与同态
设 G 是群, a , b G , H 是 G 的子群.若存在 h H ,使得
1
xa ) a ( a
1
xa ) a
1
x
,
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§6
群的同构与同态
因此 f a 是满射,从而, f a 是双射.又因为对于任意的
x, y G
,我们有
f a ( xy ) a ( xy ) a
§6
命题 6.5
群的同构与同态
设 f 是群 G 到群 G ' 的一个同态, e 和 e ' 分
别是 G 和 G ' 的单位元.那么, (1) f ( e ) e ' ; (2) f ( a 1 ) ( f ( a )) 1 , a G .
证明 (1)由 f ( e ) f ( ee ) f ( e ) f ( e ) 可知 f ( e ) e ' . (2)对于任意的 a G ,我们有
§6
群的同构与同态
现在考察由下式定义的 G 到 G ' 的映射 f :
f (a ) σ a , a G
. .
显而易见, f 是满射.对于任意的 a , b G ,我们有
f ( a ) f (b ) σ a σ b σ a ( e ) σ b (e ) a b
f (a ) e' , a G
例 5 设 G 是一个群, N 是 G 的正规子群.令
f ( a ) aN
,a G .
显然 f 是群 G 到商群 G / N 的一个满同态.这个满同态称为 群 G 到商群 G / N 的自然同态.
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σ a ( x ) ax
变换 σ a 如下: ,x G . 显而易见, σ a 是 G 的一一变换. 令 G ' { σ a | a G } .下面我们来阐明 G ' 是 G 上的 一个变换群.
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简称为群 G 的自同态.
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§6
显然,
f
群的同构与同态
f
是群 G 到群 G ' 的同构,当且仅当
既是群 G 到
群 G ' 的单同态,又是群 G 到群 G ' 的满同态.
例 4
设 G 和 G ' 是 两 个群 , e ' 是 G ' 的 单 位 元. 令 .则 f 是群 G 到群 G ' 的同态.
第一章
群
论
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2012-9-19
数学与计算科学学院
目
§1 §2 §3 §4 代数运算 群的概念 子 群
录
循环群
正规子群与商群 群的同构与同态 有限群
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§5
§6 §7
§6
群的同构与同态
定义 6.1 设 ( G , ) 和 ( G ' , ) 是两个群. (1)若 f 是 G 到 G ' 的一个双射,并且 f 保持代数运算,即
§6
群的同构与同态
容易验证, G ' 关于矩阵的乘法构成一个群,其乘法表为 · e' a' b' c'
e' a' b' c' e' a' b' c' a' e' c' b' b' c' e' a' c' b' a' e'
对照群 G 和 G ' 的乘法表容易发现,这两个群的结构没有本 质上的差别,由下式确定的 G 到 G ' 的映射 f 是同构:
f ( x) x' ,x G
.
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§6
群的同构与同态
由定义可知,群的同构具有如下性质: Ⅰ.任何群 G 与自身同构; Ⅱ.若群 G 1 与群 G 2 同构,则群 G 2 与群 G 1 同构; Ⅲ.若群 G 1 与群 G 2 同构,群 G 2 与群 G 3 同构,则群 G 1 与群 G 3 同构. 下面我们来阐明这些性质成立. 首先,对于任何群 G ,单位变换 I G 就是 G 到自身的 一个同构.因此 G
1
.容易验证, aHa
1
1
是 G 的子群.
显而易见, aHa 象,即 aHa
就是 H 在群 G 的内自同构 f a 之下的
{ f a (h) | h H } .
设 G 是群, N 是 G 的子群.由正规子群的定义容易明 白, N 是 G 的正规子群当且仅当
aNa
1
N
,a G .
, 是单射时,称
则称 称
f
f
f
为群 ( G , ) 到群 ( G ' , ) 的一个同态;不致混淆时,简
f
为群 G 到群 G ' 的一个同态.特别地,当
为单同态;当 f 是满射时,称 f 为满同态. (2)群 ( G , ) 到群 ( G , ) 的同态称为群 ( G , ) 的自同态,
的双射.对于任意的 a ' , b ' G 2 ,我们有
( a ' b ' )) a ' b ' , (a ' ) f
1
( b ' )) f ( f
1
( a ' )) f ( f
1
( b ' )) a ' b ' ,
从而，
f
1
(a 'b' ) f
1
(a ' ) f
1
(b ' ) .
f (a ) f (a
1 1
) f ( aa
1
) f (e) e' ,
因此 f ( a ) ( f ( a )) .□
1
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§6
群的同构与同态
设 f 是群 G 到群 G ' 的一个同态, H 和 H ' 分别是 G 和 G ' 的 子群.令
( G ' , ) 同构,记作 ( G , ) ( G ' , ) ;不致混淆时,简记作 G G'
.
(3)群 ( G , ) 到群 ( G , ) 的同构称为群 ( G , ) 的自同构,简称 为群 G 的自同构.
f ( a b ) f(a) f(b)
, a, b G ,
则称 f 为群 ( G , ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 到群 ( G ' , ) 的一个同构;不致混淆时,简称 f 为群 G 到群 G ' 的一个同构或 f 为同构. (2)若存在群 ( G , ) 到群 ( G ' , ) 的同构,则称群 ( G , ) 与群
上的一个等价关系. 此外,根据定义,群 G 的正规子群也就是群 G 的只与本身
共轭的子群.
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§6
群的同构与同态
定理 6.2(Cayley 定理) 变换群同构.
证明
任何一个群都与某个
设 G 是群.对于每一个 a G ,定义 G 的
( σ a 1 σ a )( x ) a ax x I G ( x )
1 1
1
从而, σ a σ b σ ab G ' , σ a σ a σ a σ a I G .所以 G ' 是 G 上的一个变换群.
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1
,
( axa
1
)( aya
1
) fa (x) fa ( y) .
所以 f a 是群 G 的自同构.
fa
称为群 G 的一个内自同构.
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§6
例 3
aHa
1
群的同构与同态
设 G 是群, H 是 G 的 子群, a G .考察集合
因此 f 是单射,从而, f 是双射.此外,我们有
f ( ab ) σ ab σ a σ b f ( a ) f ( b ) , a , b G
.
所以 f 是 G 到 G ' 的同构,从而, G
G ' .□
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a hbh
1
,则称 a 与 b 在 H 中共轭.
,则称 H 与 K 共轭.
设 G 是群, H 和 K 都是 G 的子群.若存在 u G ,使得
H uKu
1
显而易见,对于群 G 的任意给定的子群 H ,群 G 的元素之 间的“在 H 中共轭”的关系是 G 上的一个等价关系.若令 S 表 示 G 的所有子群构成的集合,则群 G 的子群之间的共轭关系是
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§6
群的同构与同态
G1
因此 f
1
是群 G 2 到群 G 1 的同构,从而, G 2
G1 , G 2
.所
以性质Ⅱ成立. 最后,假设
G1 G 2
和 G3 都 是 群 , 并 且
, G 2 G 3 .不 妨设 f 是群 G 1 到群 G 2 的同
这样一来，我们可以用内自同构这一术语来表述正规子群: 群 G 的正规子群就是在群 G 的任何内自同构之下都不变的 子群.正因为如此,正规子群又称为不变子群.
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§6
群的同构与同态
设 G 是群, a , b G , H 是 G 的子群.若存在 h H ,使得
1
xa ) a ( a
1
xa ) a
1
x
,
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§6
群的同构与同态
因此 f a 是满射,从而, f a 是双射.又因为对于任意的
x, y G
,我们有
f a ( xy ) a ( xy ) a
§6
命题 6.5
群的同构与同态
设 f 是群 G 到群 G ' 的一个同态, e 和 e ' 分
别是 G 和 G ' 的单位元.那么, (1) f ( e ) e ' ; (2) f ( a 1 ) ( f ( a )) 1 , a G .
证明 (1)由 f ( e ) f ( ee ) f ( e ) f ( e ) 可知 f ( e ) e ' . (2)对于任意的 a G ,我们有
§6
群的同构与同态
现在考察由下式定义的 G 到 G ' 的映射 f :
f (a ) σ a , a G
. .
显而易见, f 是满射.对于任意的 a , b G ,我们有
f ( a ) f (b ) σ a σ b σ a ( e ) σ b (e ) a b
f (a ) e' , a G
例 5 设 G 是一个群, N 是 G 的正规子群.令
f ( a ) aN
,a G .
显然 f 是群 G 到商群 G / N 的一个满同态.这个满同态称为 群 G 到商群 G / N 的自然同态.
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σ a ( x ) ax
变换 σ a 如下: ,x G . 显而易见, σ a 是 G 的一一变换. 令 G ' { σ a | a G } .下面我们来阐明 G ' 是 G 上的 一个变换群.
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简称为群 G 的自同态.
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§6
显然,
f
群的同构与同态
f
是群 G 到群 G ' 的同构,当且仅当
既是群 G 到
群 G ' 的单同态,又是群 G 到群 G ' 的满同态.
例 4
设 G 和 G ' 是 两 个群 , e ' 是 G ' 的 单 位 元. 令 .则 f 是群 G 到群 G ' 的同态.
第一章
群
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群的同构与同态
定义 6.1 设 ( G , ) 和 ( G ' , ) 是两个群. (1)若 f 是 G 到 G ' 的一个双射,并且 f 保持代数运算,即
§6
群的同构与同态
容易验证, G ' 关于矩阵的乘法构成一个群,其乘法表为 · e' a' b' c'
e' a' b' c' e' a' b' c' a' e' c' b' b' c' e' a' c' b' a' e'
对照群 G 和 G ' 的乘法表容易发现,这两个群的结构没有本 质上的差别,由下式确定的 G 到 G ' 的映射 f 是同构:
f ( x) x' ,x G
.
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群的同构与同态
由定义可知,群的同构具有如下性质: Ⅰ.任何群 G 与自身同构; Ⅱ.若群 G 1 与群 G 2 同构,则群 G 2 与群 G 1 同构; Ⅲ.若群 G 1 与群 G 2 同构,群 G 2 与群 G 3 同构,则群 G 1 与群 G 3 同构. 下面我们来阐明这些性质成立. 首先,对于任何群 G ,单位变换 I G 就是 G 到自身的 一个同构.因此 G
1
.容易验证, aHa
1
1
是 G 的子群.
显而易见, aHa 象,即 aHa
就是 H 在群 G 的内自同构 f a 之下的
{ f a (h) | h H } .
设 G 是群, N 是 G 的子群.由正规子群的定义容易明 白, N 是 G 的正规子群当且仅当
aNa
1
N
,a G .
, 是单射时,称
则称 称
f
f
f
为群 ( G , ) 到群 ( G ' , ) 的一个同态;不致混淆时,简
f
为群 G 到群 G ' 的一个同态.特别地,当
为单同态;当 f 是满射时,称 f 为满同态. (2)群 ( G , ) 到群 ( G , ) 的同态称为群 ( G , ) 的自同态,
的双射.对于任意的 a ' , b ' G 2 ,我们有
( a ' b ' )) a ' b ' , (a ' ) f
1
( b ' )) f ( f
1
( a ' )) f ( f
1
( b ' )) a ' b ' ,
从而，
f
1
(a 'b' ) f
1
(a ' ) f
1
(b ' ) .
f (a ) f (a
1 1
) f ( aa
1
) f (e) e' ,
因此 f ( a ) ( f ( a )) .□
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§6
群的同构与同态
设 f 是群 G 到群 G ' 的一个同态, H 和 H ' 分别是 G 和 G ' 的 子群.令
( G ' , ) 同构,记作 ( G , ) ( G ' , ) ;不致混淆时,简记作 G G'
.
(3)群 ( G , ) 到群 ( G , ) 的同构称为群 ( G , ) 的自同构,简称 为群 G 的自同构.
f ( a b ) f(a) f(b)
, a, b G ,
则称 f 为群 ( G , ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 到群 ( G ' , ) 的一个同构;不致混淆时,简称 f 为群 G 到群 G ' 的一个同构或 f 为同构. (2)若存在群 ( G , ) 到群 ( G ' , ) 的同构,则称群 ( G , ) 与群