2020年福建省厦门一中高考数学模拟试卷1(3月份) (含答案解析)

2020年福建省厦门一中高考数学模拟试卷1（3月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A = {x | 1 <x 2<4}，B = {x |x ≥1}，则A ∩B =( )A. {x|1<x <2}B. {x|1≤x <2}C. {x|−1<x <2}D. {x|−1≤x <2}2. 若双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的倾斜角为π6，则双曲线C 的离心率为 ( ) A. 2或√3B. 2√33C. 2或2√33D. 23. 某围棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加围棋比赛，则选出的2人中有女队员的概率为( )A. 310B. 35C. 45D. 7104. 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，将角α的终边逆时针旋转π4后过点(√55,2√55)，则tanα=( )A. 13B. 12C. 23D. 25. 中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。

意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的x =5，y =2，输出的n 为4，则程序框图中的中应填( )A. y <xB. y ≤xC. x ≤yD. x =y6. 实数x ，y 满足条件{x ≥1x +y ≤3−2x +3y +5≥0，则目标函数z =x +2y 的最大值为( )A. 5B. 4C. −1D. 1657. 若函数y =f(x +1)的图像关于直线x =−1对称，且函数f (x )在(0,+∞)上单调递增，则( )A. f (−3)<f (−log 313)<f (20.6)B. f (−3)<f (20.6)<f (−log 313)C. f (20.6)<f (−log 313)<f (−3)D. f (20.6)<f (−3)<f (log 313)8. 在平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =4，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. 1B. 7C. 25D. −79. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的外接球的体积是( )A. 19√57π54B. 22√66π54C.19π3D.22π310. 抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，已知点A,B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =120∘.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|AB ||MN |的最小值为( )A. √33B. 2√33C. 1D. √311. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n =4n ，若对任意的n ∈N ∗，λ(43+S n )≥4(n −3)恒成立，则实数λ的取值范围是( )A. λ≥3256B. λ≥316C. λ≥227D. λ≥2912. 函数在区间[0,π2]上的最大值为( )A. 2B. 1+√2C. 1+√32D. 3√32二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知复数z 满足zi +4=3i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z = ．14. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2+a 4=2，S 2+S 4=1，则a 10=______． 15. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC =CC 1=2a ，∠CAB =90°，AC =√2a.则点B 到平面AB 1C 的距离为______ ．16. 若实数a 、b 、c 满足(b +a 2−3lna)2+(c −d +4)2=0，则(a −c)2+(b −d)2的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）(ω>0)的最小正周期是π．17.已知函数f(x)=√3sinωxcosωx−cos2ωx+12(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)将函数f(x)的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移π个单位，得3函数g(x)的图象．若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a+c=4，且当x=B时，g(x)取得最大值，求△ABC周长的取值范围．18.为了解心肺疾病是否与年龄相关，现随机抽取80名市民，得到数据如下表：患心肺疾病不患心肺疾病合计大于40岁16小于或等于40岁12合计80已知在全部的80人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率为25(1)请将2×2列联表补充完整；(2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为患心肺疾病与年龄有关？下面的临界值表供参考：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 (参考公式：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，△PAD为边长为2的等边三角形，ABCD为菱形，∠DAB=60°，E为AD的中点，平面PAD⊥平面ABCD，F为棱PC上一点，(1)证明：平面PAD⊥平面BEF；(2)若PA//平面BEF，求三棱锥E−BCF的体积．20.已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C方程为x2a2+y2b2=1，椭圆上的点到焦点距离最大值为3，离心率e=12．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)A，B为椭圆上的点，△AOB面积为√3，求证：|OA|2+|OB|2为定值．21.已知函数f(x)=lnx+a(x−1)+1．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x≥1时，不等式f(x)≤e x−1恒成立，求a的取值范围．22.已知直线C的参数方程为{x=−1+2cosθ,(θ为参数)，以原点O为极点，x轴的非负半轴y=1+2sinθ为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)若直线：l:θ=α(α∈[0,π),ρ∈R)与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|OM|的最大值．23.已知函数f(x)=|2x+1|+|ax−1|．(1)当a=−1时，求不等式f(x)>2的解集；(2)若0<a<2，且对任意x∈R，f(x)≥3恒成立，求a的最小值．2a-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．解不等式求出集合A，根据交集的定义求出A∩B．【解答】解：集合A={x|1<x2<4}={x|−2<x<−1或1<x<2}，B={x|x≥1}，则A∩B={x|1<x<2}．故选：A．2.答案：B解析：【分析】本题主要考查了双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．求出双曲线的渐近线方程，可得b=√33a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到双曲线的离心率．【解答】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bax，则tanπ6=ba即为b=√33a，则c=√a2+b2=2√33a，即有e=ca =2√33．故选B．3.答案：D解析：【分析】本题考查古典概型，考查概率的计算，确定基本事件的个数是关键，属于基础题．【解答】解：随机选派2人参加围棋比赛，有C52=10种，选出的2人恰有1人是女队员，有C21C31=6种，选出的2人有2人是女队员，有C22=1种，所以选出的2人中有女队员的概率为6+110=710．故选D．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式的应用，属于基础题．由题意利用任意角的三角函数的定义求得tan(α+π4)的值，再利用两角和的正切公式求得tanα的值．【解答】解：角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，将角α的终边逆时针旋转π4后过点(√55,2√55)，∴α+π4角的终边过点(√55,2√55)，即tan(α+π4)=2√55√55=2，即tanα+11−tanα=2，∴tanα=13，故选：A．5.答案：C解析：【分析】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的x，y的值，由输出n的值为4，可得判断框内的条件．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=5，y=2，n=1x=152，y=4不满足条件，执行循环体，n=2，x=454，y=8，此时，x>y，不满足条件，执行循环体，n=3，x=1358，y=16，此时，x>y，不满足条件，执行循环体，n=4，x=40516，y=32，此时，x<y，由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出n的值为4．可得程序框图中的 中应填x ≤y ？故选C ．6.答案：A解析：解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由{x =1x +3=3，解得A(1,2)， 由z =x +2y 得：y =−12x +z2，显然直线过A(1,2)时，z 最大，z 的最大值是5， 故选：A ．画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出z 的最大值即可． 本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．7.答案：C解析： 【分析】本题主要考查了函数的奇偶性，单调性，属于中档题． 由题意可得函数f(x)为偶函数，则f (−3)=f (3)，，且在(0,+∞)上单调递增，然后通过比较x 的大小从而得到函数值的大小． 【解答】解：根据题意，函数y =f(x +1)的图像关于直线x =−1对称， 所以函数f(x)的图像关于直线x =0对称， 即函数是定义在R 上的偶函数， 则f (−3)=f (3)，，有20.6<2<log 313<log 327=3，又由f (x )在(0,+∞)上单调递增，则有f(20.6)<f(−log 313)<f(−3)， 故选C ．8.答案：D解析：解：在平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =4， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=9−16=−7． 故选：D ．利用向量的加减法运算，以及向量的数量积化简求解即可．本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积的运算，考查计算能力．9.答案：A解析： 【分析】本题考查三视图求解几何体的外接球的体积，求解外接球的半径是解题的关键． 画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解外接球的体积即可． 【解答】解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，上底面PCD 的外接圆的半径：O 1D =23×√32×2=2√33， 几何体的外接球的半径为：OD =√(2√33)2+(12)2=√1912，该四棱锥的外接球的体积是：．故选A ．10.答案：D解析：如图所示，过A,B 分别作准线的垂线AQ,BP ，垂足分别为Q,P ，设|AF |=a,|BF |=b ，连接AF ，BF ，由抛物线的定义，得|AF |=|AQ |,|BF |=|BP |，在梯形ABPQ 中，2|MN |=|AQ |+|BP |=a +b ，由余弦定理得：|AB |2=a 2+b 2−2abcos120∘=a 2+b2+ab ，整理得|AB |2=(a+b)2−ab ，因为ab ≤(a+b 2)2，则(a +b)2−ab ≥(a +b)2−(a+b 2)2=34(a +b)2，即|AB |2≥34(a +b)2，所以|AB |2|MN |2≥34(a+b)214(a+b)2=3，所以|AB ||MN |≥√3．11.答案：A解析： 【分析】本题考查等比数列的求和公式及利用数列的单调性求最值，属于中档题．利用已知表示出S n ，进而通过分离参数，通过数列的单调性求3(n−3)4n的最大值即可．【解答】解：因为a n =4n ， 则数列{a n }为等比数列， 所以S n =4(1−4n )1−4=43×4n −43，则已知不等式可化为：λ×43×4n ≥4(n −3)， 所以λ≥3(n−3)4n，令b n =3(n−3)4n， 因为b n −b n−1=3(n−3)4n−3(n−4)4n−1=3×13−3n 4n，(n ≥2)，由数列的单调性定义可知：b 1<b 2<b 3<b 4>b 5>b 6>b 7>⋯⋯ 所以当n =4时，3(n−3)4n有最大值为3×144=3256，则λ≥3256． 故选A ．12.答案：D解析： 【分析】本题考查三角函数的最值求法，注意运用导数，考查运算能力，属于中档题． 求得函数的导数，以及单调性，可得极值和最值． 【解答】 解：的导数为，当x ∈[0,π6]时，y′≥0；x ∈[π6,π2]时，y′≤0，可得函数在[0,π6]上是增函数，在[π6,π2]上是减函数，．故选D．13.答案：−3+4i解析：【分析】本题考查了复数的运算以及共轭复数求解，属于基础题．化简原式求z，然后可求其共轭复数．【解答】解：复数z=(3i−4)i=−3−4i，故复数z的共轭复数为−3+4i．14.答案：8解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a4=2，S2+S4=1，∴2a1+4d=2，6a1+d+4×32d=1，解得：a1=−1，d=1，则a10=−1+9=8．故答案为：8．设等差数列{a n}的公差为d，由a2+a4=2，S2+S4=1，可得2a1+4d=2，6a1+d+4×32d=1，联立解出利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.答案：2√3a3解析：【分析】本题考查了利用等体积法求空间距离的方法，一般是构造三棱锥，通过变换顶点的方法来解．可采用等积法，只要求出三角形AB1C的面积，则B到面AB1C的距离即可求得．【解答】解：∵直三棱柱ABC−A1B1C1中，BC=2a，∠CAB=90°，AC=√2a，∴AB=√2a，△AB1C中，AB1=√6a，B1C=2√2a，AC=√2a，则AB12+AC2=B1C2，AB1⊥AC，∴△AB1C是直角三角形，S△AB1C =12×√2a×√6a=√3a2，设点B到平面AB1C的距离为h，∵V B1−ABC =V B−ACB1，∴13×12×√2a×√2a×2a=13×√3a2ℎ，解得ℎ=2√3a3．故答案为：2√3a3．16.答案：18解析：解：∵实数a、b、c、d满足：(b+a2−3lna)2+(c−d+4)2=0，∴b+a2−3lna=0，设b=y，a=x，则有：y=3lnx−x2c−d+4=0，设c=x，d=y，则有：y=x+4，∴(a−c)2+(b−d)2就是曲线y=3lnx−x2与直线y=x+4之间的最小距离的平方值对曲线y=3lnx−x2求导：y′(x)=3x−2x，与y=x+4平行的切线斜率k=1=3x−2x，解得：x=1或x=−32(舍)把x=1代入y=3lnx−x2，得：y=−1，即切点为(1,−1)切点到直线y=x+4的距离：L=√2=√2，即L2=18，(a−c)2+(b−d)2的最小值就是18．故答案为：18．由题设条b+a2−3lna=0，设b=y，a=x，得到y=3lnx−x2；c−d+4=0，设c=x，d=y，得到y=x+4，所以(a−c)2+(b−d)2就是曲线y=3lnx−x2与直线y=x+4之间的最小距离的平方值，由此能求出(a−c)2+(b−d)2的最小值．本题考查对数运算法则的应用，是中档题，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用．17.答案：解：(1)f(x)=√32sin2ωx−1+cos2ωx2+12=sin(2ωx−π6).∵2ω=2πT =2，∴f(x)=sin(2x−π6)，由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−π6≤x≤kπ+π3，∴函数f(x)的单调增区间为[kπ−π6,kπ+π3]，(k∈Z)．(2)g(x)=sin(12×2x+π3−π6)=sin(x+π6).∵当x=B时，g(x)取得最大值，∴B+π6=2kπ+π2，k∈Z，∴B=π3．由余弦定理可知b2=a2+c2−2accosπ3=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac，既有16−3(a+c2)2=16−12=4．∴b≥2，又b<a+c=4∴2≤b<4∴△ABC的周长取值范围是[6,8)．解析：(1)化简得f(x)=sin(2ωx−π6)，然后可求函数f(x)的单调增区间；(2)先求得函数g(x)的函数解析式，求出B的值，由余弦定理可求得b≥2，从而可求△ABC的周长取值范围．本题主要考察了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换、三角函数中的恒等变换应用、余弦定理公式的应用，属于中档题．18.答案：解：(1)(2)K2=80×(16×12−20×32)248×32×36×44=1960297≈6.599>5.024(11分)能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为患心肺疾病与年龄有关(12分)解析：(1)根据所给的数据，画出列联表；(2)根据列联表中的数据，代入求观测值的公式，求出观测值，把观测值同临界值进行比较，即可得出结论．本题考查独立性检验的应用，解题的关键是正确求出这组数据的观测值，数字运算的过程中数字比较多，不要出错．19.答案：证明：(1)E是AD中点，连接PE，∴AB=2，AE=1∴BE2=AB2+AE2−2AB⋅AE⋅cos∠BAD=4+1−2×2×1×cos60°=3∴AE2+BE2=1+3=4=AB2，∴BE⊥AE，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BE⊂平面ABCD，∴BE⊥平面PAD，又∵BE⊂平面BEF，∴平面PAD⊥平面BEF；解：(2)连接AC，交BE于O，连接FO，PE，∵PA//平面BEF，平面PAC∩平面PEF=FO，∴PA//FO，则CFPF =COAO=CBAE=2，∴CFPC =23，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊂平面PAD，PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD，设F到平面ABCD的距离为h，则ℎ=23PE=2√33，∴三棱锥E−BCF的体积V=13S△BCEℎ=23解析：(1)由已知利用余弦定理可求BE，利用勾股定理可知BE⊥AE，由平面PAD⊥平面ABCD可证BE⊥平面PAD，进而可得平面PAD⊥平面BEF；(2)连接AC，交BE于O，连接FO，PE，由已知PA//平面BEF，可得：CFPF =COAO=CBAE=2，即CFPC=23，进而求出棱锥的底面和高，代入棱锥体积公式，可得答案．本题主要考查了直线与平面平行的性质定理，及直线与平面垂直的判定定理的应用，体现了线面关系与面面关系的相互转化．20.答案：解：(Ⅰ)由题意可得{a+c=3ca=12，解得{a=2c=1，∴b2=3，∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(Ⅱ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，(1)当直线AB 斜率不存在时，S △AOB =√3=|x 1y 1|⇒x 12y 12=3⇒y 123=1x 12，代入x 124+y 123=1，得x 12=2，则y 12=32， ∴|OA|2+|OB|2=x 12+y 12+x 22+y 22=2(x 12+y 12)=7；(2)当直线AB 斜率存在时，设直线AB ：y =kx +m ， 与x 24+y 23=1联立得，(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12=0，△=48(4k 2−m 2+3)>0，由韦达定理得，{x 1+x 2=−8km4k 2+3x 1x 2=4m 2−124k 2+3， 原点O 到直线AB 的距离d =√1+k 2，|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√1+k 2⋅√(−8km 4k 2+3)2−4⋅4m 2−124k 2+3=4√1+k 2⋅√−3m 2+12k 2+94k +3，则S △AOB =√3=12√1+k 2|x 1−x 2|√1+k2，代入整理得14=(4k 2+3)−m 2(4k 2+3)2⋅m 2，化简得2m 2=3+4k 2，∴|OA|2+|OB|2=x 12+y 12+x 22+y 22=x 12+(3−34x 12)+x 22+(3−34x 22)=14(x 12+x 22)+6=14[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+6=14[(−8km4k 2+3)2−2⋅4m 2−124k 2+3]+6=2⋅4k 2m 2−3m 2+12k 2+9(4k 2+3)2+6=2⋅(4k 2−3)m 2+12k 2+9(4k 2+3)2+6=2⋅(4k 2−3)⋅4k 2+32+12k 2+9(4k 2+3)2+6=7．综上，|OA|2+|OB|2=7(定值)．解析：(Ⅰ)由题意可得{a +c =3c a=12，解出a ，c ，由平方关系可得b ；(Ⅱ)分情况讨论：当直线AB 斜率不存在时，易求|OA|2+|OB|2=7；当直线AB 存在斜率时，设直线AB ：y =kx +m ，与椭圆方程联立消掉y 得，(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12=0，由弦长公式可表示|AB|，由点到直线的距离公式可得O 到AB 的距离，由面积公式可得k ，m 的方程，由此可求得|OA|2+|OB|2=7；本题考查椭圆的性质及应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，综合性强，属于中档题．21.答案：解：(1)由题意x>0，f′(x)=1x +a=a(x+1a)x，当a⩾0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，当a<0时，在区(0,−1a )上，f′(x)>0，在区间(−1a,+∞)上，f′(x)<0，所以函数f(x)在区间(0,−1a )上单调增，在区间(−1a,+∞)上单递减；(2)由f(x)≤e x−1，可得lnx+a(x−1)+1−e x−1≤0，设g(x)=lnx+a(x−1)+1−e x−1，又g(1)=0，g′(x)=1x +a−e x−1，设ℎ(x)=g′(x)=1x+a−e x−1，则ℎ′(x)=−1x2−e x−1<0所以函数g′(x)在区(1,+∞)内为减函数，g′(x)⩽g′(1)=a，当a⩽0时，g′(x)≤0，g(x)在区间[1,+∞)内为减数，所以g(x)≤g(1)=0恒成立；当a>0时，g′(1)=a>0，因为g′(x)在区间[1,+∞)内单调减，所以∃x0∈(1,+∞)，在区间[1,x0)内，有g′(x)>0，所以g(x)在区间[1,x0)内单调递增，所以g(x)>g(1)=0这时不合题意综上所述，实数a的取值范围为(−∞,0]．解析：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，不等式的恒成立问题，是一道中档题．(1)求出函数的导函数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；(2)令g(x)=lnx+a(x−1)+1−e x−1，求出函数的导数，通过讨论a的范围判断函数的单调性，从而求出a的范围即可．22.答案：解：(1)曲线C的普通方程为(x+1)2+(y−1)2=22，由{x=ρcosθ,y=ρsinθ,得ρ2+2ρcosθ−2ρsinθ−2=0．(2)联立θ=α和ρ2+2ρcosθ−2ρsinθ−2=0，得ρ2+2ρ(cosα−sinα)−2=0，设A(ρ1,α)，B(ρ2,α)，则ρ1+ρ2=2(sinα−cosα)=2√2sin(α−π4)，由|OM|=|ρ1+ρ22|，得|OM|=√2|sin(α−π4)|，因为α∈[0,π)，所以当α=3π4时，|OM |取最大值√2．解析：本题考查参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，三角函数求最值，属于基础题． (1)由参数方程化成普通方程，再化为极坐标方程即可； (2)利用极坐标方程，结合三角函数求最值．23.答案：解：(1)当a =−1时，f(x)=|2x +1|+|x +1|∴f(x)>2等价于{x >−122x +1+x +1>2或{−1≤x ≤−12−(2x +1)+x +1>2 或{x <−1−(2x +1)−(x +1)>2，解得：x >0或x <−43，∴f(x)>2的解集为{x|x <−43或x >0}；(2)∵0<a <2，∴1a >−12，2+a >0，2−a >0， 则f(x)=|2x +1|+|ax −1|={−(2+a)x,x <−12(2−a)x +2,−12≤x ≤1a (2+a)x,x >1a ，∴函数f(x)在(−∞,−12)上单调递减，在[−12,1a ]上单调递增，在(1a ,+∞)上单调递增， ∴当x =−12时，f(x)取得最小值，f(x)min =1+a2 ∵对∀x ∈R ，f(x)≥32a 恒成立， ∴f(x)min =1+a2≥32a ，又∵a >0，∴a 2+2a −3≥0，解得a ≥1(a ≤−3不合题意)， ∴a 的最小值为1．解析：(1)将a =1代入f(x)中，去绝对值后分别解不等式即可；(2)f(x)≥32a 恒成立，只需求出f(x)的最小值，根据最小值大于等于32a 可求出a 的范围． 本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，属中档题．。