近世代数 置换群 讲义学习
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《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
《变换和置换群》课件
晶体学
化学分子
置换群可用于描述晶体中的对称 性，进而推测晶体的结构和性质。
变换和置换群可用于描述和分析 分子中的对称性和反应过程。
实例分析：八皇后问题
1
问题描述
在8×8的国际象棋棋盘上，摆放8个皇后，使得每个皇后都不会互相攻击。
2
解决方法
利用回溯算法，通过枚举置换的组合方式，找到符合要求的八皇后放置方法。
变换群的性质和定义
群元素
• 变换 • 恒等变换
性质
• 封闭性 • 结合律 • 单位元 • 逆元
置换群的性质和定义
对称性
置换群是对称性的代数描述。
置换的类型
置换可以分为置换对和置换 环。
性质：
满足群的四个基本要素：群
音乐理论
变换群与音乐理论有密不可分的 关系，可描述音乐创作和演奏过 程。
《变换和置换群》PPT课 件
本课件将介绍变换群和置换群的定义、性质和应用。通过实例讲解八皇后问 题，帮助大家理解群论的基本概念。
变换群和置换群是什么？
1 变换群
是一组变换的集合，满足 封闭性、结合律、单位元 和逆元。
2 置换群
是一组置换的集合，满足 封闭性、结合律、单位元 和逆元。
3 联系
置换群是变换群的一种特 殊情况。
3
应用
解决类似的组合问题，例如数独、图像识别等。
总结
群论基础
变换群和置换群是群论中最基础的概念，可应用于 各领域。
更广泛的应用
广泛应用于数学、物理、化学、计算机等领域，展 现了其重要性和实用价值。
近世代数课件(全)--2-11 图形的对称变换群、群的应用
2019/1/20
nm
现在考虑二面体群 D m 对集合 的作用： 设
1 2 g i1 i 2
k
ik
m Dm im
1 2 c1 c 2
，其中
ck A
k ck
m
cm
2019/1/20
定义
g
对 的作用为
g m i1 i 2 c m c1 c 2
2019/1/20
容易看出, 正方形的对称变换有两类: 第一类: 绕中心的分别旋转90度，180 度，270度，360度的旋转， 这对应于置换 (1234)， (13)(24)， (1432)，(1). 第二类: 关于正方形的4条对称轴的反射, 这对应于置换 (1 2)(3 4)， (2 4)， (1 4)(2 3)， (2 4)， (1 3). 所以, 正方形的对称变换群有上述 8个元素. 这是四次对称群的一个子群.
2 1
1 是一个 (12345) 5 型置换 1 2 是一个 (12)(34) (12)(34)(5) 1 2 型置换
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二面体群中的置换类型
0 (1), k 123 n , k 1, , n 1 0 2 n (3 n 1) , d n k 的类型是 型，其中 d ( n, k ) d n 1 k 当n是奇数时，都是 112 2 型的
D
C
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B
A
7：
C D
D
A
C
B
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B
A
8：
C D
B
C
A
D
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nm
现在考虑二面体群 D m 对集合 的作用： 设
1 2 g i1 i 2
k
ik
m Dm im
1 2 c1 c 2
，其中
ck A
k ck
m
cm
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定义
g
对 的作用为
g m i1 i 2 c m c1 c 2
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容易看出, 正方形的对称变换有两类: 第一类: 绕中心的分别旋转90度，180 度，270度，360度的旋转， 这对应于置换 (1234)， (13)(24)， (1432)，(1). 第二类: 关于正方形的4条对称轴的反射, 这对应于置换 (1 2)(3 4)， (2 4)， (1 4)(2 3)， (2 4)， (1 3). 所以, 正方形的对称变换群有上述 8个元素. 这是四次对称群的一个子群.
2 1
1 是一个 (12345) 5 型置换 1 2 是一个 (12)(34) (12)(34)(5) 1 2 型置换
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二面体群中的置换类型
0 (1), k 123 n , k 1, , n 1 0 2 n (3 n 1) , d n k 的类型是 型，其中 d ( n, k ) d n 1 k 当n是奇数时，都是 112 2 型的
D
C
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B
A
7：
C D
D
A
C
B
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B
A
8：
C D
B
C
A
D
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大学课程近世代数循环群与置换群讲义课件
即 f 是同构，故( G,◦) ≅ (Zn, +n) 。
（2）作映射 f : G → Z , f ( gk )=k ，
则 f 是同构，故 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
二、置换群
定义7.3.3 设 S为集合，称映射τ : S →S 为 S上的
一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。
而 1 2 1 2 4 3 4 3 5 5 1 2 1 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 4 3 4 3 5 5 (1)( 2 3) 4 (3)( 4 1)2
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
定理7.3.5 任意一个置换都等于若干个不含公共元 素的循环置换的复合。
例如， 1 32 63 44 18 52 65 77 8 (5)8 2 ()7 1 6 ()3 (1 4)3 2 ()4 5 6 ()8 7
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
例7.3.9 利用循环置换的方法，我们有 3次对称群 S3的元素可以表示为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4的元素可以表示为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34); (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243); (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432); (12)∘(34), (13)∘(24), (14)∘(23)。
通常还是用
1 2
2 3
3 1
来表示。
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
（2）作映射 f : G → Z , f ( gk )=k ，
则 f 是同构，故 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
二、置换群
定义7.3.3 设 S为集合，称映射τ : S →S 为 S上的
一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。
而 1 2 1 2 4 3 4 3 5 5 1 2 1 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 4 3 4 3 5 5 (1)( 2 3) 4 (3)( 4 1)2
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
定理7.3.5 任意一个置换都等于若干个不含公共元 素的循环置换的复合。
例如， 1 32 63 44 18 52 65 77 8 (5)8 2 ()7 1 6 ()3 (1 4)3 2 ()4 5 6 ()8 7
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
例7.3.9 利用循环置换的方法，我们有 3次对称群 S3的元素可以表示为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4的元素可以表示为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34); (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243); (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432); (12)∘(34), (13)∘(24), (14)∘(23)。
通常还是用
1 2
2 3
3 1
来表示。
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
近世代数_置换群_讲义学习ppt
jk jk(1)
jk1
j (2) k 1
jn jn(2)
证明 因为 1 是 a j1 , a j2 ,, a jn 这个元的一一变换，而在 1 之下，
a jk 1 , a jk 2 ,, a jn ，已经各是 a jk 1 , a jk 2 ,, a jn 的象，所以它们
不能再是 a ji (i k ) 的象，这就是说，
这是 因为,每个循环置换都可视为一 个首尾相接的圆环:
所以,循环中的每个文字都可以置于首位.一旦首位 确定后,整个循环置换的表达形式也就确定了.
但习惯上,总是将循环置换中出现的最小文字置 于首位. ③.S8 的单位(恒等置换) 0 1 2 3 同上,习惯写成
0 1.
定义 2 Sn 中的一个将i1变到i2 ，i2 变到i3,,ik 变回
假设 最多变动 r 1(r n) 个文字时，定理 成立。现考察 变动了 r 个元的情形：
首先在被 变动的文字中随意取一个文字 i1 ， 从 i1 出发找到 i1 在 下的象 i2 ,再找 i2 的象 i3 ,… , 直到找到 ik ，其中： ik i1 .于是
i1 i2 i3 ik i1
2 11 22 3313 21 2 3 13 21 2 3
注意:置换乘积中,是从左到右求变换值,这是与过去 的习惯方法不同的（也要看各书要求）。 例 2 设 A 1 , 2 , 3,那么 A 的全部一一变换构成的三次 对称群为 S3 0 ,1, 2 , 3 , 4 , 5.其中
当 i k 时，
这样，
j (1) i
jl ,l
k
当 i k 时，
a 12 ji
(aji1 )2
(a jl )2
a jl
置换群
2019/3/8
定理2. 每个置换都可表成不相连循环置换之积. 证：
i1 i2 i2 i3
ik i1
j1 j2 j2 j3
js a j1 a
i1 , i2 ,, ik Fra bibliotek1 , j2 ,
, js
b b
注：将置换写成不相连的循环置换之积是 表示置换的第二种方法.
2019/3/8
例：四次对称群
(1), (12), (13), (14), (23), (24), (34), (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243),
(1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432), (12)(34), (13)(24), (14)(23) }
2 3 4 5 6 1 3 1 6 5 4 2 2 3 4 5 6 1 1 6 4 5 2 3
求（1）循环置换分解，（2）逆元，（3）阶 （4） ,
S4 {
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四、循环置换的性质 定理 两个不相连的循环置换是可以交换的. 定理 k—循环置换的阶为k. 定理 不相连的循环置换乘积的阶为阶的 最小公倍数. 定理
i1i2
ik ik ik 1
1
i1
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练习：给出下列6元置换： 2 3 4 5 6 1 1 3 5 4 2 6
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2 3 1 2 3 1 1 1 5 3 2 3 2 1 2 1 1 5 3
2 3 3 1
2 3 1 2 3 1 5 1 2 1 1 3 2 3 5 1 4 S3 是有限非交换群.
近世代数课件--2.6 置换群
• 作业 • P55:2,5
6.2 置换的表示方法:2-行法
现在我们要看一看表示一个置换的符号．这种 符号普通有两种，我们先说明第一种．我们看一个 置换
:
ai a k i 1, 2, ...n !
i
这样一个置换所发生的作用完全可以 ( ( 由 (1, k 1 ) ，2, k 2 ) ， …， n , k n ) 这 n 对整数来决定． 表示置换的第一个方法就是把以上这个置换写成
123 123 ?? 132 213
123 123 ? 213 132
(从右向左)
●
如何求逆?
123 132
1
=??
●
所以 S 3 不是交换群．
无限非交换群我们已经看到过，这是我们的第 一个有限非交换群的例子．S 3 可以说是一个最小的 有限非交换群，因为以后我们会知道，一个有限非 交换群至少要有六个元．
但 1 只使得 r k r 个元变动，照归纳法的假定，可 以写成不相连的循环置换的乘积：
1 1 2 m
在这些
里 i1 , i2 , ..., ik 不会出现.不然的话,
l i p iq , p k
那么 i p 同 iq 不会再在其余的 中出现, 也必使 a i 但我们知道, 1使得 a i 不动,这是一个矛盾.这样, 是 不相连的循环置换的乘积: i1i 2 i k 1 2 m
1
k+1
i
j1
(1)
jk
(1)
只 能 取 自 j1
jk
这样， 2 1 将 j1
jk
变成
大学课程课件 近世代数教学课件
A1 , A2 ,, An
和
A1 A2 An 我们有
A1 A2 An
( x A1 A2 A) ( x至少属于某一Ai , i 1, 2,, n)
( x A1 A2 A) ( x属于每一Ai , i 1, 2,, n)
全体复数的集合，表示为C
设A，B是两个集合，如果A 的每一元素都是B 的
元素，那么就说Ａ是Ｂ的子集，记作 作 ，或记
. 根据这个定义，Ａ是Ｂ的的子集当且仅当
A B
.
BA 对于每一个元素 x，如果
，就有
x A
A是B的子集，记作：
xB
( A B) (x : x A x B)
f :x y
这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作 . f (x )
例1 设
A B {1,2,3,4}
这是A到B的一个映射.
f : 1 2,2 3,3 4,4 1
例2 设A是一切非负数的集合，B是一切实数的集合. 对于每 一 与它对应. f 不是A到B的映射， x ，令 A f ( x) x 因为当 时， 不能由x唯一确定.
设 f :AB 如果对于每一 x A 与g是相等的. 记作
，B g:A ，都有
f ( x) g ( x)
都是A到B的映射， ，那么就说映射f
f g
例3
令
f : R R, x | x |
2 g : R R , x x 那么 .
f g
定义4： 设 是A到B 的一个映射， g : B C f :AB 是B 到C 的一个映射. 那么对于每一个 ， x A g ( f ( x)) 是C中的一个元素. 因此，对于每一 ，就有C 中唯一的确定 x A 的元素 与它对应，这样就得到A到C 的一个映射，这映 g ( f ( x和 )) 射是由 所决定的，称为 f 与g 的合成（乘积），记作 f : A . B 于是有 g:BC